Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2014-2
TAREA 7
Dr. A. Reyes-Coronado
Solución por Carlos Andrés Escobar Ruı́z
~ en una región del espacio
1.- Problema: (20pts) Considera que el campo magnético B
está dado por:
~ = k z êx
B
donde k es una constante. Calcula la fuerza sobre un espira cuadrada de lado a,
que está en el plano Y Z y centrada en el origen, por la que circula una corriente
estacionaria I (tú decide la dirección de la corriente).
Solución al problema 1
Supongamos que la corriente estacionaria I circula en sentido contrario a las manecillas
del reloj. Las fuerzas sobre los lados derecho e izquierdo de la espira son nulas.
a
Z
Z
Z
Ikêy 2 2
~
~
Fizq = I dl × B = I dz(−êz ) × kzêx = −Ikêy zdz = −
· z = 0. (1)
2
−a
2
Siguiendo el mismo razonamiento encontramos que Fder es nulo.
2
La fuerza producida en la parte superior de la espira es IaB = Iak( a2 ) = Ik( a2 ), y
apunta en la dirección êz , lo mismo para la parte inferior. Formalmente, en las integrales
que se deben de realizar, las direcciones de las corrientes son contrarias en la parte inferior
y superior, sin embargo, una integral está evaluada con el campo en z = a2 , mientras que la
otra en z = − a2 , y dado que el campo magnético es proporcional a z pues cambia de signo,
de ahı́ del por qué se tiene el mismo signo. Con lo cual la fuerza total sobre la espira es
F~T = Ika2 êz .
(2)
2.- Problema: (20pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a.
a) Si está uniformemente distribuı́da sobre la superficie, calcula la densidad de corrien~
te superficial K.
b) Si está distribuı́da de tal manera que la densidad volumétrica de corriente es
~
inversamente proporcional a la distancia del eje, calcula J.
Solución al problema 2
a) Dado que la corriente está uniformemente distribuda sobre la superficie, y la longitud
perpendicular a la corriente es la circunferencia, entonces
K=
I
.
2πa
1
(3)
b)
α
J= ,
r
Z
⇒
I=
Z
2π
Z
Jda =
0
0
a
α
rdrdθ = α2πa ,
r
⇒
α=
I
,
2πa
(4)
por lo tanto
J=
I
.
2πar
(5)
3. Problema: (20pts)
a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad
estática de carga σ uniformemente distribuı́da. Si gira a una velocidad angular
~
ω, calcula la densidad de corriente superficial K.
b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio R y de carga total Q, está centrada en el origen de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω
alrededor del eje z. Considerando que la velocidad angular y el radio R son las
misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de 1 Coulomb, calcula
la densidad de corriente volumétrica J~ en cualquier punto (r, θ, ϕ) dentro de la
esfera.
Solución al problema 3
~ está dada por
a) La densidad superficial de corriente K
~ = σ~v = σrω êφ .
K
(6)
b) La densidad volumétrica de corriente está dada por J~ = ρ ~v , donde ~v es la velocidad
tangencial, que está dada por
~v = ω
~ × ~r,
(7)
= ωR (êz × êr ),
= ωR [êz × (sin θ cos φ êx + sin θ sin φêy + cos(θ) êz )] ,
= ωr sin θ (− sen φ êx + cos φ êy ) ,
= ωr sin θ êφ .
Entonces,
J~ = ρ ~v =
3 Q
4 πR3
ωr sin θ êφ ≈ 6.7 × 10−26 r sin θ êφ
C
,
m3 · s
(8)
dado que el radio de la Tierra es de aproximadamente 6,378 Km y la velocidad angular de
7.292 × 10−5 1/s .
4. Problema: (20pts) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d,
tienen una densidad de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se
mueven ambos con una rapidez constante v como se muestra en la figura. ¿Qué tan
grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele
a la fuerza de repulsión eléctrica? ¿Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula
numéricamente la velocidad empleando unidades de m/s).
2
r
!v
λ"
d"
r
!v
λ"
Solución al problema 4
La fuerza de atracción debida a la fuerza magnética por unidad de longitud, para dos
alambres paralelos portando corrientes I1 e I2 , separados por una distancia d, está dada
por:
µ0 I1 I2
µ0 (λv)2
Fm =
=
.
(9)
2π d
2π d
Por otro lado, el campo eléctrico sobre un alambre está dado por:
E=
1 λ
,
2π0 d
(10)
con lo cual la fuerza eléctrica de repulsión que siente el otro alambre será
Fe =
1 λ2
.
2π0 d
(11)
Cuando la fuerza de atracción magnética sea igual a la fuerza de repulsión eléctrica, es
decir, Fm = Fe , de lo cual despejamos la velocidad v para obtener
v=√
1
= c = 3 × 108 m/s,
0 µ0
(12)
lo cual es precisamente la velocidad de la luz en el vacı́o. Dado que los alambres reales
poseen masa, no es fı́sicamente razonable la velocidad a la cual se cancelan las fuerzas, dado
que es sabido que sólo partı́culas sin masa pueden alcanzar estas velocidades. Además, el
cálculo correcto deberı́a ser un cálculo relativista!
5. Problema: (20pts) Calcula el momento dipolar magnético del disco cargado girando
en el mismo fonógrafo viejito del problema 3.
Solución al problema 5
Para un anillo de corriente tenemos que el momento dipolar magnético es m = Iπr2 .
En este caso I → σvdr = σωrdr, por lo que hay que integrar sobre todos los anillos que
conforman el disco, de lo que obtenemos
Z
m=
R
πr2 σωrdr =
0
πσωR4
,
4
(13)
con dirección êz si el disco se encuentra en el plano XY.
6. Problema TORITO: (30pts) Un toroide delgado (como una dona de chocolate muy
flaquita), con carga total Q y masa M gira alrededor del eje êz .
3
a) Calcula el cociente de su momento dipolar magnético entre su momento angular.
A esto se le conoce como la razón giromagnética del objeto.
b) Calcula la razón giromagnética de una esfera uniformemente cargada girando. No
requieres hacer un cálculo nuevo, solamente describe a la esfera como si estuviera
compuesta por anillos infinitesimales y aplica el resultado del inciso anterior.
c) De acuerdo a la mecánica cuántica, el momento angular de un electrón girando es
~/2, donde ~ es la constante de Planck. Calcula el momento dipolar magnético
del electrón en unidades de A · m2 . Este resultado semi–clásico está de hecho
mal por casi un factor de 2! La teorı́a relativista para el electrón desarrollada
por Dirac obtiene un factor de 2 exacto, y posteriormente Feynman, Schwinger y
Tomonaga calcularon pequeñas correcciones a este factor. La determinación del
momento dipolar magnético del electrón es probablemente el logro más fino de la
teorı́a electromagnética cuántica, y es uno de los mejores acuerdos encontrados
entre la teorı́a y el experimento en la historia de toda la fı́sica. A la cantidad
(e~/2m), con e la carga del electrón y m su masa se le conoce como el magnetón
de Bohr.
!êz
r
!v
r
!v
Solución al problema 6
a) La corriente está dada por I = λ v, donde λ es la densidad lineal de carga y v
es la velocidad tangencial. Suponiendo que el radio del toro es R y que tiene carga Q
(despreciando su grosor), entonces:
Q
Q
Qω
~
I=
ω
~ ×R=
ωR =
.
(14)
2πR
2πR
2π
El área encerrada por la corriente es a = πR2 , de modo que el momento dipolar magnético
está dado por
Qω
Q
m=Ia=
πR2 êz = ωR2 êz .
(15)
2π
2
~ = ~r × p~, y para este caso:
Por otro lado, el momento angular está dado por L
~ = R (M~v ) = R (M ωR ) êz = M ωR2 êz ,
L
(16)
entonces, la razón giromagnética g está dada por
g=
m
Q ωR2
Q
=
=
,
2
L
2 M ωR
2M
4
⇒
m
~ =
Q ~
L.
2M
(17)
b) Dado que g es independiente de R, la misma relación aplica para todo el toro, y por
lo tanto para la esfera o cualquier otra figura de revolución, por tanto
g=
Q
.
2M
(18)
c) Empleando el resultado de los incisos anteriores tenemos que
m
~ =
Q ~
L
2M
(19)
y si L para el electrón es ~/2, y considerando la carga del electrón e y su masa me , el
momento dipolar magnético está dado por
m=
e ~
e~
(1.6 × 10−19 C)(1.05 × 10−34 J · s)
=
=
= 4.61 × 10−24 A · m2 .
2 me 2
4 me
4 (9.11 × 10−31 Kg)
5
(20)