Métodos gráficos para experimentadores

Análisis Grafico
En el campo de las ciencias experimentales, cada experimento proporciona un conjunto de datos, que para que sean de utilidad, deberán ser analizados con el fin de obtener la información que se busca. Esto debe proporcionarnos un modelo matemático que describa el comportamiento de la variable dependiente con respecto a la variación de la variable independiente. Una vez que el experimento ha concluido y poseemos un conjunto de datos, podemos hacer una gráfica, la que facilitara la interpretación de los resultados.
Los métodos gráficos permiten al experimentador darse cuenta del comportamiento en conjunto de las variables que intervienen en determinado proceso y de la relación que existe entre dichas variables. Mediante las gráficas se pueden comparar rápidamente los resultados experimentales y las predicciones teóricas, además de que permiten obtener información significativa por medio de la interpolación o la extrapolación.
El análisis de los datos por medio de gráficas ofrece numerosas ventajas con respecto a su tabulación en cuadros:
• Las gráficas revelan de forma más rápida ciertos rasgos; como el valor máximo, valor mínimo, periodicidad o variaciones de la pendiente; que por medio de una inspección a una tabla no se obtendrían tan fácilmente.
• Se utilizan como ayuda visual, por ejemplo, es muy fácil determinar por simple inspección las diferencias entre los resultados experimentales y las predicciones teóricas.
Gráfica 1. Deformación producida en un resorte debido a una fuerza N
En la Gráfica 1. Podemos observar la diferencia entre los valores experimentales, algunos de los cuales no forman parte de la recta, con las predicciones teóricas representada por la recta lineal.
Por convención los valores de la variable independiente, x , se representan en el eje de las abscisas mientras que los valores de la variable dependiente, f(x), se representan en el eje de las ordenadas. Para la Gráfica 1. La variable independiente es la fuerza mientras que la variable dependiente es la longitud de la deformación producida en el resorte
Por medio de la interpolación podemos obtener valores que se encuentran en el intervalo de nuestras mediciones pero que no los hemos definido, asimismo, también podemos realizar una extrapolación, que es una suposición acerca del fenómeno observado en base a la tendencia de la curva, aunque esto último debe realizarse con cuidado.
Para la elaboración de gráficas es necesario tener en cuenta los siguiente:
• Elegir el papel adecuado. Dependiendo de nuestro conjunto de datos y del problema a resolver podemos elegir entre papel milimetrado ,muy útil en las funciones lineales ; el papel logarítmico que nos permite representar las funciones logarítmicas con una recta; y el papel semilogarítmico que nos permite lo mismo pero a partir de una función exponencial.
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Gráfica 2. Gráfica de diferentes funciones según el tipo de papel elegido
Elegir la escala más conveniente. En primer lugar la escala debe permitir que todos los valores encajen dentro del límite del papel, además se debe seleccionar de tal •
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modo que la división más pequeña corresponda al valor de la incertidumbre. Se deben evitar escalas muy grandes o muy pequeñas para que no alteren la apreciación de los valores
Ubicar los puntos experimentales haciendo coincidir las proyecciones de los valores de las abscisas con las proyecciones de los valores de las ordenadas. Estos puntos representarse de diversas formas pero siempre asegurándose que sean precisos y resalten. Trazar la curva. Evite los picos, discontinuidades u otras peculiaridades, especialmente si se espera que la gráfica presente una curva sencilla No es necesario que la gráfica pase por todos los puntos experimentales aunque si por su intervalo de incertidumbre.
Titular la gráfica de forma breve, clara y descriptiva.
Función Lineal:
La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto es útil convertir a línea la curva cuando ésta no sea una recta.
Gráfica 3. Gráfica de una función lineal
La ecuación de una recta está definida por: y = mx + b
donde m es la pendiente de la recta expresada por:
m=
y2 − y1 ∆y
=
x2 − x1 ∆x
Siempre que sea posible el experimentador debe seleccionar el papel gráfico y las variables de las coordenadas de modo que la representación de la gráfica se acerque lo más posible a una línea recta. .Transformar a recta una curva tiene muchas ventajas, como el que se puedan descubrir errores con un mínimo de cálculos, el que se reduzcan las complicaciones gráficas en cuanto a la representación y trazado de una curva suave y lo más importante que se obtengan de manera fácil relaciones analíticas entre las variables.
Función Potencial:
La ecuación de una función potencial está definida por:
y = cxn ,donde c y n son constantes
Gráfica 4. Gráfica de una función potencial en papel milimetrado
Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en una gráfica sobre el papel milimetrado, debe resultar la curva característica de la función potencial de la forma como se indica en la figura 4. Si tomamos logaritmo de ambos lados y los representamos en el papel correspondiente se obtiene:
Gráfica 5. Gráfica de una función potencial en papel logarítmico
Función Exponencial:
La ecuación de una función exponencial está definida por:
y = kab x , donde k, a y b son constantes.
Gráfica 6. Gráfica de una función exponencial en papel milimetrado
Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en el papel milimetrado, debe resultar la curva característica de la función exponencial tal como se indica en la Gráfica 6. Si tomamos logarítmo de ambos lados se obtiene:
log y = bx ( log a ) + log k
que es la ecuación de una recta que se forma en el papel semilogaritmico como se observa en la Gráfica 7.
Gráfica 7. Gráfica de una función exponencial en papel milimetrado
Método de los mínimos cuadrados:
Cuando se grafican puntos experimentales y por ejemplo se obtiene una línea recta como gráfico, ésta usualmente no pasará por todos los puntos graficados.
Figura 8. Una función lineal con valores dispersos
Si la dispersión de los puntos experimentales es debida sólo a los errores casuales en las medidas, la recta óptima será aquella para la cual la suma de los cuadrados de las distancias yi = yi yo sea un mínimo. Por lo tanto, la desviación de un valor cualquiera yi determinado experimentalmente con respecto a su valor yo en la recta que se desea obtener, será
yi = yi y o = yi (b + axi)
Según el enunciado de este método, entonces la suma mínima para las desviaciones se
obtiene cuando
( yi)2 =
[ yi
(b + axi)]2 = mínimo
Ya que la condición exigida es minimizar la suma anterior, entonces los parámetros a y b
deben ajustarse para cumplir con esta condición. Esto se logra calculando las derivadas
parciales de la suma con respecto a a y con respecto a b e igualándolas a cero. La resolución
de estas dos ecuaciones con respecto a a y a b, permite obtener:
BIBLIOGRAFÍA
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