Matemáticas y razonamiento

Matemáticas y razonamiento:
miradas externas
Ángel Requena Fraile
JAEM XV, Gijón 2011
Estaba en mundos gráciles
cuando...
Yo amo los mundos sutiles,
ingrávidos y gentiles
como pompas de jabón
A. MACHADO
Matemáticas, ¿para qué?
I
INFORME COCKCROFT (1982)
1) Poderoso medio de comunicación
2) Utilidad práctica
3) Atractivo como arte y diversión
Para pensar, si pero no exclusivo
Informe Cockcroft
„
A menudo se sugiere que las matemáticas deben
estudiarse para desarrollar facultades de
razonamiento lógico, precisión y visión espacial. El
estudio de las matemáticas ciertamente puede
contribuir a estos fines, pero su incidencia depende
del modo que se enseñen … Así pues, creemos que
la necesidad de desarrollar estas facultades no
constituyen en si misma una razón suficiente para
estudiar matemáticas preferiblemente a otras
materias.
Matemáticas, ¿para qué?
II
JUAN ANTONIO GARCÍA CRUZ
El desarrollo de la capacidad de razonamiento
“durante mucho tiempo fue un argumento
generalmente usado sobre las virtudes de la
educación matemática, con el paso del
tiempo se ha convertido en un mito”
Matemáticas, ¿para qué?
III
MOGEN NISS
A diferencia de las reivindicaciones clásicas que
plantean que las matemáticas favorecen el
pensamiento lógico, la precisión, el lenguaje, el
sentido del orden,…, mi énfasis es proporcionar
educación para percibir lo general
¿Es un mito que la
matemática
desarrolle la capacidad de
razonamiento?
Manifiesto 2000 de la CIEAM
Nuestro objetivo es fundamentar el
establecimiento de la enseñanza de las
matemáticas como una asignatura que
permita poner en duda y criticar las
enseñanzas teóricas, además de
contribuir al ejercicio del pensamiento
Manifiesto 2000 de la CIEAM
¿Cómo explicar que las matemáticas conforman una
potente herramienta para consolidar los valores
democráticos, pues otorgan a a las personas la
capacidad del pensamiento crítico y les permiten
adoptar actitudes críticas? [Pág. 9]
¿Cómo puede la educación matemática potenciar el
desarrollo del razonamiento y la sabiduría por encima
de otras habilidades? [Pág. 10]
PISA y NCTM
„ PISA
(1 de 7):
Pensar y razonar
„ NCTM
(5 de 5):
Razonar matemáticamente
¿Hacemos lo que decimos?
„
„
La opinión generalizada del profesor es
que las matemáticas son esenciales para el
razonamiento.
¿Es nuestra práctica coherente con
nuestra opinión?
EDUARDO TORROJA
„
En las escuelas hay tanto que
aprender que apenas queda
tiempo para pensar
Razón y ser
A Neocles, que preguntaba
porqué el hombre es el animal
más sabio, respondió Platón:
porque sabe numerar.
Juan Caramuel
Una larga tradición
„
„
„
Escriba egipcio Ahmes
Tales
Pitágoras - Platón: iniciación
“No entre quien no sepa matemáticas”
„
„
„
„
Boecio
Roger Bacon, Nicolas de Cusa,…
Descartes/Espinosa/Leibniz
Los ilustrados
Jerónimo Girava (1533)
[La geometría] da armas a nuestros
ingenios, la que los exercita y los limpia.
Desta toman las demás artes su luz y
entendimiento.
Cosmográfo e ingeniero de Carlos V
Advertencia de Descartes
„
El álgebra de los modernos … está
sometida a ciertas reglas y cifras que se
han convertido en un arte oscuro capaz
de distorsionar el ingenio en vez de una
ciencia que favorezca su desarrollo
¿Y qué opinan los no
matemáticos?
Psicólogo
Stuart Sutherland
„
La segunda, y más importante, es que
las matemáticas son una herramienta
para el pensamiento racional. Es
imposible ser racional sin ellas, tanto si
se va a las carreras de caballos, como si
se diseña un avión o, como vamos a
ver, si se elige un empleado. [Pág. 273]
Stuart Sutherland
„
En tercer lugar, como demostraré hacia el
final del libro, tomar la mejor decisión, ya
sea en un tribunal o en la vida diaria, suele
implicar el uso de conceptos derivados de la
estadística elemental. Pocas personas tienen
a su disposición tales instrumentos de
pensamiento racional. Sin embargo, en mi
opinión, los numerosos errores que provoca
el desconocimiento de la matemática
elemental son tan evidentes que deben
considerarse irracionales. [Pág. 22]
Poeta
Valery: El trabajo de la mente
„
„
Hay quienes oponen la geometría a la poesía En
lo que a mí respecta, cuando la poesía
languidece, con gusto hago geometría, y a
menudo veo reaparecer la poesía por reacción
natural contra un abuso de geometría.
Los tres mejores ejercicios – los únicos quizá
para la inteligencia, son: hacer versos, cultivar
las matemáticas, y el dibujo.
Más de Paul Valery
„
„
Hacer matemáticas – es decir, hacer visible
y tangible todo el trabajo propio de la
mente sobre un problema dado -… es
totalmente embriagador.
La imaginación es siempre extrañamente
tímida. Son los matemáticos quienes más
lejos han llegado.
Poeta
Hans Magnus Enzensberger
„
…una aplastante mayoría renuncia por libre
decisión a apropiarse de un capital cultural de
inmensa importancia y máximo atractivo. [pág
17]
„
Naturalmente que esto plantea de nuevo la
enigmática cuestión de por qué el público sabe
ciertamente apreciar las catedrales góticas, las
operas de Mozart o las narraciones de Kafka,
pero no el método de recursión infinita o el
análisis de Fourier. [pág 19]
Estudioso de la
literatura y el
pensamiento
George Steiner
„
Pero el acceso a lo más hermoso hoy día, lo más
apasionante del pensamiento, oh catástrofe, no es la
novela (¿qué vale la novela?, ¡ni hablamos!). No
vivimos una alta era literaria sino una era científica. El
noventa por ciento de los científicos de todos los
tiempos viven hoy. Disponen de nuevas lenguas,
lenguas que no necesitan traducción: las
matemáticas. [pág 75]
Feminista
Motivación de S. Tobias
A la mayoría de las mujeres se les
había privado del placer y la potente
herramienta que es pensar
matemáticamente
Tobias: de militante a doctora
„
Mitos sobre la matemática: Mito 1, la
habilidad matemática es inherente a la
persona. Mito 2, la matemática se
comprende instantáneamente y del todo.
Mito 3, solo unos pocos pueden hacer
matemáticas. Mito 4, las matemáticas son
un dominio masculino. [pág 12]
Más de Sheila Tobias
„
Los Estándares [de la NCTM] marchan por
el camino justo: las matemáticas como
una herramienta de pensamiento y toma
de decisiones. [pág 39]
Catedrático
de derecho
y
constitucionalista
Michael Meyerson
„
El pensamiento inteligente en general y el
pensamiento legal en particular requiere
de modelos…Es mucho lo que las
matemáticas nos pueden enseñar sobre el
reconocimiento de los modelos legales.
[pág 12]
Maestro de
creatividad
Técnicas de pensamiento lateral
Técnicas de pensamiento lateral
Técnicas de pensamiento lateral
Técnicas de pensamiento lateral
Geógrafo
Profesor de
ciencias
políticas
Hayward Alker
„
Este libro no es en absoluto un recetario de
recursos estadísticos para politicólogos, sino
un intento de ilustrar cómo puede mejorar
nuestra comprensión de la política diversas
ideas importantes desarrolladas en la
historia de las matemáticas [pág 7]
Libro que ha marcado pautas
„
El hombre
anúmerico
(1988)
Más cuestionamiento del valor
formativo
„
Inés M Gómez-Chacón
En la actualidad estamos bombardeados por discursos que
presentan la matemática como indispensable, no solo sobre un
plano técnico y profesional, sino para ayudar a razonar en la
vida cotidiana...¿Es está una idea acertada?
„
Ángel Ramírez - Uno45
Queda todavía la pretensión de que los actuales estudios de
secundaria ayudan desarrollar la capacidad intelectual y, en el
caso de las matemáticas, la abstracción.
Hay consenso con
„
Jesús María Goñi
Estimo que puede defenderse que el denominado eje
formativo entra en crisis y que el argumento que defiende
que aprender matemáticas tiene interés en sí mismo,
porque el conocimiento matemático es una forma
elaborada de pensamiento que es valioso culturalmente,
deja de pesar lo suficiente a la hora de delinear las
nuevas propuestas...Habrá que saber reformular este eje
formativo desde nuevas perspectivas, porque realmente
no ha de olvidarse la importancia que puede y debe tener
la educación matemática para el desarrollo personal.
Terminando
„
„
No matemáticos encuentran en la
matemática una herramienta de
conocimiento y pensamiento, además de
placer estético, disciplina intelectual y
poderoso lenguaje para entender la ciencia
La enseñanza secundaria debe estar a la
altura de esa demanda
NCTM 2009
„
Enfocando en el
razonamiento y en
el sentido
FINES de los
Estándares 1990 de la NCTM
„
„
„
„
„
Valoración de las matemáticas
Sentimiento de seguridad
Resolución de problemas
Comunicarse con matemáticas
Razonar matemáticamente
¿De qué razonamiento
hablamos?
„
„
Formativo: hábitos de razonamiento
lógico, rigor, …
Razonamiento matemático como
herramienta auxiliar del
pensamiento
Concluimos con Puig Adam
„
Mientras un maestro de escuela se considera
fracasado si sus alumnos salen a la vida sin saber
leer, escribir y calcular correctamente; en cambio,
un bachillerato que no haya dejado grabado en la
memoria ninguna especie botánica, ninguna
declinación latina, ninguna formula trigonométrica,
podrá ser sin embargo un bachillerato eficaz si se
ha logrado despertar en el alumno la afición por la
lectura de las obras literarias, el hábito del
razonamiento cuidadoso, el amor a la naturaleza y
el sentido de la observación.
RESCOLDO
„
J. A. VALENTE:
Todo libro debe arder, quedar
quemado, dejar solo un residuo
de fuego
„
Todo curso de matemáticas debe …
Gracias por la atención
J F Méla
Président de la Société Mathématique de France 1987
„
J'ose dire que nous sommes la profession
qui a fait le plus d'efforts pour aborder de
front les problèmes éducatifs.
Salomon
Garfunkel
1994
1999
Salomon Garfunkel
„
Entendemos que dentro de uno o dos años
no recordará gran parte de las técnicas
aquí presentadas. Eso no es lo
fundamental, lo que si esperamos es que
haga algo de matemáticas,...y que mejore
su aprecio...En gran parte las matemáticas
no tratan de fórmulas ni de ecuaciones...
PISA
„
„
„
„
„
„
„
Pensar / razonar
Argumentar / justificar
Comunicar
Modelizar
Plantear y resolver problemas
Representar
Utilizar lenguaje simbólico, formal y
técnico
Una derivación fundamental
Las matemáticas que se usan
versus
matemáticas que se piensa que usan
versus
matemáticas que deberían usarse
en un mundo complejo, ultramatematizado y
tecnológicamente avanzado
Emilia Pardo Bazán
¡con que puro deleite se empapaba mi
inteligencia, docilitada por el estudio de las
matemáticas, en la doctrina del filósofo!
La cristiana (Pág. 165)
Luís Santaló (1990)
„
„
„
„
„
„
„
El mundo cambia rápido, la escuela puede quedarse atrás
Los jóvenes aprenden fuera, y mal, aquello que necesitan
Mejor poco y bien que mucho y mal. Mejor mente bien
poblada que llena.
Quitar polinomios y cierta álgebra e insistir en resolución
gráfica
Calculadora y ordenador
Estadística y probabilidad
Fractales, estimación, lógica general y difusa.
Proofs without words
„
Demostraciones visuales recopiladas por
Roger B Nelson
„ ¡Mira!
Brain Training
„
Desarrollado
por
Kawashima
(Neurocientífico)
El calculemos de Leibnitz
„
No discutamos …
„ Calculemos
„
„
hasta donde se pueda pero no antes
Ejemplo de límite: Yo robot
Paradoja de lo fácil
„
Kline:
Hay veces que lo fácil parece difícil
„
Von Neumann:
Las matemáticas son lo fácil, lo difícil es la
vida
Paradoja del pensamiento
Withehead
Las matemáticas persiguen ahorrar
pensamiento mediante el ejercicio del
pensamiento
„
Paradoja de la relevancia
„ Niss
Mayor importancia
socioeconómica, mayor
invisibilidad
Paradoja de la complejidad
„
Borrow:
Un mundo simple no hubiera podido
desarrollar un ser que lo considere simple
Del llenado a la chispa y al orden
„
„
Plutarco
Montaigne
No un recipiente que hay que llenar
sino un fuego que hay que encender
„
Morin
Es preferible una mente bien ordenada
que llena
Trends - Laszló Lovasz
„
Conjeturas
Experimentos
Modelización
„
De algoritmos a programas
„
„