Práctica 5. Regla de la cadena. Derivadas direccionales. Gradiente

Práctica 5. Regla de la cadena.
Derivadas
direccionales.
Gradiente. Extremos relativos.
Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.
Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de
Gestión
1.- Regla de la cadena
Mathematica conoce la regla de la cadena para funciones de una variable independiente
In[1]:=
Out[2]=
Clear@"Global`∗"D
D@f@x@tD, y@tDD, tD
y @tD fH0,1L @x@tD, y@tDD + x @tD fH1,0L @x@tD, y@tDD
y también para funciones de dos variables independientes
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
D@f@x@t, sD, y@t, sDD, tD
fH1,0L @x@t, sD, y@t, sDD xH1,0L @t, sD + fH0,1L @x@t, sD, y@t, sDD yH1,0L @t, sD
D@f@x@t, sD, y@t, sDD, sD
fH0,1L @x@t, sD, y@t, sDD yH0,1L @t, sD + xH0,1L @t, sD fH1,0L @x@t, sD, y@t, sDD
Ejemplo 1. Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las
ecuaciones paramétricas siguientes:
x1 = 4 cosHtL, y1 = 2 senHtL,
(Primer objeto)
x2 = 2 senH2 tL, y2 = 3 cosH2 tL, (Segundo objeto)
¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando
t=p?
In[5]:=
Clear@"Global`∗"D
El siguiente programa genera una animación de los dos objetos moviéndose a lo largo de sus trayectorias y de como varía
la distancia entre ambos:
2
Practica5.nb
In[6]:=
Clear@"Global`∗"D
Manipulate@grafico =
88RGBColor@0, 0, 1D, Circle@80, 0<, 84, 2<D<, 8RGBColor@1, 0, 0D, Circle@80, 0<, 82, 3<D<,
8RGBColor@0, 0, 1D, Disk@84 Cos@iD, 2 Sin@iD<, 0.2`D<,
8RGBColor@1, 0, 0D, Disk@82 Sin@2 iD, 3 Cos@2 iD<, 0.2`D<,
8RGBColor@0, 1, 0D, Line@884 Cos@iD, 2 Sin@iD<, 82 Sin@2 iD, 3 Cos@2 iD<<D<<;
Show@Graphics@graficoD, AspectRatio → Automatic, AxesOrigin → 80, 0<,
PlotRange → 88−5, 5<, 8−4, 4<<, Background → [email protected], 8i, 0, 2 π, 0.05<D
i
Out[7]=
Definimos la distancia y las ecuaciones paramétricas.
In[8]:=
Hx1 − x2L2 + Hy1 − y2L2
d@x1_, x2_, y1_, y2_D :=
x1@t_D := 4 Cos@tD
y1@t_D := 2 Sin@tD
x2@t_D := 2 Sin@2 tD
y2@t_D := 3 Cos@2 tD
Aplicamos la regla de la cadena.
In[13]:=
der = ∂x1 d@x1, x2, y1, y2D ∗ x1 '@tD + ∂x2 d@x1, x2, y1, y2D ∗ x2 '@tD +
∂y1 d@x1, x2, y1, y2D ∗ y1 '@tD + ∂y2 d@x1, x2, y1, y2D ∗ y2 '@tD
2 Hy1 − y2L Cos@tD
Out[13]=
Hx1 − x2L + Hy1 − y2L
2
4 Hx1 − x2L Sin@tD
2
Hx1 − x2L2 + Hy1 − y2L2
In[14]:=
−
4 Hx1 − x2L Cos@2 tD
Hx1 − x2L + Hy1 − y2L
2
+
6 Hy1 − y2L Sin@2 tD
Hx1 − x2L2 + Hy1 − y2L2
der1 = der ê. 8x1 → x1@tD, x2 → x2@tD, y1 → y1@tD, y2 → y2@tD< êê Simplify
−Cos@tD − 21 Cos@3 tD − 6 Sin@2 tD − 5 Sin@4 tD
Out[14]=
−
2
H3 Cos@2 tD − 2 Sin@tDL2 + H4 Cos@tD − 2 Sin@2 tDL2
Practica5.nb
Evaluamos la derivada en t=p para obtener la velocidad.
In[15]:=
der1 ê. t → π
22
Out[15]=
5
Podemos resolver el problema de otra forma: calculamos la función compuesta y la derivamos como función de una
variable.
In[16]:=
Out[17]=
In[18]:=
g@t_D := d@x1@tD, x2@tD, y1@tD, y2@tDD
g@tD
H−3 Cos@2 tD + 2 Sin@tDL2 + H4 Cos@tD − 2 Sin@2 tDL2
g '@πD
22
Out[18]=
5
2.- Derivadas direccionales. Gradiente.
Si f(x,y) es diferenciable en un punto (a,b) entonces la fórmula que nos permite obtener la derivada direccional en la
dirección del vector (v1,v2) es
Dv f Ha, bL = ∂x f Ha, bL ∗ v1 + ∂y f Ha, bL ∗ v2
Se define el gradiente de f como “f(a,b)=(∑x f Ha, bL, ∑ y f Ha, bL). El gradiente nos da la dirección de máximo incremento
de la función en el punto (a,b).
3
4
Practica5.nb
Ejemplo 2. (Tema 3, ejercicio 29) La temperatura en el punto (x,y) de una placa
-Ix 2 +yM
metálica se modela mediante T(x,y)=400 e
In[19]:=
2
.
Clear@"Global`∗"D
−Hx^2+yL
2
T@x_, y_D := 400
Plot3D@T@x, yD, 8x, 2, 4<, 8y, 4, 6<D
Out[21]=
ü (a) Hallar las direcciones sobre la placa en el punto (3,5) en las que no hay
cambio en el calor.
In[22]:=
Out[22]=
In[23]:=
Out[23]=
∂x T@x, yD ∗ v1 + ∂y T@x, yD ∗ v2
1
−200
2
I−x2 −yM
v2 − 400
2
I−x2 −yM
∂x T@x, yD ∗ v1 + ∂y T@x, yD ∗ v2
−
1200 v1
7
−
v1 x
0 ê. 8x → 3, y → 5<
200 v2
0
7
1200 v1
In[24]:=
1
SolveB−
7
−
200 v2
7
0, 8v1, v2<F
Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. à
Out[24]=
::v1 → −
v2
6
>>
En las direcciones de los vectores (-1,6) y (1,-6) no hay cambio de calor porque la derivada direccional vale 0.
Practica5.nb
ü (b) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3,5).
In[25]:=
Out[25]=
In[26]:=
Out[26]=
9∂x T@x, yD, ∂y T@x, yD=
:−400
1
2
I−x2 −yM
x, −200
1
2
I−x2 −yM
>
9∂x T@x, yD, ∂y T@x, yD= ê. 8x → 3, y → 5<
:−
1200
7
,−
200
7
>
200
La dirección del gradiente (− 1200
7 , −
7 ) (que es la misma que la del vector (-6,-1)) es la de mayor incremento y
además el valor del ritmo de cambio es
1200
In[27]:=
−
Out[27]=
1.10935
7
2
+ −
200
7
2
êê N
3.- Extremos relativos
El estudio de los extremos relativos de una función real de dos variables reales se hace en dos etapas. En primer lugar
se calculan aquellos puntos que anulan todas las derivadas parciales, que serán los posibles máximos o mínimos.
Posteriormente utilizaremos el criterio de las derivadas parciales segundas que nos da condiciones suficientes para la
existencia de extremos relativos estudiando el Hessiano de la función f en los puntos críticos.
Ejemplo 3. Calcular los extremos relativos de la función f:2 ô definida
por f(x, y) = 2 x 2+ y 2+ 8x - 6y + 20
In[28]:=
Clear@"Global`∗"D;
f@x_, y_D := 2 x2 + y2 + 8 x − 6 y + 20
Para calcular los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones obtenido al igualar las derivadas parciales a cero.
In[30]:=
Out[30]=
SolveA9∂x f@x, yD
88x → −2, y → 3<<
0, ∂y f@x, yD
0=, 8x, y<E
El punto (-2,3) es un posible máximo ó mínimo de la función. Calculamos ahora la matriz hessiana de la función.
In[31]:=
MatrizHessiana@fD@x_, y_D =
∂x,x f@x, yD ∂x,y f@x, yD
∂y,x f@x, yD ∂y,y f@x, yD
MatrixForm@MatrizHessiana@fD@x, yDD
Out[32]//MatrixForm=
4 0
0 2
;
5
6
Practica5.nb
Observar que, en este caso, la matriz hessiana tiene el mismo valor para cualquier punto (x,y). Así, en particular, en el
punto (-2,3) es:
In[33]:=
MatrizHessiana@fD@−2, 3D êê MatrixForm
Out[33]//MatrixForm=
4 0
0 2
In[34]:=
Hessiano@fD@x_, y_D = Det@MatrizHessiana@fD@x, yDD;
In[35]:=
Hessiano@fD@−2, −3D
Out[35]=
8
Como el Hessiano (determinante de la matriz hessiana) en el punto (-2,3) es mayor que 0 y ∑x,x f H-2, 3L = 4 > 0 se
concluye que hay un mínimo relativo en dicho punto. La representación gráfica de la función f considerada nos
confirma el resultado obtenido.
In[36]:=
Plot3D@f@x, yD, 8x, −3, −1<, 8y, 2, 4<, PlotRange → 83, 4<D
Out[36]=
Ejemplo 4. Calcular los extremos relativos de la función f:2 ô definida
por f(x, y) = x 2 y 2 .
In[37]:=
Clear@"Global`∗"D;
f@x_, y_D := x ^ 2 y ^ 2
Para calcular los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones obtenido al igualar las derivadas parciales a cero.
In[39]:=
SolveA9∂x f@x, yD
0, ∂y f@x, yD
0=, 8x, y<E
Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. à
Out[39]=
88x → 0<, 8x → 0<, 8y → 0<, 8y → 0<<
Practica5.nb
In[40]:=
Out[40]=
ReduceA9∂x f@x, yD
x
0 »» y
0, ∂y f@x, yD
0=, 8x, y<E
0
Los puntos de la forma (x,0) y (0,y) son puntos críticos. Calculamos ahora la matriz hessiana de la función.
In[41]:=
MatrizHessiana@fD@x_, y_D =
∂x,x f@x, yD ∂x,y f@x, yD
∂y,x f@x, yD ∂y,y f@x, yD
;
MatrixForm@MatrizHessiana@fD@x, yDD
Out[42]//MatrixForm=
2 y2
4xy
4 x y 2 x2
Calculamos la matriz hessiana en los puntos de la forma (x, 0).
In[43]:=
MatrizHessiana@fD@x, 0D êê MatrixForm
Out[43]//MatrixForm=
0 0
0 2 x2
In[44]:=
Hessiano@fD@x_, y_D = Det@MatrizHessiana@fD@x, yDD;
In[45]:=
Hessiano@fD@x, 0D
Out[45]=
0
Como el Hessiano (determinante de la matriz hessiana) en los puntos (x,0) es 0 el criterio no decide. Calculamos ahora
la matriz hessiana en los puntos de la forma (0,y).
In[46]:=
MatrizHessiana@fD@0, yD êê MatrixForm
Out[46]//MatrixForm=
2 y2 0
0
0
In[47]:=
Hessiano@fD@x_, y_D = Det@MatrizHessiana@fD@x, yDD;
In[48]:=
Hessiano@fD@0, yD
Out[48]=
0
Como el Hessiano (determinante de la matriz hessiana) en el punto (0,y) es 0 el criterio tampoco decide. Veamos la
representación gráfica de la función.
7
8
Practica5.nb
In[49]:=
Plot3D@f@x, yD, 8x, −3, 3<, 8y, −3, 3<, PlotRange → 80, 10<D
Out[49]=
Estudiando directamente la función, como f Hx, yL = x2 y2 ¥ 0 = f Hx, 0L = f H0, xL entonces en cualquier punto del Eje
X o del Eje Y la función alcanza su mínimo absoluto.
Ejemplo 5. Calcular los extremos relativos de la función f:2 ô definida
por f(x, y) = y 2 - x 2.
In[50]:=
Clear@"Global`∗"D;
f@x_, y_D := y ^ 2 − x ^ 2
Para calcular los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones obtenido al igualar las derivadas parciales a cero.
In[52]:=
Out[52]=
SolveA9∂x f@x, yD
88x → 0, y → 0<<
0, ∂y f@x, yD
0=, 8x, y<E
El punto (0,0) es un posible máximo ó mínimo de la función. Calculamos ahora la matriz hessiana de la función.
In[53]:=
MatrizHessiana@fD@x_, y_D =
∂x,x f@x, yD ∂x,y f@x, yD
∂y,x f@x, yD ∂y,y f@x, yD
;
MatrixForm@MatrizHessiana@fD@x, yDD
Out[54]//MatrixForm=
−2 0
0
2
Observar que, en este caso, la matriz hessiana tiene el mismo valor para cualquier punto (x,y). Así, en particular, en el
punto (0,0) es:
In[55]:=
MatrizHessiana@fD@0, 0D êê MatrixForm
Out[55]//MatrixForm=
−2 0
0
2
In[56]:=
Hessiano@fD@x_, y_D = Det@MatrizHessiana@fD@x, yDD;
Practica5.nb
In[57]:=
Out[57]=
Hessiano@fD@0, 0D
−4
Como el Hessiano (determinante de la matriz hessiana) en el punto (0,0) es menor que 0 se concluye que hay un punto
de silla en dicho punto. La representación gráfica de la función f considerada nos confirma el resultado obtenido.
In[58]:=
Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Out[58]=
4.- Ejercicios propuestos
Ejercicio 1. Hallar ∂r w y ∂q w utilizando la regla de la cadena para w=x cos(y
z), x=r 2 , y=q2, z=r-2q.
Ejercicio 2. T(x,y) representa la temperatura en grados centígrados en un
punto (x,y), donde x e y se miden en centímetros. Un gusano se arrastra de tal
forma que x = 1 + t , y = 2 + t ê 3 expresan su posición después de t segundos.
ü (a) Representa la trayectoria del gusano. ¿En qué punto se encuentra el
gusano después de 3 segundos?
ü (b) Sabiendo que ∂x TH2, 3L = 4 y ∂y TH2, 3L = 3. ¿Cuál es el ritmo de cambio de
la temperatura en la senda del gusano después de 3 segundos?
Ejercicio 3. Un montañista está escalando una montaña cuya altura está dada
por la función
9
10
Practica5.nb
h(x,y)=1000- 0.005 x 2 - 0.01y 2 y se encuentra en el punto con coordenadas
(60,40,966) . El eje X positivo apunta hacia el este y el eje Y positivo hacia el
norte.
ü (a) Si camina con rumbo sur, ¿empezará a ascender o descender?, ¿con
qué pendiente?
ü b) Si camina hacia el noroeste, ¿empezará a ascender o descender?, ¿con
qué pendiente?
ü (c) ¿En qué dirección es más grande la pendiente?, ¿cuál es la pendiente
en esa dirección?, ¿en qué ángulo sobre la horizontal inicia la trayectoria
hacia esa dirección?
Ejercicio 4. Dada la función f(x,y)=y 3 - 3 x 2 y - 3 y 2 - 3 x 2 + 8, estudiar la
existencia de extremos relativos. Representarla gráficamente en un entorno
de cada extremo.
Ejercicio 5. Dada la función f(x,y)=3 x ey - x 3 - e3 y probar que tiene un punto
crítico en el que alcanza un máximo local pero que no es máximo absoluto.