Matemáticas Pre-Universitarias

Matemáticas Pre-Universitarias
Omar Yam1, Norma Palacios
Verano-2008
1 Universidad
de Quintana Roo, División de Ciencias e Ingenirı́a
ii
Índice
1 ÁLGEBRA
1.1 Los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . .
1.1.3 Valor Absoluto de un Número Real . . . . . . .
1.1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exponentes y Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Leyes de los Exponentes . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Raı́z n-ésima Real de un Número Real. . . . . .
1.2.3 Propiedades de las Raı́ces n-ésimas . . . . . . .
1.2.4 Definición de Exponentes Racionales . . . . . .
1.2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Factorización y Productos Notables . . . . . . . . . . .
1.3.1 Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Fórmulas de Factorización . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable
1.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Variable .
1.4.2 Guias para Resolver Problemas . . . . . . . . .
1.4.3 La Ecuación Cuadrática . . . . . . . . . . . . .
1.5 Sistemas de Ecuaciones de dos Variables . . . . . . . .
1.5.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 GEOMETRÍA
2.1
2.2
2.3
3
3
5
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
16
19
22
25
Ángulos y Cantidades Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Ángulos Agudos, Rectos y Obtusos . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Ángulos Complementarios y Suplementarios
Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rectas Notables en el Triángulo . . . . . . .
2.2.2 Clasificación de los Triángulos . . . . . . . .
2.2.3 El Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . .
Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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27
27
27
28
30
iv
ÍNDICE
2.4
2.5
2.6
Circunferencia y Cı́rculo . . . . . .
Volúmenes . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Paralelepı́pedo Rectangular
2.5.2 Cilı́ndro Circular Recto . . .
2.5.3 Cono Circular Recto . . . .
2.5.4 Esfera . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . .
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3 TRIGONOMETRÍA
3.1 Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Signos de las Funciones Trigonométricas . .
3.1.2 Funciones Trigonométricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ ,
3.1.3 Funciones Trigonométricas de 30 ◦ , 45 ◦ y 60 ◦
3.2 Solución de Triángulos Rectángulos . . . . . . . . .
3.3 Leyes de Senos y Cosenos . . . . . . . . . . . . . .
3.4
3.5
3.3.1 Resolviendo Triángulos Generales . . . . .
Identidades y Ecuaciones Trigonométricas . . . .
3.4.1 Funciones Pares e Impares y Periodicidad
3.4.2 Fórmulas de Adición de Ángulos . . . . .
3.4.3 Ecuaciones Trigonométricas . . . . . . . .
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31
32
32
33
34
34
35
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270 ◦ y
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360 ◦ .
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37
37
37
38
40
41
42
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42
43
44
45
45
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Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
ÍNDICE
v
El presente material ha sido diseñado para cubrir las áreas básicas, de las matemáticas,
que se requieren para poder cursar con exito los programas académicos del área de
Ingenierı́a que se ofrecen en la División de Ciencias e Ingenierı́as de la Universidad
de Quintana Roo. El material se dividió en tres capı́tulos que corresponden a las
áreas de: álgebra, geometrı́a y trigonometrı́a. A pesar de no ser un tratado profundo
de cada uno las áreas mencionadas. Cada capı́tulo contiene el material necesario
para un breve repaso de conceptos y métodos que sin duda han sido cubiertos con
anterioridad. Finalmente, se pretende que el contenido sirva como material de apoyo
para cursos posteriores.
Omar Yam
División de Ciencias e Igenierı́a
Universidad de Quintana Roo
vi
ÍNDICE
ÍNDICE
1
2
ÍNDICE
CAPÍTULO 1
ÁLGEBRA
La palabra álgebra proviene del libro Árabe Hisâb al-Jabr w’al-Muqabala escrito
por al-Khowarizmi. El tı́tulo se refiere a la transposición y combinación de términos,
dos procesos usados en la resolución de ecuaciones. La traducción latina del tı́tulo
fue acortada a Aljabr de donde se deriva la palabra álgebra.
1.1
Los Números Reales
Generalment en los cursos de álgebra de bachillerato se cominenza con el conjunto de
los números naturales, N = {1, 2, 3, . . . }. Este conjunto está asociado con la primera
operación que se creé realizó el hombre: el conteo. Con este enfoque surge de manera
lógica la necesidad de representar la ausencia de elementos: surge el cero. Ası́, el conjunto de los números naturales junto con el cero forman el conjunto de los números
enteros no-negativos. Si a este último conjunto le agregamos los enteros negativos
obtenemos el conjunto de los números enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. Más
tarde se observó el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La
a
solución para este problema fue la aparición de los números racionales Q = { : a y
b
b son enteros y b es distinto de cero}. Con la aprición de los racionales se creı́a que
cualquier operación propuesta se podı́a resolver. Sin embargo, el problema de hayar
un número tal que elevado al cuadrado de como resultado dos no tenı́a solución en
los racionales, es decir, la solución de x2 = 2, es un número irracional. La aparición
de estos números vino a completar un conjunto de números más extenso que es
conocido como el conjundo de los números reales el cual es denotado por R.
Propiedades de los Números reales. Si a y b son números reales, tenemos:
• Propiedad de cerradura para la suma: a + b ∈ R
Para cada par de números reales a, b existe un número real ú nico a + b,
llamado la suma de a y b
Ejemplo: 3 + 6 es un número real
3
4
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
• Propiedad de cerradura para la multiplicación: ab ∈ R
Para cada par de números reales a, b existe un número real único ab, llamado
el producto de a y b
Ejemplo: 4 · 7 es un número real
• Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a
Cuando dos números son sumados, el orden no importa.
Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7
• Propiedad conmutativa de la multiplicación: ab = ba
Cuando dos números son multiplicados el orden no importa.
Ejemplo: 3 · 5 = 5 · 3
• Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)
Cuando tres números son sumados, no importa cuales dos son sumados primero.
Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)
• Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a
El cero es el elemento identidad para la suma
Ejemplo: 3 + 0 = 3
• Propiedad del elemento identidad para la multiplicación: a · 1 = a
El uno es el elemento identidad para la multiplicación
Ejemplo: 9 · 1 = 9
• Propiedad del inverso aditivo: a + (−a) = 0
Para cada número real a, existe un número real (−a) llamado el inverso aditivo
de a
Ejemplo: 3 + (−3) = 0
• Propiedad del inverso multiplicativo: a ·
1
a
=1
Para cada número real a, distinto de cero, existe un número real ( a1 ) llamado
el inverso multiplicativo de a
Ejemplo: 5 ·
1
5
=1
1.1. LOS NÚMEROS REALES
5
• Propiedad asociativa de la multiplicación: (ab)c = a(bc)
Cuando tres números son multiplicados, no importa cuales dos son mutiplicados primero.
Ejemplo: (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5)
• Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac
Cuando se multiplica un número con la suma de otros dos números, se tiene
el mismo resultado que al multiplicar el número con cada uno de los términos
y después sumar los resultados.
Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
1.1.1
Leyes de los signos
Si a y b son dos números reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de los
signos
• (−1)a = −a
Ejemplo: (−1)5 = −5
• −(−a) = a
Ejemplo: −(−5) = 5
• (−a)b = a(−b) = −(ab)
Ejemplo: (−5)7 = 5(−7) = −(5 · 7)
• (−a)(−b) = ab
Ejemplo: (−4)(−3) = 4 · 3
• −(a + b) = −a − b
Ejemplo: −(3 + 5) = −3 − 5
• −(a − b) = b − a
Ejemplo: −(5 − 8) = 8 − 5
6
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
1.1.2
Operaciones con Fracciones
Dados a, b, c y d, números reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientes
propiedades.
a
c
= , si y solo si, ad = bc
b
d
Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados.
6
2
Ejemplo: = , entonces 2 · 9 = 3 · 6
3
9
• Igualdad de fracciones:
a c
ac
· =
b d
bd
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.
2·5
10
2 5
=
Ejemplo: · =
3 7
3·7
21
• Multiplicación de fracciones:
a c
a d
÷ = ·
b d
b c
Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multiplicación. Nota: En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, se
requiere que tanto c como d sean distintos de cero.
2 5
2 7
14
Ejemplo: ÷ = · =
3 7
3 5
15
• División de fracciones:
a b
a+b
+ =
c c
c
Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores
y se mantine el mismo denominador.
2+7
9
2 7
=
Ejemplo: + =
5 5
5
5
• Suma de fracciones con el mismo denominador:
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la suma
de los productos cruzados y el denominador es la multiplicación de los denominadores.
2 3
2·7+3·5
29
Ejemplo: + =
=
5 7
35
35
• Suma de fracciones con diferentes denominadores:
• Cancelación de números con factores comunes en el numerador y el denomia
ac
=
nador:
bc
b
Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y el
resultado no se altera.
2
2·5
=
Ejemplo:
3·5
3
1.1. LOS NÚMEROS REALES
1.1.3
Valor Absoluto de un Número Real
• Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es
a si a ≥ 0
|a| =
−a si a < 0
Ejemplos:
i) | 3 |= 3
ii) | −11 |= 11
Nota: El valor absoluto siempre es positivo
1.1.4
Problemas
Realizar las siguientes operaciones
1.
3 2
+
5 3
17
− 20
19
a
3.
+b
2b
2.
4.
−2
+1
3
5.
2 2
·
3a 3a
7 5
·
8 6
a
7. ÷ b
b
6.
8.
−9 −10
÷
5
27
9. Verificar las siguientes expresiones
−13
−143
=
17
187
−3a
6ab
b)
= 2
b
2b
a)
10. Simplifique las siguientes expresiones
7
8
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
a)
b)
1+
x
y
x+y
1 − xy
x+y
x+y
b)
1 + xy
11. Resolver para n las ecuaciones siguientes
a) |n| = 9
b) |n + 1| = 9
c) 2n − 3 = 2
5
3
12. Hallar los valores más simples de las siguientes expresiones si a = −2, b = 1,
c = 2 y d = 12
a) (a − b) (c − a2 )
b) 2ab (a − 4d)
1.2
Exponentes y Radicales
Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es
an = a
| · a ·{z· · · · a}
n factores
El número a es llamado la base y n es llamado el exponente.
Si a 6= 0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces
a0 = 1
1
a−n = n
a
1.2.1
Leyes de los Exponentes
• Multiplición de potencias con la misma base: am an = am+n
Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y se
suman los exponentes.
Ejemplo: a2 a5 = a2+5 = a7
am
= am−n
n
a
Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restan
los exponentes.
• División de potencias con la misma base:
1.2. EXPONENTES Y RADICALES
9
a7
Ejemplo: 2 = a7−2 = a5
a
• Potencia de una potencia: (am )n = amn
Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
2
Ejemplo: (a7 ) = a7·2 = a14
• Potencia de un producto: (ab)n = an bn
Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a la
potencia.
Ejemplo: (ab)8 = a8 · b8
a n an
• Potencia de una fracción:
= n
b
b
Para elevar una fracción a una potencia se elevan ambos, el numerador y el
denominador, a la potencia.
Ejemplo:
1.2.2
a 7
b
=
a7
b7
Raı́z n-ésima Real de un Número Real.
Si n es cualquier entero positivo, entonces cualquier número real tal que cuando se
eleva a la n-ésima potencia, da el número real a, es una raı́z n-ésima de a.
Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-ésima raı́ z principal de a es
definida como:
√
n
a = b significa bn = a.
Si n es par, se debe tener a ≥ 0 y b ≥ 0.
1.2.3
√
n
Propiedades de las Raı́ces n-ésimas
√
√
n
anb
√
√ √
Ejemplo: 3 −8 · 27 = 3 −8 3 27 = (−2) (3) = −6.
√
√ √
√
√
Ejemplo: 250 = 25 · 10 = 25 10 = 5 10
r
√
n
a
a
n
•
= √
n
b
b
r
√
4
16
2
4 16
Ejemplo:
= √
=
4
81
3
81
r
√
10
100
100
= √
=2
=
Ejemplo:
25
5
25
•
ab =
10
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
•
p
√
m
n
a=
√
a
p√
mn
√
3
729 = 6 729 = 3
Ejemplo:
√
• n an = a si n es impar.
q
Ejemplo: 3 (−5)3 = −5
√
5
Ejemplo: 25 = 2
√
• n an = |a| si n es par.
q
Ejemplo: 4 (−3)4 = |−3| = 3
1.2.4
Definición de Exponentes Racionales
Para cualquier exponente racional
o, equivalentemente,
m
, donde m y n son enteros y n > 0, se define
n
√ m
m
an = n a
m
an =
Si n es par, entonces se debe tener a ≥ 0.
1.2.5
Problemas
Efectuar las operaciones indicadas
1. a4 · a2 · a3
2. (a + b)3 (a + b)4
3. a (a + 3)3 a3 (a + 3)6
3
4.
(3x2 )
(2x4 )2
e)
10m6 n
15m3 n
(m + n)15
5.
(m + n)3
6.
8m5
4m5
÷
5n4
15n3
√
n
am
1.3. FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES
7.
q
11
25
49
√
4m2
√
9. 3 −8m3
1/2
16
10.
a2 b4
−1/3
−27
11.
a6 b6
8.
1.3
Factorización y Productos Notables
Una variable es una letra que puede representar culquier número de un conjunto
de números dado. Una constante representa un nú mero fijo. El dominio de una
variable es√el conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en la
expresión x el dominio de x es el conjunto de todos los números reales mayores
o igual a cero, en simbolos {x | x ≥ 0}. Las expresiones algebraicas se obtienen
de variables y constantes relacionadas usando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, exponenciaci ón y radicación. Las expresiones algebraicas, más simples,
obtenidas usando sólo sumas, restas y multiplicaciones son llamadas polinomios. La
forma general de un polinomio de grado n en la variable x es
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
donde a0 , a1 , . . . , an son constantes y an 6= 0. El grado del polinomio es la máxima
potencia de la variable. Cualquier polinomio es la suma de términos de la forma
axk , llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no-negativo.
Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios,
y ası́ sucesivamente. Con esto, 7x6 + 4x es un binomio de grado 6, mientras que
173x5 es un monomio de grado 5.
1.3.1
Productos Notables
• (A − B) (A + B) = A2 − B 2
• (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
• (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2
• (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
• (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3
12
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
1.3.2
Fórmulas de Factorización
• Diferencia de cuadrados: A2 − B 2 = (A − B) (A + B)
• Cuadrado perfecto: A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2
• Cuadrado perfecto: A2 − 2AB + B 2 = (A − B)2
• Diferencia de cubos: A3 − B 3 = (A − B) (A2 + AB + B 2 )
• Suma de cubos: A3 + B 3 = (A + B) (A2 − AB + B 2 )
1.3.3
Problemas
Efectuar las siguientes operaciones
1.
2
x
+
3
y
2
x
−
3
y
2
2. (2x + 3y 2 )
3. (x + 2 − y)3
4. Factorizar las siguientes expresiones
a) 8a3 + 1
b) x2 − x +
1
4
c) 8 − (m − n)3
5. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 2x2 + 5x + 2 = 0
b) x2 − 12 = x
6. Hallar dos números cuya suma sea 8 y cuyo producto sea −33.
7. Una pista de patinaje mide 100 m de largo por 70 m de ancho. El propietario
desea aumentar el área a 1300 m2 agregando franjas de igual ancho a un lado y
a un extremo y mantener su forma rectángular. Hallar el ancho de las franjas
que deben añadirse.
1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 13
1.4
1.4.1
Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una
Variable
Ecuaciones de Primer Grado con una Variable
Una ecuación de primer grado, de una variable es una ecuación en la cual cada
término es una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable.
Estas son ecuaciones de primer grado con una variable:
4x − 5 = 3
1
x−5
2x =
2
Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para transformarlas en ecuaciones equivalentes de la forma
x =?
Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo número en ambos lados
o se multiplica ambos lados con el mismo número hasta que la variable quede sola
en un lado de la ecuación.
Ejemplo 1 Resolver la ecuación:
7x − 4 = 3x + 8
Sumando 4 a cada lado:
(7x − 4) + 4 = (3x + 8) + 4
Simplificando:
7x = 3x + 12
Restando 3x a cada lado:
7x − 3x = 3x + 12 − 3x
Simplificando:
4x = 12
Multiplicando cada lado con
1
4
:
1
1
· 4x = · 12
4
4
Simplificando:
x=3
14
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
Ejemplo 2 Resolver la ecuación:
x 2
3
+ = x
6 3
4
El mı́nimo comun multiplo (MCM) de 6, 3, y 4 es 12. Reescribiendo las fracciones
con el comun denominador:
8
9
2x
+
= x
12 12
12
Multiplicando cada lado con 12:
9
8
2x
= 12
12
+
x
12 12
12
Simplificando:
2x + 8 = 9x
Restando 2x a cada lado:
(2x + 8) − 2x = 9x − 2x
Simplificando:
8 = 7x
Multiplicando cada lado con 71 :
1.4.2
8
=x
7
Guias para Resolver Problemas
1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se está
pidiendo encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosamente la pregunta, que generalmente se hace al final del problema. Nombrar
esta cantidad con una varible, x, por ejemplo. Escribir con precisión lo que
representa esta variable.
2. Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable. Lea cada oración en el problema de nuevo y exprese todas las cantidades
mencionadas en términos de la variable definida en el paso 1. Algunas veces
realizar un bosquejo del problema es de ayuda en este paso.
3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema que
relacionan dos o más xpresiones listadas en el paso dos. Estas palabras claves
son usualmente: “es”, “igual a”, “es lo mimo que”, “es el doble de”, entre
otras.
4. Escriba una ecuación. Escriba una ecuación que exprese los hechos cruciales
encontrados en el paso tres, en forma algebraica.
1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 15
5. Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuación y
verifique que su respuesta satisface el problema original planteado.
Ejemplo 3 Interés en una inversión. Marı́a heredó $100, 000 y lo invertó en dos
certificados de dep ósito. Un certificado pagó el 6% y el otro pagó el 4 21 % de interés
anual simple. Si Marı́a obtiene un interés total de $5025, por año, cuanto dinero
fue invertido en cada tasa de interés?
1. Puesto que se pide encontrar cuanto fue invertido en cada tasa de interes,
podemos representar con x la cantidad invertida con el 6% de interes, es decir,
x = cantidad invertida con el 6% de interés
2. Ahora representamos la cantidad invertida con el 4 21 % en t érminos de x, es
decir:
1
cantidad invertida con el 4 % de interés = 100, 000 − x
2
Para x pesos invertidos al 6%, el interés anual pagado es 6% de x:
interes anual pagado por el certificado al 6% = 0.06x
Similarmente, el interés pagado al otro certificado es:
1
interés anual pagado por el certificado al 4 % = 0.045 (100, 000 − x)
2
Por lo tanto, el interés total anual que recibió Marı́a por los dos certificados
es:
interés anual total = 0.06x + 0.045 (100, 000 − x)
3. Buscando el hecho que relaciona cantidades, vemos en el problema la oración
“ Marı́a obtiene un interés total de $5025, por año. . . ”, ası́ que podemos decir:
interés anual total ganado por Marı́a = $5025
4. Traduciendo estas dos últimas expresiones, para el interés anual total, en una
sola ecuación:
5025 = 0.06x + 0.045 (100000 − x)
5. Finalmente, resolviendo la ecuación:
5025
5025 − 4500
525
525
0.015
rad35000
= 0.06x + 4500 − 0.045x
= 0.015x + 4500 − 4500
= 0.015x
0.015x
=
0.015
= x
Por lo tanto Marı́a invirtió $35, 000 al 6% y los restantes, $65, 000, fueron
invertidos al 4 21 %.
16
1.4.3
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
La Ecuación Cuadrática
Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una ecuación de la forma
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales y a 6= 0. Para las ecuaciones cuadráticas es posible
encontrar una fórmula general usando la t écnica de completar cuadrados. Esto
significa sumar una constante a una expresión para obtener un cuadrado perfecto
y despues usar la t écnica de tomar raı́ces cuadradas en cada lado de la ecuación
como se muestra a continuación.
2
Para hacer x2 + bx un cuadrado perfecto, sumar 2b :
2
2 b
b
x + bx +
= x+
2
2
2
A continuación usaremos la técnica de completar cuadrados para resolver la
ecuación general de segundo grado.
ax2 + bx + c = 0
Primero, dividimos cada lado con a
c
b
x2 + x + = 0
a
a
A continuación restamos el término
aparecerá sólo en el lado derecho:
c
a
a cada lado de manera que el término constante
b
c
x2 + x = −
a
a
b
Ahora acompletamos el cuadrado; el coeficiente de x es , as ı́ que debemos sumar
a
!2 2
b
b
a
a cada lado:
ó
2
2a
b
x + x+
a
2
b
2a
2
c
=− +
a
b
2a
2
1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 17
Entonces se simplifica para
2
b
x+
=
2a
2
b
x+
=
2a
b
x + =
2a b
x+
=
2a
obtener la expresión final:
b2
−c
+ 2
a
4a
−4ac + b2
4a2
√
b2 − 4ac
2a
√
√
2
b − 4ac
b2 − 4ac
b
ó x +
=−
2a √
2a
2a √
2
b − 4ac
b2 − 4ac
b
b
ó x = − −
x = − +
2a √
2a
2a
2a
2
−b ± b − 4ac
fórmula cuadrática
x =
2a
Debido a la naturaleza de la fórmula general, es posible determinar cuando, la
ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene o no soluciones y cuando tiene una única solución,
examinando la cantidad D = b2 − 4ac. Esta cantidad es llamada el discriminante
de la ecuación cuadrá tica y tiene las siguientes propiedades:
• Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raı́ces reales y distintas.
Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática
x2 + x − 1 = 0
En este caso, a = 1, b = 1 y c = −1, por lo que:
p
p
−1 + 12 − 4 (1) (−1)
−1 − 12 − 4 (1) (−1)
x =
ó x =
2 (1)
2 (1)
√
√
−1 − 5
−1 + 5
ó x =
x =
2
2
• Si D = 0, entonces la ecuación tiene exactamente una solución real.
Ejemplo 5 Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática
x2 + 2x + 1 = 0
En este caso, a = 1, b = 2 y c = 1, por lo que:
p
p
−2 − 22rad − 4 (1) (1)
−2 + 22 − 4 (1) (1)
ó x =
x =
2 (1)
2 (1)
−2 − 0
−2 + 0
ó x =
x =
2
2
x = −1 ó x = −1
18
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
• Si D < 0, entonces la ecuación no tiene soución real. Sus ra ı́ces son complejas.
Ejemplo 6 Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática
x2 + x + 1 = 0
En este caso, a = 1, b = 1 y c = 1, por lo que:
p
12 − 4 (1) (1)
−1 −
ó x =
x =
2 (1)
√
√
−1 + −3
−1 − −3
x =
ó x =
2
2
−1 +
p
12 − 4 (1) (1)
2 (1)
Pero, como no existe un real cuyo cuadrado es −3, esta ecuación no tiene solución
real.rad
Ejemplo 7 Lanzamiento de un proyerctil: Un objeto es disparado hacia arriba con
ft
una velocidad inicial de v0 alcanzando una altura de hft despues de ts, donde h y
s
t están relaciondos por la fórmula
h = −16t2 + v0 t
ft
si v0 = 800 cuando caerá de regreso el proyectil al suelo?
s
Que el proyectil este en el suelo significa h = 0, por lo que se debe resolver la
ecuación
0 = −16t2 + 800t
En este caso a = −16, b = 800 y c = 0, por lo que:
p
8002 − 4 (−16) (0)
−800 −
ó t =
t =
2 (−16)
−800 + 800
−800 − 800
t =
ó t =
−32
−32
t = 0 ó t = 50
−800 +
p
8002 − 4 (−16) (0)
2 (−16)
Por lo tanto la altura es 0 en t = 0, cuando es disparado inicialmente y en t = 50;
cuando cae de nuevo al suelo despues de 50 segundos.
1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES
1.5
19
Sistemas de Ecuaciones de dos Variables
Una ecuación lineal en x y y es una ecuación de la forma:
Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes y
A y B no son 0 simultaneamente
La gráfica de cualquier ecuación lineal es una lı́nea. Reciprocamente, toda lı́nea
es la gráfica de una ecuación lineal.
Ejemplo 8 Bosquejar la gráfica de la ecuación
4x − 3y = 5
(1.1)
rad Puesto que es una ecuación lineal, su gráfica es una lı́nea recta por lo que se
puede dibujar conociendo cualesquiera dos puntos pertenecientes a la recta. Por
ejemplo si x = 0,
4 (0) − 3y = 5
−3y = 5
y = −
5
3
Si x = 2
4 (2) − 3y
8 − 3y
−3y
y
=
=
=
=
5
5
−3
1
Ası́ que los puntos 0, − 35 y (2, 1) pertenecen a la recta. Graficandolos y dibujando una lı́nea que pase por ellos obtenemos el bosquejo de la ecuación(1.1) el cual
se presenta en la Figura (1.1). rad
Un conjunto de ecuaciones con variables comunes es llamado un sistema de ecuaciones. La elección de valores para las variables los cuales hacen que todas las ecuaciones en el sistema se satisfagan es llamada una solución simultánea o simplemente
solución del sistema. En particular, considere el sistema de dos ecuaciones lineales
ax + by = c
dx + ey = f
donde a, b, c, d, e y f son constantes y x, y son las variables comunes del sistema.
Una solución de este sistema es un par ordenado de números (x0 , y0 ) que satisfacen
simultaneamente ambas ecuaciones, cuando x0 sustituye a x y y0 a y; por lo tanto
ax0 + by0 = c
20
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
Figura 1.1: Gráfica dela ecuación 4x − 3y = 5.
y
ax0 + ey0 = f
son ambas satisfechas. Esto significa que el punto coordenado (x0 , y0) cae en ambas
lı́neas las cuales son las grá ficas de las ecuaciones. Puesto que dos lı́neas sólo pueden
intersectarse en un punto (si acaso), no puede haber otra solución, a menos que se
trate de la misma lı́nea. Es decir, un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:
una solución
infinitas soluciones
ninguna solución
si las dos lı́neas se intersectan
si se trata de la misma lı́nea
si las lı́neas son paralelas
Existen dos métodos básicos para la solución del sistema de ecuaciones lineales
con dos variables: sustitución y eliminación. Para usar el método de sustitución
para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, primero se debe usar
una ecuación para expresar una de las variables en términos de la otra. Después,
sustituir esta expresión en la otra ecuación, la cual se convertirá en una ecuación de
una sola variable. Se resuelve esta ecuación para obtener un valor para esta variable
y usando la expresi ón para la otra variable obtenemos su valrador.
Ejemplo 9 Resolver el sistema
2x + 13y = 17
x − 6y = −4
usando el método de sustitución.
Usando la segunda ecuación expresamos la variable x en términos de y (esta
elección es debida a que es la más simple para despejar una de las variable, x en
este caso)
x = 6y − 4
1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES
21
Después esta expresión para x, se sustituye en la primera ecuación
2 (6y − 4) + 13y = 17
y resolvemos para y
12y − 8 + 13y
25y − 8
25y
y
=
=
=
=
17
17
25
1
Finalmente, puesto que tenemos la expresión para x = 6y − 4 y ya tenemos el valor
1 para y, sustituimos para obtener el valor de x
x = 6 (1) − 4
x = 2
Ası́ (2, 1) es una solución para el sistema. De hecho, se puede verificar que satisface
ambas ecuaciones y que por lo tanto es el punto de intersección de las dos lı́neas.
Para usar el método de eliminación para resolver un sistema de dos ecuaciones
con dos variables, se deben trabajar, algebraicamente, las dos ecuaciones para
obtener una forma tal que se pueda eliminar una de las variables sumando ambas
ecuaciones. De esta manera, se obtiene una ecuación de una variable. Resolviendo
para la variable resultante y sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de las
ecuaciones originales obtenemos el valor de la otra variable.rad
Ejemplo 10 Resolver el sistema
6x − 5y = 14
3x + 7y = 2
usando el método de eliminación.
La variable x puede ser eliminada de este par de ecuaciones si multiplicamos
ambos lados de la segunda ecuación con −2
6x − 5y = 14
−6x − 14y = −4
y sumamos ambas ecuaciones para obtener la ecuación
0x − 19y = 10
Resolviendo para y:
−19y = 10
10
y = −
19
22
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
Ahora sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales, la primera
por ejemplo,
10
6x − 5 −
= 14
19
50
= 14
6x +
19
14 · 19 − 50
6x =
19
216
6x =
19
36
x =
19
Algunas veces es de utilidad usar la otra ecuación para checar la respuesta
3
36
19
3x + 7y
10
+7 −
19
108 − 70
19
38
19
= 2 ?
= 2 ?
= 2 ?
= 2 X
Mientras que el método de sustitución es más obvio y parece ser m ás fácil,
resulta que, en sistemas de más ecuaciones y más variables el método de eliminación
es una técnica mucho mejor.
1.5.1
Problemas
1. Resolver para x: ax = bx + c, donde a 6= b.
2. Un terreno rectángular tiene un perı́metro de 500 m. Su longitud es 30 m
mayor que el doble de su ancho. Encontrar sus dimensiones.
3. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km /h en
carretera y 24 km/h en ciudad o caminos vecinales. Si el tiempo invertido para
un recorrido de 330 km fue de 7 h. Cuánto tiempo condujo sobre carretera y
cuánto sobre otros caminos?
4. Un número es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos números es 20.
Cuáles son los números?
5. Un radiador de automóvil de 8 l, contiene 6 litros de agua y dos de anticongelante. Cuántos litros de esta mezcla hay que drenar y remplazar con
anticongelante para lograr una mezcla que tenga la mitad de anticongelante?
1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES
6. Resolver el siguiente sistema para x y y
a) 2x − 5y = 10
3x + 2y = −4
b) x = y
x+y =1
c)
1
x
2
x
+
−
1
y
3
y
=5
= −5
23
24
CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA
CAPÍTULO 2
GEOMETRÍA
2.1
Ángulos y Cantidades Medibles
Una semi-recta o rayo desde un punto O, es el conjunto de puntos consistente de
O y de todos los puntos en un lado de O de una lı́nea que pasa por P .
Figura 2.1: Rayo con origen en 0 y que pasa por el punto P .
Un ángulo es generado al rotar un rayo o semi-recta alrededor de su punto inicial
llamado vértice del ángulo. La posición original del rayo es llamado lado inicial, y
la posición final es llamado lado terminal. Si O es el vértice y P y Q son puntos
distintos de O en los lados del ángulo, el ángulo es llamado ángulo QOP y se escribe
como ∠QOP (Figura 2.2).
Los ángulos pueden ser medidos en grados ( ◦) o radianes (rad). Un ángulo de un
1
grado, denotado por 1 ◦ , es igual a 360
de toda una revolución completa, en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. Esta división tuvo como origen el hecho de
que el año tiene aproximadamente 360 dı́as. Con esta definición se obtiene el grado
sexagesimal. A su vez, el grado se divide en 60 minutos de arco donde un minuto
25
26
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
Figura 2.2: Ángulo QOP .
de arco, denotado por 1 ′ , se divide en 60 segundos de arco. El segundo de arco es
denotado por, 1 ′′ .
Cuando se usan radianes, como medida angular, sólo se debe indicar la cantidad.
La relación entre grados y radianes la obtenemos de la siguiente forma. Puesto que
una vuelta completa tiene 360 ◦ y equivalentemente es igual a 2π, tenemos 360 ◦ =2
π. Con esto tenemos
1◦ =
π
rad ≈ 0.01745 rad
180
1 rad =
2.1.1
180 ◦
≈ 57.2958
π
(2.1)
(2.2)
Ángulos Agudos, Rectos y Obtusos
Un ángulo es un:
a) ángulo recto si su medida es igual a 90 ◦ ( π2 rad),
b) ángulo agudo si su medida es mayor que 0 ◦ y menor que 90 ◦ ( π2 rad),
c) ángulo obtuso si su medida es mayor que 90 ◦( π2 rad) y menor que 180 ◦(π rad).
Ejemplos de estos ángulos se muestran en la Figura (2.3) de abajo.
2.1.2
Ángulos Complementarios y Suplementarios
Dos ángulos de medidas positivas son complementarios si la suma de sus medidas
es 90 ◦ ( π2 rad). Dos ángulos de medidas positivas son suplementarios si la suma de
sus medidas es 180 ◦(πrad). Ejemplos de estos ángulos se muestran en la Figura (2.4).
2.2. TRIÁNGULOS
27
Figura 2.3: Ángulos obtuso (izquierda), agudo(en medio) y recto(derecha).
Figura 2.4: Ángulos suplementarios (izquierda) y complementarios(derecha).
2.2
Triángulos
Un triángulo es una figura geométrica cerrada con tres lados, de los cuales cada
lado es un segmento de lı́nea recta. Para los triángulos tenemos que la suma de sus
ángulos interiores es igual a dos rectos.
2.2.1
Rectas Notables en el Triángulo
• La mediana es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del
lado opuesto. Con esto en un triángulo hay tres medianas, una correspondiente
a cada lado.
• La altura es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a
su prolongación. Consecuentemente, hay tres alturas, una correspondiente a
cada lado.
• La bisectriz es la recta que bisecta a un ángulo interior, es decir, lo divide en
dos ángulos iguales. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo.
• La mediatriz es la recta perpendicular de cada lado. Hay tres mediatrices,
una para cada lado.
2.2.2
Clasificación de los Triángulos
A su vez los triángulos se clasifican de acuerdo a sus ángulos en:
a) triángulo agudo si todos sus ángulos son menos que 90 ◦ ,
28
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
b) triángulo obtuso si uno de sus ángulos es mayor que 90 ◦ , y
c) triángulo rectángulo si uno de sus ángulos es igual a 90 ◦ . El lado opuesto
al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
De acuaerdo a las medidas de sus lados los triángulos se clasifican en:
a) triángulo equilatero si triángulo es equilatero si todos sus lados son de igual
longitud. Con esto, un triángulo es equilatero si y sólo si sus tres ángulos son
iguales, en cuyo caso todos los ángulos son de 60 ◦
b) triángulo isóseles si dos de sus lados son de igual longitud. Los ángulos
base son aquellos opuestos a los lados iguales.
c) triángulo escaleno si sus tres lados son de diferentes longituds entre si.
Para los triángulos rectángulos se tiene el siguiente teorema el cual es ampliamente usado.
2.2.3
El Teorema de Pitágoras
Theorem 11 ( Teorema de Pitágoras) El área del cuadrado superior de la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de sus
catetos.
Este teorema se establece mediante la ecuación
c2 = a2 + b2
donde c es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo y a y b son las
longitudes de los catetos como se muestra en la Figura (2.5).
Figura 2.5: Triángulo rectángulo con hipotenusa c y catetos a y b.
Si denotamos por a, b y c los lados de un triángulo y por h la altura entonces
tenemos que el área del triángulo será un medio de la base por la altura, es decir,
2.2. TRIÁNGULOS
29
1
A = bh
2
el perimetro del triángulo será la suma de sus lados, es decir,
(2.3)
P =a+b+c
(2.4)
Ejemplo 12 El perı́metro de un triángulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3 es
P = 2 + 4 + 3 = 9.
Ejemplo 13 El área de un triángulo con base b = 4 y altura h = 2 es A = 21 ×4×2 =
4
Para encontrar el área de un triángulo con sólo las longitudes de sus tres lados,
debemos aplicar el teorema de Pitagoras para encontrar la altura. Por ejemplo, para
encontrar la altura de un triángulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3, observemos en
la Figura (2.6)
Figura 2.6: Triángulo en general. h denota la altura y divide al lado b en dos
segmentos de tamaño x y b − x.
que la lı́nea que representa la altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos.
Llamemos x a la base del triángulo de la derecha. Ası́ el triángulo de la derecha
tiene catetos de longitudes x y h y la hipotenusa es a = 2. Con esto la base del
triángulo de la izquierda es b − x (= 4 − x ). Ası́ el triángulo de la izquierda tiene
catetos de longitudes 4 − x y h y la hipotenusa es c = 3. Ahora usando el teorema
de Pitágoras para ambos triángulos tenemos
x2 + h2 = 22
(4 − x)2 + h2 = 32
Este sistema de ecuaciones tiene como solución x =
11
,
8
h=
3
8
√
3√
1
3√
1
15 =
15 ≈ 2. 905
A = bh = 4
2
2
8
4
15 ası́ que el área es
30
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
2.3
Paralelogramos
Un paralelogramo es una figura cerrada de cuatro lados, en los cuales cada lado
es un segmento de lı́nea recta con los lados opuestos paralelos. Sean a y b las
longitudes de los lados de un paralelogramo y sea h la altura (la distancia entre dos
lados paralelos) como se muestra en la Figura (2.7), entonces
Figura 2.7: Paralelogramo de lados a y b. h denota la distancia entre dos lados
paralelos.
• El perı́metro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados.
P = 2a + 2b
• El área de un paralelogramo es el producto de la base con la altura.
A = bh
Ejemplo 14 El perı́metro de un paralelogramo con dos lados de longitud 2 y dos
lados de longitud 5 es
P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14
Un rectángulo es una figura geométrica cerrada de cuatro lados, cada lado es
un segmento de lı́nea recta y todos los ángulos interiores son rectos. Un cuadrado
es un rectángulo en el cual todos sus lados son iguales. Sean l = longitud, w =
ancho y d = diagonal, como se muestra en la Figura (2.8), entonces.
• El perı́metro del rectángulo es la suma de las longitudes de sus lados.
P = 2l + 2w
• El área de un rectángulo es el producto de la base con la altura.
A = lw
2.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
31
Figura 2.8: Rectángulo de lados l y w (izquierda) y cuadrado de lado w. En ambos
casos d representa la diagonal.
• La diagonal de un rectángulos tiene como longitud la raı́z cuadrada de la suma
de los cuadrados de la longitud y el ancho del rectángulo.
√
d = l2 + w 2
Ejemplo 15 La diagonal de un rectángulo de longitud 2 y ancho 5 es
√
√
d = 22 + 52 = 29
2.4
Circunferencia y Cı́rculo
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
de otro punto llamado centro. La distancia fija entre el centro y un punto de la
circunferencia es el radio (Figura 2.9). El diametro de la circunferencia es igual a
dos veces el radio.
Figura 2.9: Circunferencia de radio r
Un cı́rculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los
interiores a la misma. La circunferencia de un cı́rculo es π veces el diametro y el
área del cı́rculo es π veces el cuadrado del radio.
32
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
Ejemplo 16 Hallar el diametro, circunferencia y área de un cı́rculo con radio 5.
Solución 17 Sean: r = radio, C = circumferencia, D = diámetro y A = area
D = 2 × 5 = 10
C = 10π ≈ 31. 416
A = π × 52 = 25π ≈ 78. 54
Un ángulo central de un cı́rculo es un ángulo cuyo vértice esta en el centro
del cı́rculo. Sean θ un ángulo central medido en radianes y s la longitud de arco
subtendida por θ . Si r es el radio de la circunferencia, entonces s = rθ y el área
del sector A (sector) acotado por el arco s y los lados del ángulo θ es A (sector) =
1
rs = 12 r 2 θ.
2
2.5
Volúmenes
2.5.1
Paralelepı́pedo Rectangular
Un paralelepı́pedo rectangular (o caja) es una figura geométrica cerrada con seis
lados, en los cuales cada lado es un segmento plano rectangular, los lados opuestos
son paralelos y todos los ángulos interiores son rectos. Un cubo es un paralelepı́pedo
rectangular en el cual todos sus lados son iguales. En la Figura (2.10) presentamos
un ejemplo de un paralelepı́pedo. Si a, b y c son tres aristas que convergen en un
mismo vértice, h representa la altura, θ es el ángulo entre las dos aristas de la base
(c y b) y α es el ángulo entre la tercera arista (a) y la altura entonces
Figura 2.10: Paralelepı́pedo rectangular o caja.
• El área superficial S, de la base es
S = bc sin θ
2.5. VOLÚMENES
33
Figura 2.11: Cilı́ndro circular recto de altura h y radio de la base r.
• El volumen es el producto del área de la base con su altura
V = hbc sin θ
Ejemplo 18 Si una caja tiene tiene longitud a = 10, ancho b = 6 y altura h = 5
entonces su área superficial y volumen son
S = 2 × (10 × 6) + 2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 6) = 280
V = 10 × 6 × 5 = 300
2.5.2
Cilı́ndro Circular Recto
Un superficie de revolución es la superficie generada por una figura plana que
gira alrededor de una recta llamada eje. La porcion del espacio limitada por una
superficie de revolución genera un cuerpo de revolución o sólido de revolución.
Un cilı́ndro circular recto es un sólido de revolución generado por la revolución
completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Como resultado, se tienen
dos superficies circulares llamadas bases del cilı́ndro. La distancia entre las bases
se llama altura. Si denotamos la altura con h y el radio de una base con r, como
se muestra en la Figura (2.11), entonces
• El área superficial de un cillı́ndro es el área de la superficie cilı́ndrica que lo
limita más dos veces el área de la base.
S = (2πr) h + 2πr 2 = 2rπ (h + r)
• El volumen de un cilı́ndro es el producto del área de la base con la altura.
V = πr 2 h
Ejemplo 19 Si un cillı́ndro tiene altura h = 10 y radio r = 5, entonces su área
superficial y su volumen son
S = 2 × 5 × π (10 + 5) = 150π ≈ 471. 24
V = π (5)2 × 10 = 250π ≈ 785. 4
34
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
2.5.3
Cono Circular Recto
Un cono circular recto o cono de revolución es un sólido de revolución generado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos. Como resultado, la hipotenusa genera la superficie lateral del cono, el
cateto usado como eje de revolución es la altura del cono y el otro cateto genera
la base del cono y es a su vez el radio de la base. Si denotamos con r el radio de
la base y con h la altura, entonces
• El área supercial de un cono recto circular es el área de la base más un
medio del producto del perı́metro de la base con la hipotenusa del triángulo
rectángulo.
√
√
S = πr 2 + 21 2πr r 2 + h2 = πr 2 + πr r 2 + h2
• El volumen de un cono es un tercio del área de la base con la altura.
V = 31 πr 2 h.
Ejemplo 20 Si un cono circular recto tiene como radio de la base r = 5 y altura
h = 10 entonces el área superficial y el volumen son
√ √
S = π (5)2 + π (5) 52 + 102 = 25π 1 + 5 ≈ 254. 16
=
V
2.5.4
250
1
π × 52 × 10 =
π ≈ 261. 8
3
3
Esfera
Una esfera es un sólido de revolución generado por la rotación de una circunferencia
alrededor de uno de sus diámetros. Si r denota el radio de la esfera entonces
• El área superficial de de una esfera es cuatro veces π por el cuadrado del radio.
S = 4πr 2
• El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio.
V = 34 πr 3
Ejemplo 21 Considere una esfera de radio r = 4000. Entonces el área superficial
y el volumen son
S = 4π (4000)2 = 64 000 000π ≈ 2. 010 6 × 108
256 000 000 000
4
π (4000)3 =
π ≈ 2. 680 8 × 1011
V =
3
3
2.6. PROBLEMAS
2.6
35
Problemas
1. Expresar los siguientes ángulos en grados
a) 1.57 rad
b) 2.0 rad
2. Expresar los siguientes ángulos en radianes
a) 45 ◦
b) 135 ◦
3. Hallar los complementos de los siguientes ángulos
a) 36 ◦ 52 ′
b) 48 ◦ 30 ′ 15 ′′
4. Hallar los suplementos de los siguientes ángulos
a) 92 ◦ 15 ′
b) 123 ◦ 9 ′ 16 ′′
5. Puede ser obtuso un ángulo de la base de un triángulo isoseles?
6. Dos ángulos de un triángulo miden 40 ◦ y 30 ◦ , respectivamente. Cuánto mide
el tercer ángulo?
7. Los ángulos de la base de un triángulo isoseles miden 40 ◦. Cuánto mide el
ángulo opuesto a la base?
8. Hallar el ángulo que es igual a su suplemento.
9. Hallar el ángulo que es igual a la mitad de su complemento.
10. Cuál es la amplitud, en grados, del ángulo que subtiende una longitud de arco
de 5.23 cmsi pertenece a una circunferencia de 20 cmde radio?
11. Hallar la longitud de arco subtendido por un ángulo de 5 ◦2 ′ 8 ′′ si pertenece a
una circunferencia de 2 mde radio.
12. Hallar el lado de un cuadrado cuya área vale 28.09 m2 .
13. La diagonal de un rectángulo mide 10 m y su altura 6 m. Hallar su área.
14. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.
√
15. La diagonal de un cubo mide 2 3 cm. Hallar la arista.
36
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
16. Hallar el área lateral de un cilı́ndro circular recto, si el radio de la base mide
4 cm y la altura mide 10 cm.
17. Hallar el área total de un cilı́ndro circular recto si el radio de la base mide 20
cm y la altura mide 30 cm.
18. El área total de un cilı́ndro circular recto es 410 cm2 y su altura es el doble
del radio de la base. Hallar la altura y el radio de la base.
19. Hallar el área lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cm
y la altura mide 8 cm.
20. Hallar el área total de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3 cm y
la altura mide 4 cm.
√
21. Hallar la altura de un cono sabiendo que el área lateral mide 16 5π cm2 y el
radio de la base mide 4 cm.
22. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntas para hacer una esfera
mayor. Calcular el radio de la nueva esfera.
23. Se tiene una esfera situada dentro de un cilı́ndro de manera que al cilı́ndro
tiene como altura y diámetro, el diámetro de la esfera. Determinar la relación
entre el área de la esfera y el área lateral del cilı́ndro.
CAPÍTULO 3
TRIGONOMETRÍA
3.1
3.1.1
Funciones Trigonometricas
Signos de las Funciones Trigonométricas
Sea θ un ángulo cuyo lado inicial cae en la parte positiva del eje x, y cuyo vértice
coincide con el origen (0, 0) y sea (x, y) cualquier punto en el lado terminal del
ángulo. Sea r la distancia positiva desde el origen hasta el puunto (x, y), como se
observa en la Figura (3.1.1).
Figura 3.1: Triángulo rectángulo con hipotenusa r =
• seno θ =sen θ =
y
r
• coseno θ = cos θ =
x
r
• tangente θ = tan θ =
y
sen θ
= , si x 6= 0
cos θ
x
• cotangente θ = cot θ =
x
cos θ
= , si y 6= 0
sen θ
y
37
p
x2 + y 2 y catetos x, y.
38
CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA
• secante θ = sθ =
1
r
= , si x 6= 0
cos θ
x
• cosecante θ = csc θ =
r
1
= , si y 6= 0
sen θ
y
Signos de las Funciones Trigonométricas
Quadrante sen cos tan cot s csc
I
+
+
+
+
+ +
II
+
–
–
–
– +
–
–
+
+
– –
III
IV
–
+
–
–
+ –
3.1.2
Funciones Trigonométricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ , 270 ◦ y
360 ◦ .
Para θ = 0 ◦ , tenemos y = 0 por lo que r = x, ası́ las funciones trigonométricas de
0 ◦ son
0
=0
r
r
• cos 0 ◦ = = 1
r
• sen0 ◦ =
• tan 0 ◦ =
sen 0 ◦
=0
cos 0 ◦
• cot 0 ◦ =
cos 0 ◦
=∞
sen0 ◦
• sec 0 ◦ =
1
=1
cos 0 ◦
• csc 0 ◦ =
1
=∞
sen0 ◦
Para θ = 90 ◦ , tenemos x = 0 por lo que r = y, ası́ las funciones trigonométricas
de 90 ◦ son
• sen90 ◦ =
r
=1
r
• cos 90 ◦ =
0
=0
r
• tan 90 ◦ =
sen 90 ◦
=∞
cos 90 ◦
3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
• cot 90 ◦ =
cos 90 ◦
=0
sen90 ◦
• sec 90 ◦ =
1
=∞
cos 90 ◦
• csc 90 ◦ =
1
=1
sen90 ◦
39
Para θ = 180 ◦, tenemos y = 0 y x es negativo por lo que r = −x, ası́ las
funciones trigonométricas de 180 ◦ son
0
=0
r
−r
• cos 180 ◦ =
= −1
r
• sen180 ◦ =
• tan 180 ◦ =
sen180 ◦
=0
cos 180 ◦
• cot 180 ◦ =
cos 180 ◦
=∞
sen180 ◦
• sec 180 ◦ =
1
= −1
cos 180 ◦
• csc 180 ◦ =
1
=∞
sen180 ◦
Para θ = 270 ◦ , tenemos x = 0 y y es negativo por lo que r = −y, ası́ las
funciones trigonométricas de 270 ◦ son
• sen270 ◦ =
−r
= −1
r
• cos 270 ◦ =
0
=0
r
• tan 270 ◦ =
sen 270 ◦
=∞
cos 270 ◦
• cot 270 ◦ =
cos 270 ◦
=0
sen270 ◦
• sec 270 ◦ =
1
=∞
cos 270 ◦
• csc 270 ◦ =
1
= −1
sen180 ◦
Para θ = 360 ◦ , las funciones trigonométricas coinciden con las de 0 ◦
40
CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA
3.1.3
Funciones Trigonométricas de 30 ◦ , 45 ◦ y 60 ◦
Considere un triángulo equilatero con lados de longitud 2. Cada uno de sus ángulos
mide 60 ◦ ( π3 rad). La mediana de un vértice bisecta el ángulo de ese vértice, es decir
es simultaneamente
la bisectriz. Con esto tenemos dos triángulos rectángulos con
√
catetos 1 y 3 y con hipotenusa 2. El
√ ángulo opuesto al cateto de longitud 1 mide
60 ◦y el opesto al cateto de longitud 3 mide 30 ◦. Ası́ las funciones trigonométricas
del el ángulo θ = 30 ◦ son, por definición
• sen 30 ◦ =
• cos 30 ◦ =
• tan 30 ◦ =
• cot 30 ◦ =
• sec 30 ◦ =
1
2
√
3
2
√1
3
√
3
√2
3
• csc 30 ◦ = 2
Ahora para θ = 60 ◦ tenemos
• sen 60 ◦ =
• cos 60 ◦ =
• tan 60 ◦ =
• cot 60 ◦ =
√
3
2
1
2
√
3
√1
3
• sec 60 ◦ = 2
• csc 60 ◦ =
√2
3
Para θ = 45 ◦ consideremos un
(catetos)
√ triángulo rectángulo isoseles de lados
◦
1. Con esto la hipotenusa mide 2 y los ángulos de la base miden 45 , por lo que
tenemos
• sen 45 ◦ =
• cos 45 ◦ =
√1
2
√1
2
• tan 45 ◦ = 1
• cot 45 ◦ = 1
√
• sec 45 ◦ = 2
3.2. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
• csc 45 ◦ =
√
41
2
En la tabla siguiente presentamos las funciones trigonométricas de estos ángulos
especiales.
3.2
Grados
0◦
Radianes
0
sen
0
cos
1
tan
0
cot
∞
sec
1
csc
∞
30 ◦
π
6
1
√2
3
2
1
√
3
√
3
2
√
3
2
45 ◦
π
4
√
2
√2
2
2
1
1
√
2
√
2
60 ◦
π
3
√
3
2
1
2
√
3
√
3
3
2
√
2 3
3
90 ◦ 180 ◦ 270 ◦ 360 ◦
π
3π
π
2π
2
2
1
0
−1
0
0
−1
0
1
∞
0
∞
0
0
∞
0
∞
∞
−1
∞
1
1
∞
−1
∞
Solución de Triángulos Rectángulos
Usaremos la notación que sigue: a los vértices de un triángulo rectángulo se le
denotará con las letras mayúsculas A, B y C, los ángulos en A, B y C, por α, β y
γ y los lados opuestos a los vértices A, B y C, por a, b y c respectivamente. En
un triángulo rectángulo si se conocen uno de sus ángulos agudos y un lado o dos de
sus lados, se pueden encontrar las partes restantes, es decir, el otro ángulo agudo
y el o los lados restantes. Al proceso de encontrar las partes restantes se le llama
resolver el triángulo.
Ejemplo 22 En un triángulo rectángulo se tiene α = 34 ◦ y b = 10.5. Resolver el
triángulo.
Tenemos α + β = 90 ◦ por lo que β = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 34 ◦ = 56 ◦. Ahora
tan 34 ◦ = ab , de donde a = b tan 34 ◦ = (10.5) tan 34 ◦ = 7.0823. Por último el lado
c lo podemos calcular √
por medio del teorema de Pitágoras o por medio de funciones
trigonométricas. c = 10.52 + 7.08232 = 12.6653.
Ejemplo 23 Resolver el triángulo rectángulo
con lados a = 15 y b = 7. Por el
√
2
2
teorema de Pitágoras tenemos c = 15 + 7 = 16.5529. tan α = ab de donde
) = 64 ◦58 ′ 59 ′′. Con esto podemos calcular
α = arctan( ab ) = tan−1 ( ab ) = tan−1 ( 15
7
β = 90 ◦ − 64 ◦ 58 ′59 ′′ = 25 ◦ 1 ′11 ′′ .
42
CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA
3.3
Leyes de Senos y Cosenos
Las leyes de los senos y los cosenos son suficientes para resolver cualquier triángulo.
Son las relaciones más importantes, desde un punto de vista teorico, para un triángulo
en general.
Un triángulo rectángulo es resuelto usando el hecho de que los cocientes de sus
lados pueden ser expresados como funciones trigonomé tricas de sus ángulos. En
un triángulo arbitrario las relaciones no son tan simples. Las herramientas que
permiten resolver estos triángulos generales son la ley de los senos y la ley de los
cosenos.
Theorem 24 (Ley de los senos) Si A, B, y C son las longitudes de los lados de un
triángulo y α, β, y γ son los ángulos opuestos, respectivamente, entonces
A
B
C
=
=
sen α
sen β
sen γ
(3.1)
La ley de los senos nos permite resolver triángulos con sólo conocer un lado y
dos ángulos, o si tenemos dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados.
Ejemplo 25 Para resolver un triángulo con un lado c = 2 y dos ángulos α =
,
β = 2π
9
π
,
9
1. El ángulo γ = π − α − β = γ = 32 π.
2. Resolver
√
c
a
=
para a para obtener a = 43 3sen 19 π ≈ . 0.949
sen α
sen γ
3. Resolver
√
c
b
=
para b para obtener b = 43 3sen 29 π ≈ 1. 484 5
sen β
sen γ
Theorem 26 (Ley de los cosenos) Si A, B, y C son las longitudes de los lados de
un triángulo y θ es el ángulo entre A y B, entonce
C 2 = A2 + B 2 − 2AB cos θ
3.3.1
(3.2)
Resolviendo Triángulos Generales
Usando ambas leyes, de los senos y los coseneos, es posible resolver un triángulo
conociendo dos lados y el ángulo entre ellos, conociendo los tres lados.
Ejemplo 27 Para resolver un triángulo con dos lados a = 2.34, b = 3.57 y el ángulo
29
π,
entre ellos γ = 216
1. Resolver c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ para c para obtener c = 1.7255.
3.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
43
a
c
b
c
=
y
=
para α y β para obtener α = .58859
sen α
sen γ sen β
sen γ
y β = 1.0104.
2. Resolver
Ejemplo 28 Para resolver el triángulo con sus tres lados dados por, a = 2.53,
b = 4.15, y c = 6.19,
1. Resolver c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ para γ para obtener γ = 2.3458.
a
c
2. Resolver
=
para α para obtener α = .29632
sen α
sen γ
3. Resolver
3.4
b
c
=
para β para obtener β = .49948.
sen β
sen γ
Identidades y Ecuaciones Trigonométricas
Un identidad trigonométrica es una ecuación que es cierta para todos los valores
de la variable para los cuales ambos lados de la ecuación esta definida. Para verificar
una identidad trigonomé trica se expresan todos los términos de la igualdad en
función del seno y coseno y se efectuan las operciones indicadas, consiguiendose ası́
la identidad de ambos miembros.
Indentidades Pitagoricas
• sen2 ϕ + cos2 ϕ = 1
• 1 + tan2 ϕ = s2 ϕ
• 1 + cot2 ϕ = csc2 ϕ
Ejemplo 29 Demostrar que
Comenzando con
csc ϕ · sϕ = cot ϕ + tan ϕ
csc ϕ · sϕ =
=
=
=
=
=
1
1
senϕ cos ϕ
1
senϕ cos ϕ
sen2 ϕ + cos2 ϕ
senϕ cos ϕ
cos2 ϕ
sen2 ϕ
+
senϕ cos ϕ senϕ cos ϕ
senϕ cos ϕ
+
cos ϕ senϕ
tan ϕ + cot ϕ
44
CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA
3.4.1
Funciones Pares e Impares y Periodicidad
Si una función f satisface f (−x) = f (x) para todo número x en su dominio, entonces
f es llamada una función par. Si una función f satisface f (−x) = −f (x) para
todo número x en su dominio, entonces f es llamada una función impar. Muchas
de las funciones no pertenecen a alguna de estas categorias, pero las seis funciones
trigonométricas básicas pertenecen a una categoria o a la otra.
Funciones impares:
• sen (−ϕ) = −sen ϕ
• tan (−ϕ) = − tan ϕ
• cot (−ϕ) = − cot ϕ
• csc (−ϕ) = − csc ϕ
Funciones pares:
• cos (−ϕ) = cos ϕ
• s (−ϕ) = sϕ
Las seis funciones trigonométricas básicas son periodicas con periodos 2π ó π.
• Periodo = 2π
– sin ϕ = sin (ϕ + 2πn), sin (ϕ ± π) = − sin ϕ
– cos ϕ = cos (ϕ + 2πn), cos (ϕ ± π) = − cos ϕ
– sϕ = s (ϕ + 2πn), s (ϕ ± π) = − sϕ
– csc ϕ = csc (ϕ + 2πn), csc (ϕ ± π) = − csc ϕ
• Periodo= π
– tan ϕ = tan (ϕ + πn)
– cot ϕ = cot (ϕ + πn)
3.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
3.4.2
45
Fórmulas de Adición de Ángulos
Si se conocen los valores del seno y coseno de dos ángulos ϕ y θ entonces podemos
calcular el valor de las otras funciones para ϕ ± θ usando las siguientes fórmulas
• sen (ϕ ± θ) =sen ϕ cos θ ± cos ϕsen θ
• cos (ϕ ± θ) = cos ϕ cos θ∓ senϕsen θ
• tan (ϕ ± θ) =
tan ϕ ± tan θ
1 ∓ tan ϕ tan θ
π
= cos ϕ
• sen ϕ +
2
π
= − sin ϕ
• cos ϕ +
2
π
• sen
− ϕ = cos ϕ
2
π
− ϕ =senϕ
• cos
2
3.4.3
Ecuaciones Trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella donde la incognita aparece como ángulo
de funciones trigonométricas. Aunque no exite un método general para resolver una
ecuación trigonométrica, generalmente se procede transformando toda la ecuación
de manera que quede expresada como una sola función trigonométrica y entonces
se resuelve como una ecuación algebraica cualquiera.
Ejemplo 30 Resolver la ecuación
3 + 3 cos ϕ = 2sen2 ϕ
Expresando el seno en función del coseno
3 + 3 cos ϕ = 2sen2 ϕ
= 2 1 − cos2 ϕ
= 2 − 2 cos2 ϕ
escribiendo todos los términos en un solo lado de la igualdad
3 + 3 cos ϕ − 2 + 2 cos2 ϕ = 0
2 cos2 ϕ + 3 cos ϕ + 1 = 0
46
CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRÍA
la cual es una ecuación de segundo grado, considerando a cos ϕ como incognita.
Usando la fórmula cuadrática tenemos
√
−3 ± 1
−3 ± 1
cos ϕ =
=
4
4
de donde las dos raı́ces son
−1
−3 + 1
=
4
2
−3 − 1
= −1
cos ϕ =
4
cos ϕ =
por lo tanto las dos soluciones son
ϕ = 120 ◦ ± n · 360 ◦
ϕ = 180 ◦ ± n · 360 ◦
3.5
Problemas
1. Calcular los valores de las siguientes expresiones
a) 5sen2 45 ◦ + 8 cos 30 ◦
b) 3sen30 ◦ + 6 cos2 45 ◦
c) 6 tan 30 ◦ + 2 csc 45 ◦
d)
cos 60 ◦ +cos 30 ◦
csc2 30 ◦ +sen2 45 ◦
e)
sen 30 ◦ +csc 30 ◦
sen2 30 ◦ +cos2 60 ◦
2. En los siguientes problemas dada una función trigonométrica de un ángulo,
calcular las restantes
1
2
cos ϕ = 51
tan ϕ = 34
cot ϕ = 23
a) senϕ =
b)
c)
d)
3. Resolver los siguientes triángulos dados sus tres lados
a) a = 41, b = 19.5 y c = 32.48
b) a = 5.312, b = 10.931 y c = 13
4. Resolver los siguientes triángulos dados dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos
3.5. PROBLEMAS
47
a) a = 32.45, b = 27.21 y γ = 66 ◦ 56 ′
b) b = 50, c = 66.6 y α = 83 ◦ 26 ◦
c) a = 318, c = 54.75 y β = 41 ◦27 ′
5. Resolver los siguientes triángulos dados dos ángulos y un lado
a) a = 41, β = 27 ◦ 50 ′
b) b = 50, α = 57 ◦ 7 ′ y γ = 78 ◦ 28 ′
c) b = 61.5, α = 29 ◦ 14 ′ y β = 45 ◦18 ′
6. Probar las siguientes identidades
a)
b)
senϕ+cos ϕ
senϕ
sϕ
tan ϕ+cot ϕ
=1−
1
tan ϕ
=senϕ
c) sϕ (1 − sen2 ϕ) = cos ϕ
d) tan ϕ · cos ϕ · csc ϕ = 1
e)
tan ϕ+cot ϕ
tan ϕ−cot ϕ
=
s2 ϕ
tan2 ϕ−1
7. Calcular, usando las funciones trigonométricas de los ángulos notables 30 ◦ 45 ◦
y 60 ◦ , las funciones trigonométricas de los ángulos siguientes
a) ϕ = 105 ◦
b) ϕ = 75 ◦
c) ϕ = 15 ◦
8. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando las soluciones en
ángulos menores de 360 ◦ .
a) senϕ + 1 = cos ϕ
b) cos ϕ + 2senϕ = 2
c) 2 cos ϕ · tan ϕ − 1 = 0
d) cos ϕ + 2sen2 ϕ = 1
√
e) 3senϕ = 3 cos ϕ
f) senϕ = cos ϕ