Toma de Datos y Tratamiento de Errores Daniel Farías

Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Técnicas Experimentales II - 2º Física - Curso 2009-10
Daniel Farías
Departamento de Física de la Materia Condensada
Universidad Autónoma de Madrid
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Libros recomendados:
-Mecánica Elemental (ver Capítulo 1),
Juan G. Roederer, Eudeba (2002)
-Data reduction and error analysis for the physical sciences,
P. Bevington and D.K. Robinson, McGraw Hill, New York (1993)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Calidad de un experimento
Precisión
(Reproducibilidad)
Exactitud
(Proximidad al “verdadero valor”)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Calidad de un experimento
Precisión
(Reproducibilidad)
Exactitud
(Proximidad al “verdadero valor”)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Tipos de errores:
Sistemáticos: Calibración de instrumentos, etc.
En general, difíciles de encontrar
Aleatorios: Inherentes al proceso de medida.
Disminuyen con N !!
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Algunas definiciones
Valor promedio
Varianza
Desviación estándar
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Cifras significativas
Si uso una regla graduada en milímetros para medir L:
L = 95 ± 1 mm
No es correcto por ejemplo expresarlo como:
L = 95.321 ± 1 mm
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Errores absolutos y relativos
Ejemplo:
Mido la distancia Valencia-Castellón: 75 ± 2 km
Mido el ancho de un aula: 8 ± 1 m
¿qué medida es mejor?
Calculo los errores relativos (∆x/x):
ξr1 = 2/75 * 100 = 2.7%
ξr2 = 1/8 * 100 = 12.5%
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
La Distribución Normal (o Gaussiana)
FWHM = 2.35 σ
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
La Distribución Normal (o Gaussiana)
Intervalos de confianza: 68% (±σ)
95% (± 2σ)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Intervalos de confianza: 68% (±σ)
Nieto et al, Science 312, 86 (2006)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
“The horizontal error bars indicate the calculated beam-energy
spread for a pure O2 beam, while the vertical error bars are
statistical errors from 3–5 measurements.”
Kasemo et al, Phys. Rev. B 55, 15452 (1997)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
“The points are average values of at least five measurements for each
value of v. The error bars reflect an analysis of error propagation from
measured uncertainties in factors contributing to the derived quantum
yield. These error bars are similar to 90% confidence intervals
derived from statistical analysis of multiple measurements. “
Wodtke et al, Nature 433, 503 (2005)
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Error al medir una magnitud N veces:
Hago N medidas:
x1, x2,.....xN
Desviación estándar
de cada medición, Sx:
Si hago varias series de medidas,
el valor medio de cada una tiene una
distribución normal, con una
desviación estándar:
σx
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Tipos de errores:
Ejemplo: Medida del período de un péndulo
Número de medidas
12
10 medidas
50 medidas
10
8
6
4
2
0
2,8
3,0
T (segundos)
3,2
3,4
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Tipos de errores:
Ejemplo: Medida del período de un péndulo
Número de medidas
12
10 medidas
50 medidas
10 medidas (5T)
10
8
6
4
2
0
2,8
3,0
T (segundos)
3,2
3,4
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Correlación:
N datos (x, y), queremos ver si hay relación lineal
Se define el factor de correlación r:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Regresión:
Generamos una recta a partir de N datos (x, y)
El método de mínimos cuadrados:
La mejor recta será la que minimice:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Regresión:
Generamos una recta a partir de N datos (x, y)
El método de mínimos cuadrados:
La mejor recta será la que minimice:
Busco mínimos de Ф:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Regresión:
Generamos una recta a partir de N datos (x, y)
El método de mínimos cuadrados:
Datos originales que confirmaron la hipótesis de Hubble (1929)
del universo en expansión.
r = 0.7842
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Cuidado: las escalas lineales pueden engañar!!
Ejemplo: tomo datos X(t) para un movimiento con
aceleración constante. En escala lineal, obtengo:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Cuidado: las escalas lineales pueden engañar!!
Ejemplo: tomo datos X(t) para un movimiento con
aceleración constante. En escala lineal, obtengo:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Cuidado: las escalas lineales pueden engañar!!
Ejemplo: tomo datos X(t) para un movimiento con
aceleración constante. En escala lineal, obtengo:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Cuidado: las escalas lineales pueden engañar!!
Ejemplo: tomo datos X(t) para un movimiento con
aceleración constante. En escala lineal, obtengo:
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Propagación de errores
Ej: mido el lado x = 8 ± 1 m de un cuadrado
y quiero determinar el error de y = x2
“a ojo” me sale y = 64 ± 15 m2
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Propagación de errores
Mido (x, y) quiero determinar error de V = V (x, y, z...):
Ejemplo:
Z=x±Y
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Propagación de errores
Ejemplo:
“Primer orden”
E = ½ m v2
∆E = 2 ∆v
E
v
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Redondeo a cifras significativas
Ejemplo: mido el volumen V de un cuerpo, y quiero
calcular su densidad ρ con la fórmula ρ = m / V
Mido V = 3.5 ± 0.2 cm3 y m = 22.7 ± 0.1 g
o sea: ρ = m / V = 22.7 / 3.5 = 6.485714286 g/cm3
Propagando errores: ∆ρ /ρ ~ (∆m / m) + (∆ V / V) = 0.06
O sea, hay que redondear a una sola cifra:
ρ = 6.5 ± 0.4 g/cm3
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Algunas recomendaciones
-No dejar el análisis de datos para el final !!
-Ver tendencias/correlaciones primero.
Después estimar la magnitud de los errores
-Representar los datos, de varias maneras si es posible
-Datos extraños: verificar reproducibilidad
Toma de Datos y Tratamiento de Errores
Algunos trucos
Análisis gráfico de errores:
y=ax+b
b (dif.)
Fit
1.0
a
(dif.)
2.0
Máx. 1.16 (0.16) -1.5 (-3.5)
Min.
0.81 (-0.19)
5.2 (3.2)
(promedio)
a = 2.0 +/- 3.4
b = 1.0 +/- 0.2