Análisis del tiempo muerto de un detector Geiger-Müller

IE
EN IN V 2005
Encuentro de Investigación en Ingenierı́a Eléctrica
Zacatecas, Zac, Marzo 17—18, 2005
Análisis del tiempo muerto de un detector
Geiger-Müller
Alejandro Chacón Ruiz,
Areli Arcos Pichardo,
Salvador Rodriguez Neri,
Araceli Pinedo Solı́s,
Paulina Amador Valenzuela,
y
Héctor René Vega Carrillo
Centro de estudios,
Unidad Académica de Estudios Nucleares, UAZ, ZACATECAS ZAC-98000.
Tel: +(492)9239407, ext 169,
correo-e:[email protected], [email protected], [email protected]
Resumen – Se derivaron expresiones para determinar el tiempo muerto de un detector Geiger-Müller utilizando el método de la fuente dividida. Con estas expresiones se
midió el tiempo muerto de un detector Geiger-Müller y se comparó con el resultado
obtenido con un osciloscopio. El detector gaseoso se caracteriza por su voltaje de operación y el tiempo muerto, que es el intervalo mı́nimo necesario que requiere para
procesar dos eventos consecutivos. Para el caso de los detectores Geiger-Müller existen
tres métodos para determinar el tiempo muerto: el método de la fuente dividida, el de
las fuentes múltiples y utilizando un osciloscopio. Para el caso de la fuente dividida en
la literatura se señalan varias expresiones para calcular el tiempo muerto a partir de
las tasas de conteo de un par de fuentes pero para ninguna de éstas se señala el error
debido a la propagación de incertidumbres. A partir de la ecuación fundamental hemos
derivado varias expresiones para calcular el tiempo muerto y para cada una se derivó una
expresión para la propagación de las incertidumbres.
AbstractMathematical expresions have been obtained to calculate de dead time using
the count rates obtained with the split source method. The dead time of a GeigerMueller detector was also obtained using the osciloscope procedure. The dead time
Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller
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is the minimum time interval required by a detector, with gas as detection medium,
to process two consecutive events. For Geiger-Mueller there are three methods, the
osciloscope, the split source and the multiple sources. In the literature there are several
expressions proposed to calculate the dead time, none of these is provided with the
function to estimate the uncertainty. From the basics several expressions for dead time
were derived, for each an expression to estimate the error was also obtained.
Palabras Clave – Tiempo Muerto, Geiger Müeller, Incertidumbre.
I. INTRODUCCIÓN
E
L tiempo muerto de un sistema de conteo esta definido como el tiempo mı́nimo que
transcurre cuando se leen partı́culas adyacentes y son reconocidas con dos pulsos por
separado,(Das and Akaho 2003, Tsoulfanidis 1983). En un detector exista la posibilidad de
que un evento verdadero sea perdido por la ocurrencia rápida de dos eventos consecutivos,
este tiempo muerto en algunos casos esta asociado al proceso de detección y en otros casos a
los componentes electrónicos (Knoll 2000), estas pérdidas pueden ser importantes para altas
tasas de conteo por lo tanto es necesario incluir una corrección en las tasas de conteo medidas.
Debido a esto, algunos trabajos han sido desarrollados para proponer modelos que combinan
el modelo paralizable y el no paralizable, (Lee and Gardner 2000) otros, se enfocan a definir
procesos experimentales alternativos (Vega-Carrillo 1989, Gardner and Liu 1997). En este
estudio se realizó un análisis del tiempo muerto en función de la ecuación fundamental con
soluciones aproximadas y exactas y se comparó con el obtenido con un osciloscopio. Para las
expresiones derivadas se obtuvo la ecuación correspondiente de la incertidumbre asociada
II. MATERIALES Y MÉTODOS
A partir de la ecuación fundamental del modelo no paralizable se analizó el tiempo muerto
y se derivaron las expresiones haciendo algunas simplificaciones utilizando el método de la
fuente dividida, se midió el tiempo muerto de un sistema de detección y se comparó con el
obtenido con un osciloscopio.
A. Derivación de las expresiones
Al medir una fuente radiactiva que produce (R) cuentas por segundo, el sistema de medición
detecta (C) cuentas por segundo, la diferencia entre éstas es directamente proporcional al
tiempo muerto, a mayor tiempo muerto mayor la diferencia. En un sistema de detección con
un detector gaseoso, como el Geiger-Müller (GM) el tiempo muerto se debe preferentemente
al contador GM. El método de la fuente dividida que se presenta esquemáticamente en la
figura 1, consiste en tener 2 fuentes que juntas producen (R12 ) cuentas por segundo y por
separado cada fuente produce tasas de conteo de R1 y R2 tomando en cuenta el fondo, la
relación entre las tasas netas es:
(R1 − B) + (R2 − B) = (R12 − B)
La ecuación anterior se reduce a,
R1 + R2 = R12 + B
(1)
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Encuentro de Investigación en IE, 17–18 Marzo, 2005
Figura 1. Se muestra un esquema del método de la fuente dividida
Sin embargo el detector y la electrónica tienen una limitante en procesar los eventos que se
caracterizan con el tiempo muerto τ . Ası́ cuando se realizan mediciones en realidad obtenemos
tasas de conteo medidas (C) que son inferiores a las tasas reales, esto es,
C1 + C2 = C12 + B
(2)
Donde C1 < R1 , C2 < R2 y C12 < R12 . Adoptando el modelo no paralizable , la relación
entre C y R es
C
R=
(3)
1 − τC
Ası́, sustituyendo la ecuación (3) en la (2) se obtiene,
C2
C12
B
C1
+
=
+
1 − τ C1 1 − τ C2
1 − τ C12 1 − τ B
(4)
Resolviendo la ecuación (4) para τ se obtiene una expresión que contiene a C1 , C2 , C12 y B
com variables. La ecuación (4) se puede resolver en forma exacta y haciendo algunas aproximaciones.
A.1 Solución exacta
.
Resolviendo la ecuación (4) en forma exacta se obtiene :
τ=
donde
q
F1 =
q
F2 =
C1 C2 − C12 B + F1 F2
F3
(5)
C12 − C1 B − C1 C12 + C12 B
(6)
C22 − C2 B − C2 C12 + C12 B
(7)
F3 = C1 C2 C12 − C1 C12 B + C1 C2 B − C2 C12 B
(8)
La incertidumbre asociada de la ecuación (4), se determina utilizando la Ley de propagación
de incertidumbre (Vega Carrillo 2004),
Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller
·
στ2
·
¸
27
¸
∂τ 2 2
∂τ 2 2
=
σC1 +
σC2
∂C1
∂C2
·
¸
·
¸
∂τ 2 2
∂τ 2 2
+
σC12 +
σB
∂C12
∂B
(9)
si definimos F4 como:
F4 = (C1 C2 − C12 B + F1 F2 )
la incertidumbre asociada de la ecuación (5) es,


στ2 = 

2
F
2C2 +2(C1 −C12 −B) F2
1
2F3
B+C2 B)F4
− (C12 C2 −C12
F2
 2
 σ
 c1
3

F
2C1 +(−C12 +2C2 −B) F1

2
2F3
+

12 B)F4
− (C1 C12 +C1FB−C
2
2
 2
 σ
 c2
3

F
F
−2B+(−C2 +B) F1 +(−C1 +B) F2
2
2F3

+

1
1 B−C2 B)F4
− (C1 C2 −C2F
2
2
 2
 σ
 c12
3

F
F
−2C12 +(C12 −C2 ) F1 +(−C1 +C12 ) F2
2
2F3

+

− (−C1 C12 +C1FC22 −C12 C2 )F4
3
1
2
 2
 σ
 B
(10)
Las ecuaciones (5) y (10) nos permiten obtener τ y στ2 a partir de la solución exacta del
modelo no paralizable.
A.2 Aproximación eliminando los valores de τ con potencias superiores
Escribiendo la ecuación (4) como,
C1 (1−τ C2 )(1−τ C12 )(1−τ B)
(1−τ C1 )(1−τ C2 )(1−τ C12 )(1−τ B)
C2 (1−τ C1 )(1−τ C12 )(1−τ B)
+ (1−τ
C1 )(1−τ C2 )(1−τ C12 )(1−τ B)
C12 (1−τ C1 )(1−τ C2 )(1−τ B)
+ (1−τ
C1 )(1−τ C2 )(1−τ C12 )(1−τ B)
B(1−τ C1 )(1−τ C2 )(1−τ C12 )
+ (1−τ
C1 )(1−τ C2 )(1−τ C12 )(1−τ B) = 0
(11)
Como τ es muy pequeña, τ 2 y τ 3 se desprecian y la solución de la ecuación (11) se reduce a,
τ=
−C1 − C2 + C12 + B
−2C1 C2 + 2C12 B
(12)
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por lo tanto:
τ=
C12 + B − (C1 + C2 )
2(C12 B − C1 C2 )
(13)
τ=
C1 + C2 − (C12 + B)
2(C1 C2 − C12 B)
(14)
ó
la incertidumbre asociada de la ecuación (13) es,
"
στ2
(B−C1 +C12 +−C2 )
− C122(BC
2
12 −C1 C2 )
+ 2(BC121−C1 C2 )
=
"
+
"
+
"
+
#2
1 +C12 +−C2 )
− B(B−C
2(BC12 −C1 C2 )2
+ 2(BC121−C1 C2 )
1 +C12 +−C2 )
− B(B−C
2(BC12 −C1 C2 )2
+ 2(BC121−C1 C2 )
2
σB
1
#2
2
σC
1
#2
1 +C12 +−C2 )
− C1 (B−C
2(BC12 −C1 C2 )2
+ 2(BC121−C1 C2 )
2
σC
12
#2
2
σC
2
(15)
A.3 Solución general sin fondo
Resolviendo la ecuación (4) suponiendo que la tasa de conteo del fondo es pequeña en comparación con las otras tasas de conteo. Bajo esta consideración la ecuación (4) se reduce
a,
C1
C2
C12
+
=
(16)
1 − τ C1 1 − τ C2
1 − τ C12
La solución exacta de la ecuación (16) esta dada por
τ
=
C1 C2
C1 C2 C12
q
−
2 − C C 2C − C 2C C + C 2C 2
C1 C2 C12
1 2 12
1 2 12
1 2
C1 C2 C12
La incertidumbre asociada de la ecuación (17) es:


C2 −
2 C +2C C 2 −C C 2
−2G2 +C12
2
1 2
12 2
2G1
G2
στ2 = 

2
 2
 σ
 C1
1
− C1CC12G−G
2


+

C1 −
2 C +2C C 2 −C C 2
−2G2 +C12
1
2 1
12 2
2G1
G2
1
− C1CC22G−G
2
2
 2
 σ
 C2
(17)
Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller


−
+
−C12 C2 +2G2 −C1 C22
2G1 G2
1
− C1CC122 −G
G2
29
2
 2
 σC12
(18)
q
G1 =
2 C + C 2C 2 − C C C 2
−C12 C12 C2 + C1 C12
2
1 12 2
1 2
G2 = C1 C12 C2
(19)
(20)
La primer aproximación de solución general sin fondo.
Una aproximación es eliminando τ 2 y τ 3 , desarrollando la ecuación se obtiene
C1 (1 − τ C2 ) + C2 (1 − τ C1 )
C12
=
(1 − τ C1 ) (1 − τ C2 )
1 − τ C12
C1 − τ C1 C2 + C2 − τ C1 C2
C12
=
2
1 − τ C2 − τ C1 + τ C1 C2
1 − τ C12
(C1 + C2 − 2τ C1 C2 )(1 − τ C12 )
= C12
1 − τ C1 − τ C2 + τ 2 C1 C2
despreciando τ 2
C1 + C2 − 2τ C1 C2 − τ C1 C12 − τ C2 C12
= C12
1 − τ C1 − τ C2
C1 + C2 − 2τ C1 C2 − τ C1 C12 − τ C2 C12
−C12 (1 − τ C1 − τ C2 ) = 0
C1 + C2 − 2τ C1 C2 − τ C1 C12 − τ C2 C12
−C12 + τ C1 C12 + τ C2 C12 = 0
C1 + C2 − C12 − 2τ C1 C2 = 0
por lo tanto el tiempo muerto es,
τ=
C1 + C2 − C12
2C1 C2
(21)
La incertidumbre asociada a la ecuación (21) es,
·
στ2
=
1
C1 − C12 + C2
−
2C1 C2
2C12 C2
·
¸2
1
C1 − C12 + C2
+
−
2C1 C2
2C1 C22
·
+
1
4C12 C22
¸2
2
σC
12
2
σC
1
¸2
2
σC
2
(22)
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Segunda aproximación de la solución general sin fondo usando series.
Otra posible aproximación de la ecuación (16) está basada, en un desarrollo por series
1
' 1 + x − .....
1−x
C1 (1 + τ C1 ) + C2 (1 + τ C2 ) − C12 (1 + τ C12 ) = 0
2
C1 + τ C12 + C2 + τ C22 − C12 − τ C12
=0
2
τ (C12 + C22 − C12
) = −C1 − C2 + C12
Esto da como resultado,
τ=
C12 − (C1 + C2 )
2
C12 + C22 − C12
(23)
cuya incertidumbre asociada es:

στ2
=

+
2
1 (−C1 +C12 −C2 )
− 2C(C
2 −C 2 +C 2 )2
1
− C 2 −C12
12
 σ2
C1
2
2
12 +C2
1
1 +C12 −C2 )C2
− 2C1 (−C
(C 2 −C 2 +C 2 )
1
− C 2 −C12

+
1
12
2
2
12 +C2
2C12 (−C1 +C12 −C2 )
2 +C 2 )2
(C12 −C12
2
1
+ C 2 −C 2 +C 2
1
12
2
(24)
2
 σ2
C2
(25)
2
 σ2
C12
(26)
B. Procedimiento experimental
Para probar las expresiones derivadas se midió, con el método de la fuente dividida, el tiempo
muerto de un GM para lo cual se utilizó una fuente circular de Óxido de Uranio natural U2 O8 ,
dividida en dos piezas. La fuente se colocó en la posición más próxima a un detector GeigerMüller. Los tiempos de acumulación de las cuentas se controló con un cronómetro. El tiempo
muerto se determinó utilizando el método de la fuente dividida de la siguiente forma:
El disco completo se definió como C1 + C2 = C12 (figura 1) y se obtuvo la tasa de conteo.
El semi-disco izquierdo se definió como C1 y se obtuvo la tasa de conteo.
El semi-disco derecho se definió como C2 y se obtuvo la tasa de conteo.
Se registra la medición del fondo y se definió como B, se obtuvo la tasa de conteo.
Cada fuente se midió 10 veces, cada medición se hizo por 20 segundos para C1 , C2 , C12 . Del
cada conjunto de mediciones se obtuvo el promedio y la desviación estándard. La contribución
de la radiación de fondo se obtuvo midiendo en 20 ocasiones, cada una por 20 segundos de este
conjunto también se calculo el promedio y la desviación estándard, estos valores se utilizaron
para hacer las correcciones de las tasas de conteo de las fuentes. Para obtener el tiempo
muerto con el osciloscopio se utilizó una fuente gamma de 137 Cs con una actividad de 726 ±
200 MBq. Para el método del oscilocopio se utilizó un Osciloscopio Tektronix TDS3034B, a
300 Mhz, Phosphor Digital Oscilloscope, con éste se observaron los pulsos del GM mientras
la fuente de 137 Cs se aproximó al detector.
Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller
31
Figura 2. Disco de Oxido de Uranio natural U2 O8 , Fuente dividida.
III. RESULTADOS
La medición de fondo y de las fuentes de oxido de uranio da como resultado la tabla 1. En
la tabla 2 tenemos los datos del tiempo muerto exacto y aproximado de forma teórica y
el observado en el osciloscopio, estos valores son mayores a los reportados para detectores
semiconductores (Das and Akaho 2003), debido al proceso fı́sico de la detección de los detectores gaseosos cuyo tiempo muerto varı́a de las decenas de microseg, hasta las centenas
de mseg.(Knoll 2000) Los valores obtenidos con todas las fórmulas y con el osciloscopio no
muestras diferencias estadı́sticamente significativas. Sin embargo en situaciones prácticas es
necesario contar con una expresión simple que nos de resultados correctos. La ecuación de τ1
es la exacta pero el cálculo es algo complicado, la ecuación de τ4 es una expresión confiable,
sencilla y semejante a la ecuación exacta. En la literatura (Cember 1996, Chase and Rabinowitz 1967) se reportan expresiones que tienen diferencias significativas entre los diferentes
autores con respecto al tiempo muerto.
TABLA I
Datos experimentales de la fuente de U2 O8 .
F
σ
X̄
C1 [cps]
1.76
183.36
C2 [cps] C12 [cps]
1.61
2.36
123.64
295.80
C1 ,C2 , C12 y B.
B [cps]
0.03
0.47
IV. CONCLUSIONES
El tiempo muerto y su incertidumbre asociada son necesarias para poder caracterizar el detector y conocer los limites de una detección confiable. Chase y Robinowitz (1967) publican varias
expresiones para calcular el τ usando el método de la fuente dividida. Cember(1996), Tsoulfanidis(1983) y Knoll (2000) recomiendan algunas de estas expresiones, pero en ningún caso
indican la expresión para obtener las incertidumbres. Por lo que las expresiones aquı́ derivadas
se deben utilizar para evaluar este fenómeno. El método del osciloscopio es simple de ejecutar
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TABLA II
Tiempo muerto [mseg]
τ1 ecuación (5)
247.362 ± 77.414
τ2 ecuación (17)
256.767 ± 77.073
τ3 ecuación (13)
238.300 ± 72.990
τ4 ecuación (23)
290.231 ± 98.389
τ5 ecuación (21)
247.016 ± 71.276
τ6 osciloscopio
400.000 ± 100.000
Exactos, aproximados y con osciloscopio.
Figura 3. Tiempo muerto observado en el osciloscopio
pero implica la necesidad de contar con un instrumento con ciertas caracterı́sticas, además
que este tiene poca precisión y exactitud. De las fórmulas derivadas encontramos que la
ecuación (21) es muy simple y su resultado es prácticamente igual que la ecuación (5) por lo
cual se recomienda usar la expresión simple.
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
Chase, G.D. and Rabinowitz, J.L., Principles of Radioisotope Methodology, Burgess, Minneapolis, Minn.,
(Third edition, 1967).
Das H.A. and Akaho, E.K.H., ”Dead Time based correction for the combined electronic losses in INAA
based on short-lived radionuclides”, J. Trace Microprobe Tech., 21(4), 601-607, 2003.
Knoll, G.F., Radiation Detection and Measurements, John Wiley and Sons. New York, 2000.
Robin, P.G. and Lianyan, L., ”On extending the accurate and useful counting rate range of GM counter
detector systems”, Applied Radiation and Isotopes, 48, 10-12, 1997.
Sang, H.L. and Robin, P.G., ”A new G-M counter dead time model”, Applied Radiation and Isotopes,
53, 731-737, 2000.
Tsoulfanidis, N., Measurement and Detection of Radiations, Hemisphere Publishing Corporation, New
York, 1983.
Vega-Carrillo, H.R., ”Método para medir el Tiempo Muerto”, Revista de la Sociedad Quı́mica de México,
33(3), 122-124, 1989.
Vega-Carrillo, H.R., [cd-rom]. Hipertexto del Laboratorio de Mediciones Nucleares, Universidad Autónoma de Zacatecas, 2004.