Relación de Problemas

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y
EMPRESARIALES
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS II
RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 6
1.- a) ¿Es el punto (1, 1) un mínimo local de la función f(x, y) = x2 - y2? En caso
afirmativo, justifíquelo.
b) En un conjunto abierto ¿tienen que ser sus óptimos siempre puntos críticos?
Razone la respuesta.
2.- Justifique que el punto (0, 0) es un punto de silla de la función:
f(x, y) = (-x -y)2 -2x2
3.- Determine el óptimo global del problema:
Min x2 + y2 - 8x - 6y
s.a.
x2 + y2 = 1
4.- Sea la función de utilidad de un consumidor: U(x, y) = 6xy + 2(y - 2), donde x e y son
las cantidades que se adquieren de los bienes A y B. Los precios por unidad de dichos
bienes vienen determinados por el mercado, siendo éstos 4 y 2 unidades monetarias
(u.m.) respectivamente. La cantidad de dinero de que dispone el consumidor para la
compra de dichos bienes es de 8 u.m.. Se pide:
a) ¿Cuál será la elección óptima del consumidor si su objetivo es alcanzar el máximo
nivel de utilidad agotando toda su renta disponible? En dicha elección óptima, ¿cuál
sería el valor de la utilidad para el consumidor?
b) ¿Aumentaría el consumidor su utilidad si dispusiera de una menor renta monetaria?
Razone la respuesta.
5.- Una empresa constructora oferta pisos según la siguiente función de producción:
q(x, y) = xy
donde x e y representan las cantidades empleadas de los dos factores productivos
utilizados por la empresa: trabajo y capital. Cada unidad de trabajo cuesta 3 unidades
monetarias (u.m.) y cada unidad de capital 2 u.m. Determine la cantidad que se debe
comprar de cada factor de forma que se maximice la producción teniendo en cuenta que
la empresa debe mantener un coste igual a 60 u. m.. ¿Qué ocurriría con la producción si
el coste debiera disminuir?
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6.- Una empresa de manufacturas tiene un presupuesto de 30.000 unidades monetarias
(u. m.) mensuales para la adquisición de materias primas y mano de obra. Si se
necesitan x (en miles) u. m. para el pago de la mano de obra e y (en miles) u. m. para el
pago de la materia prima, determinar la producción mensual óptima, si la función de
producción es:
q(x, y) = 2 xy - 4x,
y se supone que la empresa agota el presupuesto. ¿Crecería la producción óptima con un
mayor presupuesto? Resuélvase utilizando la función de Lagrange.
7.Una empresa se dedica a la fabricación de granizada y horchata. La
disponibilidad de mano de obra viene dada por la siguiente expresión:
(x - 1)2 + y2 = 1
donde x e y representan, respectivamente, las cantidades producidas de granizada y
horchata en miles de litros. Se pide:
a) Determine la cantidad de granizada y horchata a producir, sabiendo que el
empresario desea maximizar la cantidad total a fabricar de ambos productos.
b) Comente la sensibilidad de la cantidad óptima a producir de ambos productos ante
las variaciones en la cantidad de mano de obra.
8.- Una empresa zapatera está pensando en la posibilidad de lanzar al mercado dos
nuevos tipos de zapatos. Según un análisis realizado, los ingresos que producirían estos
nuevos productos vendrían dados por la siguiente función:
I(x, y) = x2 -1 + 4xy + y,
donde x e y representan las cantidades producidas de los dos nuevos tipos de zapatos,
mientras que la función de costes generada sería:
C(x, y) = 4xy + 2x2.
Debido a exigencias del proceso productivo, las cantidades obtenidas de los dos tipos de
zapatos deben verificar la siguiente relación:
2x2 + 2y2 = 8.
a) La empresa no lanzará al mercado los zapatos si el beneficio máximo que generan es
inferior a 2 u. m. ¿Los lanzará?
b) Comprobar si el problema verifica los teoremas de Weierstrass y Local-Global.
9.- Una empresa de juguetes japonesa está intentando lanzar sus nuevos productos en
España. Para ello, desea empezar introduciendo en el mercado español sus dos
productos estrella: Kegor Dito, el Luchador de Sumo, y Kena Vaja, el Samurai, en
cantidades x e y, respectivamente. El departamento de marketing ha hecho un estudio de
mercado y ha determinado que el gasto de publicidad para promocionar el Luchador de
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Sumo debe ser x miles de euros y el gasto en publicidad para promocionar el Samurai
debe ser y2 miles de euros. Por otra parte, el departamento de exportación ha
determinado que el gasto unitario para exportar cada unidad del Luchador de Sumo es x
euros y el gasto unitario para exportar cada unidad del Samurai es y euros. Finalmente,
la dirección de la empresa decide que quiere invertir exactamente 10.000 euros en
publicidad y que desea que el gasto de exportación sea mínimo.
a) Formule el problema matemático correspondiente a esta situación.
b) Resuelva el problema mediante la función de Lagrange. (No tenga en cuenta las
condiciones de no negatividad para la construcción de la función de Lagrange). ¿Qué
ocurriría si el término independiente de la restricción aumentara?
10.- (Examen Julio 2003) La función de producción de una empresa es f ( x, y ) =2 x + y
donde x e y son las unidades empleadas de cada factor productivo y f(x,y) son las
unidades producidas (en miles). La función de costes totales (en miles de unidades
monetarias) es C ( x, y ) = x 2 + y 2 .
a) Determine las cantidades de factores que maximizan la producción para un coste
total de 4.000 unidades monetarias. (No tenga en cuenta las restricciones de no
negatividad de las variables). ¿A cuánto asciende la producción máxima?
b) ¿Cómo afectaría a la máxima producción una pequeña variación de las 4.000
unidades monetarias de coste?
11.- (Examen Septiembre 2003) Una empresa produce un bien en competencia perfecta.
La función de producción del bien es q = f(K,L) = 8K1/4L1/2, y su precio de venta es p =
4. Los precios de los factores capital y trabajo son respectivamente, r = 8 y w = 4.
Calcule los niveles de capital (K) y trabajo (L), así como la cantidad producida del bien,
que maximizan los beneficios de la empresa.
12.- (Examen Enero 2004) Una empresa fabrica dos productos que vende en el mercado
a los precios de px = 30, py =50. Su función de costes totales es
x2
C ( x, y ) =
− x + y 2 − 4 y + xy, siendo x, y las unidades producidas de cada producto.
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Hállese el máximo beneficio obtenido fabricando 30 unidades.
13.- (Examen Junio 2004) Una empresa se dedica a la producción de dos artículos A
y B, en cantidades x e y respectivamente. El coste de producir x unidades de A e y de B
es:
c(x, y) = x2 + y2.
La empresa dispone de 4 unidades monetarias para cubrir costes. El beneficio unitario
del bien A es de 2 u. m., y el de B, 2 u. m. La empresa desea conocer las cantidades x e y
a producir para maximizar el beneficio.
a) Resuelva el problema mediante la función de Lagrange, suponiendo que la empresa
agota el presupuesto, y sin considerar las restricciones de no negatividad para las
variables. Determine el beneficio máximo para la empresa.
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b) ¿Qué pasaría si los costes aumentan?
14.- (Examen Septiembre 2004) La empresa “Elegant Lady” fabricante de medias,
utiliza como factores productivos poliamida y elastano. La cantidad de medias
producidas para las cantidades P y E (en Kg.) de estos factores viene dada por la
siguiente función:
M ( P, E ) = 8 PE
Si los dos factores tienen el mismo coste, siendo este de 20 u.m. por Kg. y la empresa
tiene un presupuesto de 4.000 u.m. mensuales para la adquisición de materia prima,
determine la producción mensual óptima, si la empresa agota el presupuesto. ¿Qué
ocurriría con dicha producción óptima si la empresa aumentara el presupuesto?
15.- (Examen Junio 2005). Considere el siguiente problema de Programación Clásica
Opt. x + y
s.a. x 2 + 2( y − 1) 2 = 1
Resuélvalo analíticamente, aplicando las condiciones necesaria y suficiente.
16.- (Examen Septiembre 2005). Dado el problema:
Opt. xy + xz + yz
s.a. x + y + z = 6
Resuélvalo mediante la función de Lagrange. ¿Qué ocurre si el término independiente
de la restricción aumenta? Justifique su respuesta.
17.- (Examen Enero 2005). Dado el problema:
(
Opt. y 1 + x 2
)
s.a. y − x 2 = −5
Resuélvalo mediante la función de Lagrange. ¿Qué ocurre si el término independiente
de la restricción aumenta? Justifique su respuesta.
18.- (Examen Junio 2006) Resuelva el problema
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Optimizar 2 x + 3 y
s.a.
9 x 2 + 4 y 2 = 36
19.- (Examen Septiembre 2006) Considere el problema
Optimizar x 2 − y
sujeto a
x2 + y2 = 1
Determine sus máximos y mínimos, especificando si son locales o globales, y por qué
motivo.
20.- (Examen Enero 2007) Resuelva el siguiente problema de programación clásica:
Optimizar xy
sujeto a
x2 y2
+
=1
4
9
5