El producto Cruz

El producto Cruz
Es necesario ampliar nuestros conocimientos del algebra vectorial, un nuevo concepto es el producto cruz el
cual se utiliza para el calculo de momentos producidos por fuerzas.
C = A X B , C es un vector equivalente al producto cruz de A y B..
La magnitud de C se define como C = A X B sen θ UC, en donde A X B sen θ define la magnitud y el vector
unitario UC la dirección.
La direccion se establece a traves de la regla de la mano derecha, en el cual cerrando los dedos de la mano
derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B, el pulgar apuntara entonces en la dirección y sentido de C.
En terminos de vectores cartesianos
ixj=k
jxk=i
kxi=j
i x k = -j
jxi=-k
k x j = -i
ixi=O
jxj=0
kxk=0
De manera general el Producto cruz de dos vectores A (Ax i + Ay j + Az K) , B (Bx i + By j + Bz K) sera:
A X B = (Ay Bz - Az By) – (Ax Bz - Az Bx) –(Ax By - Ay Bx) , esta misma ecuacion de manera mas
compacta puede expresarse.
i
AXB=
j
k
Ax Ay Az
Bx By Bz
Momento de una fuerza.
Formulación Escalar: Una fuerza respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la
fuerza a causar la rotacion de un cuerpo alrededor de un punto. La tendecia a la rotacion provocada por la
fuerza es llamado momento. De manera general el momento puede expresarse como M = F d. donde,
M: es el momento producido el cual es una cantidad vectorial
F: Es la fuerza aplicada
d : es la distancia o brazo perpendicular desde el eje al punto de accion
Observe las siguientes figura y note que la tendencia de rotacion respecto al punto o
en la primera es sobre el eje z, en la segunda es sobre el eje x y que en la tercera no se produce tal tendencia
(Distancia perpendicular es Cero).
En un sistema de fuerza el momento resultante será la suma de todos los momentos actuantes considerando el
momento positivo en sentido antihorario. MR = ∑ F d
Dirección y sentido:
La dirección y sentido de Mo se sacara usando la
regla de la mano derecha, para hacerlo, los dedos
de la mano derecha se cierran siguiendo el sentido
de la rotacion que ocurriría si la fuerza pudiese
girar en torno a O, (Fig a)
.Entonces, el pulgar apunta a lo largo del eje de
momento señalando la dirección y el sentido del
vector de momento, hacia arriba y perpendicular
al plano que contiene F y d. I definición, el
momento Mp puede considerarse vector deslizante
y, por tanto, actúa en cualquier punto del eje de
momento. Hay que notar que la direccion del
vector de momento están especificados por el
pulgar el cual esta apuntado hacia fuera de al
pagina (fig b)
Momento de una fuerza (Formulación Vectorial): el momento de una fuerza respecto a un punto 0 y
perpendicular al plano que contiene a O y F puede expresarse por M= r X F, donde r es el vector de posición
con extremos en p y cualquier punto que este en línea de acción de F.
i
M=rXF=
j
k
rx ry rz
Fx Fy Fz
Ejemplos
Determine el momento de la fuerza de 800N respecto a los puntos A, B, C y D
MA = - 800 N (2.50 m) = - 2000 N· m
MB = - 800 N (1.50 m) = -1200 N· m
MC = 800 N (0 ) = 0 (Línea de acción de F pasa por
el punto C)
MD= 800 N (0.50 m) = 400 N· m
Determine el Momento en O
Mo = 60 lb0 (1 sen 45 ft ) = 42.4 lb· ft
Mo = 7 KN (4 m – 1 m) = 21 KN· m
Mo = -( 13 N * 3.25 m) + (5N* 1.5 M )+ ( 10 N * 0.5 m) + (3N * 2.5 m) = -22.25 N· m
Recuerde que la distancia es perpendicular al eje del punto o. Si la fuerza estuviera inclinada saquele sus componentes.