Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1

Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
X.1. Generalidades sobre funciones reales de
variable real
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
En la primera parte de este tema vamos a tratar con funciones
reales de variable real, esto es, funciones definidas en un
subconjunto A ⊂ R y con valores en R.
f :A⊂R→R
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
1. Restricciones
DEF. Sea f : A ⊂ R → R. Si B es un subconjunto de A, la
restricción de f a B, que se denota por f |B , es la función que
actúa igual que f pero sólo sobre los elementos de B.
“Restringir" una función significa, por tanto, restringir su
dominio.
f :A→R
f |B : B → R, f |B (x) = f (x) para todo x ∈ B.
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
2. Funciones monótonas
DEF. Una función f : A ⊂ R → R se dice monótona creciente
o simplemente creciente cuando
x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
(al aumentar la x, la f (x) aumenta o se mantiene constante).
DEF. Se dice que f es monótona decreciente o simplemente
decreciente cuando
x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
DEF. Se dice que f es estrictamente creciente cuando
x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 )<f (x2 )
y estrictamente decreciente cuando
x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 )>f (x2 )
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
3. Funciones inyectivas y sobreyectivas
g : A → B es sobreyectiva si g(A) = B
g : A → B es inyectiva si (x1 6= x2 ⇒ g(x1 ) 6= g(x2 ))
Dada una función cualquiera f : A ⊂ R → B ⊂ R se desea
“convertirla” en una función biyectiva:
Para convertirla en sobreyectiva, se toma como conjunto
final su conjunto imagen: B ′ = f (A)
Para convertirla en inyectiva, se utiliza una restricción.
Si el dominio de una función f es un intervalo generalizado
(un intervalo abierto o cerrado, una semirrecta abierta o
cerrada, o toda la recta real), f es inyectiva cuando es
estrictamente creciente, o estrictamente decreciente.
Si crece en algunos intervalos del dominio y decrece en
otros, entonces no es inyectiva, y las restricciones que la
convertirán en inyectiva serán las que reducen el dominio a
uno de esos intervalos en los que la función es
estrictamente monótona.
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
3. Funciones inyectivas y sobreyectivas (II)
Supongamos que f : I → R es una función inyectiva definida en
un intervalo generalizado I (luego, f es o bien estrictamente
creciente o estrictamente decreciente).
Al hacer el conjunto final igual a f (I) convertimos f , que ya era
inyectiva, en sobreyectiva, luego tenemos una función
biyectiva.
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
4. Funciones inversas
Cuando una aplicación g : A → B es biyectiva, y sólo en ese
caso, existe una aplicación g −1 : B → A inversa de g:
g(a) = b y g −1 (b) = a son equivalentes
Sea f : I → R una función estrictamente creciente (decreciente)
definida en un intervalo generalizado I. La función
I → f (I)
x 7→ f (x)
es biyectiva, y su inversa es estrictamente creciente
(decreciente).
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
5. Funciones polinómicas
Funciones definidas en todo R
Su expresión viene dada por un polinomio:
f : R → R
x 7→ a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
Casos Particulares:
Funciones constantes: f (x ) = a0 ∀x ∈ R
Función identidad: f (x ) = x ∀x ∈ R
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
6. Funciones exponenciales y logarítmicas
f : R → (0, ∞)
x 7→ ax
a > 0 es la base de la exponencial
Si a > 1 entonces f es estrictamente creciente
Si a < 1 entonces f es estrictamente decreciente
Si a = 1 entonces f (x) = 1∀x ∈ R es constante
Propiedades:
ax+y = ax ay
1
a−x = x
a
(ax )y = axy
a0 = 1
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
6. Funciones exponenciales y logarítmicas (II)
f : R → (0, ∞)
x 7→ ax
Cuando a > 0, a 6= 1, f es biyectiva y por tanto tiene inversa, la
función logarítmica de base a:
f −1 : (0, ∞) → R
y 7→ loga (y)
El hecho de que logaritmo y exponencial son funciones
inversas una de otra se expresa por las identidades
loga (ax ) = x
(x ∈ R),
aloga (y ) = y
(y > 0)
El logaritmo con base e de un número positivo x se llama
logaritmo neperiano de x y se denota normalmente por ln x
(log x)
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
6. Funciones exponenciales y logarítmicas (III)
Propiedades:
ln(xy) = ln x + ln y (x, y > 0)
1
ln
= − ln x (x > 0)
x
ln(x y ) = y ln x (x > 0, y ∈ R)
ln 1 = 0
Todas las exponenciales se pueden poner en función de la
exponencial de base e: ax = ex ln a (a > 0, x ∈ R)
Todas los logaritmos se pueden poner en función de los
x
logaritmos neperianos: loga (x) = ln
(a, x > 0)
ln a
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
7. Funciones circulares
Función Seno:
R → [−1, 1]
x 7→ sen x
Representada por sen x
Está definida en todo R
Toma valores comprendidos entre −1 y 1
Es periódica de período 2π, es decir, el valor que toma en
cada número real x coincide con el que toma en x + 2π:
sen(x) = sen(x + 2π)
Se anula si x = kπ k ∈ Z
π
sen(x) = 1 si x = + 2kπ k ∈ Z
2
π
sen(x) = −1 si x = − + 2kπ k ∈ Z
2
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
7. Funciones circulares (II)
Función Coseno:
R → [−1, 1]
x 7→ sen(x + π/2) = cos x
Su gráfica es la del seno desplazada π/2 a la izquierda
Está definida en todo R
Toma valores comprendidos entre −1 y 1
Es periódica de período 2π
π
Se anula si x = + kπ k ∈ Z
2
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
7. Funciones circulares (III)
Función Tangente:
nπ
R−
+ kπ,
2
tg x =
k ∈Z
o
x
→ R
7→ tg x
sen x
cos x
Está definida en todo R menos los puntos donde se anule
el coseno
Es periódica de período π
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
7. Funciones circulares (IV)
Para hacer biyectiva la función seno:
se toma como conjunto final el conjunto imagen, es decir,
el intervalo [−1, 1],
se restringe a un intervalo donde sea inyectiva;
([−π/2, π/2])
La inversa de la función biyectiva (estrictamente creciente)
[−π/2, π/2] → [−1, 1]
x 7→ sen x
se llama función arco seno y también es estrictamente
creciente:
[−1, 1] → [−π/2, π/2]
x 7→ arcsen x
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
7. Funciones circulares (V)
Para hacer biyectiva la función coseno:
se toma como conjunto final el conjunto imagen, es decir,
el intervalo [−1, 1],
se restringe a un intervalo donde sea inyectiva; ([0, π])
La inversa de la función biyectiva (estrictamente decreciente)
[0, π] → [−1, 1]
x 7→ cos x
es también estrictamente decreciente y se llama función arco
coseno:
[−1, 1] → [0, π]
x 7→ arccos x
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real
7. Funciones circulares (VI)
Para hacer biyectiva la función tangente:
ya es sobreyectiva
se restringe a un intervalo donde sea inyectiva;
([−π/2, π/2])
La inversa de la función biyectiva (estrictamente creciente)
[−π/2, π/2] → R
x 7→ tg x
es también estrictamente creciente, y se llama función arco
tangente:
R → [−π/2, π/2]
x 7→ arctg x