Spbre 2009 - Unican.es

4-09-2009
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - 2o I.T.O.P
ESTADÍSTICA
Tiempo=90 m.
[Ejer. 1] Se supone que el no de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria
que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 0, 5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3 de agua?
(0.5 p.)
b) Si sabemos que en un tubo hay bacterias ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos
de 3 bacterias en dicho tubo?
(0.5 p.)
c) En 4 tubos de ensayo, de capacidad 1 mm3 cada uno, se toman muestras de ese agua.
Hallar la probabilidad de que al menos la mitad de los tubos no contengan bacterias.
(0.5 p.)
d ) Se juntan estos 4 tubos con otros 6 tubos de ensayo iguales llenos de agua tratada
quı́micamente y en la que se han eliminado bacterias, siendo todos los tubos indistinguibles. Determinar la probabilidad de que un tubo elegido al azar no contenga
bacterias.
(0.75 p.)
[Ejer. 2] Una máquina produce resistencias eléctricas cuyo contenido en cobre es una variable aleatoria con función de densidad





f (x) =




0,25
3<x<5
k(x − 9) 5 ≤ x < 9
0
resto
a) Determinar el valor de k para que f (x) sea función de densidad.
(0.5 p.)
b) Si el calor que se produce al paso de la corriente es una variable aleatoria definida
como Y = cX 2 + 100, determina el valor de c para que PY (Y < 1200) = 0,5. (0.75 p.)
c) Una resistencia se considera defectuosa si produce menos de 804 grados o más de 2916.
Sabiendo que es defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que produzca una temperatura
inferior a 804 grados?
(1.25 p.)
[Ejer. 3] En una determinada ciudad, la cuota anual por familia del impuesto municipal de circulación
sigue una distribución normal con media 100 euros. El porcentaje de familias que pagan
menos de 60 euros es del 15.87 %
1
a) Se elige una familia al azar. Hallar la probabilidad de que pague una cuota comprendida
entre 40 y 80 euros.
(1.25 p.)
b) En la misma ciudad, la cuota anual por familia del impuesto de recogida de basuras
se distribuye también normalmente con media 100 euros y desviación tı́pica 40 euros.
Si las cuotas de cada impuesto son independientes, ¿qué proporción de familias pagan
una cuota total anual superior a los 160 euros?
(1.25 p.)
[Ejer. 4] El porcentaje deseado de SiO2 en cierto tipo de cemento aluminoso es de 5.5. Para comprobar si esto es cierto en determinada planta de producción, se realizó un muestreo aleatorio
de tamaño 16 obteniéndose un porcentaje medio de 5.25 y una cuasivarianza muestral de
0.16. Suponiendo que el porcentaje de SiO2 en una muestra se distribuye normalmente, se
pide:
a) ¿Indica esto de manera concluyente que el verdadero porcentaje de SiO2 difiere de 5.5?
Utilı́cese el nivel de significación del 0.05.
(0.75 p.)
b) Siendo σ ≤ 0,3 la desviación tı́pica teórica del porcentaje de SiO2 , hallar el tamaño de
la muestra a realizar para que con probabilidad de al menos 0.99, el error máximo en
la estimación del verdadero valor medio sea como máximo 0.1
(0.75 p.)
c) A partir de la muestra de tamaño 16 inicial, ¿existen indicios de que el verdadero valor
de la desviación tı́pica σ no sea 0.3? Utilı́cese el nivel de significación 0.05.
(1 p.)
NOTA.- Se recuerda al alumno que debe incluir las expresiones o fórmulas utilizadas en
los ejercicios y no limitarse a las cantidades numéricas. Ası́mismo, cuando se utilice una
aproximación de una función de distribución de probabilidad a otra, se debe indicar explı́citamente.
2
0.1.
Soluciones
[Ejer. 1] Se supone que el no de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria
que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 0, 5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3 de agua?
X = ”número de bacterias en 1 mm3 de agua” ∼ P o(λ = 0,5), por lo que
P (X = 0) = e−0,5 = 0, 6065
b) Si sabemos que en un tubo hay bacterias ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos
de 3?
(1 p.)
P (X < 3|X ≥ 1) =
P (X = 1) + P (X = 2)
0,37908
P (1 ≤ X < 3)
=
=
= 0,9634
P (X ≥ 1)
1 − P (X = 0)
0,393
c) En 4 tubos de ensayo, de capacidad 1 mm3 cada uno, se toman muestras de ese agua.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos la mitad de los tubos no contengan bacterias?
Y = ”número de tubos sin bacterias de entre 4” ∼ B(n = 4; p = 0,6065), por lo que
P (Y ≥ 2) = 1 − P (Y = 0) − P (Y = 1) = 1 − q 4 − 4pq 3 = 0,8282
d ) Se juntan estos 4 tubos con 6 tubos de ensayo iguales llenos de agua tratada quı́micamente y en la que se han eliminado bacterias, siendo todos los tubos indistinguibles.
¿Cuál es la probabilidad de que un tubo elegido al azar no contenga bacterias?
Si A = suceso “sin bacterias”, T4 = suceso “tubo con agua de estanque” y T6 = suceso
“tubo con agua tratada”, por el teorema de la probabilidad total
P (A) = P (A|T4 ) P (T4 ) + P (A|T6 ) P (T6 ) = 0, 6065 ·
4
6
+1·
= 0, 8426
10
10
[Ejer. 2] Una máquina produce resistencias eléctricas cuyo contenido en cobre es una variable aleatoria con función de densidad





f (x) =




0,25
3<x<5
k(x − 9) 5 ≤ x < 9
0
resto
a) Determinar el valor de k para que f (x) sea función de densidad.
Z 5
Z 9
0,25 dx +
k(x − 9) dx = 1 =⇒ k = −0,5/8
3
5
3
b) Si el calor que se produce al paso de la corriente es una variable aleatoria definida
como Y = cX 2 + 100, determina el valor de c para que PY (Y < 1200) = 0,5.
Ã
!
r
µ
¶
1100
1100
2
PY (cX +100 < 1200) = PX X <
= PX 3 < X <
= 0,5 =⇒ c = 44
c
c
2
c) Una resistencia se considera defectuosa si produce menos de 804 grados o más de 2916.
Sabiendo que es defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que produzca una temperatura
inferior a 804 grados?
Sea A = {Y < 804} ∪ {Y > 2916} =⇒ A = {804 < Y < 2916}
Ãr
!
r
704
2816
23
P (A) = PX
<X<
= P (4 < X < 8) =
44
44
32
P (Y < 804|A) =
P (Y < 804)
FX (4)
8
=
=
P (A)
1 − FX (8) + FX (4)
9
[Ejer. 3] En una determinada ciudad, la cuota anual por familia del impuesto municipal de circulación
sigue una distribución normal con media 100 euros. El porcentaje de familias que pagan
menos de 60 euros es del 15.87 %
a) ¿Qué porcentaje de familias paga una cuota comprendida entre 40 y 80 euros?
µ
P (X ≤ 60) = 0,1587 = Φ
60 − 100
σ
¶
=⇒ σ = 40
P (40 ≤ X ≤ 80) = Φ(−0,5) − Φ(−1,5) = 0,2417
b) En la misma ciudad, la cuota anual por familia del impuesto de recogida de basuras
se distribuye también normalmente con media 100 euros y desviación tı́pica 40 euros.
Si las cuotas de cada impuesto son independientes, ¿qué proporción de familias pagan
una cuota total anual superior a los 160 euros?
√
Si Z = X + Y , Z ∼ N (200; σZ = 40 2 = 56,57)
P (X > 160) = 0,76025
[Ejer. 4] El porcentaje deseado de SiO2 en cierto tipo de cemento aluminoso es de 5.5. Para comprobar si esto es cierto en determinada planta de producción, se realizó un muestreo aleatorio
de tamaño 16 obteniéndose un porcentaje medio de 5.25 y una cuasivarianza muestral de
0.16. Suponiendo que el porcentaje de SiO2 en una muestra se distribuye normalmente, se
pide:
4
a) ¿Indica esto de manera concluyente que el verdadero porcentaje de SiO2 difiere de 5.5?
Utilı́cese el nivel de significación del 0.05.
(1 p.)
Sea X =”porcentaje de SiO2 ”≡ N (µ; σ). Se toma una muestra de n = 16 y que x = 5,25
y Sb2 = 0,16
x
0,4
5,25 ± 2,7874 √ = (5,036855 − 5,463145)
16
b) Siendo σ ≤ 0,3 la desviación tı́pica teórica del porcentaje de SiO2 , ¿hallar el tamaño
de la muestra a realizar para que con probabilidad de al menos 0.99, el error máximo
en la estimación del verdadero valor medio sea como máximo 0.1?
σ
σ2
2
z0,995 √ ≤ 0,1 =⇒ n ≥ z0,995
=
0,12
n
(1 p.)
µ
¶
0,3 2
2,5758
= 60
0,1
c) Con al muestra de tamaño 16 inicial, ¿existen indicios de que el verdadero valor de la
desviación tı́pica σ no es 0.3? Utilı́cese el nivel de significación 0.05.
(1 p.)
2
(n − 1) Sbx
Como la variable aleatoria
∼ χ2n−1 , se tiene al α = 0,05 de nivel de signifiσ2
cación que:
(n − 1) Sbx2
P (a <
< b) = 0,95
σ2
con χ215 (b) = 0,975 y χ215 (a) = 0,025, luego de la tabla de la distribución χ2 obtenemos,
b = 27,48839 y a = 6,262138. El intervalo corresponde a:
6,262138 <
15 · 0,16
< 27,48839
σ2
5
0, 295 < σ < 0, 619