Documento de apoyo 3° medio

Liceo Marta Donoso Espejo
Profesor: Mauricio Marín
Documento de apoyo 3° medio
Profesor: Mauricio Marín
Tema: Raíces y sus propiedades
Concepto de raíz
Es la obtención de un numero, que ha sido multiplicado “n veces” por si mismo.bajo el
operador raíz ( n m = b)
En donde
n: índice radical, o índice de la raiz, que indica las veces que ha sido multiplicado
cierto numero.
m: subradical o radicando, indica el producto de aquella multiplicación de cierto
número.
b: es la raíz (raíz aritmética) o el numero buscado, que ha sido multiplicado “n veces
por si mismo”
Se llama raíz (o raíz aritmética) de un número m de índice n y se escribe
número que cumple:
( m)
n
n
n
m , a un
=m
Propiedad de las raíces
•
Si m > 0: n m existe cualquiera que sea n
Cuando m > 0, n m es un número positivo (y es único)
•
Si m < 0: sólo existe la raíz
n
m cuando el índice n es impar.
Cuando el índice n es impar, y m < 0:
n
m es negativo (y es único).
Véase el siguiente ejemplo:
a)
b)
16 = 4 , el índice radical es 2, que no se escribe por conveniencia y se lee raíz
cuadrada de 16(radicando), la pregunta fue ¿Qué numero multiplicado por si mismo
da como resultado 16?. Resp: 4
8 = 2 , el índice radical es 3, y se lee raíz cúbica de 8(radicando), la pregunta fue
¿Qué numero multiplicado tres veces por si mismo da como resultado 8?. Resp: 2
3
Ejercicios resueltos
1)
25 = 2
2)
225 = 15
3) 3 − 27 = −3
4)
5
32 = 2
5)
3
2
8
=
27 3
Liceo Marta Donoso Espejo
Profesor: Mauricio Marín
Resuelva aplicando el concepto de raíz.
4
=
9
1)
5)
4
1
81
49
•
•
=
9
4
36
2)
3x 4
=
16
6)
3
⎛ 1
1⎞
4
⎟÷
−
=
9) ⎜⎜
⎟
9⎠
9
⎝ 4
0,25 + 0,125 =
3
3)
− 0,027 =
10)
[Recuerde que
7)
( a ) = ( a )= a ]
n
n
4)
400
=
289
8)
4
n
n
⎛ x3 ⎞
⎟=
16 • ⎜ 3
⎜ 7 ⎟
⎠
⎝
16
25
1
−3
+
=
81
9
9
25
16
1
+8
−
=
4
8
36
PROPIEDADES DE LAS RAICES
Ejemplos:
3
1)
0 =0
0 =0
(n: índice, distinto de cero)
0 =0
n
Propiedad 1: Raíz de radicando cero
2)
7
Propiedad 2: Raíz de la unidad
Ejemplos: 1) 5 1 = 1
1 =1
2) 1 = 1
n
8
n
a • n b = n ab
7
4 •7 2 = 7 8
Propiedad 3: Producto de raíces de igual índice
Ejemplos:
1)
4
3 • 4 5 = 4 15
2)
Propiedad 4: División de raíces de igual índice
Ejemplos:
8
1)
2
=
8
= 4=2
2
Propiedad 5: Raíz de una Raíz
Ejemplos:
1)
3 4
m = 12 m
n
2)
n
a7
n
a3
n m
2)
a
=
b
n
a
n
b
=n
a 7 n 7 −3 n 4
= a
= a
a3
a = nm a
3 4 7
3 x = 84 3 x
Propiedad 6: Raíces de la forma a n b
an b = n a n • b
Ejemplos: 1) 23 2 = 3 2 3 • 2 = 3 2 4 = 3 16
2) x 5 4 = 5 4 x 5
Liceo Marta Donoso Espejo
Profesor: Mauricio Marín
Ejercicios propuestos
Aplicando propiedades de raíces resuelva.
I) Multiplique las siguientes raíces.
3• 5• 2 =
1)
(
ax
a x −3
•2
=
2
5
5) 3
(
8) 3 2 + 5
)
2
)
2 1+ 7 =
2)
3)
4 •3 2 =
3
6) 5 x y • 3 y 2 x =
=
7) 1 + 3 • 1 + 3 =
1
1− x
•
=
1− x
9
9)
2a
3
•
=
3
2a
4)
10)
5⎛
5⎞
⎜ 2+
⎟=
2 ⎜⎝
3 ⎟⎠
II) Divida las siguientes raíces.
32
1)
=
2
3 20
5)
a 2 x −1
2)
=
a x−2
3) 5a 2 50 ÷ 3a 2 =
−2 2• 8 =
5
6)
)
(
8) 253 x 2 − 103 x 4 ÷ 53 x =
a 3x
a x −1
8 + 18
4)
2
(
=
)
7) 2 18 − 4 8 ÷ 2 2 =
=
9) 5a 2 50 ÷ 3a 2 = 10) 3a 2 3 a 5 x ÷ a 2 3 a 2 x =
III) Calcule la raíz de la raíz.
3
1)
6)
n
4 =
3
a =
2 2 =
2)
7)
3
7
3)
5 =
3
a a a =
5 =
4)
8) 3 2 4 x =
9)
1 2 3
=
2 3 5
2 6 x =
5)
10) ax x x 3 =
IV) Introduce el coeficiente en una sola raíz.
1) 2 5 =
6) m
3
x =
4
2) 23 3 =
7) q
4
3) 2 x 2 5 =
m =
2
1 2
8) 4 3 =
2 x
4)
x 2x
=
2 7
m3
9)
2
4
1
=
m
5) −
10)
p2
q
⎛x⎞
⎜ ⎟
⎝a⎠
2p
=
3q
2
3
a
=
x
Liceo Marta Donoso Espejo
Profesor: Mauricio Marín
V) Descomponer las siguientes raíces y calcular su resultado.
1)
2 + 18 =
2)
4) 3 2 + 8 =
2 − 50 + 3 2 =
80 − 27 + 20 − 12 =
3)
5) 3 12a − 2 27 a + 75a =
28 − 18 + 50 − 63 =
6)
8) 2 3 − 3 27 + 75 ) =
7) 18 − 2 5 + 50 − 20 =
VI) Aplique sus conocimientos generales en el tema de fracciones.
3 1 1
1 1
1) ⎛⎜ + − ⎞⎟ • ⎛⎜ − ⎞⎟ =
⎝ 5 4 3⎠ ⎝ 2
⎛
⎞
⎜ 5 ⎟ 2
4) ⎜ ⎟ ÷ =
⎜ 41 ⎟ 5
⎜
⎟
⎝ 3⎠
8⎠
5)
1
5
5
2) ⎛⎜ ⎞⎟ • ⎛⎜ ⎞⎟ + =
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
2 1 3
+ − =
5 8 2
6)
4
9 8
− +
7 5
1 23 =
3)
5 ⎛1 5⎞ 3
+⎜ • ⎟÷ =
2 ⎝2 4⎠ 4
1 2 1
7) 3 • ⎛⎜ + ⎞⎟ =
2 ⎝5
7⎠