Números Reales: Axiomas de Cuerpo y Orden 1. Demuestre

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Primer Semestre del 2003
Números Reales: Axiomas de Cuerpo y Orden
1. Demuestre que si a, b ∈ R, b 6= 0 y ab = b, entonces a = 1.
2. Demuestre que si a ∈ R y a · a = a, entonces a = 1 o a = 0.
3. Demuestre que el cero no tiene inverso multiplicativo.
4. Se define 2 = 1 + 1, demuestre que (−1) + (−1) = −2.
5. Demuestre que (−a) + (−a) = (−2)a.
6. Demuestre que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
7. Demuestre que (a + b)(a − b) = a2 − b2 .
8. Demuestre que (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
9. Demuestre que si a + b = 0 y a − b = 0, entonces a = b = 0.
10. Demuestre que (−a)−1 = −(a)−1 .
11. Demuestre que (a/b)/c = a/(bc).
12. Demostrar que si a y b son números reales positivos, entonces
a b
+ ≥ 2.
b a
13. Demostrar que si x es un número real positivo, entonces x3 +
1
1
≥x+ .
3
x
x
14. Demuestre que si a, b, c, d son reales positivos, entonces (ab+cd)(ac+bd) ≥ 4abcd.
15. Demuestre que si a, b, c ≥ 0, no todos iguales, entonces
(a + b + c)(bc + ca + ab) ≥ 9abc
1
16. Sea a, b > 0 y a + b = 1. Demuestre que ab ≤ .
4
17. Demuestre que si a + b + c = 6, entonces a2 + b2 + c2 ≥ 12.
18. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área cuyo perı́metro es 8.
19. Encuentra el valor que pueden tener dos múltiplos consecutivos de siete, si su
producto debe ser mayor que 294.
20. De todos los triágulos rectángulos de hipotenusa, h, determinar el de área máxima.
21. Sean x, y > 0. Pruebe que
2
1 1
+
x y
≤
√
xy ≤
x+y
2
22. Si a1 , a2 , . . . , an son reales positivos tal que a1 a2 · · · an = 1. Demuestre que
(1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) ≥ 2n
23. Si a, b, c son reales positivos y distintos entre sı́, demuestre que
a+b+c
>
3
ab + bc + ca
3
12
1
> (abc) 3
24. Si a, b, c son reales positivos, demostrar
a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2
+
+
≥a+b+c
a+b
b+c
c+a
25. Sean x, y ∈ R+ , con x < 1 < y. Probar que 1 + xy < x + y.
26. Si a > b y m, n ∈ R+ , demuestre que b <
27. Si a 6= b 6= c, a, b, c ∈ R. Demuestre que
ma + nb
< a.
m+n
a+b b+c a+c
+
+
> 6.
c
a
b
28. Probar que si a , b , c > 0 entonces
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≥ 6abc
29. Si a, b ∈ R+ entonces a3 b + ab3 ≤ a4 + b4
30. Si a, b, c > 0 probar:
2ab
2ac
2bc
+
+
≤a+b+c
a+b a+c b+c
31. Si a, b, c > 0 demuestre que
(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8abc
32. Probar:
∀x ∈ R : x8 − x5 + x2 − x + 1 > 0
33. Probar que si x ∈ R+ y n < m son naturales. Entonces se cumple:
xm < xn ⇔ x < 1
34. Hallar δ > 0 tal que si |x − 4| < δ entonces
2
2x − 6 26 −3
x + 1 − 5 < 10
Inecuaciones
Resolver las siguientes inecuaciones:
1.
2+x
<1
3−x
2.
4
12
·
>0
x+2 x−5
3. (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0
2
x + 3x + 1 <7
4. Si |x − 2| < 2, entonces demuestre que x+1 5. |x − 2| + |3x − 2| > 7
√
6. 2 x2 + x + 1 − x ≤ |x + 3|
7. |8 − |x + 2|| + |1 − x| ≤ |4 − 5x|
√
6
x2 − x − 30(4x2 − 12x2 + 9)
√
8.
<0
(x2 − 6x + 13) 7 2x + 3
9. |3x − 5|3x ≤ |x + 1| − 8
10. Encuentre los valores de k para los cuales se verifica que :
x2 + (2k + 1)x + k(k + 3) ≥ 0 , ∀ x ∈ R
11.
|x − 1|
|x − 1| − |x + 1|
≤
|x2 − 1|
x+1
√
(3x2 + x + 1)|x − 5| 3x − 1
≥0
12.
x3 − 2x2 − x + 2
13. Resolver
p
|3x − 1| − 2 < |6x − 5| − 4
14. Resolver
x − 6 + |x − 2| ≤
15. Resolver
p
2 − |x − 4|
p
√
5 − |x − 9| − x − 7
≤0
(x2 + 6x + 10)|3x − 5|
16. Probar que si |x − 2| < 3 entonces
2
x + 2x − 8 x + 3 < 14