MATEMATICAS TALLERES Unidad 2dos

Matemáticas
UNIDAD 2
Presentado por: Britton
Grado 5to.2013
Potenciación
La potenciación es la operación que permite hallar el producto de factores iguales.
Sus elementos son la base, el exponente y la potencia
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y
exponente n. Se escribe en y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n»
y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales,
como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la
potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo
totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número
natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un
número entero o cero.
Resuelve así:
Paso 1
Plantea la potencia indicada
Como el ancho, el largo y la altura del cubo tiene 4 cubitos cubitos debes multiplicar 3
veces a 4. Entonces, la base es 4 y el exponente es 3.
3 veces
4X4X4: 43: exponente
Base
Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:
X1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos
de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos
atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de
números.
Paso 2
Resuelve la multiplicación
4x4x4: 64
Escribe en forma de potencia.
43 = 64
POTENCIA
El cubo de rubio tiene 64 cubitos
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es
decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a
la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es
con respecto a la suma ni a la resta.
Actividad
2:2x2x2:23
9x9x9x9x9x9: 96
4x4x4x4x4: 45
7x7x7x7x7: 75
5x5: 52
3x3x3x3x3x3x3: 37
En la bola de bolo hay los siguientes números que son:
16, 625, 343, 81, 64,32.
Responde:
42:16
54:625
73:343
82:64
25:32
82:16
92:81
3-completa la tabla
producto
base
exponente
Potencia
indicada
Valor de
potencia
4x4
4
2
42
16
la
3x3x3x3
3
4
34
2x2x2x2x2
2
5
25
32
Lee la información luego resuelve.
El cuadrado de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo.
72: 7x7: 49
Se lee: 7 al cuadrado es igual al 49.
152:15x15: 225
62: 6x6:
36
182 18x18: 324
102 10x10: 100
6-lee el problema y resuelve
Joaquín compro un lote de forma cuadrada que mide 18 metros de lado ¿cuál es el área del
lote?
El área del lote 324 metros cuadrados.
182:324
7-lee la información y resuelve
El cubo de un número es el resultado de multiplicar el número por sí mismo tres veces.
6x6x6: 63: 216
Se leer: 6 al cubo es 216
1x1x1:13: 1
8x8x8: 83:512
9x9x9:93: 729
13x13x13:133: 2197
10- lee la información.
POTENCIAS DE BASE DIEZ
Potencias de base 10
Producto
Número
102
10 x 10
103
10 x10 x 10
10 4
10 x10 x 10 x 10 10000 diez mil.
100 Cien
1000 mil
Relación entre el exponente y la cantidad de ceros en la potencia.
El exponente me indica la cantidad de ceros que hay en la potencia
107: 10x10x10x10x10x10x10
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10: 10.000.000.000
RADICACION
La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por sí
mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.
Así si tenemos un número A y deseamos hallar su raíz B, consistiría en buscar un número C,
que cumpliera la condición de que CxCxCxC......etc. B veces=A; que puesto de otra forma
C^b=A.
Se ve fácilmente que radicar es una operación inversa de la potenciación, donde se da el
total y el exponente y se quiere hallar la base.
Otra operación inversa de la potenciación es la logaritmación, donde dado un total y la base
se desea hallar el exponente.
1-une con una línea cada radicación y raíz con su respectiva justificación.
Radicación
raíz
Justificación
√49
7
Porque 72 es: 49
√9
3
Porque 32 es 9
√256
8
Porque 83 es 256
√4
2
Porque 22 es 4
√625
5
Porque 5””4 es 625
2
4
4
3Potencia Indicada
Potencia
Radicación
23
8
34
81
63
216
3
√216
5
53
125
3
√125
6
105
100.000
√100000
10
3
√8
4
√81
5
4-encuentra cada raíz. Luego enciérrala en la sopa de letras.
4
√16=2
3
√27=3
4
√10000=10
3
√125=5
√212=12
3
√216=6
Raíz
2
3
1-Dos
2-Tres
3- Diez
4-Cinco
5-Doce
6-Seis
5- Lee la información.
Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el
número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un número entero que elevado al cuadrado
sea igual (o lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la
izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el número entero que elevado
al cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer
grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es
5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del
siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el
momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el
número que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el
número que estamos buscando se acerque lo más posible al número que
tenemos como resto. Ese número será el siguiente número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número
que se aproxima más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número
obtenido del que queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto
anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el
número que se aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 47
- A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el
resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una
aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:
ahí = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la
aproximación 2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el
número que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
Completa.
V 16 = 4 se lee raíz cuadrada de 16 es 4 porque 4”” 2: 16.
V 36= 4 se lee raíz cuadrada de 36 es 6 porque 6””2= 36.
V 49=7 se lee raíz cuadrada de 49 es 7 porque 7””2=49.
V 100= 10 se lee raíz cuadrada de 100 es 10 porque 10””2 = 100.
V 81 9 se lee raíz cuadrada de 81 es 9 porque 9””2=81.
V 169= 13 se lee raíz cuadrada de 169 es 13 porque 13””2=169.
fecha y hora 2013-06-29 21:07:47
6- lee la siguiente información. Luego, resuelve
El ajedrez es un antiguo juego originado en la india. Se juega en un tablero
de forma cuadrada con 64 casillas cuadradas de colores negro y blanco,
alternados.
-Encuentra el número de casillas que tiene una fila del tablero del ajedrez
mediante una operación mediante una operación de radicación.
2
V 64= 8
7-lee la información. Luego completa.
Cuando el índice en una radicación es 3, se lee raíz cubica.
3
V 125= 5
Se lee: raíz cubica de 125 es igual a 5.
3
V 343= 7 se lee raíz cuadrada de 343 es 7.
3
V 512= 8 se lee raíz cuadrada de 512 es 8.
3
V 1331=11 se lee raíz cubica de 1331 es 13.
8-lee la información. Luego resuelve.
Las operaciones combinadas se resuelven así:
1º.- Primero se realizan las operaciones incluidas entre paréntesis. Si hay
paréntesis incluidos en otros, se empieza resolviendo los más interiores.
- Para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos
sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra
expresión mediante un signo de multiplicar o dividir. Por esto,
2º.- En segundo lugar se resuelven las potencias y raíces
3º.- A continuación los productos y cocientes y...
4º.- Por último, las sumas y las restas.
Completa.
5””2+ 4- v 9* 3
V8
Desarrollo
5””2+ 4- v 9* 3
V8
25 + 4 – 3 *2
25 + 4 29
6
-
6
24
Desarrollo 2
2- 4* 3””2 – v 4 +2
V 16
2 x 918
16
2 +2
- 2+ 2
+ 2= 18
Desarrollo 3
3- 2””2x 6 +4 + 3
V 27
4
x 6 +4 +
24
3
+4 + 3
28
+ 3= 31
Desarrollo 4
4- 3 + 9””2- 5
V 125
V 243
5 + 81 5+81
3x 25
-
75
86
-
75
11
Desarrollo 5
8””2/2+ V100 III UJU HH
64 / 2 + 1
32 + 10
42
Desarrollo 6
+ 10””3
4-
V 625 V 256
51
4 1000
+
1000
1001
Desarrollo 7
6””2 x5- 3 x 2””3
V 729
36 x5
180
9x 8
-
72
108
Desarrollo 8
4 + 10”2+ 100x 1000
V 10000 + 10””2+ 100x1000
10
100
110
100.000
+ 100.000
100.110
LOGARITMACIÓN
La Logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y
argumento respectivamente, que se define como sigue: (lo hacemos mediante ejemplo para
que puedas entenderlo)
log 2 8 = 3
pues 23 = 8
log 4 16 = 2
pues 42 = 16
log 6 1 =
0
pues 60 = 1
log 16 ¼ = -1/2
pues 16-1/2 = ¼
Actividad
1-Une cada logaritmo con su respectiva lectura.
Logaritmación
Respectiva Justificación
Log 64= 3
Logaritmo en base 4 de 64 es 3
4
Log 16= 4
Logaritmo en base 2 de 16 es 4.
2
Log 64=2
Logaritmo en base 8 de 64 es 2
8
Log 16= 2
Logaritmo en base 4 de 16 es 2.
4
Pinta del mismo color las operaciones de potenciación, radicación y logaritmación que se
relacionen.
2- 5””3:125 b- 10””4: 10000 C- 9”3: 729 D- 4”2=16
Primer fila: 3
V 729=9
Segunda fila: log16=2 B- V16= 4
4
Terceras fila: log 10.000=4 B- log 729= 3 C- 3
10
9
V 125=5.
Cuarta fila: log 125=3 B-4
5
V 10.000=10
3-lee la información. Luego completa.
Logaritmo en base 10 o logaritmo decimal
En los logaritmos decimales no es necesario especificar la base.
Log 10 = 1
101 = 10
Log 1000 = 3
103 = 1000
Log (1/10 000) = −4 10−4 = 1/10 000
Log 1.000= 3 porque 10”3 = 1000
Log 10.000 = 4 porque 10”4= 10.000
Log 100.000= 5 porque 10”5= 100.000
log 10.000= 6 porque 10”6= 1000.000
Completa cada logaritmo y encontraras la cantidad de años que tarda
cada elemento en degradarse.
4-
Log 100 = 2-
100 años
Log 1000= 3
1000 anos
6-resuelve cada logaritmo. Luego completa el enunciado.
L log 10.000
log 2 128
Z log 6 216
E log 5 25
F log 6 216
V log 3 729
V
I
V
E
F
I
L
Z
6
7
6
2
1
2
4
7
3
ECUACIÓN
Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas
que intervienen: 2x = 4
Sólo para x = 2x
2
=4
Sólo para x = 2 y para x = - 2y = 2x
Sólo cuando y sea doble que el valor de x.
INECUACIÓN
Es una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinitode de valores de la
incógnita o incógnitas que intervienen < 2
(- o, 2) x ≥ - 4
[- 4, + o)|x| < 3
(- 3, 3)
Actividad
1-Escribe una desigualdad para cada situación.
Andrés tiene 15 años y yo tengo 12 años.
DESIGUALDAD: 15 Es mayor que 12
Yo tomo 2 litros diarios de agua y mama toma tres litros.
Yo tengo ahorrados $100.000 y mi hermana$101.000
DESIGUALDAD: $ 100.000 es menor que 101.000.
Yo recorreré 115 kilómetros y mi papa solo 78 kilómetros.
DESIGUALDAD: 115 es mayor que 78.
2- marca con una X si la desigualdad es correcta.
X 3 menor 5+2
X 3*6 menor 7*4
X5+4 menor 2+6
X10 +7 mayor 8+8
3-escribe el número adecuado en el cuadro para que se cumpla la Desigualdad.
9> 7
11< 12
15 > 10+1
4 <3
20> 15
4- lee la información.
10 > 6+3
3<10/2
30 > 3*9
35<5*8
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan
por uno de estos signos:
<
≤
>
≥
menor que
menor o igual que
mayor que
mayor o igual que
2x − 1 < 7
2x − 1 ≤ 7
2x − 1 > 7
2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
Para expresar algunos enunciados en forma de inecuaciones se utilizan letras.
Ejemplo 1:
La expresión:
Colombia tiene más de 10 puentes festivos durante el año, se puede escribir así:
P > 10
Número de puentes festivos
Ejemplo 2:
La expresión:
Tatiana tiene menos de 8 años, se escribe así:
T < 8 Edad máxima
Edad que tiene Tatiana
Encierra la inecuación que corresponde a cada enunciado.
La temperatura fue
Menor que 10.
R-T< 10
Jaime tiene más
De 12 años.
J > 12
Las galletas cuestan
Menos de $1000.
G< 1000
Este mes trabajo más de 30 días.
T > 30
Estadística
La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e
interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para
ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o
irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma
aleatoria o condicional. Sin embargo, la estadística es más que eso, es
decir, es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con
la investigación científica.
Variables estadísticas
. Las variables estadísticas que se trabajan en estadística pueden ser
cualitativas o cuantitativas.
Variables cualitativas
Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada
modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una
clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando
sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas
cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede
tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es
necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve,
moderado, fuerte.

Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos
a un criterio de orden como por ejemplo los colores.
Cuantitativas
Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables
cuantitativas además pueden ser:

Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o
interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas
separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre
los distintos valores específicos que la variable pueda asumir.
Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor
dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa
(2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el
salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato
medidor, en teoría permiten que exista un valor entre dos variables.
Actividad
1- Busca en un diccionario la palabra diccionario la palabra variable.
Luego marca con una x la expresión que más se acerque a la definición
de la palabra variable en estadística.
X magnitud que puede tener un valor cualquiera.
2-marca con x las variables cualitativas
X marca de automóvil favorito.
Número de horas que duerme.
X Días preferidos para ir al cine.
Peso de una persona.
Estatura de unas persona.
X materia preferida.
3-observa la encuesta que realizo Ana María entre sus compañeros de
curso. Luego responde.
Encuesta para crear el diseño
Del escudo del equipo deportivo.
Nombre: Ana María
fecha:
1-¿Cuál de los siguientes logotipos te gusta más para el escudo del
curso?
2-¿Cuantos colores debe llevar el escudo del curso?
1
2
3
x4
3-¿Cuál de los siguientes colores prefieres para el escudo del curso?
Blanco
Rojo
Verde
X Azul
Escribe el nombre de las variables por la que se pregunta en la
encuesta.
1- cualitativa
3- cualitativas
2-cuantitativas
Responde ¿Cuál de las variables es cuantitativa?
Pregunta 2
4-observa el diagrama de barras. Luego completa la tabla.
Tipo de música preferida
numero de estudiantes
16
14
12
10
8
6
4
2
0
rock
pop
reggaeton
reggae
numero de estudiantes
Genero de música preferida
rock
pop
reggaetón
reggae
Número
de estudiantes
10
8
14
12
Responde:
¿De qué tipo es la variable del diagrama de barras?
R- cualitativa
¿Cuántos niños responden la encuesta?
R- 44
¿Cuál genero de música les gusta más a los niños?
R-reggaetón
5- observa la tabla luego construye el diagrama de barras.
Dinero que gasta en las onces de
un día.
Numero
de niños
5
6
5
8
$ 4000
$5000
$6000
$7000
niño que gasta onces en un dia
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
$4.000
numero de ninos
$5.000
Columna1
Columna2
$6.000
$7.000
Marca con una x si la información es correcta teniendo en cuenta los
datos de la tabla.
X hay 5 niños que gastan$4000 a diario para sus onces.
X la variable del estudio es el dinero que emplean los niños en las onces
de un día.
La variable del estudio se clasifica como cualitativa.
X la mayoría de los niños gastan $7000 en sus onces en un día.
6- en clase
Diagrama circular
El gráfico circular es útil para representar proporciones de distintas clases dentro
de una muestra.
La muestra es representada por un círculo y cada una de las clases que la
componen, por un sector de éste.
El ángulo de cada sector mantiene la misma proporción de 360° que la de la clase
representada respecto del tamaño total de la muestra.
A modo de ejemplo, si una clase corresponde al 25% del total de la muestra, le
corresponderá un sector del círculo cuyo ángulo sea de 90°, exactamente el 25%
de 360°.
El gráfico siguiente, representa la respuesta de 1886 alumnos de Cuarto Medio al
preguntárseles por su interés de seguir estudios universitarios.
Los datos corresponden a alumnos que cursaban Cuanto Año Medio en el año
1997 en 7 localidades de la V región (Valparaíso, Viña del Mar, Quilpué, Villa
Alemana, Limache, Quillota, La Calera) y en establecimientos de tipo
Municipalizado, Subvencionado y Particular.
De los 1886 alumnos encuestados, 1768 (93.74%) se interesa por seguir estudios
universitarios. Los restantes 118 (6.26%), no.
Para construir el gráfico circular, debemos calcular el ángulo central del sector
correspondiente a cada respuesta. Para el caso de los 1768 Interesados en
estudios universitarios su proporción respecto de la muestra total (93.74%) nos
permite determinar que su ángulo del centro es 337º 28' 34.1'' y por lo tanto, el
complemento a 360º (22º 31' 25.9'') representa a los No Interesados. Hecho este
cálculo, con un transportador se puede hacer un gráfico equivalente al de la
siguiente figura.
Observa
Ejemplo 1
En el siguiente diagrama circular se observa que la mayoría de los niños prefiere
el futbol.
Preferencias
ventas de 5 A
futbol
baloncesto
La porción más grande corresponde a futbol.
Ejemplo 2:
En el siguiente diagrama circular se observa que la mitad de los niños
prefiere tomar jugo.
Lo siguiente: preferencias por las bebidas de los estudiantes de 5B
preferencias de bebidas 5A
jugo
gaseosa
Las porciones son iguales
1-observa los ejemplos anteriores. Luego, responde.
Si hay 48 estudiantes en 5B, ¿
cuantos ninos prefieren tomar jugo?
R- 24 ninos
Si en 5A hay 7 estudiantes que les gusta el baloncesto
¿Cuantos estudiantes en el curso
R-28 niños
2-une, con una line, cada diagrama de cada enunciado.
Paisaje Preferido
selva
playa
La mayoría de los encuestados prefiere selva.
Paisaje preferido
selva
playa
La mayoría de los encuestados prefiere la playa.
Paisaje preferido
selva
playa
La mitad de los encuestados prefiere la selva.
Moda
En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando
encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta
máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si
todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos
agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en
dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
Clase preferida
Danza
Educación Física
Teatro
Cantidad de niños
30
20
15
Música
45
1- lee la situación anterior. Luego en tu cuaderno, representa los datos
en un diagrama de barras.
clase preferida
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
danza
cantidad de ninos
educacion fisica
Columna1
Columna2
teatro
musica
Responde:
¿A cuantos se les aplico la encuesta?
R- 110
¿Cuál es la clase que prefieren menos los niños?
R- teatro
Si 10 niños que habían votado por la clase de danza deciden cambiar
su voto por la clase de teatro, ¿sique estando de moda la música en el
colegio?
R- si
2- observa las representaciones. Luego marca con una x las
afirmaciones correctas.
Título del gráfico
70
60
50
40
30
20
10
0
bailar
cantar
Serie 1
ir ateatro
Columna1
Columna2
numero de personas
bailar
cantar
Actividad preferida para el
tiempo libre.
Bailar
Cantar
Ir a Teatro
ir ateatro
Numero
de personas
20
35
75
En la encuesta del diagrama de barras, la actividad de moda es
cantar.
X En la encuesta de los diagramas circular, la actividad que está de
moda es bailar.
X En la encuesta de la tabla, la actividad que está de moda es ir a
teatro.
3- lee la siguiente situación.
Los estudiantes del colegio san Joaquín necesitan recoger fondos para
la excursión de fin de año.
Para ello, decidieron hacer una encuesta para escoger la actividad
que se va realizar. Los resultados se observan en el diagrama circular.
ninos
1er trim.
2º trim.
Verde: bazar
Azul: Día del jean
Responde:
Cual crees que es la actividad que van a escoger los estudiantes para
recoger fondos.
R- bazar
¿Por qué?
R-es la que más dijeron
4-lee la siguiente situación.
Para el día de la familia, los estudiantes de quinto quieren preparan un
baile típico colombiano. Por ello, decidieron votar para decidir que
baile preparar. Los votos fueron los siguientes.
Bunde
Cumbia
Cumbia
Bambuco
cumbia
Cumbia
cumbia
Cumbia
cumbia
Contradanza Cumbia
contradanza
Bambuco
bunde
Bunde
bunde
contradanza
Cumbia
bunde
cumbia
Bambuco
bambuco
contradanza
Contradanza
cumbia
cumbia
cumbia
Bunde
Bambuco
Completa la tabla de frecuencias y elabora el diagrama de barras en tu
cuaderno.
Baile
bunde
bambuco
cumbia
contradanza
personas
6
5
13
4
diagrama de barras
14
12
10
8
6
4
2
0
bunde
Bambuco
Columna2
Cumbia
Columna3
Contradanza
Columna4
Responde:
Cuál es el baile que van a presentar los estudiantes de quinto para el día
de la familia?
R- cumbia
Media o promedio aritmética
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o
simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie
de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática
o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el
número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de
media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad
total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus
bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales
entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una
distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la
misma cantidad de la variable.
También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad[cita requerida] de
una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.
Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a
los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy
pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la
población.
1- Calcula la longitud promedio de los lápices.
La longitud de promedio de los lápices es 15+ 8+4+12+6= 45/5= 9
2- en clase
3-Observa las puntuaciones de 13 estudiantes en una prueba de resistencia.
5
4
7
9
8
7
4
5
5
5
6
7
6
Responde: ¿cuál es la puntación media?
R- 6
4- observa el siguiente ejemplo.
Las edades de los amigos de Daniela son 14anos, 11 años, 12 años, 11 años, 12 años, y 12
años. ¿Cuál es la edad promedio de Daniela?
Paso 1
Como hay datos repetidos, ordena los datos y a agrupa.
11+11+12+12+12+14=
11*2 + 12*3
22
36
+14
+ 14= 72
Paso 2
Divide el total de la suma entre la cantidad de amigos.
72
12
6
12
12
0
La edad media de Daniela es 12 años.
Observa la tabla en la que aparecen las edades de los niños que asisten a la clase de tenis.
edad
número de
niños
12
1
13
4
14
5
15
6
_Determina la edad promedio de los niños
12 x 1
13 *4
12
52
14 *5
15*6
70
90
224/16= 14
5-en clase
Mediana
En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable de posición
central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de
datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean
mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La
mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su
cálculo no se ve afectado por valores extremos.
Calculo
El valor medio en un conjunto de valores ordenados. Corresponde al percentil 50 o segundo
cuartil (P50 o Q2). Los pasos son:
1-dena los valores en orden del menor al mayor
2-cuenta derecha a izquierda, o al revés, hasta encontrar el valor o valores
medios.
Ejemplo: tenemos el siguiente conjunto de números 8,3,7,4,11,2,9,4,10,11,4 ordenamos:
2,3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 En esta secuencia la mediana es 7, que es el número central. Y si
tuviésemos: 8,3,7,4,11,9,4,10,11,4, entonces ordenamos: 3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 y la
mediana (Md) está en: los números centrales son 7 y 8, lo que haces Existen dos métodos
para el cálculo de la mediana:
Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2-utilizando datos agrupados en intervalos de clase.
Mediana de un conjunto impar y par.
Cuando la muestra es impar
Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de números.
Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es ordenar la serie, ya
sea de forma creciente o decreciente, tal como mostramos a continuación.
Primera serie: 2, 6, 7, 25, 58.
El número 7 es la mediana de la serie pues divide la serie en dos grupos de igual número de
datos: 2 y 6 (valores menores que 7), y 25 y 58 (valores mayores que 7).
Segunda serie: 4, 7, 9, 9, 11, 15, 17.
El número 9 es la mediana de la serie. Divide la serie en dos grupos de igual número de
datos: 4, 7 y 9 (valores menores o iguales que 9), y 11, 15 y 17 (valores mayores que 9).
Conclusión: si la muestra de datos es impar, la mediana se calcula fácilmente: es el valor
central de la serie. La serie queda dividida en dos grupos que contienen la misma cantidad
de datos y cuyos valores están por encima y por debajo de la mediana.
Cuando la muestra de datos es una cantidad par
Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de
valores.
Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es
ordenar la serie, ya sea de forma creciente o decreciente, tal como
mostramos a continuación.
Primera serie: 1, 5, 12, 13, 21, 24.
Tomamos los dos valores que se hallan en el centro de la serie y
calculamos su media:
El valor 12,5 es el valor de la mediana de esta serie ya que divide la serie en
dos grupos de igual número de datos: 1, 5 y 12 (valores menores que 12,5),
y 13, 21 y 24 (valores mayores que 12,5).
Segunda serie: 5, 14, 18, 19, 19, 25, 47, 56.
En este caso no hay mayor problema porque los dos valores centrales de la
serie son el mismo número. Luego el 19 es el valor de la mediana de esta
serie de valores. El 19 divide la serie en dos grupos del mismo número de
datos: 5, 14, 18 y 19 (valores menores o iguales que 19), y 19, 25, 47 y 56
(valores mayores o iguales que 19).
Conclusión: si la serie contiene un número par de datos, los dos grupos con
igual número de datos se corresponden con las dos mitades de la serie
ordenada. Y para calcular la mediana solo es necesario hallar la media de
los dos valores centrales de la serie.
1- observa las alturas de los edificios.
16 m
25 m
14m
30 m
6m Responde:
¿ cuantos datos hay?
R- 5
¿ esa cantidad es par o impar?
R- impar.
¿ual es la mediana del conjunto de datos?
La mitad de la mediana de los edificios esta por encima y debajo de 16.
2-Lee y resuelve.
Los puntajes consequidos por un jugador de baloncesto en los cinco ultimos partidos son: 7
puntos,12 puntos, 8 puntos, 11 puntos y 7 puntos.
¿ Cual es el promedio de puntos?
R- 7+12+8+11+7= 35/5 5.
¿ cual es la mediana?
R- 8 menor que 11 menor que 12 menor que 14. Mediana: 12,11. 23/2: 11.5
3- lee la situacion
Adraiana grabo seis peliculas que tienen las siquientes duraciones: 120 minutos, 90
minutos, 180 minutos,78 minutos,130 minutos y 80 minutos.
Responde:
¿ cual es la media de las duraciones de pelicula?
R- 63
¿Cuál es la mediana de las duraciones de pelicula.?
R- 105
¿ Que significado tiene las medianas de la pelicula?
R- la mitad de las peliculas esta arriba y debajo de 105.
4- observa el conjunto de mateo.
8,3,7,5,9,10,6
Explica por que l mediana no es 5, a pesar de que esta en el centro de los datos.
R-Porque los datos no estan organizados de menor a mayor.
5- completa con el numero que creas conveniente para que la mediana sea 6.
7 8 4 3 6 4 2
Explica tu respuesta.
Como hay dos cuatros se multiplica por 2 luego este resultado se multiplica por 2 y da 16,
luego los numeros que quedan son 3 7 6 16 y como necesitamos que el 6 sea la mediana
central y le agrgamos el 2.
Grafico de lineas
Los gráficos de líneas muestran una serie como un conjunto de puntos conectados mediante
una línea. Los valores se representan por el alto de los puntos con relación al eje Y. Las
etiquetas de las categorías se presentan en el eje X. Los gráficos de líneas suelen utilizarse
para comparar valores a lo largo del tiempo.
Observa:
Los anos y kilos
70
60
50
40
30
20
10
0
2007
2008
kilos
2009
Columna1
2010
2011
Columna2
Existen dos tipos de gráficos de líneas: de líneas y de líneas suavizadas.
Gráfico de líneas
Gráfico de líneas suavizadas
Un gráfico de líneas suavizadas presenta las series como líneas separadas. Las líneas son
curvas, en lugar de rectas. El valor determina el alto de cada columna.
1-observa el ejemplo anterior y completo la tabla.
año
2007
2008
2009
2010
2011
Responde:
¿En cuál año tuvo menor peso marta?
R-2008
¿En cuál año tuvo mayor peso marta?
Peso(KG)
45
40
55
60
55
R- 2010
¿Qué tipo de variable es el peso?
R-Cuantitativa.
¿Qué promedio de peso ha tenido marta entre 2007 y 2011.
R-51
2-elabora un gráfico de líneas para la siquiente situación.
Las ventas del almacén “zapatos” durante una semana, fueron repartidas de la siquiente
manera. Lunes: $300.000 martes: $ 500.000, miércoles: $400.000, jueves: $600.000,
viernes: $ 600.000, sábado: $ 700.000 y domingo: $ 400.000.
800.000
700.000
600.000
500.000
400.000
300.000
200.000
100.000
0
lunes
martes
miercoles
peso
jueves
Columna1
viernes
Columna2
Responde:
¿Cuál día vendieron más?
R- sábado.
¿Cuál día vendieron menos?
R- lunes.
Juego y razono con matemáticas.
sabado
domingo
El tangrama en forma de huevo
Utiliza las fichas del recortable 4 para formar un huevo como un siguiente. Luego, colorea
las fichas con diferentes colores.
Ahora, arma el ave con las fichas del recortable No. 4 y dibuja las divisiones del ave aquí.
Evalúa tu desempeño
La siquiente tabla muestra el precio en pesos de las acciones de algunas empresas del país.
Empresa
Empresa de Energía de Bogotá
Grupo Nacional de Chocolates
Corficolombiana
Banco de Occidente
Banco de Bogotá
Sociedad bolívar
Protección
Gas Natural
Valor cada acción en pesos.
127000
20.900
29.100
30. 600
39. 180
41.420
50.000
95.000
Competencia interpretativa
1- marca con una x la opción correcta. Las tres empresas que tienen el precio más alto en
sus acciones son:
Gas Natural- Banco de Bogotá-Sociedad Bolívar.
X Empresa de Energía de Bogotá- Banco de Bogotá- Sociedad Bolívar.
Grupo Nacional de Chocolates-Protección-Banco de occidente.
2- El valor que paga una persona que compra 24 acciones en las siguientes empresas es:
-Empresa de energía de Bogotá: $ 3.048.000 –Corficolombia
–Banco de Bogotá
940.320 –Sociedad Bolívar
698.400
994.080
COMPETENCIA ARGUMENTATIVA
3-Escribe V, si la proposición es verdadera o F, si es falsa. Jesica con una operación.
3F- El valor de la acción de Sociedad Bolívar es el doble del valor de la acción del grupo
Nacional de Chocolates.
F- La diferencia entre el valor de las acciones de Gas Natural y Corficolombia es igual al
valor de la acción de Protección.
V- La quinta parte del valor de la acción de la Empresa de Energía de Bogotá más 3.700
pesos, es igual al avalar de la acción del Corficolombia.
V- Si el valor de una acción del Éxito es de 13.060 pesos, entonces, el valor de la acción del
Banco de Bogotá es el triple.
COMPETENCIA PROPOSITIVA
4- Encierra la gráfica que mejor represente el valor de las acciones dadas.
VERDE Empresa de Energía de Bogotá
AZUL Grupo Nacional de Chocolates
ROSADO Corficolombia
AZULITO Banco de Occidente
PURPURA Banco de Bogotá
AMARILLO Sociedad Bolívar
valor de accion
140.000
120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
0
Serie 1
Serie 2
Serie 3
Empresas
140.000
120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
0
valor de accion2
Serie 2
Empresas
VERDE Empresa de Energía de Bogotá
Serie 3
AZUL Grupo Nacional de Chocolates
ROSADO Corficolombia
AZULITO Banco de Occidente
PURPURA Banco de Bogotá
AMARILLO Sociedad Bolívar
MARRON Protección
VERDECITO Gas Natural.
5- Subraya las acciones en las que puede invertir una persona que tiene 2.000.000 de pesos.
-43 acciones en Protección.
15 acciones en la Empresa de Energía de Bogotá y una acción en Gas Natural.
100 acciones del Grupo Nacional de Chocolates.
48 acciones de la Sociedad Bolívar.
COMPETENCIA EN TECNOLOGIA
LUCES NATURALES Y ARTIFICIALES
Las fuentes de luz son todos aquellos elementos naturales o artificiales que emiten luz.
Algunos seres vivos tiene la capacidad de generar luz partir de sus cuerpos. Por ejemplo,
las luciérnagas y las medusas.
La luciérnaga produce una luz amarilla en su cola, debido a la reacción entre una proteína
que produce y el oxígeno.
Las medusas emiten luces de diferentes maneras y colores. Algunas emiten miles de
partículas brillantes, otras liberar una sustancia luminosa.
Un biólogo realizo un montaje de luces y colores, para recrear un paisaje de la playa,
utilizando microscopio varias bacterias fluorescentes.
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