Problema 1. Una partícula no relativista de carga ze, masa m y energía cinética E efectúa
una colisión frontal con un campo central de fuerza fijo de tipo finito. La interacción es
repulsiva y viene descrita por un potencial V (r), que se hace mayor que E a distancias
próximas.
a) Demuestre que la energía total radiada viene dada por
4 z 2e 2 q m
∆W =
3 m2c3 2
Z
∞
rmin
dV 2
dr
p
dr V (rmin ) − V (r)
donde rmin es la distancia mínima al centro de fuerzas.
b) Si la interacción es un potencial de Coulomb V (r) =
total radiada es:
8 zmv05
∆W =
45 Zc3
v0 es la velocidad de la carga en el infinito.
dW
2 z 2e2 2 dW
=P =
v̇ =
ṙ
dt
3 c3
dr
dW 2 z 2e2 v̇ 2
=
3 c3 v
dr
1
z Z e2
,
r
demuestre que la energía
1
v̇ = − V ′(r)
r m
1
2
E = mv 2 + V (r), v =
(E − V (r))
2
m
v=0 con r = rmin,
E = V (rmin)
2 z 2e2
∆W = 3 2
3c m
Z ∞
′
2
(V (r)) dr
q
2
=
2
rmin
V rmin − V (r)
m
q
4 z 2e2 m
3 c3m2 2
Z ∞
(V ′(r))2dr
q
rmin
V rmin − V (r)
m v̇ = −V ′(r),
Potencial de Coulomb:V (r) =
A=
Z
∞
rmin
zZe2
r
r −4dr
q
E−
zZe
r
u = r −1,
,
2
2
du = −r −2dr
A=
Z
umin
du √
0
5
2
2
u
16 · E
=
15 · (zZe2)3
E − zZe2u
5
q
4z e
m 16 · E 2
∆W = 3 2
(zZe2)2 =
2
3
3c m
2 15 · (zZe )
64 z q m 52
E
3
2
45 c m Z 2
1
E = mv02
2
3
64 z m 5 8 zm 5
∆W =
v =
v
45 c3m2Z 8 0 45 c3Z 0
2 2
Problema 2. Mostrar que e+ + e− → γ no se puede dar en el vacío.
+
k µ = p−
µ + pµ
k 2 = 0 = (p−)2 + (p+)2 + 2p−.p+ = −2m2c4 + 2p−.p+
p−.p+ = m2c4
Evaluemos p−.p+ en el sistema propio del electrón:
~
p .p = 0, imc (p
~ +, iE+/c) = −mE+, E+ < 0
−
+
3
1 Reacciones
Nos interesa estudiar procesos del tipo M → m1 + m2.
En el sistema de laboratorio(L) la partícua M está en reposo. La conservación de
momentum implica:
~p1 = ~p = −p
~2
La conservación de la energía:
p
p
2
2
M = ~p + m1 + ~p 2 + m22
(1)
El decaimiento se puede dar sólo si:
∆M = M − m1 − m2 > 0
A partir de (1) se puede encontrar ~p 2. Sin embargo es más simple usando
covarianza. Sea
P = p1 + p2
4
Consideremos :
(P − p1)2 = p22 = −m22 =
−M 2 − 2P .p1 − m21 =
−M 2 + 2ME1 − m21
M 2 + m21 − m22
E1 =
2M
M 2 + m22 − m21
E2 =
2M
K i = E i − mi =
∆M
m
∆M 1 − i −
2M
M
Ejercicio 1. π → µ + ν̄ . M = 139.6 Mev,m µ = 105.7 Mev, mν̄ = 0
Problema 3. Límite GZK p + γ → p + π0 Encuentre la energía mínima del protón de tal
manera que al interactuar con un fotón del fondo de radiación cósmica, cree un pión en reposo
en el sistema propio del protón.
5
0
