ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA

ÁLGEBRA Y
TRIGONOMETRÍA
EJERCICIOS SEGUNDA FASE
27/05/2011
PREPARATORIA”IGNACIO RAMIREZ CALZADA”
ING. ROBERTO MERCADO DORANTES
1
Triángulos rectángulos
1. Una escalera de 6 metros esta apoyada en el extremo superior de una pared. Si el
ángulo de elevación es de 600, calcula la altura de la pared.
A
Solución
h=5.196metros
h
6metros
C
B
2. Calcula el ángulo de depresión de los rayos del Sol cuando un poste de 4.5m proyecta
una
sombra de 2m.
A
Solución
A=23044’
4.5m
C
2m
B
3. La torre Latinoamericana ubicada en la ciudad de México tiene una altura de 182, ¿A
0
qué distancia debo colocarme de ella para verla con un ángulo de elevación de 76 ?
760
2
4. Un avión de reconocimiento localiza un barco, a un ángulo de depresión de 400. Si el
avión vuela a 3500 metros de altura, ¿Cuál es la distancia entre el avión y
el barco?
400
3500m
d
5. Se quiere construir una autopista de manera que cada 1000 metros se eleve 85
metros, calcular el ángulo de elevación y la longitud de la carretera en ese tramo.
85 m
1000m
6. Un buque navega 32 km al sur y después 15 km al oeste.
Determinar el rumbo que debe tomar para regresar a su punto de partida.
3
7. Calcular el área del siguiente triángulo rectángulo
35.03 metros
20metros
8. Un barco recorre 205 km con dirección N 560 E; en seguida recorre 813 km en
dirección S340E. ¿Qué distancia debe recorrer el barco para llegar a su punto de
partida y con que ángulo de dirección en relación con su ultima posición?
4
9. Con un alambre de 5.6 metros de longitud se forma un triangulo rectángulo. Se desea
conocer las medidas de sus ángulos internos, si dos lados son exactamente de
2.4metros y 0.7 metros.
10. Durante un aterrizaje el piloto desea pasar 190 metros arriba de un edificio de 11
pisos de altura y tocar tierra a 400 metros más allá del edificio. Obtener el ángulo de
descenso, considerando que cada piso mide 2.5metros de altura.
180 metros
400 metros
5
Triángulos oblicuángulos
1. Un terreno de siembra de forma triangular mide 140 m y 130 m de cada lado y el
ángulo opuesto al primer lado es de 500. Calcular el perímetro del terreno.
C
130m
140m
50
A
B
c
Para conocer el perímetro necesitamos calcular la medida del tercer lado “c”
Datos
A=500
b=130m
a=140 m
Solución
P=140+130+181.96
P=451.96
2. Para calcular la distancia entre dos puntos a las orillas de un lago, se establece un
punto P a 100m del punto M; al medir los ángulos resulta que <M=1100 y <P=400.
¿Cuál es la distancia entre los puntos M y Q?
Solución: Se realiza una figura que represente el problema
M
Q
100m
P
Ley de Senos
La distancia entre los puntos M y Q es de
128.54m
6
3. Un observador se encuentra en un punto P que dista de dos edificios, 250m y
380m, respectivamente. Si el ángulo formado por los 2 edificios y el observador es
38020`; encuentra la distancia entre los dos edificios.
Solución:
250m
380 20'
La distancia entre los
dos edificios es
240.55m
380m
P
Ley de cosenos
4. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 74 023’.
Después de una hora, uno de ellos se encuentra a 225 km de la ciudad, mientras
que el otro esta a 300 km de esta. ¿Cuál es la distancia entre ambos aviones?
225k
740 23'
300km
Solución:
La distancia entre ambos
aviones es de 322.92km
7
5. Resuelve el siguiente triangulo oblicuángulo de acuerdo con los datos
proporcionados.
C
b
a
A
B
c
a) B
b) A
0
'
43 39 , b 18
0
'
37 0 20 ' , c
57 20 , C
63 24 , C
0
'
c)a 9, c 11.5, C 67 0 21'
d )a 15, b 12, c 20
Soluciones:
32.4
a)a
20.9, c 14.7, A
79 01'
b)b
52.4, a
79 016 '
c)b 11.4, A
d)A
47.7, B
46 014 ' , B
480 20 ' , B
66 0 24 '
36 0 42 ' , C
94 0 56 '
8
Sector circular
1. Determinar la longitud de la circunferencia y el área del circulo de 70 cm. de
diámetro.
Solución:
LC= 219.91cm,
A= 3848.46 cm2
2. Calcular el radio de una circunferencia de longitud 384cm.
Solución:
r= 61.11cm
9
3. Calcular el radio de una circunferencia de área 384 cm2
Solución:
r= 11.05cm
Desarrollo:
1. La cara externa de una caldera se hace de una placa circular plana; su área es
de 40m2. Calcular el diámetro de la caldera.
Solución
D= 7.13 cm.
Desarrollo:
10
2. Una placa semicircular tiene un diámetro de 3m. Determinar su área y
perímetro.
Desarrollo:
Respuesta
A = 3.53m2
P = 4.71 m
51. Calcular el área de un sector circular de 750, cuyo radio mide 2m
Operaciones:
11
52. Calcular el perímetro y área de un sector circular de ángulo central igual a 2700 y radio
de 5cm. (utiliza tu estuche geométrico para representar con una figura las condiciones
del problema)
53. Un limpiador de parabrisas de un automóvil mide 60 cm de largo y el hule mide 40 cm
si al moverse gira un ángulo de 1050;calcular el área que limpia
Operaciones:
1050
40cm
54. Un reloj de péndulo tiene una longitud de 40cm. Si el ángulo de oscilación es de 290,
¿Cuánto recorre la lenteja del péndulo?
Procedimiento:
12
55. ¿Cuál es la longitud del segmento de arco interceptado por un ángulo de 1/3
radianes en un circulo cuyo radio mide 9 pulgadas.
56. Una rueda de automóvil tiene un radio de 11 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones tendrá
que completar para recorrer 200 pies?
Procedimiento:
13
Área y perímetros
1. Si un rectángulo tiene base 15cm y área 105cm2 ¿Cuánto mide su altura?
A) 7 cm
B) 10 cm
C) 90 cm
D) 15 cm
2. En un triángulo escaleno sus lados son números enteros consecutivos (por
ejemplo 6, 7 y 8). Encuentra la medida del lado menor si su perímetro es de 87
cm
A) 30 cm
B) 13 cm
C) 28 cm
D) 21 cm
3. Si el área de un cuadrado es 144 cm2. ¿Cuánto miden sus lados?
A) 17 cm
B) 36 cm
C) 14 cm
D) 12 cm
4. Se quiere empastar un terreno rectangular que es 10 metros más largo que
ancho y su perímetro es de 100 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto
necesitan comprar para empastarlo?
A) 120 m2
B) 900 m2
C) 875 m2
D) 600 m2
5. El perímetro de un triángulo equilátero es 60 cm más grande que la medida
de sus lados. ¿Cuánto miden los lados de dicho triángulo?
A) 15 cm
B) 20 cm
C) 30 cm
D) 12.5 cm
6. El área de un trapecio es de 64 cm2 su altura es de 8 cm y el de su base
mayor 12 cm. ¿Cuánto mide su base menor? Nota: No olvides escribir la
respuesta con sus unidades, es decir, dejando un espacio y poniendo: cm
7. Si el perímetro de un cuadrado es 36 cm más grande que uno de sus lados.
¿Cuánto mide su área?
A) 144 cm2
B) 81 cm2
C) 36 cm2
D) 121 cm2
14
8. Si el área de un triángulo es de 112 cm2 y su base es de 14cm ¿cuánto mide
su altura?
A) 20 cm
B) 8 cm
C) 7 cm
D) 16 cm
9. Si el perímetro de un rombo es de 48 cm ¿cuánto miden sus lados? Nota: No
olvides escribir la respuesta con sus unidades, es decir, dejando un espacio y
poniendo: cm
10. Si el perímetro de un cuadrado mide 20 cm. ¿Cuánto mide su área?
A) 5 cm
B) 25 cm2
C) 16 cm2
D) 400 cm2
Respuestas:
1. A 2.C 3.D 4.D 5.C 6. 4 cm 7.A 8.D 9. 12
cm 10.B
1. "Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los
animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 m. de largo y 20 m. de
ancho": ¿cuántos metros de alambre necesita?
2. "La señora María vive en una casa de un piso que tiene 72 m 2 construidos."¿Qué
superficie es mayor: la de tu sala de clases o la de la casa de la señora María?
¿Cuántos metros cuadrados tienen de diferencia, aproximadamente?
3. En una escuela han organizado una campaña de invierno de confección de
frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm por 20 cm. Si desean hacer
frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm de ancho: ¿Cuántos
cuadrados de lana se necesitan para una frazada? Si logran reunir 1.000 cuadrados
de lana ¿cuántas frazadas se pueden confeccionar? ¿Sobran cuadrados?
1Hallar
la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:
15
2.
Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
3.
Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:
Funciones trigonometricas de arcos
1. Marque en una circunferencia unitaria, los arcos siguientes, partiendo de la posición
normal y determine su arco reducido (utilice colores diferentes)
a)U 0.49
b)U 1.84
c)U 3.96
d )U 5.6
a)
b)
16
c)
d)
2. Obtener el valor de las razones trigonométricas de los siguientes arcos de circunferencia
unitaria utilizando calculadora.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
s = 1.13
s = -2.85
s = -1.52
s = 4.42
s = -6.93
u=3
g) u = 2
4
h) u = 3
7
i) u = 6
OBTENCIÒN DEL ARCO DADO EL VALOR DE SU RAZÒN TRIGONOMÈTICA
2. Calcule el valor del número real u tal que 0
trigonométrica
a)
b)
c)
d)
e)
f)
u
radianes, dado el valor de su razón
u = arccos0.25
u = arctan2.15
u = arcsen0.74
u = arc sec 2.36
u = arc cot 3.15
u = arc csc5.12
17
3. Calcule el valor del número real u, para los casos siguientes. Considere que 0
radianes
a) senu
0.2254,
si u
CI
b) cosu
0.468.
si u
CII
c) tan u
3.567,
si u
d) cscu
2.7893,
si u
e) secu
4.2346,
si u
f) cotu
1.674,
(obtenga las dos soluciones)
g) cosu
0.866,
(obtenga las dos soluciones)
u 2
CII
CII
CIV
4. Traza los siguientes arcos en diferentes circunferencias unitarias, y obtén su arco
reducido en cada caso. Indica el cuadrante al que pertenecen.
a) u
0.45
b) u
1.57
c) u
2.24
Soluciones (1)
Razones
trigonométricas
de un arco
senu
0.9044
-0.9987
cosu
tanu
0.4266.
2.1197
0.0507
-19.6695
cotu
0.4717
-0.0508
secu
cscu
2.3437
1.1056
19.6949
-1.0012
(a)
(b)
(c )
(d)
(e)
0.6026
0.7980
0.7551
1.3241
1.2531
1.6593
(f)
(g)
(h)
(i)
1.0000
-0.5000
0.0000
-0.8660
0.5773
0.0000
1.7320
1.0000
-1.1547
-2.0000
18
Soluciones 2
(a)
1.3181
(b)
(c)
0.8330 y 2.3085
(d)
(e)
0.3073
(f)
(f)
(g)
2.6179 y 3.6652
Soluciòn3
(a)
0.2273
(b)
(c)
1.8441
(d)
(e)
4.9507
Soluciones 4
(a)
0.45
(b)
(c)
0.9015
Graficas de funciones trigonometricas
Recorrido de sen
Dominio de la función
cuando crece de
00
a 900
0
90
a 1800
1800 a 2700
2700 a 3600
y
cos
sen
Crece de
Decrece de
Decrece de
Crece de
oa1
1a0
0 a -1
-1a 0
cos
Decrece de
Decrece de
Crece de
Crece de
1a0
0 a -1
-1 a 0
0a1
1. Grafique las siguientes funciones trigonometricas, escriba su dominio, rango y
principales características.
a ) y senx;0 x 2
b) y 3senx;0 x 2
c) y 5sen 4 x;0 x 2
d ) y 6 sen (3 x
)
19
a)
b)
20
c)
d)
21
2. Grafique las siguientes funciones trigonometricas, escriba su dominio, rango y
principales características.
a) y cos x;0 x 2
b) y 3 cos x;0 x 2
c) y 5 cos 4 x;0 x 2
d ) y 6 cos(3x
)
a)
22
b)
23
c)
d)
24
Identidades trigonometricas
Identidades trigonométricas fundamentales
a) Identidades de recíprocos
1.Senu Cscu 1
2.Cosu Secu 1
3.Tanu Cotu 1
b) Identidades de división
1.Tanu
2.Cotu
Senu
Cosu
Cosu
Senu
c) Identidades de cuadrados o Pitagóricas
1.Cos 2 u
Sen 2 u
1
2
Sec u
2
Csc 2 u
2.1 Tan u
3.1 Cot u
2
1. Reduce la primera expresión a la segunda en cada uno de los siguientes incisos.
25
1.senu sec u , tan u
2. tan u csc u , sec u
3. cot u tan u , senu
2
2
2
4. cot u sec u , csc u
5. sec u tan u cos u cot u ,1
Las reducciones se dejan a cargo del
estudiante
Verifica la validez de las siguientes identidades
cos2 u
1
1 senu
cosu senu
2.
cosu senu
3.(1 cos2 u )(1
1.
senu
Soluciones
1 tan u
1 tan u
tan 2 u ) tan 2 u
1. Identidad
2. No es una identidad
1 cos4 u
1 cos2 u
sen 2 u
senu
cosu
5.
1 cosu 1 senu
3. Identidad
4.
Los ejercicios 4 y 5 se dejan a
cargo del estudiante
Ecuaciones trigonométricas
0
Resolver las siguientes ecuaciones para 0
A < 3600 , ó 0
A< 2
Soluciones:
1.2senA 1 0
2
2.senA 2sen A 0
2
3.sen A 2senA 0
4.senA senA cot A 0
5. cos A 2 cos AsenA 0
1.30 0 ,1500
7 11
,
6 6
3.0 0 ,1800
5
4. ,
4 4
5,30 0 ,90 0 ,1500 ,2700
2.0, ,
26