dle= ( ) dp + [CfT_]dv - Anales del Instituto de Ingenieros de Chile

Marcos
Pedrero
.Aplicacion de la Termodiruimica
a
los gases
(Continuacion)
Los
1) Reiacitm
DOS
PRI:-lCIPIOS
[undamerual
densidad de
LA
sion p;
cxiste
por
de
un
un
OJ!
T ER�10I.)J:"t;\,MJCA
cuerbo.
depende de su temperatura 'I" y de su pre
designamos por v su volumen especifico,
cuerpo
consiguiente
si
relacion
una
(p,
'P
Se Ie designa generalmente
u
FliNOAME!\.'T,\LES
con
v,
T)
�
0
de
el nombre
relaci6n
[undamental del cuerpo
ecuaciol1 de estado.
2) Calor especifico
a
presion
consiantc.
Supoogamos que se eleva la temperatura de un cucrpo cle dT. manteniendo
1a presion y sea dv el aumento de su volumen especifico.
Para producir esta elevacton de temperatura es preciso suministrar al cucrpo
cantidad de calor CdT; es este coeficiente C 10 que se llama calor especifico
constante
una
a
presi6n
constante.
Esta cantidad de calor
una
funcion de p y
v se
puede
expresarse
dle=
(�)
dp
pero puesto que por
en
otra
forma
En
cfecto siendo
'1'
deduce:
hip6tesis
Ia
dp +
v
[CfT_]
presion queda
dv
dv
p
constante, esta
igualdad
se
reduce
a.
Aplicacion
de la lermodinamica
dT
dT
( )
=
dv
Par
consiguiente
a
215
lo.�_g_,!�,,�
dv
p
tenemos:
"
dT)
CdT=C�
', dv
3) Calor especifico
ric
dv
p
volumen constante.
a
Supongamos ahara que para una elevaci6n de temperatura dT la presion va­
de dp, dejando el volumen constante. Para efectuar esta transformacion, el
cuerpo absorbe a 10..';; cuerpos vectnos una cantidad de calor edT. Este coeficiente
es el calor especifico a volumen constante. Como antericrme-ite, esta
cantidad de
c
calor puede escribirse
en
otra
forma,
edT
=
c
.
4) Calor sununistrcdo
a
(_<=I_I�
dp i,
cuerpo durante
un
\
una
dp
trcmsjormacior: elemental.
Si para una elevaci6n de temperatura de dT, el volumen especitico varia de
dv a1 mismo tiempo que la presion varia de dp, Ia cantidad de calor suministra­
da al cuerpo por los cuerpos vecinos
los dos cases anteriores.
dQ�C
I)
Debemos observar que
nes
(dT)
dv
diferencial
exacta
ottas
suma
de las cantidades
(�T)
dv+c
dp
p
deben
eye
de dos de las variables p, v, T.
0 en
la
es
sec
palabras
en
dp
v
consideradas
La cantidad de calor
no es llna
encontradas
en
dQ
general
no
es
como
funcio­
entonces
funcion determinada de
esas
una
va­
riables.
Hagamos ahora
que experiments
una
una
aplicaci6n
de la formula anterior.
transforrnacion sin recibir
ceder
ni
adiabatica) : luego;
dQ
C
d_I_)
dv
de donde
dv +
p
=
c
0
(_dT)
dp
dp
�
,v
c(_cI_�)
�(::l-dv
p
0
Supongamos un cuerpo
calor (transformacion
Anales del Institute de
216
pero siendo Tuna funcion de p y
ciT
�
v:
(dT)
_--
con
T constantc
(dT)
dp+
-
dp
de dcndc
de Chile
Ingenieros
dv
--
dv
v
p
deduce
se
(__cl!_)
dp
dp +
"
(_�1" __)
dv
dv
�
0
p
de donde:
(_dlo_) �_J_��J_
( <:I:"!'_]
dv
T
__
dp
y
reemplazando
sc
deduce finalmente
c
dp\
(dv)Q
es
,.
c
la formula de Reech.
Apliquemos
esta
formula a1 gas
perfecto
pv�RT
Con T constante deducimos
pd v
y
reemplazando
se
deduce:
(
En el gas perfecto
se
dp \
dv
�
_
IQ
_S:_
p
c
v
especificos dependen tmicamente de
integracion admitimos que sean constantes
sabe que los calores
18 temperatura, y si para cfectuar
se
+-v dp=D
la
deduce:
c
pvc
Cte.
217
para
5)
toda trensformacion adiabatica.
Primer orincioio de fa Termodinamica
Sea d
principio de Mayer
la cantidad de calor sumtnistrado
Q
macion infinitamente pequefia, AdT el
equivalenre
0
a un
trabajo
cuerpo durante
exterior
una
transfer­
realizado dividido
por el
mecantco y tenemos:
2)
\1
se
18 energia
llama
interne
y
funcion determinada de p )' v ; por
(Po, Yo) Y B (p, v) resulta
es una
consiguiente, S1 consideramos dos €f:tados del cuerpo A
que el aumentc de
energia
del
Vt-Vo
interna
cuerpo
queda el rrusmo. cualesquiera
el cuerpo para llevarlo de A a B.
que sean las transformaciones experlmentadas por
Es el principia de Mayer, designado generalmente con el nombre de primer prin­
cipia de Tertnodinamica
La Ietra
Q,
0
principia de equivalencia.
al contrario.
no
designa ninguna
funei6n
determinada de p y v:
definido
para cada cambic infinitamente pequefic del cuerpc perfectamente
dQ
de los
y no tiene nada de arbitrario. perc la suma de los valores de dQ aepende
valores sucesivos del voluruen y de la presion: la suma de los valores de dV de­
es
pende del estadc inictal y final solamente.
La relaclon
supone que
la velocidad del cuerpo
vuelve
a tornar su
valor inicial al final de la
bien que su velocidad es despreciable; de 10 ccntrario, deberfe
transformacton.
siendo \V Ia
agregarse un nuevo termino al segundo miembro y que serfa AdW,
0
1
energia cinctica
y A=
E'
La cantidad
designada
por E
es
el
equivalente
meca-
nice del calor.
Se deduce
descrito
un
sistema
es
entonces
de 10 anterior: Si
ciclo de transformaciones vuelve
igua/
al
trabajo
un
sistema de cuerpos
a su
despues
de haber
estado iniciai, el calor recibido par el
exterior realizado.
del principia de equivalencia 10 constituye la rna­
quina a vapor. Cn efecto, sea Q el calor cedido por la caldera al agua que se
transforma, T el trabajo producido per esta agua al actuar sabre el embole, q el
calor cedido por el condensador y r la que es perdida por radiacicn. Si entonc-s
tener :
suponemos que el agua vuelve a su estado inicial, deberiamos
Una de las venficaciones
Z
E=
-��--"­
Q-q-r
E! valor de T
el valor de
porteacton.
Q
se
se
deduce del indicador de
calcula pcr Ia formula
de
Watt y del ndmero de emboladas,
Regnault
para el
calor latente de
VGI­
218
del
6) j-\lgunas consecuencias
ierificacion tor medic
tnincipio de equiialencia
principio de Mayer
0
y
su
de Los gases
Se demuestra facilmentc que el
trabajo
realizado par
exterior
un
ftuido que
expande tlene per valor /pdv, ppr consiguiente. fa ecuaci6n (1) que
el pnncipio de equivalencia, se esct-ibe entonces para un fluido en la forma
se
J)
dQ�dV
+
express
Ap dv
Segun ecuacion (1):
dT
( )
dQ�C
Luego
d
d V
[
=
,.
C
Segun
el
i
dT
-----
d
\
.
1
deduce:
se
·1.
1\ p
-
J
....-P
d
v
v
+
c
.
primer principia de Termodinamica d V
consiguientc la derivada de
par
dp
.
dp
p
de las des ultlmas ecuaciones
4)
dT
( )
dv+c..
v
dT
[ )
dp
.
la detivada de C
dT
,
(--_ )'
v
Ap respccto
-
..
d
a \
dT
-----------
dp
es
con
)
una
dp
,
v
diferencial exacta,
p constantc
es
igual
a
v
a
p con
v
constante,
es
decir:
p
dj_�_T
.
I.-Idp;_
-_\_--�
d
rcspecto
__
(
'j
v
P
_[- d(C( �_l.· )-AP)
..
d
v
--------_._-_._---
dp
v
v desarrollando obtenemos:
't-;;:,:'
o2T
c
._
..
,
+
opov
5)
(C-c)
6'1'
--
�
opBv
Hagamos ahora una aplicacion. En un gas los calores especfficos dependen
*
aproximadamente de la temperatura Iuego
•
Las
exper-iencias dermesrran que debe considerarsc los calores especfficos
cit'm de dos de las variubles p. y, T. Vease
excerteocras de \Vitskowki
en
general fun­
�plicacion
(-�l
d
per
consiguiente
driamos
con
R
v
�
de La
term.?�in�mica
�C_)
0
dp
p
a
219
,_os gases
0
�
v
si [a ecuacion de dicho fl6ido venfica la ecuacion p
IZ T
v
ten-
constance
5 'T
R
opov
y
reemplazando
en
(5)
se
deduce
entonces
C-c
6)
En
R
esra
especfficos
forma el
equivalente
de los gases; la
calor A
mecanlcc del
constante
R
cs
conoeida
can
se
deduce de los calores
gran precision.
7) Exbresiones de los calores esbecificos.
Determinaremos
principia de
ahara las expresiones de los calores
equivalencia
Haciendo
v
constante en
la ecuacion
(4)
se
obtiene.
de donde
7)
c
\
_cl�J
d T Iv
Consideremos la identidad:
d A p
Sumando miembro
y hacienda p constante
a
v
�
miembrc
se
deduce
A p dv + A
can
v
dp
(4) obtenemos
especiticos
con forme
al
�na;les d__el instituto .:}_� Ingenieros de �hile
220
C�
[Cl(V+APV)]
dT
P
(8) representan. pues. las exbresiones generales de los calo­
res especificos a volumen y presion constante respectivamente.
Haremos una aplicacion de estas formulas. Es muy conocida la clesica expe­
riencia de Joule en la que demuestra que Ia energfa interna y' depende 5610 de Ia
Las formulas (7) y
temperatura.
v
�
fiT)
Admitiendo la exactitud de dicha experiencia la ecuaci6n (7
(9)
es
decir que e1 calor
ratura, y la ecuacion
especifico
presion
a
da
(T)
especffico a volumen constante dependerfa solo
R T,
(8) nos da si admitimos ademas p v
=
de la tempe­
calor
para el
constentc
C�f(T)+AR
10)
y
f
�
c
nos
de (9) y (10)
se
deduce
C-c
MOVIMIENTO
PERMANENTE DE UN
Sea ABC D la
A' 8' C' 0'
su
posici6n
posicion en eJ
el
en
=
DR
FLUiDO. ESPERfENCIAS
instante t
instante t-l-dt.
cion
de
DE
\V, THOMSON
cierta
una
el
Aplicando
de la energfa,
de
mase
de
principia
ecuacion
(2)
flufdo,
conserva­
en
que
se
ha incluido
diente
a
II)
d W
la diferencia
entre
la
energta
I
A' 8' C 0
I
permanente. Par constguiente dW sera
L
._._"-_
_
•
es
I
--L
iguales
AdW+dU+AdT- so
cmetica de A' Sf C' y ABC D. AI to­
mar
esa
diferencia la energfa cinetica de
IZ,
II! 0
edemas el termino correspon­
Ia enerjia cinetica \\/ obtenemos
Sean dm
estas masas,
1
.�
vola
a
se
elimina si el
regimen es
igual
la diferencia de las energfas cineticas de
CDC' D' y A B A' B' cuyas
veloctdad en AB y v t en CD luego
mesas
son
Otras eypericneias mas ngurosas demuestran que [a ley de Joule no ee ngurosarnenee
Segun dicha ley el calee a volumen constante debe-ria depender solo de T. 10 que esre en
contradicci6n con medidas experimentales mas precisas.
exacts.
221
dW�
dm
2
2
Si
designamos por
VI)
Y
Vi
las energies
A B A' 8' y CDC' D respectivamente,
dV
puestc que la
energfa
�
II
(V, -vol
---
-
Vol
masa
en
tomar
la
escrtbir
podemos
(Vi
de la unidad de
internes
dm
interna de 18 parte cornun A'B' CD
elimina al
se
diferencia.
Sabemos puc d T representa
en este case es
en
negative puesto que
producen trabajo y
son
la f6rmula
en
el traba]c esterior realizado,
nuestro C8SO tenemos
la pesantez y las presiones.
y z las distancias de los
Si representarrros per
y CD sobre
un
de
centros
Zo
plano horizontal, el trabajo correspondiente
que
fuerzas estertores que
a
las
Sean 000 Y Wi las areas AB y CD respectivamente Po Y Pi
rrespondientes: el trabajo de las preciones se escribe entonees
gravedad
presiones
de AS
es
las presiones
co­
Ademas
siendo
Po
y P 18s densidades
en
AB y CD:
luego
_I'___ 1
p
dm
)
Por consiguiente
dT
-
y
reemplaaa-tdc
en
g
(z,
-
Zo)
dm +
p.o._
P,
-
-�-)
P9
Po
boj,
que
P
-_
+ g ( Z,-Zo )
P
puede despreciar el termino g (Zl
zo)'
esperiencia de Thomson el gas pasa por un tuba de madera
contiene en crerto lugar un tapon de algod6n en rama 0 de seda des-
Para los gases
En la
dm
(II),
12)
de
-
celebre
se
�
222
lnstiiuie de
Ana��� ��l
Ingenieros
de
hilada. Establecido el regimen permanente, las medidas
Chile.
proporcionan
varia­
una
cion de temperatura muy pequefia. Como el tuba esta completamente aislado con­
0: edemas a causa del frotamiento consi­
tra todo efecto termico esterior d Q
=
derable que
del gas.
esperimenta el
Designemos
gas
por V
puede despreciar los cuadrados de las .velocidades
se
1
=
el
volumen
especffico. Luego
la ecuacion
12
p
da
nos
(13)
Designemos
por
la razon entre el aumento de temperatura y de
�
(d T
(14)
es
\
=6
�
(
d
presion.
pi'
Las esperiencias en diversos gases han demos­
aproximadamentc de la temperatura solemente, que 1a
10 que llama efecto Thomson.
trado que
presion
� depende
muy
tiene poea infiuencia
Thomsen
interpretaba
la funcion
en
sus
esperiencias
�.
en
los gases por Ia formula
( 15)
en
la cual K
era
una constante
caracterfstica de cada gas.
Aplicacion del primer principio
Considerando p y T
*
( 15)
d
(V + A
p
como
v)
Consideramos ahora
mos
la
=
una
de Termodinamica
variables
[_cd
l
V+A__P_")_]
d p
transformaci6d
ecuacion anterior; obtendremos
a
las esberiencias de Thomson:
independientes podemos
T
con
dp +
l
d
(V
V + A p
poner
+ A p
v)
dT
1
d T
p
_
v
=
Cte
y
aplique-
entcnces
(16)
Perc
segun hemos
vista anteriormente
(
\
son
�
•
;
ademas
segun
Esta ecuaci6n
eeuaci6n
significa
que d
primer principia de Termodinamica.
__
?.2'_'
dp Ju+APV
es
el efecto Thom-
(8)
(V + A
p
v)
es
diferencial exacta. 10 que sabemos
yu
por el
Aplfcacion de
es
el calor especifico
[
(17)
y
reemplazando
(V +
d(V+Apv)
dp
Ap v)
+
v) siendo
Ap
1
T
una
�
-e�dp +
(16)
se
deduce
dT
T
dp
Gcl T
poderuos escribir
diferencial exacta,
(�1
p
�
dp )V
no
en
�-e�
Analicemos ahara la experiencia de Thomson.
�
22J
los gas.�!.
Luego reemplazando
(�) �-(�l
( 18)
5i
a
(15) obtenemos
en
d(V
Pero d
constante.
presion
(I
la t�'rilodindmica
Cons.oeremos la relacion:
�
+ A pv
dependiera de la temperatura Ia mregracion de la ecuacton
nos
da
"
d
�p+f(V+Apv)
I-t.
�
( 19)
.
siendo f
(V +
A
Dertvando
p
v)
Iuncion arbitraria de V + j\ P
una
ecuacion
esta
_I
�
f'
�
y
eplicando
ecuacion
p
(V +A p}'
1
(19)
constante
[ci(V
+
v
obtenemos
A.r>
d T
\:J]
p
(8):
(20)
De
can
f'(V+Avp)
e�
y
(20)
se
deduce entonces
(21)'
•
cen
En todos los tratados de Termodinamica analizando las
las ecuacioncs
cipia
( 18)
y
para establecer las
(21) apoyandose
en
los dos principios
,
expertenctes
sin
embargo
de Thomson estable­
basta el primer prin­
224
Es
que
esta
especffico
presion
a
Hemos vista que f
(V
necesario hacer
es
reemplacemos �
Chile
(18)
Ia temperatura. Por consiguiente SI
�
K-
+
una
�
=
en
la
hip6tesis
de
�obtenemospa.
1"
constante
1"
C
narla
de_!_1l:l{_enieT01l cio
la solucton de la ecuaci6n diferencial
entonces
� depende solo de
el calor
fa
del Instilulo
Ilnales
(T'
F
--
3K
P +
m
)
Apv) cs una funcion indeterrninada. Para determl­
hip6tesis. Para esto consideramos la ecuacion (20) y
K
por
-
T'
'r­
-�f'(V+Apv)
CK
En
un
ademas
nal
se
a
c
gas
se
aproximadamente que V depende de T solamente,
segun (7) la energfa interna serla proporcio­
aproximadamente proporcional a T. Por consiguiente
admitir
puede
varia muy poco y entonces
1'; igualmente A p v
podria escribirse la ecuacion anterior
deduce que
f' (V +
puesto que C varia muy poco.
f
y
reemp'azando
en
(V
Ap v)
�
a
Luego
-" (V + Ap v)'
+ A p ,)
3
(19)
ka
aplicando
1a forma
(V + Ap v)'
V+APV�3V-T'_'(P
y
en
ecuacicn
m)a
(8) obtenemos
(22)
Con rnotivo de
do las
esta
formula debemos hacer
experiencias de Witkowki
C
�
en
notar
que
Linde
ha
interpreta­
el aire par la formula
0,237
------
[1-_(>l�,Opl!
(Continuara).