Absorción y emisión estimulada de fotones por e‾ ligados. Coefs. de

20-1
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
20. Absorción y emisión estimulada de fotones por electrones ligados.
Coeficientes de Einstein.
[Gre 2.1,2.3; passim]
Absorción de fotones en un átomo
El proceso de absorción de un fotón
E∗
por un electrón ligado en un átomo
se puede interpretar, evidentemente,
γ(k, η)
como la inversión temporal del proceso de emisión. Dado que las interacciones electromagnéticas son simétricas
E0
(invariantes) bajo inversión temporal,
esperamos que la probabilidad sea la
E(k) = �ck = |E ∗ − E0 |
misma para ambos procesos.
Es fácil comprobar esto explı́citamente calculando la amplitud de transición de absorción.
El elemento de matriz relevante ahora es
(1)
hf |Ĥint |ii ,
|ii = |ψi ; k, ηi , |f i = |ψf i .
(20.1)
Sustituyendo
(1)
hf |Ĥint |ii = −
|e|~
2πm
Z
n
X
d3 k 0
0
p
εη0 (k0 ) · hψf |eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi +
E(k0 ) η0 =±
o
0
hψf |e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi ,
(20.2)
y los elementos de matriz fotónicos ahora son
0
0
hψf |eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi = hψi ; k, η|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψf i∗
0
= hψi ; k, η|e−ik ·x p̂|ψf ; k0 , η 0 i∗
0
= δηη0 δ (3) (k − k0 ) hψf |eik ·x p̂|ψi i ,
(20.3)
0
hψf |e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; k, ηi = 0 ,
ergo
(1)
hf |Ĥint |ii = −
|e|~
1
p
εη (k) · hψf |eik·x p̂|ψi i .
2πm E(k)
(20.4)
Esta amplitud es el complejo conjugado de la del proceso de emisión entre los mismos
niveles — i.e. la probabilidad correspondiente es idéntica, como esperábamos.
20-2
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
E∗
Emisión espontánea y emisión estimulada
Volvamos ahora al proceso de emisión de un fotón
por un átomo excitado. La diferencia con el caso
γ(k, η)
que estudiamos anteriormente es que ahora suponE∗
dremos que en el sistema, además del átomo,
están presentes fotones libres que tienen los mismos números cuánticos (k, η) del fotón emitido que
aparece en el estado final. Dichos fotones no interE0
actúan con el átomo, pero están presentes tanto en
el estado inicial como en el estado final del proceso;
γ(k, η)
por simplicidad, supondremos que hay un número
finito n de dichos fotones “espectadores”.
El resultado crucial es que la probabilidad del proceso
|ψi ; n(k, η)i −→ |ψf ; (n + 1)(k, η)i
γ(k, η)
γ(k, η)
E0
γ(k, η)
E(k) = �ck = |E ∗ − E0 |
(20.5)
es proporcional al número de fotones, i.e. aumenta en presencia de fotones espectadores (Einstein 1917). Este fenómeno lleva a distinguir entre emisión espontánea
(cuando el átomo no está inmerso en un fondo de radiación) y emisión estimulada (cuando el átomo está rodeado por un fondo de radiación de fotones con la
frecuencia y polarización adecuadas).
Este es el mecanismo que se explota para generar un haz láser — palabra que,
como se sabe, es un acrónimo de la expresión light amplified by stimulated emission
of radiation. La idea es relativamente sencilla: supongamos un gas en una cavidad
óptica cilı́ndrica (1), cerrada en los
extremos por dos tapas de material
altamente reflectante (3,4), una de las
cuales tiene un orificio (5). Los átomos
del gas son excitados a través de algún
mecanismo (llamado de bombeo) (2),
e.g. corrientes eléctricas o luz con una
frecuencia distinta a la que se quiere
obtener. Cuando los átomos excitados
decaen, producen fotones con una cierta longitud de onda, que se propagan en la
cavidad y forman un fondo de radiación; la aparición de dicho fondo estimula la
emisión de más fotones de la misma frecuencia, y el aumento de la probabilidad
del proceso con la densidad del fondo de radiación da lugar a un fenómeno de
amplificación por cascada. El resultado es un haz láser — luz coherente, intensa,
monocromática y polarizada — emitido a través del orificio de la cavidad.
Para demostrar el resultado de partida usando el formalismo que hemos de(1)
sarrollado, es suficiente recalcular el elemento de matriz de Ĥint entre los nuevos
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
20-3
estados inicial y final:
(1)
hf |Ĥint |ii = −
|e|~
2πm
Z
X
d3 k 0
p
εη0 (k0 )·
0
E(k ) η0 =±
n
0
hψf ; (n + 1)(k, η)|eik ·x âη0 (k0 )p̂|ψi ; n(k, η)i +
o
0
hψf ; (n + 1)(k, η)|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; n(k, η)i .
(20.6)
El primer elemento de matriz es cero (una vez aplicado âη0 (k0 ) los estados externos
tienen números de fotones que difieren en dos unidades), mientras que el segundo es
0
hψf ; (n + 1)(k, η)|e−ik ·x â†η0 (k0 )p̂|ψi ; n(k, η)i =
√
= n + 1 δηη0 δ (3) (k − k0 )hψf |e−ik·x p̂|ψi i ,
(20.7)
√
donde hemos usado â†η (k)|n(k, η)i = n + 1 |(n + 1)(k, η)i. La consecuencia inmediata es que la relación entre las amplitudes Tf i de las emisiones espontánea y
estimulada es
Tf i (n) =
√
n + 1 Tf i ,
(20.8)
y por lo tanto las respectivas probabilidades ∝ |Tf i |2 difieren por un factor (n + 1)
(o ≈ n si n es un número grande, lo que siempre será una buena aproximación en
presencia de un fondo denso de radiación).
Aspectos estadı́sticos: coeficientes de Einstein
En teorı́a cuántica de la radiación, es frecuente considerar sistemas macroscópicos
(e.g. el gas que se usa para producir un haz láser como descrito anteriormente), que
deben ser tratados con técnicas estadı́sticas. El sistema (idealizado) más sencillo
posible estarı́a constituido por átomos sometidos a condiciones tales que sólo pueden
estar en dos estados, con energı́as1 E1 < E2 , más fotones con frecuencias ω =
(E2 − E1 )/~ que pueden ser emitidos o absorbidos por los átomos. Distinguiremos
entre tres procesos posibles: absorción, emisión espontánea y emisión estimulada.
Llamemos ni el número de átomos en el estado con energı́a Ei por unidad de
volumen. Suponiendo que el sistema evolucione alrededor del equilibrio, la dependencia temporal de n1,2 se podrá describir con tres ecuaciones diferenciales de primer
orden, una por cada tipo de proceso: n1 aumentará debido a procesos de emisión, y
1
Para simplificar las convenciones, tomaremos las energı́as positivas.
20-4
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
n2 aumentará debido a procesos de absorción, según las leyes
dn1 := A21 n2 (t) ,
dt emisión espontánea
dn1 := B21 n2 (t) ρ(ω) ,
dt emisión estimulada
dn1 := −B12 n1 (t) ρ(ω) ,
dt absorción
(20.9)
donde en las dos últimas ecuaciones se ha tenido en cuenta que la probabilidad de
que el proceso ocurra, además de ser proporcional a la densidad de la especie de
átomo en el estado inicial, lo es también a la densidad de fotones ρ(ω). Suponiendo
de nuevo que el subsistema de fotones esté aproximadamente en equilibrio, podemos
usar la fórmula que se sigue de la distribución de Bose-Einstein para un gas de
fotones libres
ρ(ω) =
~ω 3
~ω
.
2π 2 c2 e− kT − 1
(20.10)
Las cantidades A21 , B21 , B12 son llamadas coeficientes de Einstein; los signos de
las ecuaciones se han elegido de manera que los tres sean positivos. Esta definición
de los coeficientes de Einstein es puramente fenomenológica, y se basa en la descripción macroscópica del sistema. Nuestro objetivo será derivarlos de cantidades
relacionadas con la dinámica microscópica, i.e. con las interacciones fotón-átomo.
Interdependencia de los coeficientes
Antes de hacerlo, conviene ver que los tres coeficientes no son independientes. Para
ello empezamos observando que, al estar el sistema en equilibrio, se cumple la
condición de balance detallado:
dn1 = 0 ⇔ A21 N2 + B21 n2 ρ(ω) − B12 n1 ρ(ω) = 0 .
(20.11)
dt total
Esto introduce una ligadura entre los tres coeficientes. Por otra parte, las densidades
n1,2 se pueden escribir en términos de la densidad total de átomos n como
Ei
gi e− kT
ni
=
,
n
Z
(20.12)
donde Z es la función de partición del sistema y gi es el factor de degeneración
del estado (e.g. gi = 2 para un orbital s, gi = 6 para un orbital p etc.). Usando
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
20-5
∆E = ~ω e introduciéndolo en (20.11) se obtiene una ligadura válida ∀ T ,
~ω
~ω
A21 g2 e− kT + B21 g2 e− kT
~ω 3
~ω 3
~ω
= B12 g1
~ω
.
2π 2 c2 e− kT − 1
2π 2 c2 e− kT − 1
(20.13)
En el lı́mite kT ~ω, razonable salvo para sistemas extremadamente frı́os, esta
condición se simplifica considerablemente: desarrollando en serie de potencias de
~ω
y = kT
e imponiendo que la igualdad se cumpla orden a orden en y, de los dos
primeros órdenes se obtiene
g2
B12
=
,
B21
g1
A21
~ω 3
= 2 2,
B21
2π c
(20.14)
i.e. sólo uno de los coeficientes es independiente.
Relación con la dinámica microscópica: fuerzas de oscilador
Ahora nos concentraremos en el proceso de absorción, y trataremos de relacionar
el correspondiente coeficiente B12 con las amplitudes de transición microscópicas.
Sabemos que la probabilidad del proceso en un único átomo es de la forma
W (i → f ) = cte × (E2 − E1 )|h2, q2 |x̂|1, q1 i|2 ,
(20.15)
donde q1,2 son números cuánticos asociados a la degeneración (e.g. terceras componentes de momento angular/spin). Es habitual parametrizar esta probabilidad en
términos de una cantidad sin dimensiones llamada fuerza de oscilador (oscillator
strength), definida como
3
f12 :=
XX
2 me
(E
−
E
)
|h2, q2 |x̂j |1, q1 i|2 ,
2
1
3 ~2
q
2
(20.16)
j=1
donde me es la masa del electrón.
Por otra parte, dada W (i → f ) es posible derivar la sección eficaz total por
unidad de tiempo σ̃abs del proceso de absorción, tratado como una dispersión inelástica átomo-fotón. Usando las fórmulas vistas en teorı́a de la dispersión se halla
(ejercicio)
σ̃abs =
πe2
f12 .
me c
(20.17)
Ahora bien: si volvemos a las ecuaciones donde han sido introducidos los coeficientes
de Einstein, es evidente que B12 se puede interpretar como la probabilidad de absorción de un fotón por unidad de tiempo, ángulo sólido y energı́a. Suponiendo que
el proceso sea perfectamente isótropo, esto significa
B12 =
4π
4π
σ̃abs =
σ̃abs .
Eγ
~ω
(20.18)
20-6
Mecánica Cuántica Avanzada — Carlos Pena
Uniendo las dos ecuaciones es inmediato relacionar B12 con f12 , que es precisamente lo que querı́amos. Usando también (20.14), la relación final entre la fuerza
de oscilador y los tres coeficientes de Einstein es
B12 =
4π 2 α
f12 ,
me ω
B21 =
4π 2 α g1
f12 ,
me ω g2
A21 =
2α~ω 2 g1
f12 .
me c2 g2
(20.19)
Esto permite predecir el comportamiento del sistema macroscópico en términos de
la cantidad microscópica f12 .