Vectores Autorregresivos (VAR)

Vectores Autorregresivos (VAR)
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Procesos estocasticos multivariados
0
Yt = [Y1t , Y2t , · · · , YN t ] ,
t = 1, 2, . . . , T
Estamos interesados en el comportamiento temporal de N
variables simultaneamente.
• E(Yt ) = µ
• E(Yt − µ)(Yt−τ − µ)0 = Γ(τ )
(vector de esperanzas)
(matriz de autocovarianzas)
El elemento i, j es: γi,j = E(Yit − µit )(Yj,t−τ − µj,t−τ )
Los elementos de la diagonal son las autocovarianzas y los de
fuera de la diagonal las autocovarianzas cruzadas.
Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile. 2006.
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Yt es estacionario si:
1. E(Yt ) = µ < ∞.
2. E(Yt − µ)(Yt−τ − µ)0 = Γ(τ ) < ∞,
τ = 0, 1, 2, . . .
Estacionariedad de Yt implica estacionariedad de
Yit , i = 1, . . . , N . El converso NO es cierto (porque?)
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Ruido Blanco Multivariado
εt es N × 1. Es RBM si:
1. E(εt ) = 0

 Ω
N ×N
2. E(εt ε0s ) =
 0
si t = s
si t 6= s
Cuidado: los elementos de εt pueden estar correlacionados
contemporaneamente pero no en distintos periodos!!
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Vectores Autorregresivos (VAR)
VAR(1) con media cero
Yt = ΦYt−1 + εt ,
εt ∼ RBM
Yt es N × 1, Φ es N × N .
Ejemplo:

 X
t
 Zt
=
φ11 Xt−1 + φ12 Zt−1 + ε1t
=
φ12 Xt−1 + φ12 Zt−1 + ε2t
Relacion entre el presente de una variable y el pasado de
todas las variables del sistema.
• ε1t y ε2t pueden estar correlacionados.
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Motivacion historica y metodologica del uso de VAR’s
• Motivacion: Sims (1980).
• Discusion metodologica: Pagan (1987)
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Algunos resultados utiles de algebra
• Si A es cuadrada y diagonal con elemento carateristico
aii , AK es una matriz diagonal con elemento i, i igual a
aK
ii .
• Am×m . Cualquier escalar λ que satisfaga Ax = λx para
un vector m × 1, x 6= 0 es un autovalor de A. x es un
autovector de A correspondiente al autovalor λ.
• Si λ es un autovalor de A, entonces |A − λI| = 0.
• La ecuacion caracteristica |A − λI| = 0 es una ecuacion
de grado m. Entonces, Amm tiene m autovalores.
• Am×m con autovalores λ1 , λ2 , . . . , λm , entonces:
Pm
(a) tr(A) = i=1 λi
Qm
(b) |A| = i=1 λi
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• Si Am×m tiene m autovalores diferentes, entonces los
autovectores asociados son todos linealmente
independientes.
• Si Am×m tiene m autovalores diferentes y
Λ ≡ diag(λ1 , . . . , λm ) y X ≡ (x1 , x2 , · · · , xm ), entonces:
A = XΛX −1
• Bajo las condiciones del resultado anterior:
AK = AA · · · A = (XΛX −1 )(XΛX −1 ) · · · (XΛK X −1 ) = XΛK X −1
K
con ΛK = diag(λK
1 , . . . , λm )
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Estacionariedad de VAR(1)
Recordar caso AR(1): Yt = φYt−1 + εt . Estacionario si |φ| < 1.
Notar que Yt = ΦYt−1 + εt y Yt−1 = ΦYt−2 + εt−1 .
Reemplazando:
Yt = Φ2 Yt−2 + ε + Φεt−1
Reemplazando ahora Yt−2 y luego Yt−3 , etc.:
Yt =
k−1
X
Φj εt−j + Φk Yt−k
j=0
En forma similar a AR(1) requeriremos que Φk → 0, o,
equivalentemente, |Φ| < 1 (en un sentido matricial).
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De acuerdo al resultado anterior Φ = XΛX −1 en donde X es
la matriz de autovectores y Λ la matriz diagonal con los
autovalores λ1 , . . . , λN . Entonces,
Φk = XΛk X −1
de modo que ΦK → 0 si y solo si |λi | < 1, i = 1, . . . , N .
Resumiendo: Yt = ΦYt−1 + εt es estacionario si y solo si
todos los autovalores de Φ son < 1 en valor absoluto, o,
equivalentemente, si todas las raices de la ecuacion
caracteristica |Φ − λIN | son menores a uno en valor absoluto.
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Si VAR(1) es estacionario:
Yt =
∞
X
Φj εt−j
j=0
es la representacion V M A(∞) estacionaria del VAR(1).
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VAR(p)
Yt = Φ1 Yt−1 + Φ2 Yt−2 + · · · + Φp Yt−p + εt ,
εt ∼ RBM
Estacionariedad de VAR(p): todas las raices de
|λp I − λp−1 Φ1 − · · · − Φp | = 0
son mayores que uno en valor absoluto.
Resultado importante: Si VAR(p) es estacionario, tiene una
representacion VMA(∞) estacionaria. Esto es una
consecuencia del Teorema de Descomposicion de Wold.
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Estimacion de VAR
Consideremos VAR(1):

 X
t
 Zt
=
φ11 Xt−1 + φ12 Zt−1 + ε1t
=
φ12 Xt−1 + φ12 Zt−1 + ε2t
• Notar que MCO es consistente, ecuacion por ecuacion.
• Es un caso particular de SUR con las mismas variables
explicativas en cada ecuacion: MCG coincide con MCO, no
hay ganancia de eficiencia. Explica gran parte de la
popularidad de VAR.
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Interpretacion de VAR
• No es una forma estructural. Los coeficientes no tienen
una interpretacion clara ya que solo se busca una
representacion de los datos.
• En la practica es comun basar la interpretacion en tests
agregados y ejercicios de simulacion.
• Simulacion: a) Funciones impulso-respuesta, b)
Descomposicion de la varianza.
• Tests: a) Relevancia de variables, b) Significatividad de
rezagos, c) Relaciones entre ecuaciones, d) Causalidad de
Granger.
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Funciones impulso-respuesta
Objetivo: investigar que sucede con el sistema VAR ante
variaciones exogenas.
Consideremos la representacion VMA(∞) de VAR(p):
Yt =
∞
X
Ψs εt−s ,
Ψ0 = Im , εt ∼ RBM
s=0
∂Yt
∂Yt+s
=
= Ψs
∂εt−j
∂εt
Ψij (s) : Efecto sobre Yi,t+s de cambiar εjt en una unidad.
p
Ψij (s)/ V (εjt ): Efecto sobre Yi,t+s de cambiar εjt en un
desvio estandar: funcion de impulso-respuesta simple.
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Ejemplo: VAR(1) con N = 2, hay 4 funciones de impulso
respuesta simple.
Problema: εit no son independientes. N = 2


V (εt ) = Ω = 
σ11
σ12
σ21
σ22

No es intuitivo hablar de cambios en ε1t dejando ε2t .
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Mas resultados de algebra
1. Si Ω es simetrica y positiva definida, existe H no
singular, tal que Ω = HH 0 . H es una ‘raiz cuadrada’ de
Ω. H no es unica.
2. Si εt es un vector aleatorio con E(εt ) = 0 y
V (εt ) = E(εt ε0t ) = Ω, existe H tal que εt = Hvt , en donde
vt es un vector aleatorio con E(vt ) = 0 y V (vt ) = I .
vt son las innovaciones ortogonales de εt . La idea es:
vt −→ Hvt −→ εt −→ Yt
Entonces, lo que realmente nos interesa es ∂Yt+s /∂vt .
• Problema: H no es unica. Si Ω es simetrica y positiva
definida, existe una unica matrix P no-singular y triangular
inferior tal que P P 0 = Ω. P es la matriz de Choleski de Ω.
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La idea, entonces, es utilizar: εt = P vt . Reemplazando:
Yt =
∞
X
i=1
Ψs P vt−s =
∞
X
Φs vt−s ,
Φ ≡ Ψs P
i=1
∂Yt+s
∂Yt
=
= Φs
∂vt−s
∂vt
(s)
Elemento caracteristico: φij = cambio en Yi,t+s resultante
de cambios en vj,t en una unidad.
¨
¥
(s)
φij = funcion de impulso-respuesta
§
¦
con respecto a las innovaciones ortogonales.
Notar que como V (vj,t = 1) tambien mide el efecto de cambios en 1
desvio estandar.
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Cuestion importante: el uso de P (la descomposicion de
Choleski) implica cierta arbitrariedad.
Ejemplo: N = 2
!
Ã
ε1t
ε2t
Ã
=
!
!Ã
P11
0
v1t
P21
P22
v2t
ε1t depende solo de v1t
ε2t depende de v1t y v2t
La dependencia entre ε1t y ε2t es generada por esta estructura recursiva.
Que implicaciones tiene, por ejemplo, si Y1 es la tasa de crecimiento de
la cantidad nominal de dinero y Y2 es la tasa de inflacion?
Entonces, el orden de las variables en la matriz de Choleski
es muy importante.
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Notar que si

Ω=
σ11
0
0
σ22



P =
=⇒
√

σ11
0
0
√

σ22
• Si Ω es diagonal el orden de la descomposicion de
Choleski no importa.
• Trivialmente, las innovaciones originales son tambien las
innovaciones ortogonales.
• En la practica, entonces, es importante evaluar
empiricamente la diagonalidad de Ω.
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Seguimos con el algebra...
• Si Ω es simetrica y pd, existe una unica matriz H
triangular inferior con 1’s en la diagonal principal, y una
unica matriz diagonal D con todos sus elementos positivos,
tal que Ω = HDH 0 .
• Si εt es un vector aleatorio con E(εt ) = 0 y V (εt ) = Ω,
entonces εt puede escribirse com εt = Hut , con E(ut ) = 0 y
V (ut ) = D, en donde H y D satisfacen Ω = HDH 0 .
Notar que V (ujt ) = dj , el j−esimo elemento de la diagonal
principal de D. La idea, en este caso, es permitir que cada
una de las innovaciones ortogonales tenga su propia
varianza.
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Disgresion notacional

X=
Chequear que:

XX 0 = 

A1
A2


A1
B1
A2
B2
h
≡
i
A1
A2
h
i
A B

+

B1
B2

h
i
B1
B2
0
En general, si xi es la i-esima columna de X , XX =
P
xi x0i .
Es facil verificar que si D es diagonal con elemento
P
caracteristico di , XDX 0 =
di xi x0i
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Descomposicion de la varianza
• Supongamos un VAR con N variables. Cuanto de la
variabilidad total de una variable es atribuible a
movimientos en cada una de las otras variables?
• R2 en el modelo lineal: proporcion de la varianza de Y
que es explicada por movimientos en X . La idea es
proporcionar una idea similar para descomponer la
variabilidad total de una variable del VAR en terminos
de las variabilidades exogenas de cada una de las
variables del sistema.
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Partimos de la representacion MA(∞) de VAR:
Yt =
∞
X
Ψs εt−s ,
Ψ0 = Im , εt ∼ RBM
s=0
que implica que:
V (Yt ) =
=
∞
X
s=0
∞
X
Ψs ΩΨ0s
Ψs HDH 0 Ψ0s
s=0
=
∞
X
Ψs
s=0
=
N
X
i=1
(N
X
(
di
)
di hi h0i
Ψ0s
i=1
∞
X
)
Ψs hi h0i Ψ0s
s=0
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V (Yt )
=
N
X
V (ui )
(∞
X
=
Ψs hi h0i Ψ0s
s=0
i=1
N
X
)
V (ui ) B (i)
i=1
En particular, la j-esima varianza:
V (Ytj ) =
N
X
(i)
V (ui )Bjj
i=1
1=
(i)
N
X
V (ui )Bjj
i=1
V (Ytj )
=
N
X
zji
i=1
zji = proporcion de la varianza de la j−esima variable que es
explicada por el componente exogeno de cada una de las
i = 1, 2, . . . , N variables del sistema.
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En la practica: no podemos computar ∞ rezagos!
Partimos de la representacion V M A(∞) de VAR en t + 1:
Yt+1 = εt+1 + Ψ1 εt + Ψ2 εt−1 + · · ·
La prediccion de Yt+1 con la informacion disponible en t es
la esperanza de Yt+1 condicional en toda la informacion
disponible en t:
Et (Yt+1 ) = Ψ1 εt + Ψ2 εt−1 + · · ·
El error de pronostico de predecir Yt+1 en t sera:
Yt+1 − Et (Yt+1 ) = εt+1
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Analogamente, el error de pronostico de predecir Yt+s en t
sera:
et+2 ≡ Yt+s −Et (Yt+s ) = εt+s +Ψ1 εt+s−1 +Ψ2 εt+s−2 +· · ·+Ψs−1 εt+1
El valor esperado de et+s es cero y su varianza es:
V (et+s ) = Ω + Ψ01 ΩΨ1 + Ψ02 ΩΨ2 + · · · + Ψ0s−1 ΩΨs−1
• Da una idea de la magnitud del error de prediccion (es el
error cuadratico medio ya que la esperanza es cero!).
• Notar que cuando s → ∞, V (et+s ) → V (Yt ).
¨
¥
En la practica: computar la descomposicion para s = 1, 2, 3, . . .
§
¦
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Tests de hipotesis basicas en VAR
Supongamos que nos interesa evaluar si cierta restriccion
sobre los parametros del VAR es correcta, H0 : h(θ) = 0
versus h(θ) = 0 en donde θ son todos los parametros del
VAR y h es cualquier funcion continua.
Si εt ∼ RBN (0, Ω)
³
´
(T − c) ln |Ω̂r | − ln |Ω̂u | ∼ χ2 (m)
asintoticamente bajo H0 , en donde Ω̂r y Ωu son las matrices
de varianzas estimadas bajo el modelo restringido y sin
restringir, respectivamente, m es el numero de restricciones,
c es el numero de parametros estimados en cada ecuacion
en el modelo sin restringir, y T es el numero de
observaciones utilizables.
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Ejemplos
1. Relevancia de rezagos: Ejemplo, si en con series
trimestrales los rezagos del 9 al 12 son relevantes.
Modelo sin restringir: incluye los 12 rezagos, sin
restringir: solo los primeros 8.
2. Relevancia de variables: todos los rezagos de una
variable son irrelevantes en todas las ecuaciones.
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Causalidad de Granger
Consideremos la primera ecuacion de la representacion
VAR(p) para xt y yt :
xt = c +
p
X
i=1
αi xt−i +
p
X
βi yt−i
i=1
yt no causa a xt en el sentido de Granger si
β1 = β2 = · · · = βp = 0
La hipotesis puede ser facilmente evaluada con un test F de
significatividad conjunta (existen varias alternativas). En
forma similar se puede definir ausencia de causalidad de
Granger de xt .
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• Es uno de los resultados mas abusados en econometria.
• En realidad evalua si el pasado de yt contribuye a
predecir xt . Es mas un test que tiene que ver con
precedencia temporal y no con causalidad.
Ejemplo 1: Forward-looking behavior y precios
de acciones.
Ejemplo 2: Shocks en los precios de petroleo y
recesiones.
Ejemplo 3: Efectos reales del dinero (Stock y
Watson (1989), Christiano y Ljungqvist (1988)).
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