experimentos con burbujas de jab´on - FENOMEC

EXPERIMENTOS CON
BURBUJAS DE JABÓN
Servicio Social de
Luis Eduardo González González
y
Gerardo Mejı́a Rodrı́guez
con la asesorı́a de Clara Eugenia Garza Hume
PRÓLOGO
Estas notas son el producto del Servicio Social de los alumnos Luis Eduardo
González González y Gerardo Mejı́a Rodrı́guez de la carrera de Fı́sica en la
Facultad de Ciencias de la UNAM bajo la asesorı́a de Clara Eugenia Garza
Hume del IIMAS, UNAM.
El propósito de las notas es describir la fabricación de modelos sencillos
que permiten realizar experimentos interesantes que ayudan a comprender los
problemas de optimización utilizando pelı́culas de jabón.
Debido a la complejidad matemática que plantean los problemas de superficies y caminos mı́nimos, es muy útil pensar en explicarlos diseñando prácticas
(cualitativas), es decir, hacer modelos muy descriptivos, lógicos, sencillos, llamativos y con los que se pueda jugar. Esto facilita la explicación de los principios
básicos.
El problema real consiste en diseñar un experimento que funcione, sea muy
demostrativo, divertido y que sea de fácil elaboración. Además de que sea muy
barato, que los materiales sean reciclados o materias primas y que se pueda usar
más de una vez.
Para cada caso (superficies mı́nimas y caminos mı́nimos) se diseñó un prototipo experimental que llena la mayorı́a de las expectativas antes mencionadas,
pensado principalmente para jóvenes de prefacultad y personas que no tienen
estudios superiores en matemáticas o fı́sica, pero antes de describir la elaboración de los mismos, queda claro que sólo son una sugerencia para la elaboración
de los experimentos. No son manuales.
En general se recomienda la fabricación de los sólidos platónicos, es decir,
el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro para el caso de la superficies
mı́nimas, mientras que para caminos mı́nimos se recomienda usar la imaginación o los polı́gonos regulares para colocación de los vértices. Nótese que, entre
más aristas o vértices contenga el modelo, se necesita de más trabajo, tiempo,
cuidado y paciencia para su elaboración. No obstante en general las pelı́culas
formadas por estos últimos son las más espectaculares y llamativas.
Los modelos pueden construirlos desde niños de aproximadamente 8 años
(con supervisión de un adulto) pero en general el texto está dirigido a jóvenes
de nivel medio superior con el fin de fomentar el interés por la ciencia.
Se considera que son de interés tanto para matemáticos y fı́sicos como para
ingenieros, arquitectos, profesores, personas interesadas en artes plásticas etc.
1
2
El capı́tulo 1 contiene las explicaciones más técnicas pero su lectura no es
necesaria para la realización de los experimentos.
El capı́tulo 2 detalla la fabricación de modelos para visualizar caminos mı́nimos. Estos son los modelos más complicados.
El capı́tulo 3 describe cómo hacer y observar burbujas en el plano.
El capı́tulo 4 describe la fabricación de modelos que permiten visualizar
problemas de minimización en el espacio.
La lectura del Apéndice se recomienda a los profesores.
Se agradece el apoyo técnico de Ramiro Chávez y Ana Pérez Arteaga. Se
agradece la cooperación de José Luis Rangel Lozada y de Catalina Stern.
CONTENIDO
PRÓLOGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Capı́tulo 1. LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABÓN
1.1 La fı́sica de las burbujas: Tensión superficial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Agua con jabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Las matemáticas de las burbujas:
superficies mı́nimas (Leyes de Plateau). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Mezclas adecuadas para los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Fotografı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Capı́tulo 2: UNA DIMENSIÓN: CAMINOS MÍNIMOS
2.1 Técnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Capı́tulo 3. DOS DIMENSIONES: CÚMULOS PLANOS
3.1 Técnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Panales de abejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Capı́tulo 4. TRES DIMENSIONES: PELÍCULAS EN EL ESPACIO
4.1 Una burbujas, muchas burbujas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
4.2 Fabricación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Modelos con popotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Problema de Kelvin (botella con burbujas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
APÉNDICE: Experiencia en el CCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
4
Capı́tulo 1
LA CIENCIA DE LAS
BURBUJAS
Antes de entrar en el fascinante mundo de las burbujas, es necesario conocer
un poco más sobre el agua, ya que es lo primero que necesitamos si queremos
entender las burbujas.
1.1.
LA FÍSICA DE LAS BURBUJAS
El agua es una molécula polar que está formada por dos volúmenes de
hidrógeno y uno de oxı́geno. Polar significa que un lado de la molécula es positivo
y el otro negativo.
Figura 1.1: Molécula de agua
Las propiedades del agua pueden dividirse en dos tipos: propiedades fı́sicas
y propiedades quı́micas.
5
6
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS
PROPIEDADES FÍSICAS
El agua es un lı́quido incoloro, inodoro e insı́pido. A presión atmosférica,
es decir a 760 mm de mercurio, el punto de fusión del agua pura es de 0o C y
el punto de ebullición es de 100o C; cristaliza en forma hexagonal, llamándose
nieve o hielo. Se expande al congelarse entre los 0 y los -4o centı́grados, es decir
aumenta de volumen, de ahı́ que la densidad del hielo sea menor que la del agua
y por ello el hielo flote en el agua lı́quida. El agua alcanza su densidad máxima
a una temperatura de 4o C, que es de 1g/cm3 ([7]).
Su capacidad calorı́fica es superior a la de cualquier otro lı́quido o sólido,
siendo su calor especı́fico de 1 cal/g, esto significa que una masa de agua puede absorber o desprender grandes cantidades de calor, experimentando apenas
cambios de temperatura, lo que tiene gran influencia en el clima. Sus calores
latentes de vaporización y de fusión son 540 y 80 cal/g respectivamente.
Nótese que el agua es la única sustancia que a temperaturas normales puede
encontrarse en los tres estados de agregación de la materia: sólido, lı́quido y
gaseoso.
PROPIEDADES QUÍMICAS
El agua es el compuesto quı́mico más familiar para nosotros, el más abundante y el de mayor importancia para nuestra vida. Una razón, desde el punto
de vista quı́mico, es que casi la totalidad de los procesos quı́micos se realizan
con sustancias disueltas en agua.
No posee propiedades ácidas ni básicas, combina con ciertas sales para formar
hidratos, reacciona con los óxidos de metales formando ácidos y actúa como
catalizador en muchas reacciones quı́micas.
La molécula de agua libre y aislada, formada por un átomo de oxı́geno unido
a otros dos átomos de Hidrógeno es triangular. En estado gaseoso el ángulo
formado por los enlaces (H-O-H) es de 104,5o y la distancia de enlace O-H es de
0,96 Å. Puede considerarse que el enlace en la molécula es covalente, con una
cierta participación del enlace iónico debido a la diferencia de electronegatividad
entre los átomos que la forman.
1.2.
AGUA CON JABÓN
Una mezcla para hacer burbujas está constituida por moléculas de detergente
y de agua. Cada molécula de jabón está formada de una sal metálica y una larga
cadena de moléculas ácidas y está ionizada en solución. Por ejemplo, en el caso
del estereato de sodio, los iones de sodio tienen una carga positiva y están
dispersos a tráves de la solución, los iones cargados negativamente están cerca
de la superficie.
7
AGUA CON JABÓN
TENSIÓN SUPERFICIAL
Resulta que la tensión superficial del agua disminuye al mezclarla con detergente. Esta propiedad es la que permite limpiar mejor la ropa, porque al
disminuir la tensión superficial del agua, ésta penetra mejor en las fibras de las
telas y los quı́micos que contienen esos detergentes actúan para sacar la mugre
de ellas y ası́ limpiar la ropa.
Además, dado que un extremo del detergente es hidrofı́lico y el otro hidrofóbico se forma una estructura de bi-capa que permite la formación de burbujas.
Figura 1.2: Agua con jabón
Como sabemos, el agua está hecha de moléculas. Los polos opuestos de estas
partı́culas microscópicas se atraen unas con otras con fuerzas que dependen de
la distancia entre ellas. Cuanto más cerca estén dos moléculas será mayor. La
fuerza de atracción entre diferentes clases de átomos es llamada adhesión y entre
átomos de la misma clase es llamada cohesión.
Aunque las fuerzas de atracción entre dos moléculas son extremadamente
pequeñas, la atracción combinada de miles de millones de moléculas contenidas
en una pequeña porción de materia es sorprendentemente grande.
Las moléculas que componen un fluido pueden estar en el interior o en la
superficie; las que están en el interior del lı́quido experimentan fuerzas en todas
las direcciones debido a que están rodeadas por otras moléculas y por lo tanto
su fuerza resultante es cero. En la superficie del lı́quido, las moléculas sólo
experimentan fuerzas debido a sus vecinas más próximas y fuerzas debidas a las
8
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS
moléculas del aire, como la densidad del aire es mucho menor que la densidad del
fluido en general, luego entonces podemos decir que las moléculas en la superficie
están atraı́das parcialmente hacia el interior del fluido. Esta atracción parcial
hacia el interior del fluido hace que se forme una especie de membrana. A este
efecto se le llama tensión superficial y tiende a reducir el área de la superficie.
Gracias a este fenómeno, es que las gotas de agua y las burbujas son esféricas.
Figura 1.3: Tensión superficial
Otro fenómeno debido a la tensión superficial, es que los insectos puedan
moverse en la superficie del agua sin hundirse ([2]) o que no se hunda una aguja
o un clip (véase la figura (1.4).)
También la capilaridad se debe a la tensión superficial. Consiste básicamente
en la elevación de un fluido a tráves de tubos de pequeños diámetros, llamados
tubos capilares.
Antes de continuar con las burbujas revisemos un poco más acerca de la capilaridad. El agua sube por los tubos capilares debido a que la fuerza de adhesión
del vidrio con el agua es mayor que la fuerza de cohesión en el agua. Como se
habrá ya notado, la tensión superficial es una consecuencia de la cohesión, la
cual evita que el agua vuelva descender. El agua seguirá ascendiendo hasta que
la tensión superficial se equilibre con el peso del lı́quido que suba por el tubo.
La altura a la que subirá el agua en un tubo capilar se obtiene con la siguiente
ecuación
h=
2σ
.
Rρg
LAS MATEMÁTICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES MÍNIMAS
9
Figura 1.4: Aguja en la superficie del agua
Aquı́ σ es la tensión superficial, R es el radio de la sección del tubo, ρ es
la densidad del fluido y g es la aceleración debida a la gravedad. La tensión
superficial es la que regula parcialmente el ascenso de la savia dentro de los
árboles.
1.3.
LAS MATEMÁTICAS DE LAS
BURBUJAS: SUPERFICIES MÍNIMAS
Pueden hacerse los experimentos de los capı́tulos 2, 3 y 4 antes de leer esta
sección.
Una pelı́cula de jabón consiste en dos superficies separadas por una delgada
capa de fluido, cuyo ancho puede variar de 2,5×105 Åa 50 Å. En la pelı́cula cada
superficie está compuesta de iones de jabón separados por moléculas de agua.
El ancho de la pelı́cula decrece hasta alcanzar un tamaño final de equilibrio.
Cada una de las superficies tiene una tensión superficial asociada.
En términos matemáticos la tensión superficial se define como la fuerza de
contracción a lo largo de una lı́nea de longitud unitaria, siendo perpendiculares
las direcciones de la fuerza y de la lı́nea y estando ambas en la superficie del
lı́quido. Si F es la fuerza máxima y l es la longitud unitaria, la tensión superficial
σ, se obtiene con
10
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABÓN
Figura 1.5: Capilaridad
Figura 1.6: Estrutura de bi-capa en agua con jabón
F
.
2l
El factor dos se agrega debido al hecho ya mencionado de que las pelı́culas de
jabón están formadas por dos capas.
Dentro de las burbujas hay aire a presión. Podemos relacionar la presión
interna de la burbuja con su radio y la tensión de la pelı́cula por medio de la
σ=
LAS MATEMÁTICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES MÍNIMAS
11
ecuacion de Laplace-Young
P =
σ
.
2R
La forma esférica de las burbujas se debe a que siguen el principio de mı́nima
energı́a y la energı́a es proporcional a la superficie. Dado un volumen fijo, la
figura geométrica con menor superficie es la esfera.
1.3.1.
LEYES DE PLATEAU
Antes de leer esta sección se recomienda dar una revisión minuciosa a las
fotografı́as, o mejor aún, que ya se hayan hecho algunos de los modelos que se
describen en capı́tulos posteriores. Esto último es muy importante porque de
esta manera se evita estar prejuiciado con los resultados que se obtienen.
Los resultados que a continuación se muestran son experimentales, es decir
que surgieron de la observación y descripción de experimentos como los que se
pueden hacer con los modelos que se describen en este trabajo.
El que describió estas tres leyes fue Joseph Plateau hace como 100 años y
encontró entre sus experimentos tres condiciones geométricas que cumplen las
pelı́culas de jabón.
Para encontrar la primera basta tomar cualquier modelo de caminos mı́nimos
y mirarlo por uno de los costados. Se observa que son pelı́culas las que forman
el recorrido entre los vértices que se fijaron en el modelo.
Ahora si vemos los vértices formados por la pelı́cula de jabón, todos sin
excepción alguna están formados por tres lı́neas.
Primera ley: “Tres superficies de jabón se intersectan a lo largo de una lı́nea.
El ángulo formado por los planos tangenciales a dos superficies que se
intersectan, en cualquier punto a lo largo de la lı́nea de intersección de las
tres superficies, es de 120o ”.
Segunda ley: “ Cuatro de las lı́neas, todas formadas por la intersección de tres
superficies, se intersectan en un punto y el ángulo formado por cada par
de ellas es de 109o 28’”.
Tercera ley: “Una pelı́cula de jabón que puede moverse libremente sobre una
superficie la intersecta en un ángulo de 90o ”.
La Primera y Segunda ley se pueden observar en cualquiera de los modelos
de superficies mı́nimas. La Primera y Tercera ley se observan claramente en los
modelos de caminos mı́nimos.
Cabe destacar que si encuentra que alguna de esta leyes no parece cumplirse,
basta perturbar (pegar o soplar) al modelo para que caiga en cualquiera de estas
situaciones. Eso se debe a que lo que está mirando no es un punto mı́nimo, es
decir estable, sino que más bien es meta estable y cualquier perturbación lleva
a un estado más estable.
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1.3.2.
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABÓN
ECUACIÓN DE EULER-LAGRANGE
Si no quiere ver ecuaciones puede pasar a la sección 1.4.
Las burbujas y pelı́culas de jabón minimizan área. La rama de las matemáticas que trata los problemas de minimización es el Cálculo de Variaciones. Minimizar área es equivalente a resolver una ecuación diferencial parcial asociada,
la ecuación de Euler-Lagrange.
Muchas veces resolver matemáticamente un problema es muy difı́cil; los problemas en los que se quieren máximos o mı́nimos son irresolubles y algunas
veces hasta incomprensibles. Aun cuando ya se tiene entendido el problema
y una ecuación que lo modele, no siempre se sabe si tiene solución; algunas
veces se pueden hacer aproximaciones o se encuentran soluciones particulares
para problemas muy especı́ficos. A veces existen soluciones que no se observan
fı́sicamente.
Las burbujas y pelı́culas de jabón que se muestran en las fotografı́as o se
observan en los modelos son las superficies mı́nimas que se obtienen en cada
caso y aunque no conozcamos cómo se resuelven matemáticamente sı́ conocemos
las soluciones porque las podemos ver y manipular.
Cada caso corresponde a minimizar la energı́a de la pelı́cula de jabón. Lo
que los diferencia son las condiciones a los que están sometidos, por ejemplo
si la pelı́cula de jabón no hace contacto con nada se hace una burbuja esférica
como las que todos hemos visto. Sin embargo la pelı́cula cambia de forma si
entra en contacto con otra burbuja, parece un muñeco de nieve o si cae sobre
una superficie mojada se queda sólo la mitad.
Lagrange formuló una teorı́a matemática para resolver los problemas de
mecánica clásica (es decir, la que formuló Newton) con la cual a partir de una
relación entre la energı́a en reposo y la energı́a en movimiento de los objetos
podemos conocer la dinámica de los cuerpos.
Para encontrar los mı́nimos en la energı́a de Lagrange y de hecho en la
energı́a en general, se busca minimizar otra cosa que se llama la acción que es
algo ası́ como la suma de las energı́as en cada punto. Encontrar estos mı́nimos
es equivalente a resolver una ecuación diferencial de la energı́a.
A esta ecuación se le conoce como la ecuación de Euler-Lagrange y varı́a mucho dependiendo del tipo de problema; puede resultar muy sencilla o totalmente
irresoluble.
Para las pelı́culas de jabón, la ecuación de Euler-Lagrange es en general una
ecuación diferencial parcial no lineal. Si la superficie está dada por z = f (x, y) y
H es la curvatura media de la superficie, la condición para tener una superficie
mı́nima es
1 + fy2 fxx − 2fx fy fxy + 1 + fy2 fyy
,
H=
3
2 1 + fx2 + fy2 2
donde los subı́ndices denotan derivadas parciales, es decir,
fx =
∂2f
∂f
.
, fxx =
∂x
∂x2
LAS MATEMÁTICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES MÍNIMAS
1.3.3.
13
ECUACIÓN DE YOUNG-LAPLACE
Para el caso de una burbuja de jabón ya conocemos la relación entre la
presión P en la burbuja y la tensión superficial σ; para el caso de tener dos
burbujas unidas de tamaños diferentes, se puede calcular la curvatura de la
pelı́cula que se forma entre ellas. Pero además se puede conocer la presión que
existe sobre esta superficie.
1
1
P =σ
+
.
R1
R2
Aquı́ R1 y R2 son los radios principales de curvatura sobre la superficie. Entonces
para la curvatura media tenemos la siguiente relación
1 1
1
.
H=
+
2 R1
R2
Con esto podemos escribir ahora la ecuación de Young-Laplace en la forma
de la ecuación de Euler-Lagrange.
1 + fy2 fxx − 2fx fy fxy + 1 + fy2 fyy
P
=
.
3
σ
1 + f2 + f2 2
x
y
De esta manera además podemos ver que la ecuación de Young-Laplace no
sólo describe el caso de las burbujas, sino que también sirve para el caso de gotas
(ya sea que estén sobre una superficie o que provengan de un tubo), chorros de
agua por ejemplo y el fenómeno de la capilaridad.
Obviamente esta ecuación cambia si cambiamos la geometrı́a y se puede
volver más sencilla pero esto depende del problema al que nos enfrentemos.
1.4.
MEZCLAS ADECUADAS PARA LOS EXPERIMENTOS
Hasta ahora se ha estudiado la caracterización de la tensión superficial de
las mezclas de jabón y del agua; el siguiente paso es saber cuáles son las mezclas
que mejor funcionan para hacer burbujas.
La primera de la fórmulas que cualquier persona conoce para hacer burbujas
es la de detergente diluido en agua; se puede usar tanto detergente lı́quido para
ropa como jabón para trastes. Se recomienda Vel Rosita o Dawn amarillo.
Estas mezclas sólo funcionan para hacer burbujas de tamaño relativamente
pequeño y de poca duración, pero sirven bien para las pelı́culas que se forman
en los modelos de los caminos y superficies mı́nimas.
El secreto para aumentar la duración es agregarles una sustancia que reduzca
la evaporación, que por lo regular es glicerina. Ası́ pues, la primera mezcla que
se propone es:
-1 taza de agua.
14
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABÓN
-1 taza de glicerina.
-1 taza de Vel Rosita.
Utilizando esta mezcla obtenemos burbujas que duran bastante. La desventaja de usar esta fórmula es que la glicerina debe ser pura para que la mezcla
funcione bien.
Si queremos obtener burbujas de gran diámetro la fórmula a utilizar es:
-2 tazas de agua
-1 taza de Vel Rosita.
-Media taza de agua con linaza.
El agua con linaza utilizada en este caso debe tener una concentración de 3
cucharadas soperas diluidas en tres cuartos de litro de agua, la mezcla se pone
a hervir durante unos quince minutos y se mezcla con el Vel Rosita cuando el
agua con linaza esté aún tibia.
Si las mezclas se dejan reposar durante veinticuatro horas funcionan mejor.
Los factores ambientales, tales como la humedad y la temperatura influyen en
la duración de las burbujas; a mayor humedad duran más las burbujas ya que
hay menos evaporación.
1.5.
FOTOGRAFÍA
En realidad las fotografı́as que fueron tomadas para este trabajo se lograron
usando tipos de cámaras e iluminaciones distintas para buscar el mejor resultado
posible para cada tipo de foto.
Por ejemplo, en las fotografı́as guı́a para la construcción de los modelos la
definición no es muy importante, sin embargo, en el caso de las burbujas es muy
importante no sólo la definición sino además la calidad en color, ya que de esto
depende que se distingan las pelı́culas de jabón y qué tan vistosos son los reflejos
que se forman sobre ellas.
Para tomar algunas fotografı́as, como en el caso de los catenoides, se tomaron
videos con una cámara handycam de 8mm con zoom óptico (es decir que no se
usó el zoom digital que tienen este tipo de videocámaras), e iluminación blanca
(como la que producen los llamados focos ahorradores).
Una vez que ya se contaba con los videos, tomados a 24 cuadros por segundo,
se digitalizaron a videos con el tamaño (en pı́xeles) de la pantalla de televisión
(normal, no de alta definición) a 30 cuadros por segundo, y se tomaron algunos
cuadros, que son las fotografı́as.
En otro caso se tomaron directamente fotografı́as con la luz natural o con
focos incandescentes y con una cámara fotográfica digital. El único cuidado que
se tuvo en este caso fue que tiempo de apertura del obturador fuera el más corto
que la cámara permitiera tener.
Otra forma en la que se tomaron algunas imágenes consistió en conectar
una videocámara directamente a un ordenador y en tiempo real tomar algunos
cuadros.
Cabe mencionar que para todas las fotos se usó una iluminación que estuviera en la parte posterior a la cámara, tratando de evitar sombras y reflejos
LAS MATEMÁTICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES MÍNIMAS
15
que afectaran la visibilidad de las fotos. Se recomienda que si desean tomar
algunas fotografı́as no se busquen cosas demasiado elaboradas; en general las
cosas espontáneas resultan mejor.
16
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABÓN
Capı́tulo 2
UNA DIMENSIÓN:
CAMINOS MÍNIMOS
2.1.
TÉCNICA EXPERIMENTAL
Un modelo sencillo para caminos mı́nimos consiste en colocar vértices sobre
una botella, con lo que además se demuestra que los principios básicos no dependen de la geometrı́a. Para hacerlos, con una aguja, alfiler o trozo de alambre
caliente (esto facilita la perforación) se agujera una botella de plástico (de PET,
como las de refresco).
Cabe aclarar que la botella tiene que ser transparente o no se va a observar
nada, tiene que ser grande y previamente se le debieron cortar ambos extremos.
Una vez agujerada se hace pasar hilo a través de los agujeros, de tal manera
que pasen de un lado a otro de la botella, formando una serie de columnas
paralelas que comienzan en un lado y terminan al otro (véase la figura 2.1.)
Si el hilo está muy cerca de las orillas, las pelı́culas se forman entre la botella
y los hilos. A las trayectorias marcadas sobre la superficie de la botella se les
llama geodésicas. Para observar de mejor manera las geodésicas se coloca un
solo hilo que atraviese la botella.
Un problema común con este modelo sucede cuando se forma la pelı́cula de
jabón en el hilo hacia ambos lados, esto va a alterar la superficie por lo que es
recomendable romper uno de los lados. Además se puede formar una pelı́cula de
jabón dentro de la botella, que la cubra totalmente pero sólo tiene que romperse.
Ahora se va a describir la elaboración del prototipo que diseñamos para
visualizar caminos mı́nimos en el plano. Se presenta el proceso de fabricación
de un hexágono regular.
Cabe aclarar que el procedimiento no es tan fácil como el de las superficies y que hasta cierto punto puede ser peligroso debido a que se trabaja con
fuego por lo que no recomendamos estos modelos para niños muy pequeños ni
piromaniacos.
17
18
UNA DIMENSIÓN: CAMINOS MÍNIMOS
Figura 2.1: Modelo para observar geodésicas
Se puede empezar por los experimentos más sencillos de los capı́tulos 3 y 4.
Los materiales a usar se enumeran en la siguiente lista:
1. Cajas de CD, es muy importante que las tapas o al menos una sean transparentes, que no tengan hoyos o rebabas, que no sean opacas, que no
tengan residuos pegados o incrustados y sobre que no estén rotas ni estrelladas sobre las caras. (Se puede usar cualquier otro trozo de acrı́lico
delgado de aproximadamente 10cm por 10cm.)
2. Hilo; puede usarse cualquier hilo grueso como por ejemplo hilo de cañamo
o hilo de nylon para pesca.
3. Remaches. Esto es opcional ya que es con estos con los que se le da estabilidad al sistema, aunque también pueden ser substituidos por alguna
otra cosa por ejemplo trozos de goma.
Tenemos que recordar que en este caso lo que nos interesa es mostrar caminos
mı́nimos, por lo que se piensa en dibujar figuras planas, entonces para escoger
la cantidad de vértices y la disposición de estos, debemos tener claro que entre
más vértices más agujeros se tienen que hacer y es más trabajo.
Por otro lado, debemos de utilizar la mayor área posible sobre las tapas y
no amontonarlos en un solo lugar, esto nos facilitará el trabajo, además de que
los fenómenos son más notorios y que se eliminan los efectos de frontera.
Para este caso, como ya se habı́a mencionado anteriormente, se escogió la
elaboración de un hexágono regular. Ahora bien, lo primero que se tiene que hacer es separar las tapas de las caja de CD. Esto puede variar mucho dependiendo
del tipo de caja en este caso explicamos como separar las cajas más comunes.
TÉCNICA EXPERIMENTAL
19
Figura 2.2: Caja de CD
Primero se quita la tapa superior; esto se hace sólo abriendo la caja y jalando
las patas que la unen a la caja, luego se le quitan los papeles que tenga (si es
que trae), esto no debe tener ningún problema.
Después a la parte de abajo, se le tiene que quitar la base del disco, para
hacerlo tenemos que girarla hacia el lado que tiene el margen de la tapa superior
20
UNA DIMENSIÓN: CAMINOS MÍNIMOS
y con ayuda de una uña, desarmador o navaja, separar una de las esquinas
introduciéndolo y girando, para que se bote la unión.
Esto se hace en la otra esquina y se jala con cuidado para botar la base del
disco, (esta ultima se puede desechar), lo siguiente es colocar las tapas contrapuestas, es decir, juntar las caras externas como si se dieran la espalda.
Es necesario que una vez ası́ las tapas ya no se muevan una respecto a la
otra; para ello podemos usar pinzas para colgar ropa. Si es necesario con mucho
cuidado se puede romper algunos de los bordes laterales tratando de no romper
las caras de las tapas.
Una vez fijo vamos a marcar con un plumón los vértices sobre una de las
caras, la cual va a ser la base del modelo (de preferencia será la que este más
maltratada o sea de color).
Otra manera de marcarlos es hacer los puntos sobre un papel y colocar el
papel entre las dos tapas. Es útil en el caso de los polı́gonos regulares o si se
quiere tener más control sobre la disposición de los puntos.
Lo siguiente es perforar las tapas. El tamaño de la perforación debe ser
aproximadamente igual al grosor del hilo. Se recomienda que para agujerar se
usen, objetos con distintos diámetros progresivamente de menor a mayor, esto
facilitara la perforación y evitará que se rompan las tapas.
Ahora bien para perforar, con mucho cuidado se calienta una aguja directamente sobre una flama un par de minutos; si el tiempo de calentamiento es
muy corto puede suceder que la aguja se quede atorada, y al momento de querer
sacarla rompamos las tapas, por eso es recomendable usar guantes o unas pinzas
y dejar que la aguja se caliente lo suficiente.
Con la aguja caliente se perforan las tapas justo donde se marcaron los
vértices, esto se logra sólo recargando la aguja sobre estas y se repite con todos
TÉCNICA EXPERIMENTAL
21
los vértices. Una vez que ya se perforaron todos se cambia la aguja por algo de un
diámetro más grande (un clip desdoblado por ejemplo), y se perfora nuevamente
sobre los hoyos. Esto se repite hasta que se tenga el tamaño deseado.
También se puede utilizar un taladro.
Cabe aclarar que se tienen que perforar ambas tapas, es decir que se debe
de atravesar de un lado a otro cuando se perfore. Cuando los agujeros estén
listos, con un remache caliente, sobre la base se perforan las esquinas, pero no
se deben de atravesar las dos tapas, una tapa debe de quedar perforada y la
22
UNA DIMENSIÓN: CAMINOS MÍNIMOS
otra sólo quedar marcada. Esto último es optativo y sirve para marcar el lugar
donde irán los remaches.
Figura 2.3: Remache en la tapa
Ya hecho lo anterior lo siguiente es separar las tapas; que como ya se habrán
dado cuenta quedaron pegadas, esto se tiene que realizar con mucho cuidado,
porque de lo contrario se pueden romper. Para separarlas sólo tenemos que jalar-
TÉCNICA EXPERIMENTAL
23
las muy despacio en direcciones opuestas, si se hace bien comenzará a “crujir”;
esto significa que se están despegando.
Cabe señalar que no importa si se estrellan, siempre y cuando no se rompan.
Ya separadas se deben de eliminar todas las rebabas que le queden a los hoyos,
esto se logra raspándolas con un exacto.
Finalmente si se accedió al uso, los remaches se incrustan sobre la base de
tal manera que la parte larga quede del lado de la superficie que nos interesa.
Para hacerlo se calienta por un corto tiempo la parte “gorda”del remache y se
introduce sobre los hoyos en las esquinas (marcados anteriormente), una vez
adentro se mete en agua para enfriarlo y ası́ el remache quede fijo sobre la tapa.
Figura 2.4: Remache en la tapa
Si se cae no importa, se puede pegar con algún pegamento si se desea. Si no,
se le pueden quitar los remaches, esto sirve para guardar en un menor espacio
los modelos, cuando se quieran volver a usar solo se colocan nuevamente.
Para finalizar, cuando los remaches estén colocados en su lugar, sobre ellos
se pone la otra tapa, en la misma posición con la que se perforó, buscando que
las marcas coincidan con las cabezas de los remaches.
Se hace pasar el hilo de manera que atraviese por las dos tapas justo por
los agujeros que están sobre la misma vertical. Un solo hilo es necesario y para
amarrar se hace un nudo en un extremo y se jala del otro, buscando que quede
lo más tenso que sea posible. Se hace un nudo y con esto se termina el modelo.
Si se prefiere no usar los remaches una vez separadas las tapas y eliminadas las rebabas, se hace pasar el hilo pero al momento de tensar se colocan
los substitutos del remache en las esquinas (en nuestro caso fueron gomas), o
simplemente, no se tensa y se deja hilo para que se puedan separar una pulgada
24
UNA DIMENSIÓN: CAMINOS MÍNIMOS
Figura 2.5: Remache
Figura 2.6: Colocación del hilo
las tapas. Si se deja menos hilo es posible que los efectos de frontera sean muy
notorios y no se forme lo esperado.
Si se forman pelı́culas entre los vértices y los remaches sólo se tienen que
romper.
TÉCNICA EXPERIMENTAL
25
Figura 2.7: Modelo terminado
Si se desea un modelo más firme se pueden usar tornillos en vez de hilo y
fijarlos con dos tuercas en cada cara.
Al sumergir los modelos terminados en agua con jabón observe cuidadosamente si se cumplen las leyes de Plateau.
26
DOS DIMENSIONES: CÚMULOS PLANOS
Capı́tulo 3
DOS DIMENSIONES:
CÚMULOS PLANOS
3.1.
TÉCNICA EXPERIMENTAL
La forma más sencilla de observar cúmulos planos es hacer muchas burbujas
sobre un acetato mojado. Lo que se ve sobre el acetato es un cúmulo plano. Por
ejemplo, si se pone una burbuja sobre un acetato, la curva que se dibuja en éste
es un cı́rculo. Este es el equivalente bidimensional de la esfera.
Si se ponen dos burbujas se observa la figura 3.1.
Figura 3.1: Burbuja doble en el plano
27
28
DOS DIMENSIONES: CÚMULOS PLANOS
Observe bien la curva que separa las dos burbujas. ¿Por qué se curva como
lo hace?
Agregue más burbujas y observe cómo se comportan. En particular observe
que se cumplen las Leyes de Plateau.
Figura 3.2: Burbujas sobre el agua
Si se quieren hacer burbujas del mismo tamaño se puede utilizar una jeringa
-sin aguja- (primero se jala el émbolo y luego se toca la solución de jabón con
la punta). Tambien se puede utilizar una “pera”para bebé.
Es interesante observar lo que sucede al llenar con burbujas recipientes de
distintas formas, por ejemplo el redondo de la figura (3.3) o el esférico de la
figura (3.4).
Figura 3.3: Burbujas en un traste redondo
29
TÉCNICA EXPERIMENTAL
Figura 3.4:
3.2.
PANALES DE ABEJAS
Cuando hay muchas burbujas juntas del mismo tamaño el problema que tiene
que resolver es: cómo subdividir el plano en áreas iguales con perı́metro mı́nimo.
Si las abejas fueran bidimensionales tendrı́an que resolver este mismo problema
al construir sus panales. La solución que han encontrado es la siguiente:
Figura 3.5: Panal de abejas
En el plano los hexágonos proporcionan la configuración óptima. Esto fue
demostrado apenas en el año 2000 por Hales ([3]).
30
DOS DIMENSIONES: CÚMULOS PLANOS
Capı́tulo 4
TRES DIMENSIONES:
PELÍCULAS EN EL
ESPACIO
En este capı́tulo estudiaremos superficies mı́nimas en el espacio.
4.1.
UNA BURBUJA, MUCHAS BURBUJAS
Una burbuja sola es siempre esférica. En el capı́tulo 1 se vio la razón.
Figura 4.1: Una burbuja
31
32
PELÍCULAS EN EL ESPACIO
¿Y si hay varias burbujas unidas? Para observar qué sucede en este caso se
puede usar un aro múltiple o coladera grande.
Figura 4.2: Cúmulo de burbujas
Esto entre otras cosas sirve para observar los vértices y las lı́neas que los
unen, ya que estos son los que se busca reproducir con los modelos que se
describen posteriormente.
Observe que se cumplen las leyes de Plateau.
4.2.
FABRICACIÓN DE MODELOS
La muestra más sencilla de las superficies mı́nimas después de las burbujas
(formadas por soplarle al aro que ha sido sumergido en agua con jabón) y
que se puede dejar estático, es formar el catenoide verticalmente con pelı́culas,
es decir, la forma que toma el jabón cuando se introduce un aro (entre más
redondo mejor) al jabón y se lo retira despacio horizontalmente, si el aro es lo
suficientemente grande, a simple vista se observa que se forma un “barrilito”de
jabón, que comienza en el agua y termina en el aro.
Esto es más espectacular si se toman dos aros (no necesariamente del mismo
tamaño y forma) se juntan y se meten al jabón, al sacarlos se puede o no, romper
la pelı́cula formada dentro de cada aro (esto es importante porque pasan cosas
diferentes en cada caso).
Cuando se separan con cuidado, se forma nuevamente el barril (con cinturón
si no se rompió la pelı́cula dentro del aro y sin cinturón en el caso contrario)
FABRICACIÓN DE MODELOS
33
que comienza a deformarse en cuanto se muevan los aros. También se pueden
usar más aros si ası́ se desea pero se necesitan una mayor cantidad de manos
para jugar con ellos.
Las siguientes cuatro fotografı́as muestran lo que sucede con un catenoide
cuando se incrementa la separación entre los aros. Después de la ruptura la
pelı́cula se divide en dos discos.
Figura 4.3: Catenoide
Figura 4.4: Catenoide más delgado
El siguiente caso y por mucho el más creativo y espectacular, consiste en
formar curvas cerradas usando un trozo de cable o alambre. El resultado es más
interesante si la curva no está contenida en un plano.
34
PELÍCULAS EN EL ESPACIO
Figura 4.5: Catenoide. Justo antes de la ruptura
Figura 4.6: Después de la ruptura. Hay dos discos sobre los aros y una burbujita
inexplicable
Existen otros modelos sencillos de realizar y que son muy intuitivos; para
estos se recomienda ver las fotografı́as y jugar con los materiales disponibles. Por
ejemplo con hilo y alambre o popotes, se pueden hacer superficies deformables,
superficies con hoyos, etc.
Ahora bien, si se piensa en modelos más complicados, o mejor dicho, en
diseños en que los principios básicos sean mas claros y se tenga un mayor control,
entonces se encuentra con que los prismas regulares y los sólidos platónicos son
35
FABRICACIÓN DE MODELOS
Figura 4.7: Modelo de alambre
Figura 4.8: Desde otro ángulo
Figura 4.9: Otro modelo de alambre
Figura 4.10: Desde otro ángulo
Figura 4.11: Nudo de alambre
36
BURBUJAS EN EL ESPACIO
una excelente opción.
Esto se debe, por una parte a que son los sólidos más sencillos y por otra, a
que las superficies formadas muestran claramente la formación de los ángulos y
la unión entre pelı́culas.
Y si no son muy rı́gidos o muy bien elaborados, podemos deformar la geometrı́a fácilmente y demostrar que las Leyes de Plateau no dependen de ésta, o
encontrar algunos problemas de frontera que también son importantes de mencionar.
4.3.
MODELOS CON POPOTES
Para la elaboración de estos prototipos se necesitan los siguientes materiales:
1. Popotes para café; es importante que sean popotes para café y no popotes
convencionales porque son más duros y no se deforman, esto es importante porque con estos se forman las aristas, el problema con los popotes
convencionales es que se rompen y se doblan con mucha facilidad y si no
son firmes pues sencillamente la figura se deshace.
2. Hilo; casi cualquier hilo funciona pero se recomienda hilo grueso (por ejemplo de nylon para pesca o de cáñamo) porque entre más grueso es el hilo
más estable queda la figura y más resistente es; cabe aclarar que es muy
imporartante que el hilo pueda pasar sin problema dentro del popote varias
veces.
3. Plasti-loka o un equivalente; esto es opcional, es decir, si se necesita o
quiere que los modelos sean rı́gidos y no se muevan o duren mucho tiempo
es recomendable usarla, pero si se quiere que los modelos se doblen se
deformen o se puedan desarmar es mejor no.
Lo primero que se hace es escoger una figura, en este caso se escogió el
tetraedro. Una vez con la figura elegida se junta el número de popotes que se
necesite, es decir, el número de aristas que la figura tenga- en este caso seis.
Ahora bien cabe aclarar que si la figura tiene muchas caras o caras muy grandes, es mejor recortar los popotes ya que si la figura es muy grande se necesita
de mucho jabón y una tarja lo bastante grande para que quepan las figuras. Para
cortar los popotes se recomienda usar un “cutter”sobre una base rı́gida aunque
con unas tijeras se puede también; en este caso tampoco se necesitó cortar los
popotes.
Para formar la figura, se hace pasar el hilo por un popote, luego por otro,
luego por otro y ası́ sucesivamente buscando que los popotes formen las caras
de la figura (en este caso son triángulos), esto se ve más claro en la siguiente
figura:
Para esto existen dos técnicas:
La primera consiste en formar una cara y cortar el hilo e ir formando caras
sobre ella e ir cortando el hilo, esto es muy bueno si la figura tiene muchas caras,
las caras tienen muchos lados o se tienen varios tipos de caras.
MODELOS CON POPOTES
37
Figura 4.12: Fabricación del modelo usando popotes para café y usando un solo
hilo
La otra técnica es no cortar el hilo y formar con uno solo todas las caras, esto
no es fácil y pero sı́ muy divertido, sobre todo si se tiene mucha imaginación.
En ambos casos es muy recomendable que en los vértices, todo popote
esté unido, por lo menos con un hilo, con todos los demás popotes en el vértice,
es decir que no quede algún popote flojo o volando.
38
BURBUJAS EN EL ESPACIO
Figura 4.13: Figura con popotes hecha sin cortar el hilo
Cabe mencionar que es muy importante que las caras y los modelos en
general estén muy bien apretados, es decir, que los hilos estén muy justos y los
nudos bien amarrados; esto es porque, entre mejor apretada esté la figura es
más estable, no se deforma tanto y es más fácil pegar.
Figura 4.14: Hilos muy flojos
MODELOS CON POPOTES
39
Figura 4.15: Hilos bien apretados
Figura 4.16: Modelo terminado con plasti-loka
En estos momentos el modelo debe de estar ya terminado y se puede jugar
con él tranquilamente; claro que si se tienen muchas caras este proceso puede
ser muy largo, pero no es complicado. Ahora bien, lo siguiente consiste en pegar
el modelo; como ya se dijo esto es opcional.
Primero hay que asegurarse de que el modelo ya este bien amarrado y que
los nudos no sean muy grandes.
También hay que cortar todos los hilos que sobren a excepción de uno, el
cual servirá para sostener la figura.
40
BURBUJAS EN EL ESPACIO
Debe tenerse en cuenta que la plasti-loka tarda mucho tiempo en secarse por
lo que, si el modelo tiene muchas caras, se recomienda inflar un globo dentro de
él, de tal manera que ajuste el tamaño del globo al volumen de la figura; esto
sirve para dejarla fija y facilita el colgarla.
Para pegar lo único que debe hacerse es cortar pequeñas bolitas de Plastiloka y pegarlas por la parte exterior en las esquinas, teniendo cuidado en no
manchar por dentro de los vértices ya que esto podrı́a arruinar el trabajo. Una
vez seco, se pincha el globo (si se usó).
4.4.
EL PROBLEMA DE KELVIN
Si se quiere llenar un plano con figuras geométricas iguales de perı́metro
mı́nimo, la respuesta es que estas figuras deberán ser hexágonos. Los hexágonos
no sólo minimizan el área, si no que además, los ángulos que forman entre
sı́ respetan las leyes de Plateau.
En tres dimensiones no es obvio cuál estructura ordenada tendrı́a la minı́ma
energia (mı́nima área). El problema de Kelvin consiste en lo siguiente: se tiene
un volumen V y se desea llenar con figuras de volumen igual de tal forma
que la superficie total S sea mı́nima. ¿Qué figura(s) debe(n) usarse?, es decir,
¿qué arreglo de celdas de igual volumen llenando un espacio tienen superficie
mı́nima? Para que el arreglo sea estable es necesario que se cumplan las leyes
de Plateu.
Como se puede ver, el problema de Kelvin es un problema variacional, un
problema de minimización y las técnicas matemáticas que hasta ahora se conocen no le han dado una solución analı́tica. Es decir, es un problema abierto.
Lord Kelvin conjeturó en 1887 que la solución tenı́a que ser un octaedro
truncado llamado tetrakaidecahedro.
Muchos años después, en 1993, Weaire y Phelan encontraron otra partición,
usando dos tipos de celdas de igual volumen, que mejora la partición de Kelvin.
Pero el problema sigue abierto.
El problema de Kelvin se puede visualizar usando burbujas de jabón. Si
tomamos una botella grande de plástico y la llenamos de burbujas puede analizarse la configuración que adquieren. Las celdas cumplen las leyes de Plateau
pero no puede concluirse mucho más.
Para llenar de burbujas una botella es necesario hacer una pequeña perforación en el fondo de ésta y luego sumergir la boca de la botella en un traste que
contenga agua con jabón y soplar con un popote flexible que tenga un extremo
dentro de la botella (véanse las figuras (4.17), (4.18), (4.19).)
Observe cuidadosamente los ángulos y los tipos de poliedros que se forman
en el interior de la botella.
Pueden encontrarse más detalles en la literatura sobre espumas, por ejemplo
([8]).
41
MODELOS CON POPOTES
Figura 4.17:
Figura 4.18:
42
BURBUJAS EN EL ESPACIO
Figura 4.19:
Figura 4.20: Botella con burbujas
APÉNDICE:
Experiencia en el CCH
Una vez que se tuvieron los prototipos de las superficies y los caminos mı́nimos, se querı́a ver si los estudiantes de nivel medio superior hacia los que va
dirigido este trabajo los podián construir, es decir si los podı́an fabricar ellos
mismos con ciertas intrucciones como las que se han mencionado; para esto
se realizó una prueba con los jóvenes del Colegio de Ciencias y Humanidades
plantel número 3 Azcapotzalco. El grupo fue el del profesor José Luis Rangel
Lozada, que constaba de 25 estudiantes. El tiempo que duró esta práctica fue
seis horas, de las cuales dos horas se les dio un poco de teorı́a y las otras cuatro
se dedicaron a hacer las figuras.
Para llevar a cabo el objetivo, se formaron 5 equipos y cada uno de estos
eligió un sólido geométrico, que podı́a ser un cubo, una pirámide de base triangular, una pirámide de base cuadrada, un prisma de base triangular y un prisma
de base hexagonal; además también eligieron una figura geométrica plana, que
podı́a ser un triángulo, un cuadrado, un hexágono, un pentágono. Los primeros prototipos que armaron fueron los de superficies mı́nimas, o sea los sólidos
geométricos, con el hilo y los popotes para café; en este caso se tuvieron varios
problemas, ya que cuando se les indicó que por los popotes hicieran pasar el hilo
para formar la figura y que al mismo tiempo utilizaran la mı́nima cantidad de
hilo, hubo estudiantes quienes por ejemplo, pasaron el hilo por los popotes, pero
sin formar su figura, es decir pasaron el hilo sobre todos los popotes de forma
continua sin hacer quiebres en las esquinas; un equipo no entendió que los lados
de su figura tenı́an que estar constituidos por un solo popote, e intentó hacer
los lados con dos popotes de longitud, lo cual no fue una buena idea, ya que la
figura que se obtiene es muy inestable y demasiado grande para que se pueda
introducir en una mezcla para hacer burbujas; por otra parte también se tuvo
que tener cuidado de no colocar demasiada plasti-loka en las esquinas para que
no se tuvieran problemas en las fronteras.
Ası́ pues se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:
-El hilo tiene que pasar por todos los popotes, pero no importa el número
de veces que pase por alguno de ellos.
-La mayor estabilidad se obtiene al tener sólo un popote como arista.
Hay que mencionar que no vieron ningún prototipo armado antes de empe43
44
BURBUJAS EN EL ESPACIO
zar, ası́ pues, hubiera sido más prudente mostrarles un prototipo antes de que
comenzaran a armar los suyos.
Una vez que todos los equipos terminaron sus prototipos, los metimos en una
mezcla de agua con shampoo Caprice y se obtuvieron las geometrı́as mostradas
en las siguientes figuras. Véanse además las pelı́culas anexas.
Figura 4.21: Helicoide
Después se dedicaron a hacer figuras para observar caminos mı́nimos. Antes
que nada se les advirtió que no se querı́an piromaniacos y que tuvieran mucho
cuidado con el fuego que se utiliza para perforar las cajas de cd. Se tuvieron
los siguientes problemas: los estudiantes se quemaron con los remaches, porque
los tenı́an que calentar para perforar las cajas de cd, algunos quebraron las
tapas cuando las estaban perforando, o cuando estaban retirando los residuos
de plástico después de haberlas perforado.
Después de que terminaron de fabricar sus modelos, los metieron en la solución, y observaron las figuras que se formaban para cada caso.
Lo que siguió después de sus aventuras con burbujas, fue ver qué habı́an
entendido y qué no, además de que era deseable conocer sus puntos de vista
acerca de los modelos, ası́ que se les dio un pequeño cuestionario.
La primera pregunta hacia los estudiantes fue si se divirtieron o no con los
modelos, la respuesta en todos los casos fue que si, incluso hubo respuestas
que aseguraban que esta actividad fue más divertida que la clase normal de
fı́sica. Esto nos puede mostrar que la ciencia se puede apreciar más de forma
experimental, ya que los estudiantes interactúan con los fenómenos de forma
directa, además de que se divierten.
La siguiente pregunta fue acerca de cuál de los modelos les gustó más, aquı́ las
MODELOS CON POPOTES
45
Figura 4.22: Prisma triangular
Figura 4.23: Prisma triangular
respuestas ya no fueron tan homogéneas como en la pregunta anterior, ya que a
algunos les gustaron más los modelos de superficies mı́nimas, a otros los de los
de caminos mı́nimos.
La siguiente pregunta fue si los modelos eran sencillos de hacer o no; esta
46
BURBUJAS EN EL ESPACIO
Figura 4.24: Prisma hexagonal
Figura 4.25: Prisma hexagonal
es la pregunta importante, ya que como dijimos nuestro propósito era el de ver
qué tanto se les dificultaba construir los modelos. La respuesta fue que eran
sencillos, aunque hubo personas que nos hicieron notar que entre más aristas
tuviera el sólido, o más lados la figura geométrica plana la construcción se vuelve
MODELOS CON POPOTES
47
Figura 4.26: Burbuja en formación
un poco más complicada, entonces es recomendable que se tome cierta habilidad en construir sólidos y polı́gonos de pocos lados antes de intentar construir
figuras de muchos lados. Sin embargo a los estudiantes del Colegio de Ciencias
y Humanidades se les hizo fácil en general.
La siguiente pregunta era acerca de cuales de los modelos se les hizo más
difı́cil construir, dos terceras partes del grupo constestó que el de los caminos
mı́nimos, mientras que la otra tercera parte contestó que los prototipos de las superficies mı́nimas, de donde se puede ver que se les dificultó más la construcción
de su figura plana; el gran problema aquı́ fue la perforación de las cajas.
La siguiente pregunta fue que nos dieran algunas sugerencias para mejorar
la forma de construcción de los prototipos; en este caso las respuestas fueron:
-Reducir las dimensiones de las figuras.
-Pasar más hilo por los popotes para el caso de las superficies mı́nimas.
-Utilizar tapas más resistentes, para que no se rompan cuando se perforan,
pero que no fueran tan difı́ciles de perforar.
-Cambiar el modo de perforación, sin utilizar fuego.
-Utilizar popotes con diámetros más grandes.
-Hacer un video sobre la construccion para poder mostrar cómo se fabrican
los modelos.
Entonces se puede observar que los estudiantes de nivel medio superior sı́ son
capaces de construir los modelos, con ciertas indicaciones.
Con base en el cuestionario nos pudimos percatar de que a la mayorı́a de los
estudiantes no les gustan las ciencias. Esto basado en nuestro último conjunto
de preguntas:
48
BURBUJAS EN EL ESPACIO
a)¿Te agradan las ciencias, las matemáticas y la tecnologı́a?
La respuesta a esta pregunta pregunta fue afirmativa para 19 personas, mientras que sólo 2 dijeron que no.
b)Si te dijera que la ciencia es ası́, ¿Considerarı́as estudiar una carrera cientifica?
Aquı́ 8 personas dijeron que si, 8 que tal vez y 5 que no.
c)¿Qué carrera piensas estudiar?
3 personas desean estudiar alguna ingenierı́a, 5 licenciatura en area de ciencias sociales, 4 en el área médico-biológicas, 1 en artes, 5 personas que no saben
aún qué van a estudiar y sólo tres personas que piensan estudiar alguna carrera
cientı́fica.
Bibliografı́a
[1] Boys, C.V. Soap Bubbles, their colors and forces which mold them, Dover
1959.
[2] Bush, John, http://www-math.mit.edu/ bush/
[3] Hales, T., Cannonballs and. Honeycombs NOTICES OF THE AMS, 47,
No. 4. pp440-449, 2000. www.ams.org/notices/200004/fea-hales.pdf
[4] Isenberg, C., The Science of soap films and soap bubbles, Dover 1992.
[5] Morgan, F., Geometric measure theory, Academic Press, 3a edición 2000.
[6] Oprea, J., The Mathematics of soap films: Explorations with Maple, AMS,
Student Mathematical Library Vol. 10, 2000.
[7] Stewart, Ian, What shape is a snowflake, W.H. Freeman and Company,
New York 2001.
[8] Weaire, D., Hutzler,S. The physics of foams University of Oxford, 1999.
49