Problemes Xavi

GRADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS AEROESPACIALES
Ciencia de Materiales
Problemas
Xavi Paneque Linares
6 de Junio del 2012
Índice
1.
Introducción a la ciencia de materiales................................................................................. 1
2.
Estructura de los sólidos cristalinos ...................................................................................... 6
3.
Solidificación, defectos cristalinos y difusión ...................................................................... 16
Defectos .................................................................................................................................. 16
Deslizamiento y endurecimiento por deformación ................................................................ 23
Difusión ................................................................................................................................... 28
4.
Aleaciones metálicas. Diagramas de equilibrio de fases..................................................... 33
5.
Aleaciones metálicas. El sistema Fe-C ................................................................................. 48
6.
Polímeros............................................................................................................................. 57
7.
Cerámicas ............................................................................................................................ 70
8.
Materiales compuestos ....................................................................................................... 82
Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 1
Ciencia de Materiales
1. Introducción a la ciencia de materiales
2.3. ¿Cuántos gramos hay en
uma de un material? ¿Cuántos átomos hay en un mol
de una sustancia?
1
1
2.7.
Escribir
,
,
·
la
,
1,66 · 10
1
6,022 · 10
1
,
= 6,022 · 10
electrónica
4 4
3 3
4
:1 2 2
:1 2 2
:1 2 2
2.8. El óxido cálcico (
para
á
los
siguientes
iones
,
:1 2 2
3 3
= 1,66 · 10
á
configuración
:1 2 2
:1 2 2
·
3 3
3 3
3 3
4 4
4 4
4
4
5 5
5 5
5
4 4
) presenta predominantemente enlace iónico. ¿Cuáles son
los dos gases inertes que tienen idénticas configuraciones electrónicas a los iones
y
Para el calcio tenemos
:1 2 2
3 3
Y para el oxígeno
:1 2 2
2.9. Con respecto a la configuración electrónica, ¿qué tienen en común todos los
elementos del grupo IA de la tabla periódica?
Todos tienen en común que en la última capa contienen tan solo un electrón.
2.10. Indicar si las configuraciones electrónicas siguientes corresponden a un gas
inerte, a un halógeno, a un metal alcalino, a un metal alcalinoterro o a un metal de
transición. Justifica la respuesta
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Ciencia de Materiales
( )
: Halógeno
( )
: Alcalinoterro
( )
: Halógeno
( )
: Alcalino
( )
: Alcalinoterro
( )
: Alcalinoterro
2.18. El porcentaje de carácter iónico de un enlace entre los elementos A y B (siendo
A el más electronegativo) se puede expresar aproximadamente mediante la
siguiente expresión:
%
Donde
y
á
ó
=
·
son las electronegatividades relativas de los dos elementos.
Determinar el % de carácter iónico de los enlaces interatómicos de los compuestos:
,
,
,
,
El porcentaje de carácter iónico será para cada elemento respectivamente
% = 100 1
% = 100 1
% = 100 1
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,
,
,
,
% = 100 1
% = 100 1
,
= 73,35%
= 6,06%
= 93,43%
,
,
,
,
= 14,79%
= 51,45%
Página 2
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Ciencia de Materiales
2.19. Representar gráficamente la energía de enlace en función de las temperaturas
de fusión de los materiales de la tabla. Utilizar este gráfico para calcular la energía de
enlace aproximada del molibdeno, sabiendo que la temperatura de fusión es de
Relación Tf-Ee
y = 430,17x - 306,62
Temperatura de fusión (Cº)
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-500 0
2
4
6
Energía de enlace (eV/áto)
8
10
Según la línea de tendencia, la energía de enlace aproximada del molibdeno será
2617 = 430.17 ·
306,62
= 5.37
á
2.20. Determinar el número de enlaces covalentes posibles en los átomos de los
siguientes elementos; germanio, fósforo, selenio y cloro
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El número de enlaces covalentes posibles para un átomo particular depende del
número de electrones de valencia. Para
enlazarse covalentemente con hasta 8
:8
4=4
:8
electrones de valencia, un átomo puede
átomos
6=2
:8
5=3
:8
7=1
2.21. ¿Qué tipos de enlace cabe esperar en cada uno de los siguientes materiales:
xenón sólido, fluoruro cálcico (
), bronce, teluro de cadmio (
), goma y
wolframio?
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Del xenón sólido tendremos enlaces de Van der Waals, del fluoruro cálcico tendremos
enlaces iónicos. En el bronce tendremos enlace metálico. EL teluro de cadmio será
covalente. En la goma aparecerán enlaces covalente y de Van der Waals. En el
wolframio tendremos enlace metálico.
2.22. Explicar, mediante el enlace de hidrógeno, el anómalo comportamiento del
agua al helarse. ¿Por qué aumenta el volumen después de solidificar?
En estado líquido existen los puentes de hidrógeno y estos tienen una mayor longitud
de enlace. La geometría molecular del agua está más restringida espacialmente en el
estado sólido con estructura cristalina que en el estado líquido. Por ello el hielo es
menor denso que el agua líquida.
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2. Estructura de los sólidos cristalinos
3.9. El molibdeno tiene una estructura cristalina BCC, un radio atómico de
,
y un peso atómico de
,
/
. Calcular y comparar su densidad
,
teórica con el valor experimental (densidad=
/
)
Dado que se trata de una estructura BCC tenemos
= 2;
=
4
3
Así pues la densidad teórica será
·
·
=
=
2 · 95,94
4
· 0,1363 · 10
3
= 10,22
· 6,022 · 10
Exactamente el valor de la experimental.
3.10. Calcular el radio de un átomo de Paladio sabiendo que el Pd tiene una
estructura cristalina FCC, una densidad de
,
/
y un peso atómico de
/
Dado que se trata de una estructura FCC tenemos
= 4;
=2 2
Así pues la densidad teórica será
=
·
·
=
4 · 106,4
2 2 · · 10
· 6,022 · 10
= 12
= 0,1376
3.13. El circonio tiene una estructura cristalina HC y una densidad de ,
/
.
¿Cuál es el volumen de la celdilla unidad en metros cúbicos? Si la relación / es
,
calcular los valores de y de
Dado que se trata de una estructura HC tenemos, por trigonometría
= 6;
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=
3 3
2
= 1,593 ·
3 3
2
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Por otro lado el volumen debe cumplir
·
·
=
=
6 · 91,224
· 6,022 · 10
= 6,51
= 1,3962 · 10
Por tanto
1,593 ·
3 3
2
= 1,3962 · 10
= 0,3231
= 0,5147
3.14. Utilizando los datos de peso atómico, estructura cristalina y radio atómico,
calcular las densidades teóricas del aluminio, níquel, titanio y tungsteno y comparar
estos valores con las densidades experimentales ( ,
respectivamente). La relación / para el titanio es ,
, ,
, ,
,
,
/
.
Aluminio (FCC)
=
·
·
=
·
·
=
·
·
=
4 · 26,982
2 2 · 0,1431 · 10
· 6,022 · 10
= 2,703
Níquel (FCC)
=
4 · 58,71
2 2 · 0,1246 · 10
· 6,022 · 10
= 8,909
Tungsteno (BCC)
=
2 · 95,94
4
· 0,1371 · 10
3
= 19,24
· 6,022 · 10
Titanio (BCC)
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·
·
=
Titanio
2 · 47,90
=
4
· 0,1430 · 10
3
= 4,417
· 6,022 · 10
(HC). A partir del resultado del ejercicio anterior, donde
= 1,58 ·
3 3
(2 · 0,1445 · 10 ) = 9,908 · 10
2
·
·
=
=2
=
6 · 47,90
9,908 · 10
· 6,022 · 10
= 4,82
3.19. El indio tiene una celdilla unidad tetragonal cuyos parámetros de red
valen ,
y ,
y
respectivamente. Determinar el número de átomos en la
celdilla unidad, si el factor de empaquetamiento atómico y el radio atómico son
,
y ,
es
,
respectivamente. Calcular la densidad. El peso atómico del indio
/
.
=
4
·3
=
·
·
=
=
4
·3
·
=
4
4
· 3 · 0,1625 · 3 ·
0,459 · 0,495
4 · 114,82
0,459 · 0,495 · (10 ) · 6,022 · 10
= 0,69
=4
= 7,313
3.25. Dibujar una celdilla unidad ortorrómbica y trazar en ella una dirección [
un plano (
]y
)
[2 1 1]
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[0 2 1]
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3.28. Dentro de una celdilla unidad cúbica trazar las siguientes direcciones
[
], [
], [
], [
], [
]
3.27. Aquí se muestran las celdillas unidad de dos hipotéticos metales ¿Cuáles son
los índices de las direcciones y de los planos?
Dirección 1
1 0,5 1
[2 1 2]
[0 0,5 1]
[0 1 2]
Dirección 2
Plano 1
(0,5 1 1)
(2 1 1)
Plano 2
0,5
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(0 2 0)
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Dirección 1
[0 0,5 1]
[0 1 2]
Dirección 2
[0,5 0,5 1]
[1 1 2]
(
(0 2 0)
Plano 1
0,5
)
Plano 2
0,5 0,5 1
(2 2 1)
3.29. Determinar los índices de las direcciones mostradas en las siguientes celdillas
unidad cúbica
Dirección A
0 0,5 2/3
[0 3 4]
Dirección B
2/3 0 1/2
[4 0 3]
Dirección C
[1 1/2 1/6]
[6 3 1]
Dirección D
1/2 1/2 1/2
[1 1 1]
3.31. En los cristales tetragonales, citar los índices de las direcciones equivalentes a
cada una de las siguientes: [
], [
]
Las direcciones equivalentes a [0 1 1] son
[0 1 1], [0 1 1], [0 1 1], [1 0 1], [1 0 1], [1 0 1], [1 0 1]
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Las direcciones equivalentes a [1 0 0] son
[1 0 0], [1 0 0], [0 1 0], [0 1 0]
3.33. Determinar los índices de Miller de los planos mostrados en la siguiente celdilla
unidad
: (1 1 2)
: (2 2 0)
: (2 1 1)
: (2 2 0)
: (1 2 2)
: (0 2 1)
(2 1 1 2)
3.42. Calcular y comparar las densidades lineales de las direcciones [
[
], [
]y
] en la FCC
En una estructura FCC el parámetro de celda es
=2 2
Por tanto las densidades lineares son la longitud que ocupan los átomos entre la
longitud total
[
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]
=
2
=
2
2 2
= 0,71
[
]
=
4
2
=
4
=1
4
Página 11
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[
]
=
2
=
3
2
2 6
= 0,41
3.45. Calcular y comparar las densidades planares de los planos (
)y(
) en
la FCC
Las densidades planares serán el cociente del área que ocupan los átomos entre el
área tota que intercepta el plano. En el plano (1 0 0) tenemos dos átomos enteros
interceptados.
(
=
)
2
=
2
8
= 0,785
En el plano (1 1 1) tenemos dos átomos interceptados y el área por trigonometría es
(
)
=
2
=
3
2
2
4 3
= 0,907
3.46. Calcular y comparar las densidades planares de los planos (
)y(
) en
la BCC
En una estructura BCC tenemos
=
4
3
En el plano (1 0 0) se intercepta 1 átomo en total y la densidad será
=
=
16
3
= 0,589
En el plano (1 1 0) se interceptan 2 átomos en total y la densidad será
=
2
2
=
2
16 2
3
= 0,833
3.50. Explicar por qué las propiedades de los materiales policristalinos casi siempre
son isotrópicas
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La isotropía en materiales cristalinos es función de la simetría cristalina. En la mayoría
de los materiales policristalinos, las orientaciones cristalográficas de los granos
individuales son completamente al azar. En estas circunstancias, aunque cada gramo
sea anisotrópico, el material compuesto de un conjunto de granos, se comporta
isotrópicamente.
3.51. Utilizando los datos de la tabla correspondientes al aluminio, calcular la
distancia interplanar del conjunto de planos (
)
El conjunto de planos (1 1 0) mantienen una distancia
=
+
+
=
2 2
+
+
=
2 2 · 0,1431
2
= 0,2862
3.53. Utilizando los datos de la tabla anterior correspondientes al hierro
las distancias interplanares de los conjuntos de planos (
)y(
, calcular
)
El conjunto de planos (1 1 0) mantienen una distancia
=
+
+
=
4
3
+ +
4
· 0,1241
3
=
= 0,1655
3
El conjunto de planos (2 1 1) mantienen una distancia
=
+
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+
=
4
3
+ +
4
· 0,1241
3
=
= 0,1170
6
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3.55. El metal niobio tiene una estructura cristalina BCC. Si el ángulo de difracción es
(difracción de primer orden) para el conjunto de planos (
de
emplea una radiación
) cuando se
monocromática de una longitud de onda de ,
,
calcular la distancia interplanar de este conjunto de planos y el radio atómico del
átomo de niobio.
En primer lugar obtenemos la distancia entre planos a partir de
2 sin
=
=
=
2 sin
1 · 0,1659
= 0,1347
76
2 sin
2
Y el radio atómico será
=
+
+
=
4
3
+ +
4
·
3
=
= 0,1347
6
= 0,1429
3.57. La figura muestra un espectro de difracción de rayos X del plomo, utilizando
radiación monocromática de longitud de onda de ,
. Se han anotado los
índices de cada pico. Calcula la distancia interplanar de cada conjunto de planos
indexados. Determinar también el parámetro de red del Pb para cada pico.
Aplicando las ecuaciones
2 sin
=
=
+
+
Se obtiene
(grados)
30
Xavi Paneque Linares
(
)
0,2885
(
)
0,4997
Página 14
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37
0,2430
0,4860
53
0,1728
0,4887
63
0,1476
0,4894
65
0,1435
0,4971
3.58. Los índices de los picos del espectro de difracción de Rayos X del Pb cumplen
las reglas de difracción para FCC (por ejemplo
, ,
deben ser todos pares o
impares). Enumerar los índices , , de los cuatro primeros picos de difracción para
cristales BCC con
+
+ par
Para estructuras BCC se cumple que
cumple
, ,
+
+ =
y para la estructura FCC se
son todos pares o impares. Así pues los cuatro primeros picos de
difracción para cristales BCC son
(2 0 0), (2 2 0), (2 2 2)
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3. Solidificación, defectos cristalinos y difusión
Defectos
4.1. Calcular la fracción de lugares atómicos vacantes que tiene el cobre a su
(
temperatura de fusión de
,
). Suponer una energía de activación de
/á
La fracción de lugares atómicos vacantes es
=
=
,
, · , ·
·
·
= 4,528 · 10
4.2. Calcular el número de vacantes por metro cúbico para el oro a
de activación para la formación de vacantes es de
,
densidad y el peso atómico del Au son
,
. La energía
/á
/
. Además, la
,
y
/
,
respectivamente
En primer lugar hay que calcular el número de átomos que hay en un metro cúbico
1
·
19,32
10
·
1
196,9
·
6,022 · 10
1
á
= 5,91 · 10
á
El número de vacantes será
=
= 5,91 · 10
·
,
,
· , ·
·
·
= 3,67 · 10
4.3. Calcular la energía de activación para la formación de vacantes en el aluminio,
sabiendo que el número de vacantes en equilibrio a
. El peso atómico y la densidad (a
,
/
,
(773 K) es de
) del aluminio son
,
/
·
y
, respectivamente.
El número de átomos por metro cúbico es
1
·
2,62
10
·
1
26,98
·
6,022 · 10
1
á
= 5,848 · 10 á
Aplicando la ecuación resulta
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=
7,57 · 10
= 5,848 · 10
,
· , ·
·
·
= 0,7504
á
4.4. En la siguiente tabla se dan el radio atómico, la estructura cristalina, la
electronegatividad y la valencia más común de varios elementos. Para los no
metálicos sólo se ha indicado el radio atómico. Indicar cuáles de estos elementos
pueden formar con el níquel
Los factores determinantes en el grado de solubilidad en disoluciones sustitucionales
son
-
Tamaño del átomo (tolerancia del ±15%)
-
Electroquímica, cuanto mayor diferencia de electronegatividades mayor
solubilidad sustitucional y menor intersticial.
-
Numero de valencia, mayor solubilidad cuanto mayor sea el número de
valencia
-
Una misma estructura favorece la solubilidad
a) Una disolución sólida sustitucional con solubilidad total
Cobre, paladio y platino
b) Una disolución sólida sustitucional con solubilidad parcial
Plata, aluminio, criptón, hierro, níquel y zinc.
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c) Una disolución sólida intersticial
Carbono, hidrógeno y oxígeno
4.5. Para la estructura FCC, los lugares intersticiales que pueden ocupar los átomos
de soluto están situados en el centro de las aristas de las celdillas unidad. Calcular el
radio
de un átomo de soluto que puede colocarse en uno de estos lugares en
función de radio
Una arista
del átomo del disolvente
es
=2 2
Por tanto el hueco que existe entre dos átomos en una arista es
2 =
2
=
2
2
=
2
1
= 0,41
4.6. Calcular la composición en porcentaje en peso de una aleación que contiene
,
,
de titanio,
de aluminio y ,
de vanadio.
El porcentaje en peso es
%=
218
= 89,97%
218 + 14,6 + 9,7
%=
14,6
= 6,03%
218 + 14,6 + 9,7
%=
9,7
= 4%
218 + 14,6 + 9,7
4.8. ¿Cuál es la composición, en porcentaje atómico, de una aleación que contiene
,
de zinc y de ,
de cobre,
de plomo?
Escribimos la cantidad de cada substancia en moles
99,7
Xavi Paneque Linares
·
1
63,54
= 1,57
Página 18
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Ciencia de Materiales
102
1
63,37
= 1,61
1
207,19
= 0,01
·
2,1
·
El porcentaje es por tanto
%=
1,57
= 49,2%
1,57 + 1,61 + 0,01
%=
1,61
= 50,5%
1,57 + 1,61 + 0,01
%=
0,01
= 0,3%
1,57 + 1,61 + 0,01
4.13. El níquel forma una disolución sólida sustitucional con el cobre. Calcular el
número de átomos de níquel por centímetro cúbico en una aleación cobre-níquel,
que contiene , %
puros son de ,
y
y ,
, %
/
en peso. Las densidades del níquel y del cobre
, respectivamente.
Suponemos 100 gramos de aleación y tenemos
100
·
1
1
·
100 58,71
·
6,022 · 10
1
á
= 1,0257 · 10
á
Calculemos ahora los centímetros cúbicos de aleación por cada 100 gramos
100
ó ·
1
100
·
1
8,90
+
99
100
·
1
8,93
= 11,2
Por tanto el número de átomos de níquel por centímetro cúbico es
1,0257 · 10
11,2
= 9,16 · 10
4.14. El zinc forma una disolución sólida sustitucional con el cobre. Calcular el
porcentaje en peso de zinc que debe añadirse al cobre para conseguir una aleación
que contenga ,
·
átomos de Zn por centímetro cúbico. Las densidades del
zinc y del cobre puros son de ,
Xavi Paneque Linares
y ,
/
, respectivamente.
Página 19
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Considerando un centímetro cúbico tenemos
1,75 · 10
á
·
1
6,022 · 10
á
·
65,37
1
= 0,19
= 0,0266
Así pues el volumen de cobre será
1
0,266 = 0,973
8,692
Finalmente el porcentaje de masa que debemos añadir será
0,19
· 100 = 2,14%
8,692 + 0,19
4.15. Calcular el número de átomos de Zn que hay en
zinc, que contiene , %
y
, %
en peso
99 1
·
100 8,93
·
de una aleación cobre-
Supongamos 100 g de aleación
100
·
1 1
·
100 7,13
100
·
+
1
1
·
100 65,37
·
1
10
6,022 · 10
1
= 1,12 · 10
á
= 9,21 · 10
ó
á
Por tanto el número de átomos por metro cúbico es
9,21 · 10
1,12 · 10
= 8,21 · 10
4.17. Para las estructuras cristalinas FCC y BCC, el vector de Burguers b se puede
expresar como
=
Donde
[
]
es la longitud de la arista de la celdilla unidad y [
] es la dirección
cristalográfica de mayor densidad atómica lineal.
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Ciencia de Materiales
¿Cuáles son las representaciones del vector de Burguers en las estructuras cristalinas
FCC, BCC y cúbica simple? Si la magnitud del vector de Burguers | | es
| |=
+
+
Determinar el valor de | | para el cobre y el hierro
Para el cobre tenemos
| |=
2 2 · 0,1278
· 1 + 1 + 0 = 0,2556
2
Para el hierro
4
· 0,1241
3
| |=
· 1 + 1 + 1 = 0,2482
2
4.18. La energía superficial de un monocristal depende de la orientación
cristalográfica con respecto a la superficie. Justificarlo. Un cristal FCC, como el
aluminio, ¿tiene mayor energía en el plano (
) o en el (
)? ¿Por qué?
La superficie externa constituye uno de los límites más evidentes, se considera una
imperfección puesto que representa el límite de la estructura cristalina, donde
termina. Los átomos superficiales no están enlazados con el máximo de vecinos más
próximos y, por lo tanto, están en un estado energético superior que los átomos de las
posiciones interiores. Los enlaces no realizados de estos átomos superficiales
aumentan la energía superficial, expresada en unidades de energía por unidad de área.
Los materiales tienden a minimizar el área total de la superficie para disminuir esta
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energía. Así pues tendrá más energía aquel monocristal que tenga orientada al exterior
una superficie con mayor densidad planar. Por lo tanto, en una estructura FCC tendrá
más energía el plano (1 0 0).
4.22. Determinar el tamaño de grano medio de grano, en milímetros, de las
probetas, cuyas microestructuras se reproducen en la figura. Suponer que está
aumentada
y utilizar al menos siete segmentos de recta.
La media de los cortes es
9 + 7 + 9 + 8 + 10 + 9 + 7
= 8,43
7
La longitud de línea es
= 5,5
Por tanto el tamaño de grano medio es
=
55
= 0,065
8,43 · 100
4.24. Para un tamaño de grano ASTM 6, ¿cuántos granos hay aproximadamente en
una pulgada cuadrada de una microestructura a 100 aumentos? Determinar el
número ASTM para el tamaño de grano de la micrografía de la figura anterior,
suponiendo 100 aumentos.
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Ciencia de Materiales
=2
=2
= 32
En la fotografía anterior podemos ver unos 64 granos, por tanto
64 = 2
4.25. En la micrografía de un metal
=5
se calculó que el número medio de granos
por pulgada cuadrada era 24. Calcular el número ASTM para ese tamaño de grano.
=2
= 24
= 5,585
Deslizamiento y endurecimiento por deformación
7.11. Algunas veces el producto
se denomina factor de Schmid.
Determinar la magnitud del factor de Schmid para un monocristal FCC con su
dirección [
] paralela al eje de carga
Debemos encontrar el coseno del ángulo que forman la dirección de tracción con la
normal al plano y con la dirección de deslizamiento. El plano de deslizamiento en una
estructura FCC es (1 1 1) y la dirección de deslizamiento [1 1 0].
El primero es, por definición de producto escalar
cos
=
(1,0,0)(1,1,1)
3
=
3
3
El segundo es
cos =
(1,0,0)(1, 1,0)
2
=
2
2
Por tanto el factor de Schmid resulta
cos
cos =
6
6
0,408
7.12. Consideremos un monocristal orientado de tal manera que a la normal al plano
de deslizamiento y la dirección de deslizamiento forman ángulos de
y
respectivamente, con el eje de tracción. Si la tensión de cizalladura resuelta crítica es
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Ciencia de Materiales
,
¿se deformará plásticamente si se aplica una tensión de
? Si no
fuera así, ¿qué tensión sería necesaria?
Si aplicamos una tensión de 45 MPa tenemos
= 45 cos 60 cos 35 = 18,43
Y no se deformaría. Para deformarse plásticamente debemos hacer un esfuerzo de
20,7 =
cos 60 cos 35
= 50,54
7.13. Un monocristal de cadmio está orientado de tal manera que la normal al plano
de deslizamiento forma un ángulo de
con el eje de tracción. Tres posibles
,
direcciones de deslizamiento forman ángulos de
,
con el eje de tracción.
¿Cuál de estas tres direcciones está mejor orientada para el deslizamiento? Si la
deformación plástica empieza a una tensión de 1,55 MPa, determinar la tensión de
cizalladura resuelta crítica para el cinc
Si calculamos los esfuerzos con cada uno de los ángulos propuestos tenemos que el
valor es máximo en 30 . La tensión de cizalladura para esta situación es
= 1,55 cos 65 cos 30 = 0,5673
7.14. Consideremos un monocristal de níquel orientado de tal manera que se aplica
una tracción en la dirección [
en una dirección [
]. Si el deslizamiento ocurre en un plano (
)y
], y comienza cuando la tensión aplicada es de 13,9 MPa,
calcule la tensión de cizalladura resuelta crítica
cos
=
(0,0,1)( 1,0,1)
2
=
2
2
cos =
(0,0,1)(1,1,1)
3
=
3
3
Por tanto el factor de Schmid resulta
cos
cos =
6
6
La tensión de cizalladura será
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Ciencia de Materiales
= 13,9
6
= 5,67
6
7.15. La tensión de cizalladura resuelta crítica del cobre es 0,48 MPa. Determinar el
valor máximo del límite elástico para un monocristal de Cu estirado a tracción
El valor máximo será
= 2 = 2 · 0,48 = 0,96
7.21. El límite elástico inferior del hierro con un diámetro de grano de
230 MPa. Para un tamaño de grano de
·
es
, el límite elástico aumenta
hasta 275 MPa. ¿Para qué tamaño de grano el límite elástico inferior será de 310
MPa?
En este caso usaremos la ecuación
230 =
=
+
+
275 =
+
= 75,36
10
= 15,46
/
6 · 10
Por tanto
310 = 75,36
15,76
= 4,34 · 10
7.24. Demostrar que en un ensayo de tracción
%
=
·
+
%CW es el % de deformación en frío. Considerar que no hay cambio en el volumen de
la probeta durante el proceso de deformación. Usando el resultado de la parte
anterior, calcular el porcentaje de trabajo en frío experimentado por el latón naval
cuando se aplica una tensión de 415 MPa
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Tenemos por definición
%=
Por otro lado, si se conserva el volumen
=
=
Sustituyendo resulta
%=
Si recordamos la definición de alargamiento
=
Podemos escribir la expresión como
%=
+1
Cuando aplicamos 415 MPa, el gráfico nos indica un alargamiento de 0,16.
Sustituyendo en la ecuación resulta
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%=
0,16
· 100 = 13,8%
0,16 + 1
7.25. Dos probetas cilíndricas previamente no deformadas de una aleación son
endurecidas por deformación reduciendo el área de la sección. Para una probeta, los
radio iniciales y deformados son 15 mm y 12 mm, respectivamente. La segunda
probeta, con un radio inicial de 11 mm, una vez deformada debe tener la misma
dureza que la primera probeta; calcular el radio de la segunda probeta después de la
deformación
Dado que deben tener la misma dureza, el coeficiente de trabajo en frío debe ser el
mismo. Así pues se cumple
15
12
15
=
11
= 8,8
11
7.26. Dos probetas previamente no deformadas del mismo metal son deformadas
por reducción del área de sus secciones transversales. Una tiene una sección circular
y la otra rectangular; durante la deformación las secciones de las dos probetas deben
conservar su forma. Las dimensiones antes y después de la deformación son las
siguientes.
¿Cuál de estas probetas tendrá mayor dureza después de la deformación plástica?
¿Por qué?
Tendrá mayor dureza la segunda probeta. Se puede comprobar fácilmente calculando
y comparando los coeficientes de trabajo en frío
%=
18
15,9
= 21,97%
18
%=
20 · 50 13,7 · 55,1
= 24,5%
20 · 50
Como la segunda probeta tiene un mayor porcentaje de trabajo en frío, esta será más
dura.
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Difusión
5.6. Calcular el número de kilogramos de hidrógeno que pasa en una hora a través de
una lámina de Pd de ,
de área y 6 mm de espesor a
coeficiente de difusión de , ·
. Suponer un
/ , que las concentraciones de hidrógeno
en los lados de alta y baja presión son de 2,0 y 0,4 kg de hidrógeno por metro cúbico
de paladio y que se ha alcanzado el estado estacionario.
Según la ley de Fick tenemos
d
=
d
=
= · ·
1,7 · 10
= 4,53 · 10
·
0,4 2
= 4,53 · 10
0,006
· 3600 · 0,25 = 4,08 · 10
5.7. Una lámina de acero de 2,5 mm de espesor está dentro de una atmósfera de
nitrógeno a
y se ha alcanzado la condición del estado estacionario de la
difusión. El coeficiente de difusión del nitrógeno en acero a esta temperatura es de
, ·
/ y el flujo de difusión es , ·
/
. También se sabe que
la concentración de nitrógeno en la cara del acero de mayor presión es de
/
.
¿A qué distancia de esta superficie, que está a elevada presión, es la concentración
de ,
/
=
? Suponer un perfil de concentración lineal.
d
=
d
1,2 · 10
·
0
2
= 1,0 · 10
= 1,8 · 10
5.8. La cara de una lámina de hierro BCC de 2 mm de espesor se expuso a una
atmósfera gaseosa carburante y la otra cara a una atmósfera descarburante a
. Después de alcanzar la condición de estado estacionario, el hierro se enfrió a
temperatura ambiente. Se determinaron las concentraciones de carbono en las dos
caras y resultaron ,
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y ,
% en peso. Calcular el coeficiente de difusión si el
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Ciencia de Materiales
flujo de difusión es
,
·
/
. Convertir las concentraciones del
porcentaje en peso a kilogramos de carbono por metro cúbico de hierro.
En primer lugar encontremos la masa de un metro cúbico de hierro
1
·
7874
1
= 7874
= 0,00015 · 7874 = 1,18
;
= 0,535
Por tanto el coeficiente de difusión resulta
=
d
=
d
·
0,535 1,18
= 7,36 · 10
0,002
= 2,28 · 10
5.12. Una aleación hierro-carbono FCC que inicialmente contenía ,
% C en peso
está expuesta a una atmósfera rica en oxígeno y virtualmente libre de carbono a
1325 K (
). En estas condiciones el carbono difunde desde el interior de la
aleación y reacciona en la superficie con el oxígeno de la atmósfera, manteniendo la
concentración del carbono a %
en las posiciones superficiales. (Este proceso de
eliminación de carbono se denomina descarburación). ¿A qué distancia de la
superficie la concentración del carbono será de
tratamiento? El valor de
a 1325 K es , ·
,
% después de 10 h de
/
Tenemos
=1
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erf( )
0,25 0,55
=1
0 0,55
erf( )
erf( ) = 0,4545
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Ciencia de Materiales
=
= 0,4278
2
= 2 4,3 · 10
· 10 · 3600 · 0,4278 = 1,06
5.11. Determinar el tiempo necesario para alcanzar una concentración de , % de C
a 4 mm de la superficie de una aleación Fe-C que inicialmente contenía , % C. La
, %
concentración de la superficie se mantiene a
. Usar los datos de difusión en
y la probeta se calienta a
de la tabla
Tenemos
=1
=
2
erf( )
= 0,814
0,3
0,9
=
0,1
=1
0,1
4 · 0,66 ·
erf( )
=
5.13. El nitrógeno difunde en hierro puro a
erf( ) = 0,75
0,004
4 · 0,66 · 7 · 10
= 24,1
. Si la concentración superficial se
mantiene en , % N en peso, ¿cuál será la concentración a 2 mm de la superficie
después de 25h? El coeficiente de difusión del nitrógeno en hierro es
, ·
a
Tenemos
erf
2
= erf
=1
0,002
2 · 1,9 · 10
erf( )
0,2
· 25 · 3600
0
=1
0
= erf 0,7647 = 0,7
0,7
= 0,06%
5.15. Mediante tratamiento térmico carburante aplicado durante 15 h se ha
conseguido una concentración de carbono de
,
% a 2 mm de la superficie.
Calcular el tiempo necesario para conseguir esta concentración a 6 mm de
profundidad para el mismo acero y mismo tratamiento.
Como las concentraciones son las mismas para las dos condiciones se debe cumplir
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Ciencia de Materiales
erf
= erf
=
2
2
15
2
=
6
= 135
5.16. Calcular los valores del coeficiente de difusión para la interdifusión del carbono
en hierro
BCC y hierro
FCC a
. ¿Cuál es mayor? Justifícalo
=
Para el primer caso tenemos
= 6,2 · 10
·
,
= 1,70 · 10
·
Para el segundo caso tenemos
= 1 · 10
·
,
= 8,78 · 10
·
Porque la difusión intersticial es más rápida que la difusión por vacantes ya que los
átomos intersticiales son más pequeños y tienen más movilidad y además hay más
posiciones intersticiales vacías que vacantes.
5.18. Con los datos de la tabla ¿a qué temperatura el coeficiente del Zn en Cu vale
, ·
/ ?
2,6 · 10
= 3.4 · 10
,
= 897,5
·
.
5.20. La energía de activación para la difusión del cobre en plata es
(
Calcular el coeficiente de difusión a
(
) es , ·
), sabiendo que
.
a
/
=
10
/
=
,
·
,
= 4,79 · 10
·
5.24. El carbono difunde a través de una lámina de acero de 10 mm de espesor. Las
concentraciones de carbono en las dos caras son ,
y ,
/
, que se
mantienen constantes. Si el factor de frecuencia y la energía de actuación son
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Ciencia de Materiales
, ·
/ y
.
/
, respectivamente, calcular la temperatura a la
cual el flujo de difusión es , ·
/
El flujo es
d
d
=
=
6,3 · 10
=
·
1,4 · 10
0,40 0,85
0,01
= 1,4 · 10
= 6,2 · 10
= 900
,
5.26. ¿A qué temperatura aproximada la carburación superficial del hierro
4 h produce el mismo efecto que la carburación a
durante
durante 12h?
1392
Como han de producir los mismos efectos, tenemos que se cumple
=
Sustituyendo por la ecuación
=
Resulta
=
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12 ·
,
·
=4
,
·
= 1392
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Ciencia de Materiales
4. Aleaciones metálicas. Diagramas de equilibrio de fases
9.5. Citar las fases presentes y sus composiciones en las siguientes aleaciones
a) 15% Sn-85% Pb a 100 grados centígrados
Fases
+ . Composición
12%,
95% en Pb
b) 25% Pb-75% Mg a 425 grados centígrados
Fase
con composición del 25% en plomo
c) 85% Ag-15% Cu a 800 grados centígrados
Fases
+ con
95 y
78% en plata
d) 55% Zn-45% Cu a 600 grados centígrados
Fases
+ con
52% y
58 en zinc
e) 1,25 Kg Sn y 14 kg Pb a 200 grados centígrados
Calculemos el porcentaje
=
Fases
1,25
· 100 = 8,2%
1,25 + 14
=
14
· 100 = 91,2%
1,25 + 14
con 8,2% en Sn
f) 13,447 Kg Cu y 65,50 Kg Zn a 600 grados centígrados
Calculemos el porcentaje
=
13,447
· 100 = 17%
13,447 + 65,50
Fases + con
81% y
=
65,50
· 100 = 83%
13,447 + 65,50
90% en Zn
g) 21,7 mol Mg y 35,4 mol Pb a 400 grados centígrados
Pasamos de moles a quilogramos
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Ciencia de Materiales
21,7
·
24,3
1
= 527,31
35,4
·
207,198
1
= 7334,53
Y por tanto
=
527,31
· 100 = 6,7%
527,31 + 7334,53
Fases +
=
94% y
con
7334,53
· 100 = 93,3%
527,31 + 7334,53
81% en Pb
h) 4,2 mol Cu y 1,1 mol Ag a 900 grados centígrados
Pasamos de moles a quilogramos
4,2
·
63,54
1
= 266,87
1,1
·
107,87
1
= 118,657
Y por tanto
=
Fases
266,87
· 100 = 69,2%
266,87 + 118,657
+
con
55% y
=
118,657
· 100 = 30,8%
266,87 + 118,657
9% en Ag
9.6. ¿Qué fases y qué fracciones de masas aparecen al enfriar una aleación
%
–
%
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a los
,
,
,
y
?
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 35
Ciencia de Materiales
A 1000 C tenemos estado líquido totalmente
A 800 C tenemos fase
totalmente
A 500 C tenemos coexistencia de fase
y . Por la regla de la palanca inversa
tenemos, aproximadamente
=
A 300
=
58
58
52
= 75%
50
tenemos coexistencia entre
=
=
52
58
50
= 25%
50
y . Por la regla de la palanca inversa
tenemos, aproximadamente
=
A 200
=
59
59
52
= 77,8%
50
tenemos coexistencia entre
=
=
52
59
50
= 22,2%
50
y . Por la regla de la palanca inversa
tenemos, aproximadamente
=
=
59
59
52
= 87,5%
51
=
=
52
59
51
= 12,5%
51
9.7. Determinar las cantidades relativas (fracciones de masa) de las fases presentes
en las aleaciones y temperaturas del problema 9.5.
a) 15% Sn-85% Pb a 100 grados centígrados
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Página 35
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Ciencia de Materiales
Fases
+ .
=
· 100 =
95
95
85
· 100 = 12,05%
12
=
· 100 =
85
95
12
· 100 = 87,95%
12
b) 25% Pb-75% Mg a 425 grados centígrados
Fase
en su totalidad
c) 85% Ag-15% Cu a 800 grados centígrados
Fases
+ con
=
· 100 =
=
88
95
· 100 =
85
· 100 = 30%
85
85
95
78
· 100 = 70
85
d) 55% Zn-45% Cu a 600 grados centígrados
Fases
+ con
=
· 100 = 50%
= 50%
e) 1,25 Kg Sn y 14 kg Pb a 200 grados centígrados
Totalidad en de fase
f) 13,447 Kg Cu y 65,50 Kg Zn a 600 grados centígrados
Fases + con
=
· 100 =
90
90
83
· 100 = 77,78%
81
= 22,22%
g) 21,7 mol Mg y 35,4 mol Pb a 400 grados centígrados
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 37
Ciencia de Materiales
Fases +
con
=
· 100 =
93,3 81
· 100 = 94,6%
94 81
= 5,4%
h) 4,2 mol Cu y 1,1 mol Ag a 900 grados centígrados
Fases
+
con
=
· 100 =
55 308
· 100 = 52,6%
55 9
9.8. La figura adjunta es una parte del diagrama de fases
= 47,4%
.
a. Con la ayuda de este diagrama explicar brevemente por qué se añade sal al hielo a
temperatura inferior a
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para fundirlo.
Página 37
Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 38
Ciencia de Materiales
Se puede observar en el diagrama que la línea liquidus marca temperaturas más bajas
como mayor es la proporción de sal hasta un mínimo de 20
en una proporción del
23% de sal aproximadamente. Así pues, la sal se añade para modificar la composición
del agua con el objetivo de evitar que se forme hielo.
b. ¿Qué concentración de sal se necesita para tener un
disolución salina a una temperatura de
% hielo y un
% de
?
Aplicando la ley de la palanca tenemos
=
=
19
19
0
= 0,75
= 4,75%
9.11. Una muestra de 7,5 Kg de una aleación magnesio-plomo consiste en una fase
de disolución sólida
que tiene la composición algo inferior al límite de solubilidad a
a) ¿Cuál es la masa de plomo de la aleación?
7,5 · 0,16 = 1,2
b) Al calentar la aleación a
fase
, ¿Cuánto más plomo se podrá disolver en la
sin exceder el límite de solubilidad?
7,5 · 0,32 = 2,4
= 2,4
1,2 = 1,2
9.12. Describir brevemente la segregación. Citar una consecuencia negativa de la
segregación.
Una importante consecuencia de la solidificación fuera del equilibrio para aleaciones
isomorfas es una distribución no uniforme de los dos elementos dentro de los cristales
denominada segregación. La región central de cada grano es la primera que ha
solidificado y es rica en el elemento de alta temperatura de fusión, mientras que la
concentración del elemento de baja temperatura de fusión va aumentando desde el
Xavi Paneque Linares
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 39
Ciencia de Materiales
centro al límite del grano. La siguiente imagen representa esquemáticamente este
gradiente de concentración
Esta estructura da lugar a propiedades inferiores a las óptimas. Si las muestras
moldeadas, que tienen una microestructura segregada, se vuelven a calentar, la región
del límite de grano funde en primer lugar, ya que es más rica en el elemento de
temperatura de fusión menor. Esto suele producir una drástica pérdida de la
integridad mecánica debido a la delgada película líquida que separa los granos.
Además, esta fusión puede iniciarse a temperatura inferior a la temperatura de
equilibrio solidus de la aleación. La segregación se puede eliminar por el tratamiento
térmico de homogeneización, que se realiza calentando la aleación de composición
conocida a una temperatura inferior al punto solidus. Durante este proceso, la difusión
atómica genera granos de composición homogénea.
9.13. Se intenta fabricar una aleación cobre-níquel con una resistencia a la tracción
mínima de 380 MPa y una ductilidad de
% EI. ¿Es posible? En caso afirmativo,
¿cuál debe ser la composición? En caso negativo, ¿por qué?
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Ciencia de Materiales
9.14. En una aleación cobre-níquel, ¿es posible tener en equilibrio una fase líquida de
composición 80% Cu – 20% Ni y fase
37% Ni – 80% Cu? En caso afirmativo, ¿a qué
temperatura? En caso negativo, ¿por qué?
La situación descrita es imposible dado que si tenemos una fase en equilibrio del 20%
en níquel líquido, el máximo porcentaje de níquel del sólido será de aproximadamente
30%, nunca llegará al 37%. Por el mismo razonamiento, una fase del sólido
con
concentración 37% tendrá un líquido con un mínimo de níquel del 25%
aproximadamente.
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Ciencia de Materiales
9.15. En una aleación cobre-plata, ¿es posible tener en equilibrio una fase
95% Cu) y una fase
(5% Ag-
95% Ag – 5% Cu? En caso afirmativo, ¿a qué temperatura? En
caso negativo ¿por qué?
Sí es posible a una temperatura de 625
9.16. Una aleación plomo-estaño de composición 30% Sn – 70% Pb se calienta
lentamente a partir de los
a. ¿A qué temperatura empieza a formarse líquido?
El líquido empezará a formarse a partir de la línea eutéctica, es decir, a partir de los
183 C.
b. ¿Cuál es la composición de esta fase?
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Ciencia de Materiales
80,7%
En esta fase tenemos una composición de19,3%
61,9%
38,1%
en
y un
en líquido.
c. ¿A qué temperatura funde completamente la aleación?
Si seguimos la línea discontinua, vemos que corta con la línea liquidus cuando nos
encontramos a una temperatura de 260 C aproximadamente.
d. ¿Cuál es la composición de la última parte sólida antes de que se complete la
fusión?
Si trazamos una recta horizontal en el punto de corte de la línea liquidus, cortaremos la
línea solidus. Observando la escala de composición para este punto obtenemos una
composición del 13% de
9.20. Una aleación
aproximadamente.
%
%
se calienta a una temperatura comprendida
+ . Si la fracción de cada fase es 0,5 calcular la temperatura de la
en la región
aleación y las composiciones de las dos fases.
Midiendo sobre el papel da una temperatura aproximada de 550
de cada fase serían
30%
50%
y
. La composición
.
9.21. En las aleaciones de dos hipotéticos metales A y B, existen una fase
y una fase
rica en A
rica en B. A partir de las fracciones de masas de dos aleaciones, que
están a la misma temperatura, determinar la composición de los límites de fase (o
límite de solubilidad) de las fases
Composición de la aleación
y
a esta temperatura
Fracción de fase
Fracción de fase
%
%
0,78
0,22
%
%
0,36
0,64
Aplicando la regla de la palanca inversa tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
=
Xavi Paneque Linares
=
30
= 0,22
=
=
65
= 0,64
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Ciencia de Materiales
La solución del cual es
= 11,67%
= 95%
9.23. ¿Es posible tener una aleación cobre-plata de composición 20% Ag-80% Cu que,
en el equilibrio, consta de fase
y
= ,
y de líquido con las fracciones de masa
= ,
? En caso afirmativo, ¿cuál es la temperatura aproximada de esta
aleación? En caso negativo explicar la causa.
Debemos aplicar la regla de la palanca inversa y debe existir una combinación que
cumpla
=
=
20
= 0,80
En el caso extremo tenemos
=
Xavi Paneque Linares
71,9 20
= 0,825 > 0,8
71,9 9
Página 43
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Ciencia de Materiales
Por tanto sí existe esa posibilidad en algún punto intermedio y corresponde a una
temperatura aproximada (a ojo) de poco más de 800 C
9.28. ¿Es posible conseguir, a
de masa
primaria y
, una aleación magnesio-plomo cuyas fracciones
total sean
,
y
,
respectivamente? Justificar la
respuesta
Si tenemos 0,6 de
primario la concentración será
%=
=
68
68
42
= 0,6
= 52,4%
A esta concentración tenemos
=
80 52,4
= 72,6% < 85%
80 42
Por tanto no es posible
9.30. Dada una aleación estaño-plomo que contiene 80% Sn y 20% Pb a
determinar las fracciones de masas de
a. Las fases
y
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Ciencia de Materiales
Considerando que el punto está sobre la línea eutéctica, tenemos que las fracciones de
masa por la regla de la palanca son
=
=
97,8 80
= 22,4%
97,8 18,3
b. Los microconstituyentes
Los microconstituyentes
=
c. El
=
=
=
80 18,3
= 77,6%
97,8 18,3
primario y eutéctico
primario y eutéctico vienen dados respectivamente por
80 61,9
= 50,4%
97,8 61,9
=
=
97,8 80
= 49,6%
97,8 61,9
eutéctico
El porcentaje de eutéctico es
=
= 77,6
50,4 = 27,6%
9.31. La microestructura de una aleación cobre plata a
consta de
primaria y
eutéctico. Determinar la composición de la aleación sabiendo que las fracciones de
masas de estos dos microconstituyentes son ,
%=
Xavi Paneque Linares
=
71,9
71,9
7,9
y ,
= 0,73
, repespectivamente.
= 25,18%
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Ciencia de Materiales
9.34. Esquematizar las microestructuras, indicando la composición aproximada,
obtenidas al enfriar lentamente una aleación 85% Pb-15% Mg a las siguientes
temperaturas:
Para 600
Para 500
,
,
y
tenemos líquido totalmente.
tenemos una mezcla de compuesto
más líquido de proporción
respectivamente
=
Xavi Paneque Linares
=
88
88
85
= 37,5%
80
=
=
85
88
80
= 62,5%
80
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Ciencia de Materiales
Para 270
nos encontramos en la isoterma eutéctica con proporciones
=
Para 200
=
96
96
85
= 68,8%
80
=
tenemos una mezcla de compuesto
=
85
96
80
= 31,3%
80
más
de proporción
=
85 80
= 25%
100 80
respectivamente
=
Xavi Paneque Linares
=
100
100
85
= 75%
80
=
Página 47
Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 48
Ciencia de Materiales
5. Aleaciones metálicas. El sistema Fe-C
9.47. ¿Cuál es el porcentaje de carbono de un acero al carbono si la fracción de
cementita es de ,
?
6,7
0,022
= 0,1
0,022
= 0,69%
9.48. ¿Cuál es la fase proeuctectoide de un acero al carbono cuyas fracciones másicas
de ferrita y de cementita son 0,86 y 0,14 respectivamente? ¿Por qué?
6,7
0,022
= 0,14
0,022
= 0,957% > 0,76%
9.49. Enfriar hasta temperaturas inferiores a
Cementita
3,5 kg de austenita con 0,95% C
a) ¿Cuál es la fase proeuctectoide?
0,95% > 0,76%
Cementita
b) ¿Cuántos kilogramos de ferrita y de fase proeuctectoide se forman?
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Página 48
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Ciencia de Materiales
6,7 0,95
= 0,861
6,7 0,022
= 3,5
= 3,5 · 0,861 = 3,01
3,01 = 0,49
c) ¿Cuántos kilogramos de perlita y de fase proeuctectoide se forman?
=
0,95 0,76
= 0,032
6,7 0,76
= 3,5
= 0,032 · 3,5 = 0,112
0,112 = 3,388
d) Esquematizar y designar la microestructura resultante
9.50. Enfriar hasta temperaturas inferiores a
6 kg de austenita con 0,45% C.
a) ¿Cuál es la fase proeuctectoide?
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La fase , ferrita
b) ¿Cuántos kilogramos de ferrita y de fase proeuctectoide se forman?
=
6,7
6,7
0,45
= 0,936
0,02
=6
= 0,936 · 6 = 5,62
5,62 = 0,384
c) ¿Cuántos kilogramos de perlita y de fase proeuctectoide se forman?
=
0,45
0,77
0,022
= 0,572
0,022
=6
= 0,572 · 6 = 3,43
3,43 = 2,57
d) Esquematizar y designar la microestructura resultante
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Ciencia de Materiales
9.51. Calcular las fracciones másicas de perlita y de ferrita proeuctectoide que se
generan en un acero al carbono con 0,35% C
=
0,77 0,35
= 0,56
0,77 0,022
=1
0,56 = 0,44
9.52. La microestructura de un acero al carbono consta de perlita y de ferrita
proeuctectoide; las fracciones másicas de estos dos constituyentes son 0,174 y 0,826
respectivamente. Determinar la concentración de carbono de esta aleación.
=
0,77
= 0,826
0,77 0,022
= 0,152%
9.53. Las fracciones másicas de la ferrita y de la cementita de un acero al carbono son
0,91 y 0,09 respectivamente. Justificar si se trata de un acero hipo o hipereutectoide
=
6,7
= 0,91
6,7 0,022
= 0,623% < 0,77
Hipoeutectoide
9.54. La microestructura de un acero al carbono consta de cementita proeuctectoide
y de perlita; las fracciones de masa de estos constituyentes son 0,11 y 0,89
respectivamente. Determinar el porcentaje de carbono del acero.
=
6,7
0,77
= 0,11
0,77
= 1,42%
9.55. Considerar 1,5 Kg de acero al carbono con 0,3% C enfriados hasta temperatura
justamente inferior al eutectoide
a) ¿Cuántos kilogramos de ferrita proeutectoide se forman?
=
0,77 0,3
= 0,628
0,77 0,022
= 0,628 · 1,5 = 0,94
b) ¿Cuántos kilogramos de ferrita eutectoide se forman?
=
=
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6,7 0,3
= 0,958
6,7 0,022
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= 0,958
0,628 = 0,33
= 0,33 · 1,5 = 0,495
c) ¿Cuántos kilogramos de cementita se forman?
=1
=1
0,958 = 0,042
= 0,042 · 1,5 = 0,062
9.57. ¿Existe un acero con fracción másica de cementita y de ferrita proeuctectoide
de 0,057 y 0,36 respectivamente? ¿Por qué o por qué no?
0,77
= 0,36
0,77 0,022
=
=
0,5
6,7
0,022
= 0,072
0,022
= 0,5
0,057
No existe
9.58. ¿Existe un acero con fracción másica de ferrita y de perlita de 0,086 y 0,0969
respectivamente? ¿Por qué o por qué no?
=
6,7
= 0,086
6,7 0,022
=
6,7 6,126
= 0,0969
6,7 0,77
= 6,126
Sí existe
9.60. La fracción másica de cementita eutectoide en un acero es 0,109. ¿Es posible
determinar, con este dato, la composición del acero? ¿Cuál es? Si no es posible,
justifícalo
Hay dos posibilidades según nos encontremos en el hipoeutéctico o en el
hipereutéctico. Para el primer caso, situado en la fase hipereutéctica
=
=
6,7
0,022
0,022
6,7
0,77
= 0,109
0,77
= 0,93%
Si en cambio estamos en la zona hipoeutéctica
=
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=
6,7
0,022
= 0,109
0,022
= 0,75%
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Ciencia de Materiales
9.61. La fracción másica de ferrita eutectoide en un acero es 0,71. ¿Es posible
determinar, con este dato, la composición del acero? ¿Cuál es? Si no es posible,
justificarlo
Hay dos posibilidades según nos encontremos en el hipoeutéctico o en el
hipereutéctico. Para el primer caso, situado en la fase hipoeutéctica
=
=
6,7
6,7 0,022
0,77
= 0,71
0,77 0,022
= 0,62%
Si en cambio estamos en la zona hipereutéctica
=
=
6,7
= 0,71
6,7 0,022
= 1,96%
9.63. Generalmente las propiedades de las aleaciones multifásicas se pueden
relacionar según una ley de mezclas
(
ó )=
+
Donde E representa una propiedad específica (módulo elástico, dureza, etc) y V es la
fracción de volumen. Los subíndices
y
denotan la existencia de fases o
microconstituyentes. Utilizar la relación anterior para determinar la dureza Brinell
aproximada de un acero al carbono con 0,25% C. Suponer que las durezas Brinell de
la ferrita aproximada de un acero al carbono con 0,25% C. Suponer que las durezas
Brinell de la ferrita y de la perlita son 80 y 280, respectivamente, y que las fracciones
volumétricas se aproximan a las fracciones másicas. Qué representa y cómo se
determina la dureza Brinell?
Dado que estamos en la zona hipoeutectoide
=
0,77 0,25
= 0,695
0,77 0,022
=1
0,695 = 0,305
Por tanto la dureza de la aleación es
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Ciencia de Materiales
= 0,695 · 80 + 0,305 · 280 = 140,96
LA dureza Brinell se determina mediante un penetrador duro esférico el cual se fuerza
en la superficie del metal a ensayar. Los materiales más duros requieren cargas
mayores y por tanto el numero de dureza Brinell, HB, es una función de tanto la
magnitud de la carga como del diámetro de la huella resultante. El diámetro se
convierte a un número HB mediante una tabla. Así pues, representa un valor tabulado
que resulta útil para comparar durezas con otros materiales.
9.65. Un acero contiene 95,7% Fe, 4% W y 0,3% C. ¿Cuál es la temperatura eutectoide
de esta aleación? ¿Cuál es la composición del eutectoide? ¿Cuál es la fase
proeuctectoide? Suponer que no se producen cambios en las posiciones de otros
límites de fase con la adición del W.
Temperatura eutectoide
9.66. Un acero contiene
= 900
,
. Composición
= 0,21%. Cementita
% Fe, 6% Mn y 0,35% C. ¿Cuál es la temperatura
eutectoide aproximada de esta aleación? ¿Cuál es la fase proeuctectoide cuando esta
aleación se enfría justo por debajo del eutectoide? Calcular las cantidades relativas
de fase proeuctectoide y de perlita. Suponer que no se producen cambios en las
posiciones de otros límites de fase con la adición de Mn
Temperatura eutectoide
=
= 680
. Composición
0,45 0,35
= 0,234
0,45 0,022
Xavi Paneque Linares
=
= 0,45%. Ferrita
0,35
0,45
0,022
= 0,766
0,022
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 55
Ciencia de Materiales
10.2. Algunas transformaciones tienen una cinética que obedece a la ecuación de
Avrami. Si el valor del parámetro
es 1,5 después de 125 s la reacción alcanza un
25% de transformación, ¿Cuánto tiempo se necesita para llegar al 90% de
transformación?
La ecuación de Avrami es
=1
,
·
0,25 = 1
= 2,06 · 10
/
Por tanto, para llegar al 90%
,
0,9 = 1
· ,
·
= 500
10.3. La velocidad de una transformación a menudo se expresa como el tiempo
necesario para completar el 50% de la misma. Calcular la velocidad de una reacción
que cumple la ley cinética de Avrami, suponiendo que las constantes
y
·
y
valen ,
, respectivamente, para el tiempo en segundos.
·
0,5 = 1
= 37,233
=
1
=
1
= 0,027
37,233
10.4. Se sabe que la cinética de la recristalización de algunas aleaciones cumple la
ecuación de Avrami y que el valor de
en el exponencial es 5,0. Si a una
temperatura la fracción recristalizada es 0,30 después de 100 min, determinar la
velocidad de recristalización a esta temperatura.
0,3 = 1
0,5 = 1
,
·
·
= 3,57 · 10
= 114,21
=
1
min
=
1
= 8,76 · 10
114,21
10.5. La cinética de la transformación austenita-perlita cumple la reacción de Avrami.
Utilizando los datos adjuntos de fracción transformada-tiempo, determinar el tiempo
necesario para que el 95% de la austenita se transforme en perlita.
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Fracción transformada
Tiempo (s)
0,2
280
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Ciencia de Materiales
0,6
0,2 = 1
0,6 = 1
·
·
Xavi Paneque Linares
= 3,385
= 1,162 · 10
425
0,95 = 1
,
·
,
= 603
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Ciencia de Materiales
6. Polímeros
15.1. Diferencia polimorfismo de isomería
Polimorfismo cualidad por la cual un determinado material puede cristalizar con dos o
más estructuras cristalográficas.
Es la cualidad por la que moléculas con igual composición química pueden tener
diferente configuración atómica. Por tanto tienen misma constitución química, misma
formula empírica pero distinta formula estereoquímica.
15.2. Esquematice las unidades monoméricas de los siguientes polímeros: policloruro
de vinilo, polimetacrilato de metilo, nylon 66, policarbonato de bisfenol A
a) Policloruro de vinilo
b) Polimetacrilato de metilo
c) Nylon 66
d) Policarbonato de bisfenol A
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Ciencia de Materiales
15.4. El peso molecular medio numérico del poliestireno es 500 000 g/mol. Calcule el
del grado de polimerización medio numérico.
El poliestireno tiene la estructura
Donde la estructura del benceno es
Y uno de los hidrógenos es sustituido por la estructura del poliestireno. Por tanto el
peso molecular de cada unidad monomérica es
12 · 8 + 1 · 8 = 104
Y el grado de polimerización será
=
Xavi Paneque Linares
500000
= 4808
104
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Ciencia de Materiales
15.5. Calcule el peso molecular de la unidad monomérica del polipropileno. Calcule el
peso molecular medio másico de un polipropileno cuyo grado de polimerización
medio másico es 15 000.
El polipropileno tiene la siguiente estructura
Así pues el peso molecular de la unidad monomérica es
1 · 6 + 12 · 3 = 42
El peso molecular másico será, dado que todos las unidades monoméricas son iguales
0
= 42 · 15 000 = 631 000
15.6. Se han tabulado los pesos moleculares de un politetrafluoroetileno. Calcule el
peso molecular medio numérico, el peso molecular medio másico, el grado de
polimerización medio numérico y el grado de polimerización medio másico
Intervalo de peso molecular (g/mol)
10 000 – 20 000
0,03
0,01
20 000 – 30 000
0,09
0,04
30 000 - 40 000
0,15
0,11
40 000 - 50 000
0,25
0,23
50 000 - 60 000
0,22
0,24
60 000 - 70 000
0,14
0,18
70 000 - 80 000
0,08
0,12
80 000 - 90 000
0,04
0,07
El peso molecular medio numérico viene dado por
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 60
Ciencia de Materiales
=
= 15 000 · 0,03 + 25 000 · 0,09 +
+ 85 000 · 0,04 = 49 800
El peso molecular medio másico viene dado por
=
= 15 000 · 0,01 + 25 000 · 0,04 +
+ 85 000 · 0,07 = 55 200
El grado de polimerización medio numérico
=
=
49 800
= 498
100
El grado de polimerización medio másico
=
=
55 200
= 552
100
15.7. Se han tabulado los pesos moleculares de algunos polímeros.
Intervalo de peso molecular (g/mol)
8 000 – 20 000
0,05
0,02
20 000 – 32 000
0,15
0,08
32 000 - 44 000
0,21
0,17
44 000 - 56 000
0,28
0,29
56 000 - 68 000
0,18
0,23
68 000 - 80 000
0,10
0,16
80 000 - 92 000
0,03
0,05
Calcule
a) el peso molecular medio numérico
=
= 14 000 · 0,05 + 26 000 · 0,15 +
+ 86 000 · 0,03 = 47 720
b) el peso molecular medio másico
=
= 14 000 · 0,02 + 26 000 · 0,08 +
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+ 86 000 · 0,05 = 53 720
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 61
Ciencia de Materiales
c) si se sabe que el grado de polimerización medio numérico de este material es de
211, ¿a qué polímero de la tabla corresponde? ¿Por qué?
=
= 226,16
Tereftalato de polietileno (PET)
d) ¿Cuál es el grado de polimerización medio másico de este material?
=
=
53 720
= 238
226,16
15.9. El polietileno de alta densidad se puede clorar induciendo la substitución
aleatoria de átomos de hidrógeno por átomos de cloro.
a) Determine la concentración de Cl (en % en peso) que se debe añadir para que la
substitución alcance el 8% de los átomos de hidrógeno originales.
La estructura del polietileno es
Siguiendo la proporción tenemos que 8 de cada 100 H se substituyen por Cl. Y cada
100 de H tenemos 50 de C. Así pues
%
=
35,5 · 8
· 100 = 29%
35,5 · 8 + 92 · 1 + 12 · 50
b) ¿En qué difiere la cloración del polietileno de la del policloruro de vinilo?
Para el PVC, tenemos un 25% de cloro ya substituido y por lo tanto la sustitución será
menos al azar.
15.10. Explique la diferencia entre configuración y conformación de cadenas
poliméricas
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 62
Ciencia de Materiales
La configuración de cadenas poliméricas hace referencia a la regularidad y la simetría
de la disposición de los átomos en la cadena, la cual no cambia por simple rotación de
los enlaces.
En cambio la conformación es usada para hacer referencia a la forma o posición que
adopta la molécula a través de rotación de sus enlaces.
15.11. La longitud total L de una molécula polimérica lineal depende de la longitud
del enlace
entre átomos de la cadena, del número total de enlaces en la molécula
y del ángulo
entre átomos de la cadena. Es decir:
=
Además, la distancia media cabeza-cola
de una serie de moléculas poliméricas es
igual a
=
Un polietileno lineal tiene un peso molecular medio numérico de
calcule los valores medios
/
;
y para este material
La masa molar de una unidad monomérica de polietileno es
= 28
Por tanto el grado de polimerización numérico es
=
300000
= 10 715
28
Así pues el número de enlaces será, dado que hay dos en cada unidad monomérica
= 10 715 · 2 = 21 430
Para enlaces simples de carbono resulta
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Ciencia de Materiales
= 0,154
= 109
Y por tanto
= 21 430 · 0,154 · 10
=
· sin
109
= 2686,76
2
= 22,54
15.12. Usando las definiciones de longitud total de la cadena molecular
y de
distancia media cabeza cola determinar, para el politetrafluoroetileno:
a) el peso molecular medio numérico para
=
sin
2000 =
2
=
· 0,154 · sin
109
2
= 15 900
Dado que hay dos enlaces por unidad monomérica, entonces tenemos unidades
monoméricas
2
= 7950
Y por tanto el peso molecular medio numérico será
=
2
·
= 7950 · 100 = 795 000
b) el peso molecular medio numérico para
=
Dada tenemos
=
15 = 0,154 ·
= 9488
Y el peso molecular medio numérico será
=
2
·
=
9488
· 100 = 474 400
2
15.13. Esquematice las porciones de una molécula lineal de polipropileno
a) sindiotáctico
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Ciencia de Materiales
b) atáctico
c) isotáctico
15.14. Esquematice las estructuras de la unidad monomérica cis y trans para
a) el butadieno
b) el cloropreno
15.15. Esquematice la estructura de la unidad monomérica de cada uno de los
siguientes copolímeros alternados
a) poli (etileno-propileno)
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Ciencia de Materiales
b) poli (butadieno-estireno)
c) poli (isobutileno-isopreno)
15.16. El peso molecular medio numérico del copolímero alternado poli(acrilonitrilobutadieno) es
.
.
/
. Determine el número medio de unidades
monoméricas de acrilonitrilo y de butadieno por molécula
El acrilonitrilo y el butadieno tienen la estructura, respectivamente
La masa molar total es
= 107
Y por tanto el número medio de unidades monoméricas es
=
= 9346
15.17. Calcule el peso molecular medio numérico de un copolímero al azar de
poli)isobutilenoisopreno) cuya fracción de unidades monoméricas del isobutileno es
,
. Suponga que esta concentración corresponde a un grado de polimerización
medio numérico de 1500
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Ciencia de Materiales
El isobutileno y el isoporeno son
Sus respectiva masas molares son
= 56
= 68
Por tanto el peso molecular medio es
= 56 · 1500 · 0,25 + 68 · 1500 · 0,75 = 97 500
15.18. Se sabe que un copolímero alternado tiene un peso molecular medio
numérico de 100.000 g/mol y un grado de polimerización medio numérico de 2210.
Si una unidad monomérica es el etileno, ¿cuál es la otra unidad monomérica:
estireno, propileno, tetrafluoretileno o cloruro de vinilo? ¿Por qué?
La masa molar será
=
=
100000
= 45,25
2210
Restando la del etileno
=
45,25
0,5 · 28
= 62,45
0,5
El monómero que corresponde a esa masa molar es el cloruro de vinilo.
15.21. Un copolímero al azar de poli(estireno-butadieno) tiene un peso molecular
medio másico de 350 000 g/mol y un grado de polimerización medio másico de 5000.
Calcule las fracciones de unidades monoméricas de estireno y de butadieno en este
copolímero.
El estireno y el butadieno tienen una estructura
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Ciencia de Materiales
La ecuación que se debe cumplir es
=
+
(1
)
350 000 = 5000 · 104 ·
= 0,32
+ 5000 · 54 · (1
= 0,68
15.25. Calcule la densidad del polietileno totalmente cristalino. En la figura se
muestra la celdilla unidad ortorrómbica del polietileno; cada celdilla unidad contiene
el equivalente a dos unidades monoméricas del etileno.
En dos unidades monoméricas tenemos
= 28
El volumen de la celdilla es
= 0,741 · 0,494 · 0,255 = 9,33 · 10
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)
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Ciencia de Materiales
La densidad teórica es
·
=
=
·
0,028 · 2
9,33 · 10
· 6,022 · 10
= 996,24
15.26. La densidad del nylon 66 totalmente cristalino a temperatura ambiente es de
1,213
/
. Además, a temperatura ambiente la celdilla unidad de este material
es triclínica con los siguientes parámetros de red:
= ,
= ,
=
,
= ,
=
Si el volumen de una celdilla triclínica
,
=
,
es función de los parámetros de red
=
+
Determine el número de unidades monoméricas asociado a cada celdilla unidad
El volumen de la celdilla según la expresión es
= 0,31
= 3,1 · 10
La densidad viene dada por
=
·
·
1213 =
0,226 ·
3,1 · 10
· 6,022 · 10
=1
15.27. La densidad y el porcentaje de cristalinidad asociado a dos materiales de
polietileno son los siguientes
a) Calcule las densidades del polietileno totalmente cristalino y totalmente amorfo
Aplicando la ecuación
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%
=
(
(
)
)
(0,965
0,965(
(0,925
0,464 =
0,925(
0,768 =
)
)
)
)
= 0,87
= 0,98
b) Determine el porcentaje de cristalinidad de una muestra que tiene una densidad
de ,
/
%=
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0,98(0,95
0,95(0,98
0,87)
= 75%
0,87)
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7. Cerámicas
13.3. Demostrar que el cociente mínimo entre los radios del catión y del anión es
,
en el caso de coordinación 4.
La estructura en el caso de coordinación 4 es
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Por la geometría, el ángulo formado por el centro del catión unido a los centros de los
aniones es de 109
(2 ) = 2(
+ ) (1
2
cos 109)
+4
4
1=0
4
=2· (
3
=
+
+2
)
6 2
= 0,225
2
13.4. Demostrar que el cociente mínimo entre los radio del catión y del anión es
,
en el caso de coordinación 6. Sugerencia: Utilizar la estructura cristalina del
NaCl, y suponer que los aniones y cationes se tocan a lo largo de las aristas y las
diagonales de las caras
(
+ ) · 2 = (2 )
2
2
=
+
= 2
1 = 0,414
13.5. Demostrar que el cociente mínimo entre los radio del catión y del anión es
,
en el caso de coordinación 8
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= (2 ) + (2 ) = 8
+ (2 ) =
= (2
+2 )
2
=2 2
2
+4
= (2
+2 )
Manipulando adecuadamente se llega a
= 3
1 = 0,732
13.6. Basándose en la carga y el radio de los iones, indique las estructuras cristalinas
de los siguientes materiales
,
,
,
. Justifique sus respuestas
El óxido de calcio tiene una estructura parecida a la del cloruro sódico dado que el
número de cationes y aniones es el mismo y corresponde a la forma
. Su relación de
radio es
=
0,1
= 0,7143
0,14
º
=6
El sulfuro de manganeso (II) tiene una estructura de sulfuro de zinc dado que
=
0,067
= 0,3641
0,184
º
=4
El bromuro de potasio tiene una estructura propia del cloruro sódico dado que
=
0,138
= 0,7041
0,196
º
=6
El bromuro de calcio tiene una estructura
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=
0,100
= 0,5102
0,196
º
=6
13.7. ¿Cuál de los cationes de la tabla podría formar fluoruros con la estructura
cristalina del cloruro de cesio? Justifique su respuesta
Para tener la estructura cristalina como la del cloruro de cesio debemos tener un
número de coordinación de 8. Así pues la relación de radios se debe encontrar entre
0,732 <
<1
El radio del flúor es
= 0,133
0,097356 <
< 0,133
En este rango encontramos
,
Dado que el único catión con una sola carga positiva es el sodio, la respuesta es
.
13.8. Calcule los factores de empaquetamiento atómico para la estructura cristalina
= ,
del cloruro de cesio en el cual
En el primer caso
=
·
=
4
·
3
+
2
13.9. La tabla proporciona los radios iónicos del
,
= 0,729
+2
3
y del
los cuales son ,
y
respectivamente. Describa brevemente la estructura cristalina resultante
para el
. Explique por qué a esto se le denomina estructura de la antifluorita.
Para el
tenemos
=
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0,138
= 0,9857
0,140
º=8
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Ciencia de Materiales
Y por tanto tiene una estructura parecida a la del cloruro de cesio. Se denomina
estructura antifluorita porque es la inversa a la estructura fluorita, en el sentido de que
se han invertido las posiciones de los cationes y aniones. En ella los iones
una disposición cúbica centrada en las caras expandida y los cationes
forman
ocupan los
dos tipos de huecos tetraédricos.
13.12. El óxido de berilio (
en una distribución
) puede formar una estructura cristalina que consiste
de iones
. Si el radio iónico del
es
,
,
entonces:
a) ¿Qué tipo de intersticios ocuparán los iones de
?
Por la relación de radios tenemos
=
0,035
= 0,25
0,140
Por tanto forma una estructura como la del sulfuro de zinc y los intersticios son huecos
tetraédricos.
b) ¿Qué fracción de estos lugares intersticiales estarán ocupados por iones
?
Dado que un intercambio de posiciones da lugar una estructura equivalente, la
fracción de los iones
es del 50%.
13.13. El titanato de hierro
consiste en una distribución
, tiene la estructura de la ilmenita, la cual
de iones
a) ¿Qué lugares intersticiales ocuparán los iones
? ¿Por qué?
De la tabla podemos comprobar que
=
0,077
= 0,550
0,140
Por tanto el número de coordinación es 6 y ocupa huecos octaédricos
b) ¿Qué lugares intersticiales ocuparán los iones
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? ¿Por qué?
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Ciencia de Materiales
De forma similar para el
=
0,061
= 0,436
0,140
El radio está entre 0,414 y 0,732 por tanto los iones ocuparán huecos octaédricos.
c) ¿Qué fracción de todos los lugares tetraédricos estarán ocupados?
No hay lugares tetraédricos
13.14. Calcular la densidad del
, sabiendo que tiene estructura del cloruro sódico
Si tiene estructura de cloruro sódico entonces
=
·
·
=
4 · 58,69 + 4 · 16
(2 · 0,069 + 2 · 0,140) · 6,022 · 10
13.15. El óxido de hierro (
densidad de ,
/
= 6,58
) tiene la estructura cristalina del cloruro sódico y una
. Determinar la longitud de la arista de la celdilla unidad,
comparar este valor con la longitud dada en la tabla determinada a partir de los
radios y suponiendo que los iones
=
·
·
=
y
justo se tocan a lo largo de las aristas.
4 · 55,84 + 4 · 16
= 5,70
· 6,022 · 10
= 0,437
Si se tocan a lo largo de las aristas
=2
+2
= 2 · 0,140 + 2 · 0,077 = 0,434
Son muy parecidos
13.18. Una forma cristalina de sílice (
) tiene una celdilla unidad cúbica; a partir
de los resultados de difracción de rayos X se sabe que la celdilla unidad tiene una
arista de longitud ,
y
. Si la densidad medida es ,
/
, ¿cuántos iones
hay por celdilla unidad?
La relación entre los iones es
2
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=
=2
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Ciencia de Materiales
Por tanto
·
·
=
=
· 28,08 + 2 · · 16
= 2,32
0,7 · 6,022 · 10
= 16
=8
=8
13.19. Usando los radios de la tabla, calcular la densidad del
medida es
,
/
. La densidad
. ¿Cómo puede explicar la ligera discrepancia entre los
valores calculado y medido?
=
·
·
132,9 + 35,45
=
2 · 0,181 + 2 · 0,170
3
= 4,20
· 6,022 · 10
Hay imperfecciones.
13.20. A partir de los resultados de la tabla, calcular la densidad del
, el cual
tiene la estructura de la fluorita.
El lado de una de las 8 celdillas es
=8·
=
·
·
2 · 0,1 + 2 · 0,133
3
=
4 · 40 + 8 · 19
0,1558 · 6,022 · 10
13.21. Un hipotético material cerámico del tipo
de ,
igual a ,
/
= 0,1558
= 3,325
se sabe que tiene una densidad
y una celdilla unidad de simetría cúbica con una celdilla de arista
. Los pesos atómicos de los elementos A y X son 28,5 y 30,0 g/mol,
respectivamente. Según esta información, ¿Cuál de las siguientes estructuras
cristalinas son posibles para este material: cloruro sódico, cloruro de cesio o blenda?
Justifique su respuesta
La ecuación que se debe cumplir es
=
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·
·
=
· 28,5 +
· 30
= 2,10
0,57 · 6,022 · 10
Página 76
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Ciencia de Materiales
Esta ecuación se cumple para
=4
=4
Por tanto es una estructura como la del cloruro de cesio o sulfuro de cinc
(
13.22. La celdilla unidad del
) tiene simetría cúbica con una
celdilla unidad de arista igual a 0,839
,
/
. Si la densidad de este material es
, calcular su factor de empaquetamiento. Para este cálculo, utilizar los
radio iónicos listados en la tabla.
=
·
·
=
4 · 16 + 3 · 55,84
= 5,24
0,839 · 6,022 · 10
=8
Por tanto
=
4 4 · 8 · 0,140 + 3 · 8 · 0,073
= 0,689
3
0,839
13.29. Cuando se calienta la arcilla de caolinita [
(
)(
) ] a una
temperatura suficientemente elevada, el agua resultante se elimina. En estas
circunstancias, ¿Cuál es la composición de los productos resultantes? ¿Cuáles son las
temperaturas liquidus y solidus de este material?
(
)(
)
2
+
+2
Por tanto la composición del producto resultante es
+2
La composición será
=
2 · 27 + 3 · 16
= 45,9%
2 · 27 + 3 · 16 + 2 · 28 + 4 · 16
Observando el diagrama las temperaturas son
1800
Xavi Paneque Linares
1580
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 78
Ciencia de Materiales
13.37. Explicar brevemente por qué existe una dispersión significativa en los valores
de la resistencia a la fractura en los materiales cerámicos, y por qué la resistencia a la
fractura aumenta con la disminución en el tamaño de la probeta.
La resistencia a la fractura medida en los materiales cerámicos es sustancialmente
menor que la predicha por la teoría basada en las fuerzas de enlace entre átomos. Esto
puede explicarse por la presencia de pequeños defectos en el material, los cuales
actúan como concentradores de la tensión, es decir, lugares en los cuales la magnitud
de la tensión aplicada es amplificada. El grado de amplificación de la tensión depende
de la longitud de la grieta y del radio de curvatura de su punta, siendo mayor para
defectos largos y puntiagudos.
13.38. La resistencia a la tracción de los materiales frágiles puede determinarse
utilizando variaciones de la ecuación 8.1. Calcular el radio crítico de la grieta para
una probeta de vidrio que experimente fractura a tracción a una tensión aplicada de
. Suponga que la longitud crítica de la grieta es de
teórica a la fractura es de /
=2
De la tabla
, donde
y la resistencia
es el módulo de elasticidad.
= 2 · 70 ·
10
=
10
=
19,6
= 7 · 10
=4
13.39. La resistencia a la fractura del vidrio puede aumentarse eliminando por
ataque químico una capa delgada superficial. Se cree que esto se debe a que se
altera la geometría superficial de las fisuras (por ejemplo, la longitud de la grieta
puede reducirse y puede aumentar el radio de la punta de la grieta). Determine el
cociente entre los radio del extremo de la grieta en el vidrio original y después de
atacado, para que la resistencia a la fractura aumenta en un factor de 4 si se elimina
la mitad de la longitud de la grieta.
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Ciencia de Materiales
=2
4
/2
=2
=
1
8
13.40. Se realiza un ensayo de flexión por tres puntos en probetas de espinela
(
) que tiene una sección de espesor igual a
= ,
, la distancia entre puntos de apoyo es
= ,
=
y anchura igual a
. Calcule el módulo
de rotura (resistencia a la rotura por flexión) si la carga en el momento de la fractura
es
. El punto de deflexión máxima (flecha)
ocurre en centro de la probeta y
viene dado por
=
Donde
Calcular
es el módulo de elasticidad e es el momento de inercia de la sección recta.
para una carga de
=
=
3
2
=
.
3 · 347 · 0,025
= 101,25
2 · 0,0089 · 0,0038
311 · 0,025
= 1,036 · 10
1
48 · 24 · 10 ·
· 0,0089 · 0,0038
12
13.41. Una probeta circular de
es cargada en flexión por tres puntos. Calcule el
radio mínimo posible de la probeta sin que la probeta se rompa cuando se aplica una
carga de
, si se sabeque el módulo de rotura es
entre los puntos de apoyo es
=
=
y la separación
,
=
5560 · 0,0445
= 6,33 · 10
· 310 · 10
13.42. Se necesita seleccionar un material cerámico que va a ser sometido a flexión
por tres puntos. La probeta debe tener una sección circular con un radio de ,
y no debe romperse ni debe experimentar una flecha mayor que ,
centro cuando se aplica una carga de
apoyo es de
,
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en su
. Si la distancia entre los puntos de
, ¿Cuál de los materiales de la tabla es el mejo candidato? La
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Ciencia de Materiales
magnitud de la flecha en el centro de la probeta puede calcularse mediante la
ecuación del problema 13.40.
=
=
12
El material es
=
12 ·
=
445 · 0,0508
= 131,14
· 0,0038
445 · 0,0508
= 3,534 · 10
· 0,0038 · 0,000021
= 353,4
o
13.43. Se realizó un ensayo de flexión por tres puntos en una probeta de óxido de
aluminio con una sección circular de
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de diámetro; la probeta se rompió bajo
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Ciencia de Materiales
una carga de
cuando la distancia entre los puntos de apoyo era de
.
Se realizó otro ensayo en otra probeta de este mismo material, pero con una probeta
de sección cuadrada de
de longitud. ¿A qué carga se romperá esta probeta si
la separación entre puntos de apoyo se mantiene en
=
=
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3
2
=
=
?
3000 · 0,04
= 305,5775
· 0,0025
3 · 0,04
= 305,5775
2 · 0,015
= 137 510
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Ciencia de Materiales
8. Materiales compuestos
17.4. Determine los valores máximo y mínimo de la conductividad térmica de un
cermet que contiene un 90% en volumen de partículas de carburo de titanio (
en una matriz de níquel. Suponga que las conductividades térmicas del
son
/
/
y
)
y del
, respectivamente.
Máximo
=
+
= 0,1 · 67 + 0,9 · 27 = 31
Mínimo
=
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+
=
67 · 27
= 28,71
0,1 · 27 + 0,9 · 67
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 83
Ciencia de Materiales
17.5. Un material compuesto con partículas grandes se ha preparado agregando
partículas de tungsteno en una matriz de cobre. Si las fracciones de volumen del
tungsteno y del cobre son ,
y ,
respectivamente, calcule el límite superior de
la rigidez específica de este compuesto con los datos siguientes:
La máxima rigidez es
= 11 · 0,4 + 40,7 · 0,6 = 288,2
=
=
+
= 8,9 · 0,4 + 19,3 · 0,6 = 15,14
288,2
= 19,04
15,14
=
110
407
· 0,4 +
· 0,6 = 17,6
8,9
19,3
6
17.5. ¿Cuál es la diferencia entre fase matriz y la fase dispersa en un material
compuesto? Compare las características mecánicas de la matriz y de la fase dispersa
de los compuestos con fibras.
La fase matriz es continua y rodea la otra fase, la dispersa.
Características mecánicas de la matriz: transmite los esfuerzos externos aplicados,
resiste poco esfuerzo, es dúctil, tiene bajo módulo elástico.
Características de la fase dispersa: rígida, resistente y soporta cargas a tracción pero
menos a compresión.
17.7. ¿Cuál es la diferencia entre cemento y hormigón? Cite tres importantes
limitaciones que restringen el uso del hormigón como material estructural. Explique
tres técnicas utilizadas para aumentar la resistencia del hormigón mediante
reforzamiento.
El término hormigón se refiere a un material compuesto formado por un agregado de
partículas unidas entre sí mediante cemento.
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Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales 84
Ciencia de Materiales
Tres limitaciones del hormigón como material estructural son
- Relativamente poco resistente
- Extremadamente frágil
- Resistencia a la tracción es 10 a 15 veces menor que la resistencia a la compresión
- Dilataciones y contracciones importantes con las fluctuaciones de temperatura
- El agua penetra a través de los poros externos y puede provocar grietas durante el
tiempo frío como consecuencia de los ciclos congelación
17.8. En un compuesto reforzado con fibra, enumere tres funciones de la fase matriz,
compare las características deseadas de la matriz y de la fase fibrosa y cite dos
razones que justifiquen que la unión entre la matriz y la fase dispersa deba ser
fuerte.
La fase matriz de un material compuesto con fibras ejerce varias funciones.
- En primer lugar, una las fibras y actúa como un medio que distribuye y transmite a las
fibras los esfuerzos externos aplicados; sólo una pequeña fracción del esfuerzo
aplicado es resistido por la matriz. Además, la matriz debe ser dúctil y, por otra parte,
el módulo elástico de la fibra debe ser mucho mayor que el de la matriz.
- En segundo lugar, la matriz protege las fibras del deterioro superficial que puede
resultar de la abrasión mecánica o de reacciones químicas con el medio ambiente.
Estas interacciones introducen defectos superficiales capaces de originar grietas, que
podrían producir fallos con esfuerzos de tracción relativamente bajos
- Finalmente la matriz separa las fibras y, en virtud de su relativa blandura y
plasticidad, impide la propagación de grietas de una fibra a otra, que originaría fallos
catastróficos.
Dos razones que justifican la unión fuerte es la protección que ofrece la matriz a las
fibras y el hecho de que la matriz separe las fibras que impide la propagación de
grietas de una fibra a otra.
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17.9. En alguna combinación matriz epoxi-fibra de vidrio, la relación crítica longituddiámetro de fibras vale 40. Utilizando los datos de la tabla determine la resistencia
de la unión matriz-fibra.
=
2
=
·
2
=
1 3,5 · 10
·
= 43,75
40
2
17.11. Se proyecta fabricar un compuesto epoxi reforzado con fibras continuas y
% en volumen de fibras y los
alineadas. El compuesto debe tener un máximo de
valores mínimos del módulo de elasticidad y de la resistencia a la tracción
longitudinales debe ser , ·
y , ·
, respectivamente. ¿Qué material
es mejor candidato: fibras de vidrio, de carbono o de aramida? ¿Por qué? Suponga
que la matriz epoxi tiene un módulo de elasticidad de
resistencia a la tracción de
, ·
y una
. Los datos de la fibra están en la tabla; para el
carbono suponga un valor intermedio entre los extremos.
Para un 40% en volumen en fibras tenemos
=
1,2 · 10 = 0,6 · 69 + 0,4
55 = 3,1 · 0,6 + 0,4 ·
+
= 2896,5
= 132,885
La única fibra que cumple estas propiedades es el carbono
17.12. Un compuesto reforzado con fibra continua y alineada consta de un 70% en
volumen de matriz de policarbonato y 30% de fibra de aramida; las características
mecánicas de estos dos materiales son las siguientes
Calcule para este compuesto, la resistencia a la tracción longitudinal y el módulo de
elasticidad longitudinal.
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=
+
=
= 0,3 · 3,6 + 0,7 · 0,045 = 1,1115
+
= 0,3 · 131 + 0,7 · 2,4 = 40,98
17.13. Se proyecta fabricar un compuesto de epoxi reforzada con fibra de carbono
continuo y orientado cuyo módulo de elasticidad mínimo sea , ·
en la
dirección de alineación de la fibra. El máximo peso específico permitido es 1,40. Con
los datos indicados en la tabla, ¿es posible este material compuesto? ¿Por qué sí o
por qué no? Suponga que el peso específico del compuesto se determina utilizando
una relación similar a la ecuación
=
69 <
+
=
260 + 1
1,4 > 1,8
+ 1
+
· 2,4
> 0,2585
1,25
< 0,2727
Sí es posible con
0,2585 <
< 0,2727
17.14. Se proyecta fabricar poliéster reforzado con fibra de vidrio continua y alineada
con una resistencia a la tracción mínima de
en la dirección longitudinal.
El peso máximo específico posible es 1,8. Utilizando los datos adjuntos determine si
es posible este compuesto y justifique su respuesta
1,25 < 3,5 ·
+ 1
1,8 > 2,5
+ 1
· 0,05
1,35
> 0,3478
< 0,3913
Sí es posible con
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0,3478 <
< 0,3913
17.15. ¿Es posible fabricar un compuesto con matriz epoxi y fibra de aramida y
orientada con módulos elásticos longitudinal y transversal de
, ·
y
, respectivamente? ¿Por qué sí o por qué no? Suponga que el módulo de
elasticidad de la matriz epoxi es de , ·
Longitudinal
+ 124(1
)
3,4 · 124
124 + 3,4(1
)
35 = 3,4 ·
5,17 =
= 0,738
= 0,648
No es posible
17.17. Los módulos de elasticidad en las direcciones longitudinal y transversal de un
compuesto reforzado con fibras continuas y orientadas son
,
·
, respectivamente. Si la fracción de volumen de la fibra es ,
y
,
·
, determine
los módulos de elasticidad de las fases matriz y fibra.
33,1 =
· 0,7 + 0,3
3,66 =
·
+ 0,3
0,7
De donde concluimos
= 104
= 2,6
17.19. En un compuesto de nilón 66 reforzado con fibras continuas y alineadas de
carbono, la fibra soporta el
% de la carga aplicada en la dirección longitudinal.
Utilizando los datos suministrados, determine la fracción de fibra que se necesita.
¿Cuál será la resistencia a la tracción de este compuesto?
=
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0,97 260 ·
=
0,03 2,8 ·
= 0,258
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= 1,7 · 0,258 + 0,076(1
0,258) = 495
17.20. Suponga que el compuesto descrito en el problema 17.12 tiene un área de
y está sometido a una carga longitudinal de 53 400 N. Calcule la relación
de carga fibra-matriz. Calcule las cargas soportadas por las fases fibra y matriz.
Calcule la magnitud del esfuerzo en cada fase. ¿Cuál es la deformación
experimentada por el compuesto?
=
131 · 0,3
= 23,39
2,4 · 0,7
=
=
=
+
= 51210,8
= 2189,2
0,3 · 3600 + 0,7 · 45
= 0,027
0,3 · 1,31 · 10 + 0,7 · 2,4 · 10
17.21. Un compuesto reforzado con fibra continua y alineada tiene una sección
transversal de
y está sometido a una carga de tracción externa. Si las
tensiones soportadas por la fibra y por la matriz son 215 MPa y 5,38 MPa,
respectivamente, la fuerza soportada por la fase fibra es 76 800 N y la deformación
longitudinal total del compuesto es ,
·
, determine la fuerza soportada por
la matriz, el módulo de elasticidad del material compuesto en la dirección
longitudinal y los módulos de elasticidad de las fases fibra y matriz.
=
215
1,56 · 10
=
=
= 137,8
=
76800
= 357,21
5,38
5,38
1,56 · 10
= 3,45
= 612,79
215e6
=
=
1
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·
= 0,368
= 5,38 · 612,79 = 3296,81
= 137,8 · 0,368 + 3,45 · 0,632 = 52,9
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17.22. Calcule la resistencia longitudinal de un compuesto con matriz epoxi y fibra d
carbono alineada con una fracción de volumen de fibra de ,
diámetro medio de fibra de
·
suponiendo: (a) un
, (b) una longitud media de fibra de 8 mm;
(c) una resistencia a la rotura de la fibra de , ·
; (d) una resistencia de la
unión matriz-fibra de 75 MPa; (e) el esfuerzo de la matriz a la rotura del compuesto
es 6,0 MPa y (f) una resistencia a la tracción de la matriz de 60 MPa.
=
<
(
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2
=
4,5 · 10 · 6 · 10
2 · 75
) = 4,5 · 10 · 0,2 1
= 0,36
894,675 MPa
0,18
+ 6 · 0,8 = 884,55
2·8
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