P12 Ley de Hooke y oscilaciones elásticas

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LEY DE HOOKE Y OSCILACIONES ELÁSTICAS
OBJETIVOS
• Determinación de la constante elástica de un muelle, k, mediante la aplicación de la
ley de Hooke.
• Determinación de k a partir de las oscilaciones elásticas.
• Comparación de los resultados proporcionados por ambos métodos.
MATERIAL
•
•
•
•
Soporte con muelle y regla milimetrada
Portapesas
Juego de pesas
Cronómetro
FUNDAMENTO TEÓRICO
Estudio estático
Cuando se obliga a un cuerpo a cambiar de forma, la fuerza deformadora es
proporcional a la deformación, siempre que no se sobrepase el límite de proporcionalidad. La
variación puede consistir en un aumento de longitud, como en el caso de un resorte en hélice;
en una disminución; en una flexión, si se trata de un resorte plano; en la torsión de una banda
alrededor de su eje, o en muchas otras formas. La expresión fuerza deformadora se interpreta
en un sentido amplio y puede referirse a una fuerza, a un par, a una presión o cualquier otra
causa capaz de producir la deformación. Si restringimos el estudio al de una tracción o un
empuje, en cuyo caso la deformación es simplemente el desplazamiento del punto de
aplicación de la fuerza, ésta y el desplazamiento están relacionadas por la ley de Hooke:
F = k ∆y
[1]
siendo k la constante recuperadora y ∆y el desplazamiento.
La Figura 1 (a) muestra un resorte helicoidal de constante recuperadora k. Si se
suspende del resorte un cuerpo de masa m, como en la Fig. 1 (b), existe una fuerza hacia abajo
mg además de la fuerza ejercida por el muelle − ky0 , en donde se supone que y0 se mide
hacia abajo desde la posición sin deformar del muelle. En esta posición de equilibrio se
cumple:
ky0 = mg → y0 =
g
m
k
[2]
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Técnicas experimentales en Física General
Estudio dinámico
Supongamos ahora que el cuerpo se desplaza a una distancia y’ de su posición de
equilibrio, como en la Fig. 1 (c), y por lo tanto cuando se abandone se oscilará arriba y abajo.
La segunda ley de Newton se escribe:
Figura 1.- Objeto colgado de un muelle elástico vertical. (a) Posición de equilibrio sin masa. (b) Posición de
equilibrio con masa m : el muelle se alarga una longitud y 0 = mg / k . (c) La masa se desplaza de la posición de
equilibrio indicada en b) en una cantidad y ′ = y − y 0 , se abandona y oscila alrededor de esa posición de equilibrio
con un periodo T .
m
d2y
= −ky + mg
dt 2
[3]
Como y = y′ + y0 , sustituyendo en la ecuación [3]:
m
d 2 ( y′ + y0 )
= −k ( y ′+ y0 ) + mg
dt 2
[4]
Teniendo en cuenta de la ecuación [2] que ky 0 = mg y que la derivada de una constante es nula,
resulta:
m
d 2 y′
= − ky′
dt 2
[5]
cuya solución es:
y′ = A cos(ωt + δ ) = Acos(
2π
t+δ )
T
[6]
Ley de Hooke y oscilaciones elásticas
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Así pues, el objeto oscila alrededor de esta posición de equilibrio con un periodo igual al del
caso del mismo objeto sujeto a un muelle horizontal:
2π
m
4π 2
2
T=
= 2π
→T =
m
ω
k
k
[7]
que, como se ve, depende de la masa que oscila, m, y de la constante elástica, k, siendo
independiente de la amplitud de la oscilación (que debe ser pequeña).
REALIZACION
Estudio estático
De la ecuación [2] se deduce que se puede hallar la constante elástica k del muelle si,
sujeto éste por un extremo, se colocan distintas masas m en el otro y se estudia el alargamiento
producido en el muelle para cada masa.
Se procede, pues, de la siguiente manera:
1. Se elige el rango de masas adecuado que se va a poner en el portapesas ( 0, mmax ). Este
rango ha de ser tal que la elongación sea pequeña y así estar siempre dentro del límite
elástico del muelle.
2. Se coloca la masa mmax en el portapesas y se anota el valor de la elongación para esa
pesa ( ymax ).
3. Se eligen 8 valores de la masa uniformemente distribuidos entre 0 y mmax , y para cada
una de ellas se mide el alargamiento producidos, yi .
4. Se anota los datos en una tabla y se realiza la representación gráfica de la elongación
en función de la masa.
5. Se realiza un ajuste de los datos a una recta por mínimos cuadrados y del valor de la
pendiente de la recta se deduce el valor de la constante elástica del muelle (ecuación
[2]).
Estudio dinámico
Como indica la ecuación [7], los cuadrados de los periodos de oscilación son
proporcionales a la masa oscilante sujeta en el extremo del muelle. Dado que en el factor de
proporcionalidad aparece la constante elástica del muelle, esta relación proporciona otro
método para su determinación. Se procederá de la siguiente manera:
1. Al igual que en el apartado anterior, se estudia el rango de masas que se pueden poner
al portapesas para el que se pueda contar cómodamente el número de oscilaciones.
2. Se eligen después 8 valores de la masa uniformemente distribuidos entre los dos
anteriores.
3. Para cada masa a suspender del muelle, se mide el periodo de oscilación efectuando
un pequeño desplazamiento vertical de modo que, al liberar el sistema, éste comience
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Técnicas experimentales en Física General
a oscilar. Se dejan pasar las 4 ó 5 primeras oscilaciones hasta que se estabilice el
movimiento, se cronometra el tiempo empleado en n oscilaciones, y se calcula el
período. Se organizan los datos como se indica en la Tabla 1.
4. Se representan gráficamente los resultados: T 2 = f(m ) .
5. Del ajuste de los puntos a una recta por mínimos cuadrados (ecuación [7]), se
obtendrá el valor de k.
Tabla 1.- Estudio del oscilador armónico. Estudio dinámico
i
1
2
3
....
mi
(g)
±
±
±
ni
ti
(s)
±
±
±
Ti =ti /n i
(s)
ε(Ti )
(s)
Ti 2
(s2 )
±
±
±
Comparación de ambos métodos.
La constante elástica del muelle, k, es una característica física de éste y, por tanto, es
única, por lo que los resultados obtenidos por ambos métodos deben ser claramente
comparables. Si no es así, es preciso revisar el procedimiento experimental seguido en busca de
algún error que justifique la discrepancia.
Para hallar el valor de k, calcúlese la media ponderada de ambos valores.
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
a) Gráfica y = f(m ) ajustada por mínimos cuadrados y deducción del valor de k.
Interpretación del valor de la ordenada en el origen.
b) Gráfica T 2 = f(m ) ajustada por mínimos cuadrados y deducción del valor de k.
c) Análisis comparativo de los valores de k hallados, y su media ponderada.