Teorema 1. Condición necesaria y suficiente de

Teorema 1. Condición necesaria y suficiente de convergencia de integrales impropias de funciones positivas. Si f ≥ 0 en D, y si existe una sucesión de conjuntos en Dn , tal que
Z Z
lı́m
f dxdy = L
n→∞
Dn
entonces
Z Z
f
dxdy
D
es convergente a L
Demostración. Basta probar que para subconjuntos Dn y D̃n de D se cumple L = L̃ donde
Z Z
L = lı́m In
In =
f dxdy
n→∞
Dn
L̃ = lı́m I˜n
I˜n =
n→∞
Z Z
f
dxdy
D˜n
Dado D̃n ⊂ D compacto y como Dn es una sucesión de conjuntos en D, entonces ∃ algún N
(natural) tal que D̃n ⊂ Dn ∀n > N ∴ podemos escribir
Dn = D̃n
[
H = Dn − D̃n
H
∴
Z Z
Z Z
f
Dn
dxdy =
Z Z
f
f
dxdy
H
siendo f ≥ 0 sobre H se tiene que
Z Z
Z Z
f dxdy = I˜n
f dxdy ≥
In =
∀n > N ⇒ L̃ = lı́m I˜n ≤ L
n→∞
D˜n
Dn
dxdy +
D˜n
∴
L̃ ≤ L
Intercambiando Dn con D̃n resulta que L ≤ L̃ ∴ L = L̃
Ejemplo.-Evaluar
RR
D
√1 dA
xy
donde D = [0, 1] × [0, 1]
Para ello definimos Dn = [ n1 , 1] × [ n1 , 1] y calculamos la integral
Z Z
Z 1Z 1
Z 1 √ Z 1
2 xy 1
1
1
2
1
√ − √ √ dx
1 dx = lı́m
√ dA = lı́m
√ dydx = lı́m
n→∞ 1
n→∞ 1
n→∞ 1
n
1
xy
xy
x
x
x n
D
n
n
n
n
√
√
2 x 1
2
4
2
= lı́m 4 x − √ 1 = lı́m 4 − √ − √ − = 4
n→∞
n→∞
n
n
n
n n
1
Integrales Impropias sobre regiones no acotadas
Ahora consideramos las integrales dobles impropias cuando la región de integración no está acotada.
Ejemplo:
Z Z
Evaluar la integral doble impropia
R
y
dA donde R es el conjunto
(1 + y 2 )2
{(x, y)|0 ≤ x ≤ ∞, x ≤ y ≤ ∞}
m
Z m
y
−1 lı́m
dydx = lı́m
lı́m
Sol. lı́m
dx =
m→∞ 0 n→∞ 2(i + y 2 ) m→∞ o n→∞ x (1 + y 2 )2
0
Z m
Z m
m
1
1
−1
1
+
dx
=
lı́m
arctan
x
lı́m
lı́m
dx
=
lı́m
=
2
2
m→∞
m→∞ 0 n→∞ 2(1 + n2 )
m→∞
2(1 + x )
2(x + 1)
2
0
0
1
1 π π
lı́m arctan m − arctan 0 =
=
2 m→∞
4
R R 2 21
Consideremos la Integral
dxdy
donde R = [0, ∞) × [0, ∞) y vamos a comprobar
2
2
5
R (x +y ) +1
Z
m
Z
n
que es convergente.
!
Z n Z n
Z Z
Z πZ n
2
1
1
r
dxdy = lı́m
dxdy |{z}
= lı́m
drdθ
2
2
5
2
2
5
10
n→∞
n→∞
R (x + y ) + 1
0
0 (x + y ) + 1
0
0 r +1
P olares
Z
= lı́m
n→∞
π
2
Z
dθ
0
0
n
r
dr
10
r +1
!
Z n
Z n
π
r
π
r
= lı́m
dr = lı́m
dr
n→∞
2 0 r10 + 1
2 n→∞ 0 r10 + 1
Esta última integral la vamos a separar de la siguiente manera
Z ∞
Z 1
Z ∞
r
r
r
dr =
dr +
dr
10
10
10
r +1
r +1
0
0 r +1
1
2
Para la integral roja definimos f (r) =
r
r10 +1
la cual esta definida para todo r ∈ [0, 1] y tenemos
que el valor mı́nimo que alcanza f en [0,1] es 0 y para ver el valor máximo de f en [0,1] vamos
a derivar
f (r) =
1 − 9r10
1
r
1
0
0
⇒
f
(x)
=
∴
f
(
⇒
f
(x)
=
0
⇔
r
=
1
1 ) ≈ ·7
r10 + 1
(r10 + 1)2
9 10
9 10
De esta manera tenemos que
r
≤ ·7 ⇒ 0 ≤
0 ≤ 10
r +1
Z
0
1
r10
r
dr ≤ ·7
+1
Por tanto el valor de la integral existe.
Para la integral azul tenemos que
Z n
Z ∞
Z ∞
Z ∞
r
1
r
1
−1
1
dr ≤
dr
dr = lı́m
dr = lı́m 8 |n1 =
10
10
9
9
n→∞ 8r
n→∞
r +1
r
r
8
1
1 r
1
1
RR
1
∴ la integral
dxdy converge
R (x2 +y 2 )5 +1
Teorema 2. Criterio de comparación para integrales múltiples de integrando positivo
0 ≤ f (x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y) ∈ D
Z Z
Z Z
g(x, y)dxdy converge ⇒
f (x, y)dxdy converge
Si
D
Demostración. Si In =
D
RR
Dn
f (x, y)dxdy es una sucesión de números reales entonces es con-
vergente si y solo si es de cauchy, es decir hay que probar que
Dado > 0 ∃ N
tal
que m, n ≥ N ⇒ |Im − In | < Por hipótesis g es convergente entonces la sucesión Jn =
Dado > 0 ∃ N
tal
RR
Dn
g(x, y)dxdy es de cauchy ∴
que m, n ≥ N ⇒ |Jm − Jn | < siendo m ≥ n se cumple Dm ⊃ Dn entonces para cualquier función h (f ó g) se tiene
Z Z
Z Z
Z Z
h(x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy
Dm
Dn
h=Dm−Dm
3
∴
Z Z
Z Z
Z Z
h(x, y)dxdy −
h(x, y)dxdy =
Dm
h(x, y)dxdy
Dn
h=Dm−Dm
Como f ≤ g se tiene que
Z Z
Z Z
Im − In =
f (x, y)dxdy −
Dm
Z Z
Z Z
h=Dm−Dm
Z Z
Z Z
g(x, y)dxdy −
g(x, y)dxdy =
h=Dm−Dm
f (x, y)dxdy ≤
f (x, y)dxdy =
Dn
g(x, y)dxdy = Jm − Jn < Dm
Dn
como h ≥ 0 |Im − In | = Im − In y |Jm − Jn | = Jm − In ∴ |Im − In | ≤ |Jm − Jn | < por lo tanto
In es una sucesión de cauchy ∴ In es convergente
Analogamente se demuetra que
Si 0 ≤ f (x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y) ∈ D
Z Z
Z Z
g(x, y)dxdy diverge
f (x, y)dxdy diverge ⇒
D
D
Aplicando el criterio de comparación comprobar si la integral
R R y−x
en
D (x+y+1)((x2 +y 2 )5 +1) D = [0, ∞) × [0, ∞) converge.
Tenemos que
|y − x|
y
−
x
|y| + |x|
(x + y + 1)((x2 + y 2 )5 + 1) ≤ |x + y + 1||(x2 + y 2 )5 + 1| ≤ |x + y + 1||(x2 + y 2 )5 + 1|
≤
∴
Z
0
∞
Z
0
∞
1
(x2 + y 2 )5 + 1
Z
y
−
x
(x + y + 1)((x2 + y 2 )5 + 1) ≤
0
∞
Z
0
∞
((x2
esta última es convergente ∴ la integral pedida es convergente.
4
1
dxdy
+ y 2 )5 + 1)