Convolución

Convolución
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
Procesamiento Digital de Señales
Departamento de Maestría
DICIS - UG
Índice
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de Sistemas Discretos Lineales e Invariantes en el Tiempo.
4.2.1. Técnicas para el análisis de sistemas lineales
4.2.2. Descomposición de una Señal Discreta en Impulsos
4.2.3. Respuesta de un Sistema LTI a Entradas Arbitrarias: La
Convolución
4.2.4. Métodos para el Cálculo de la Convolución
4.2.5. Propiedades de la Convolución y la Interconexión de Sistemas
LTI
4.3. Tareas
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1
Introducción
4.1. Introducción
En la lectura 3 se clasificaron lo sistemas según ciertas propiedades características o categorías. Habiendo hecho esto, nos centraremos ahora en el
análisis de los sistemas que poseen una linealidad e invarianza en el tiempo
comúnmente abreviados como sistemas LTI.
En concreto, demostraremos que dichos sistemas quedan caracterizados en
el dominio del tiempo por su respuesta a un impulso unitario. Además, se
demostrará que cualquier secuencia de entrada puede considerarse como la
suma ponderada de impulsos unitarios (deltas).
Entonces, como consecuencia, de las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo del sistema, la respuesta del sistema a cualquier secuencia
de entrada podrá ser expresada en términos de la respuesta del sistema al
impulso unitario.
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Introducción
Se obtendrá además, la formula general que relaciona la respuesta al
impulso unitario con las señales de entrada y salida del sistema, conocida
como convolución. Y finalmente, seremos capaces de determinar la
salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo para cualquier señal
de entrada.
4.2. Análisis de Sistemas Discretos LTI
4.2.1. Técnicas para el análisis de sistemas lineales
Existen dos métodos básicos para el análisis del comportamiento o
respuesta de un sistema lineal a una determinada señal de entrada. Un
método se basa en obtener la solución de la ecuación de entrada-salida
del sistema que, en general tiene la siguiente forma
y (n) = F [ y (n + 1), y (n + 2),..., y (n + N ), x(n), x(n − 1),..., x(n − N )] (4.1)
donde F[.] representa cualquier función.
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2
Análisis de sistemas LTI
En concreto para sistema lineales e invariantes en el tiempo (LTI), se verá
más adelante que la forma general de la relación de entrada-salida esta
definida como
N
M
k =1
k =0
y (n) = −∑ a k y ( n − k ) + ∑ bk x(n − k )
(4.2)
donde {ak} y {bk} son los parámetros constantes que especifican el sistema
y son independientes de x(n) e y(n). La relación entrada-salida dada en (4.2)
se denomina ecuación en diferencias y representa una de las maneras de
caracterizar el comportamiento de un sistema discreto LTI.
El segundo método para el análisis del comportamiento de un sistema lineal
ante una determinada entrada se basa en descomponer dicha señal de
entrada en señales elementales. Las señales se escogen de manera que sea
fácil determinar la respuesta del sistema a cada una de ellas.
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Análisis de sistemas LTI
Entonces, usando la propiedad de linealidad del sistema, se suman las
respuestas del sistema a cada una para obtener la respuesta global del
sistema.
Demostración: Se tiene que la señal x(n) puede ser expresada como
una suma ponderada de señales elementales {xk(n)}
x ( n) = ∑ c k x k ( n)
k
donde los {ck} definen el conjunto de coeficientes de ponderación de la
descomposición de la señal x(n). Por lo tanto, la respuesta de la señal
elemental es definida como
y k (n) = T [ x k (n)]
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3
Análisis de sistemas LTI
Para un sistema está en reposo, la respuesta del sistema ckxk(n) es ckyk(n).
Por lo tanto, la respuesta total de la entrada x(n) es
⎡
⎤
y (n) = T [ x( n)] = T ⎢∑ c k x k (n)⎥ =
⎣k
⎦
∑ c T [x
k
k
( n)] =
k
∑ c y (n )
k
k
(4.3)
k
Aunque, a primera vista parece que la elección de las señales elementales es
completamente arbitraria, en realidad dicha elección está fuertemente condicionada por la clase de señales de entrada que queremos considerar.
Si no se considera ninguna restricción para las señales de entrada, entonces,
la descomposición de las mismas en una suma ponderada de impulsos
unitarios desplazados la cual es matemáticamente conveniente y
completamente general.
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Análisis de sistemas LTI
ckδ(n)
ckδ(n – 2)
n
+
Figura 4.1.
n
ckδ(n – 1)
+
+
ckδ(n – 3)
n
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n
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4
Análisis de sistemas LTI
4.2.2. Descomposición de una Señal Discreta en Impulsos
Supongamos que se tiene una señal arbitraria x(n) que se quiere expresar
como la suma de impulsos unitarios. Primero se escoge las señales elementales xk(n) como
x k ( n) = δ ( n − k )
donde k representa el retrazo del impulso unitario.
Para poder manejar una señal arbitraria x(n) que puede tener infinitos
valores, el conjunto de impulsos unitarios debe ser también infinito, para
contener un número infinito de desplazamientos. Supongamos ahora, que
se multiplica la secuencia x(n) con δ(n – k) .
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Análisis de sistemas LTI
dado que δ(n – k) es cero en todos los puntos excepto en n = k, donde vale
uno, el resultado de esta multiplicación en otra secuencia que vale cero en
todos los puntos excepto en n = k donde vale x(k), como se ilustra en la
Figura 4.2 por lo tanto
x(n )δ (n − k ) = x(k )δ (n − k )
En otras palabras, cada multiplicación de la señal x(n) por un impulso
unitario desplazada k unidades y se extrae de la secuencia x(n) el valor en
el punto n = k ya que el impulso unitario vale uno en ese punto.
En consecuencia, si repetimos esta multiplicación por todos los
posibles desplazamientos en el dominio de –∞ < k < ∞, y se suma
el resultado de todas estas multiplicaciones, se obtendrá una señal
igual a la secuencia original x(n).
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5
Análisis de sistemas LTI
4
x(n)
2
0
-2
-10
-5
0
5
10
15
20
-5
0
5
10
15
20
-5
0
5
10
15
20
1
δ(n – k)
0.5
0
-10
0
y(n)
-1
-2
-10
Figura 4.2. Multiplicación de una señal x(n) con un impulso unitario
desplazado
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Análisis de sistemas LTI
Es decir
x ( n) =
∞
∑ x(k )δ (n − k )
(4.4)
k = −∞
Aquí, se hace hincapié el hecho de que la parte derecha de (4.4) es la
sumatoria de un número infinito de impulsos unitarios δ(n – k) que tiene
una amplitud x(k). Así, la parte derecha nos proporciona la descomposición
de una señal arbitraria x(n) en una suma ponderada de impulsos unitarios
desplazados.
Ejemplo 4.1. Considere una secuencia de duración finita dada por
x(n) = {2, 4, 0, 3},
exprese esta secuencias x(n) como la suma ponderada de impulsos unitarios.
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6
Análisis de sistemas LTI
Sol. Dado que la secuencia x(n) es distinta de cero para n = –1, 0 y 2,
entonces, se necesitan tres impulsos en los puntos k = –1, 0 y 2, entonces
se tiene
x(n) = 2δ (n + 1) + 4δ (n ) + 3δ (n − 2)
Ejemplo 4.2. Exprese la siguiente secuencia en términos de impulsos
unitarios. x(n) = {2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2}
x(n ) = 2δ (n + 2 ) + 3δ (n + 1) + 4δ (n ) + 3δ (n − 1)
+ 2δ (n − 2) + δ (n − 3) − δ (n − 5) − 2δ (n − 6 )
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Análisis de sistemas LTI
4.2.3. Respuesta de un Sistema LTI a Entradas Arbitrarias: La
Convolución
Ahora que se ha expresado una señal de entrada arbitraria x(n) como la suma
ponderada de impulsos, estamos preparados para determinar la respuesta de
un sistema LTI en reposo a cualquier señal de entrada. Primero, se denotará
la respuesta del sistema y(n,k) a un impulso unitario en el instante n = k
mediante el símbolo especial h(n,k) de –∞ < k < ∞. Es decir
y(n, k ) ≡ h(n, k ) = T [δ (n − k )]
(4.5)
En (4.5) se observa que n es el índice temporal y k indica la posición del
impulso o instante en el que el impulso unitario es distinto a cero. Si el
impulso a la entrada del sistema se escala una cierta cantidad ck ≡ x(k), la
respuesta del sistema quedará escalada por la misma cantidad , esto es,
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7
Análisis de sistemas LTI
c k h(n, k ) = x(k )h(n, k )
(4.6)
Finalmente, si la entrada es la señal arbitraria x(n) es expresada como la
suma ponderada de impulsos
x (n) =
∞
∑ x(k )δ (n − k )
(4.7)
k = −∞
entonces la respuesta del sistema es la correspondiente suma ponderada de
la respuesta a los impulsos es,
∞
⎡ ∞
⎤
y (n) = T [ x(n)] = T ⎢ ∑ x(k )δ (n − k )⎥ = ∑ x( k )T [δ (n − k )]
⎣ k = −∞
⎦
k = −∞
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Análisis de sistemas LTI
y (n ) =
∞
∑ x ( k ) h ( n, k )
(4.8)
k = −∞
Claramente, la (4.8) cumple con el principio de superposición de los sistemas lineales y se conoce como sumatoria de superposición.
Es importante notar que (4.8) es la respuesta de un sistema lineal a
cualquier secuencia de entrada x(n). Esta expresión es una función tanto
de x(n) como de las respuestas h(n,k) del sistema a los impulsos unitarios
δ(n – k) con –∞ < k < ∞.
Para obtener la (4.8) se hizo uso de la propiedad de linealidad del
sistema, pero no de la propiedad de invarianza en el tiempo. Por lo tanto,
la expresión (4.8) es aplicable a cualquier sistema lineal en reposo. Si
además, el sistema es invariante en el tiempo, la (4.8) se simplifica
considerablemente.
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8
Análisis de sistemas LTI
De hecho, si la respuesta del sistema al impulso unitario δ(n) se denota por
h(n), esto es
h(n ) ≡ T [δ (n )]
entonces, por la propiedad de invarianza en el tiempo, la respuesta del
sistema al impulso unitario desplazado δ(n – k) es
h(n − k ) = T [δ (n − k )]
en consecuencia,
y (n ) =
∞
∑ x(k )h(n − k )
(4.9)
k = −∞
Ahora queda claro que el sistema LTI en reposo queda totalmente caracterizado por la función h(n), es decir, su respuesta al impulso unitario δ(n).
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Análisis de sistemas LTI
Por el contrario, la caracterización de la salida de una salida lineal invariante en el tiempo exige el conocimiento de infinita funciones de respuesta a
los impulsos unitarios desplazados.
La expresión (4.9) da la respuesta y(n) del sistema LTI como función de la
señal de entrada x(n) y de la respuesta impulsional h(n) se denomina convolución. En otras palabras, la entrada del sistema x(n) se convoluciona con
la respuesta impulsional h(n) para producir la salida y(n).
El procedimiento para calcular a y(n) tanto en forma matemática como en
forma gráfica, dada una entrada x(n) y una respuesta impulsional del sistema h(n) se presenta a continuación:
Suponga que se quiere calcular la salida del sistema en un instante determinado, por ejemplo n = no.
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9
Análisis de sistemas LTI
De acuerdo con (4.9), la respuesta de salida es:
y (no ) =
∞
∑ x(k )h(n
k = −∞
o
− k)
(4.10)
La primera observación es que, el índice de la sumatoria es k, y, por lo
tanto, la señal de entrada k como la respuesta impulsional h(no – k) son
funciones de k. En segundo lugar se observa que las secuencias x(k) y
h(no – k) se multiplican para formar la secuencia producto.
Finalmente, la salida y(no) es simplemente la suma sobre todos los
valores de la secuencia producto. La secuencia h(no – k) se obtiene a
partir de h(k) , reflejando primero dicha secuencia con respecto al origen,
lo que proporciona la secuencia h(–k) y después, se desplaza no muestras
para producir h(no – k). Resumiendo, el cálculo de la convolución entre
x(k) y h(k) supone la realización de los siguientes cuatro pasos:
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Análisis de sistemas LTI
1. Reflexión. Se refleja h(k) con respecto a k para producir h(– k).
2. Desplazamiento. Se desplaza h(– k), no muestras hacia la derecha si es
positivo, para obtener h(no – k)
3. Multiplicación. Se multiplica x(k) por h(no – k) para obtener la
secuencia producto v(k) = x(k) h(no – k)
4. Suma. Se suman todos los valores de la secuencia producto v(k) y se
obtiene el valor de la salida en el instante n = no.
Con este procedimiento se obtiene la salida del sistema en un instante determinado, digamos en n = no. En general, lo importante es determinar la
salida del sistema para cualquier instante de tiempo, es decir, –∞ < n < ∞.
En consecuencia, los pasos 2 y 4 del procedimiento descrito atrás deberá
repetirse para todos los posibles valores del desplazamiento de n.
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Análisis de sistemas LTI
4.2.4. Métodos de Cálculo de la Convolución: Método gráfico
Señal # 1
Señal # 2
8
y (0) =
∑ x(k )h(0 − k )
k = −2
=0+0+0+1+0+0+0+0
+0+0+0
y(0) = 1
Inversión de la Señal # 2 (l = 0)
Figura 4.3
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Análisis de sistemas LTI
y (1) =
8
∑ x(k )h(1 − k )
k = −2
=0+0+0+2+1+0+0+0
+0+0+0
y(1) = 3
Corrimiento de la Señal # 2 (l = 1)
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11
Análisis de sistemas LTI
y (2) =
8
∑ x(k )h(2 − k )
k = −2
=0+0+0+3+2+1+0+0
+0+0+0
y(2) = 6
Corrimiento de la Señal # 2 (l = 2)
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Análisis de sistemas LTI
y (− 1) =
8
∑ x(k )h(− 1 − k )
k = −2
=0+0+0+0+0+0+0+0
+0+0+0
y(–1) = 0
Corrimiento de la Señal # 2 para
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Análisis de sistemas LTI
Señal # 1
Señal # 2
∞
y (n ) = ∑ x(k )h(n − k )
k =∞
y(n) = {1, 3, 6, 5, 3}
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Análisis de sistemas LTI
Método Tabular
1. Se colocan todas las muestras discretas de ambas secuencias en acorde a
la variable independiente n.
2. Se toma el primer elemento de h(n) y se realiza la multiplicación elemento a elemento con x(n).
3. Se desplaza una posición y se realiza la misma operación de multiplicación para cada uno de los elementos de h(n).
4. Se realiza la suma algebraica de todos los elementos de las secuencias
productos obtenidas y se reasignan a la secuencia y(n) según la variable
independiente n como se muestra en la Figura 4.4.
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13
Análisis de sistemas LTI
Figura 4.4. Método tabular para el cálculo de la convolución
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Análisis de sistemas LTI
Ejemplo 4.3. La respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante en
el tiempo es h(n). Determine la respuesta del sistema si la señal de entrada
es x(n) = {1, 2, 3, 1} y h(n) = {1, 2, 1, -1}.
Sol.
y(n) = {1, 4, 8, 8, 3, –2, –1}
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Análisis de sistemas LTI
Ejemplo 4.4. La respuesta impulsional de un sistema LTI y la señal x(n)
se muestran en la Figura 3. Determine la señal de salida del sistema
x(n) = {0, 1, 1, 1}
h(n) = {1, 2, 3}
4+1=5
y(n) = {1, 3, 6, 5, 3}
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Análisis de sistemas LTI
Método Analítico
para encontrar la convolución entre dos secuencias define los siguientes
pasos
1. Se transforman ambas secuencias discretas en suma de deltas desplazadas y ponderadas.
2. Después, se multiplica la secuencia h(n) transformada con la secuencia
x(n) simbólica
3. Se transforma el resultado de la multiplicación en su equivalente de
suma de deltas desplazadas y ponderadas.
4. Se agrupan las deltas semejantes y se realiza la suma algebraica correspondiente.
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Análisis de sistemas LTI
Ejemplo 4.5. Solucionar el ejemplo 3 con el método analítico.
Sol.
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Análisis de sistemas LTI
y(n) = x(n) ⊗ h(n)
=
y(n) = {1, 4, 8, 8, 3, –2, –1}
Ejemplo 4.6. Encuentre la convolusión de las siguientes dos secuencias
aplicando el método analítico
x(n ) = δ (n + 2 ) + δ (n + 1) + δ (n ) + δ (n − 1) + δ (n − 2)
h(n ) = 2δ (n + 1) + δ (n ) + 2δ (n − 1)
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Análisis de sistemas LTI
Sol.
x(n ) ⊗ h(n ) = x(n ) ⊗ {2δ (n + 1) + δ (n ) + 2δ (n − 1)}
= 2 x(n + 1) + x(n ) + 2 x(n − 1)
= 2δ (n + 3) + 2δ (n + 2 ) + 2δ (n + 1) + 2δ (n ) + 2δ (n − 1)
+ δ (n + 2) + 2δ (n + 1) + 2δ (n ) + δ (n − 1) + δ (n − 2)
+ 2δ (n + 1) + 2δ (n ) + 2δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + 2δ (n − 3)
y (n ) = 2δ (n + 3) + 3δ (n + 2) + 5δ (n + 1) + 5δ (n )
+ 5δ (n − 1) + 3δ (n − 2) + 2δ (n − 3)
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Análisis de sistemas LTI
Por el método tabular se tiene:
y(n) = {2, 3, 5, 5, 5, 3, 2}
3+1
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Propiedades de la Convolución
4.2.5. Propiedades de la Convolución y la Interconexión de Sistemas
A continuación, se estudian algunas propiedades importantes de la convolución de dos secuencias discretas y se interpretan en términos de la interconexión de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Es importante
notar que estas propiedades se verifican para todas las señales de entrada
en el sistema. Para simplificar la notación de la operación de la convolución entre dos secuencias discretas, esta se realiza mediante el símbolo “⊗”
como se muestra a continuación
y ( n) = x( n) ⊗ h( n) ≡
∞
∑ x (k ) h(n − k )
(4.11)
k = −∞
según esta notación, la secuencia que sigue el operador es que la respuesta
impulsional h(n) es reflejada y desplazada para después ser multiplicada y
finalmente ser sumada.
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35
Propiedades de la Convolución
Por otra parte, si se voltea el orden del operador, esto implica que ahora la
entrada x(n) realizará el mismo proceso que la respuesta impulsional
obteniéndose
y ( n) = h( n) ⊗ x ( n) ≡
∞
∑ h( k ) x ( n − k )
(4.12)
k = −∞
Esta formula es una forma alternativa de presentar a la convolución de dos
secuencias discretas, en la Figura 4.5 se ilustra esta interpretación
x(n)
y(n)
h(n)
h(n)
y(n)
x(n)
Figura 4.5. Interpretación de la propiedad conmutativa de la convolución
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18
Propiedades de la Convolución
De forma abstracta, se puede considerar a la convolución como una
operación matemática entre dos secuencias x(n) y h(n), que verifica una
serie de propiedades.
Ley Conmutativa. La propiedad expresada en (4.11) y (4.12) se denomina
propiedad conmutativa y está definida como
x ( n) ⊗ h( n) = h( n) ⊗ x ( n)
(4.13)
Ley Asociativa. Matemáticamente, la convolución de dos secuencias
también satisface la propiedad asociativa, que puede enunciarse como
(4.14)
[x(n) ⊗ h (n)] ⊗ h (n) = x(n) ⊗ [h (n) ⊗ h (n)]
1
2
1
2
Desde el punto de vista físico se puede considerar a x(n) como la señal de
entrada a un sistema lineal e invariante en el tiempo con respuesta impulsional h1(n).
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Propiedades de la Convolución
La salida de este sistema, y1(n), se convierte en la entrada de un segundo
sistema lineal e invariante en el tiempo con respuesta impulsional h2(n).
Así, la salida es
y (n) = y1 (n) ⊗ h2 (n)
= [x(n) ⊗ h1 (n)] ⊗ h2 (n)
que es precisamente la parte izquierda de (4.14). Por lo tanto, la parte
izquierda de (4.14) es equivalente a los dos sistemas lineales e invariantes
en el tiempo en cascada. La parte derecha de (4.14) indica que la entrada
x(n) se aplica a un sistema equivalente de respuesta impulsional h(n), que es
igual a la convolución de las dos respuestas impulsionales, esto es,
h(n) = h1 (n) ⊗ h2 (n)
y
y ( n) = x ( n) ⊗ h( n)
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38
19
Propiedades de la Convolución
Lo que es más, dado que la convolución verifica la propiedad conmutativa,
se puede intercambiar el orden de los dos sistemas de respuesta h1(n) y h2(n)
sin alterar la relación entrada-salida global. La Figura 4.6 ilustra gráficamente la propiedad asociativa.
Figura 4.6. Implicaciones de la propiedad asociativa
La generalización de la propiedad asociativa a más de dos sistemas en cascada
se deduce fácilmente de la discusión anterior. Así, si se tiene L sistemas
lineales e invariantes en el tiempo en cascada, con respuestas impulsionales
h1(n), h2(n),... ,hL(n), existe un sistema LTI cuya respuesta impulsional es
igual a L – 1 convoluciones sucesivas de las respuestas impulsionales, esto es
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39
Propiedades de la Convolución
h(n) = h1 (n) ⊗ h2 (n) ⊗ ... ⊗ hL (n)
(4.15)
La tercer propiedad que satisface la operación de convolución es la
distributiva, que puede enunciarse como sigue:
x(n) ⊗ [h1 (n) + h2 (n)] = x(n) ⊗ h1 (n) + x(n) ⊗ h2 (n)
(4.16)
La propiedad distributiva se interpreta físicamente cuando se tiene dos
sistemas LTI con respuestas impulsionales h1(n) y h2(n) excitados por la
misma señal de entrada x(n); la suma de las dos respuestas es idéntica a la
de un sistema global cuya respuesta impulsional es
h(n) = h1 (n) + h2 (n)
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20
Propiedades de la Convolución
por lo tanto, el sistema global es una combinación en paralelo de los dos
sistemas LTI, tal como se ilustra en la Figura 4.7. La generalización de
(4.16) a más de dos sistemas lineales e invariantes en el tiempo es
inmediata por inducción matemática. Por tanto, la interconexión de L
sistemas lineales e invariantes en el tiempo con respuestas impulsionales
h1(n), h2(n), ..., hL(n) y excitadas por una misma entrada x(n) es
equivalente a un único sistema con respuesta global
L
h( n) = ∑ h j ( n)
(4.17)
j =1
A la inversa, cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo puede descomponerse como la interconexión en paralelo de subsistemas
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41
Propiedades de la Convolución
Figura 4.7. Sistemas LTI acoplados en paralelo
Ejemplo 4.7. Determine la respuesta impulsional de la cascada de dos
sistemas invariantes en el tiempo con respuestas impulsionales definidas
como
n
n
⎛1⎞
⎛1⎞
=
h
(
n
)
y
⎜ ⎟ u ( n)
2
h1 (n) = ⎜ ⎟ u (n)
⎝4⎠
⎝2⎠
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21
Propiedades de la Convolución
Sol. Para determinar la respuesta global de los dos sistemas en cascada,
simplemente se realiza la convolución entre h1(n) y h2(n) como sigue
h(n) = h1 (n) ⊗ h2 (n) =
∞
∑ h (k )h (n − k )
k = −∞
1
2
donde h2(n) es reflejada y desplazada, por lo cual se tiene que la secuencia
producto es
k
v(n) = h1 (n)h2 (n − k ) = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝2⎠ ⎝4⎠
n−k
que es diferentes de cero para k ≥ 0 y n – k ≥ 0 o n ≥ k ≥ 0. Por otra parte,
para n < 0, se tiene que v(k) = 0. Para n ≥ k ≥ 0 la suma de los valores de la
secuencia producto v(k) variando a k resulta en
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43
Propiedades de la Convolución
∞
k
⎛1⎞ ⎛1⎞
h(n) = ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k =0 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠
n−k
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝4⎠
n ∞
∑2
k =0
n
k
(
)
⎛1⎞
= ⎜ ⎟ 2 n +1 − 1 ; n ≥ 0
⎝4⎠
n
⎛
n
⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
h1 (n ) ⊗ h2 (n ) = ⎜ ⎟ ⎜⎜ 2 − ⎜ ⎟ ⎟⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝
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⎠
44
22
Propiedades de la Convolución
Ahora, aplicando la propiedad de conmutación para verificar los resultados
k
∞
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∑
k =0 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
h2 (n ) ⊗ h1 (n ) =
n−k
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝2⎠
n ∞
⎛1⎞
⎜ ⎟
∑
k =0 ⎝ 2 ⎠
k
n
n +1
⎛1⎞
n
⎛ 1 ⎞ ⎡1 − ( 12 ) ⎤
=
=⎜ ⎟ ⎢
⎜ ⎟ 2 1 − ( 12 ) ( 12 )
⎥
1
⎝ 2 ⎠ ⎣ 1− 2 ⎦
⎝2⎠
(
n
h2 (n ) ⊗ h1 (n ) =
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
n
n
⎛
⎞
⎜ 2 − ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎟
⎜
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
⎝
)
;n≥0
Que es el mismo resultado que se obtuvo en el procedimiento anterior.
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45
Propiedades de la Convolución
Ejemplo 4.8. Determine la señal de salida de los siguientes sistemas
discretos:
a) En cascada y b) En Paralelo. La señal de entrada y la respuesta
impulsional de cada sistema están dados como
n
⎛1⎞
h2 (n ) = ⎜ ⎟ u (n )
⎝4⎠
n
⎛ 1⎞
h1 (n ) = ⎜ − ⎟ u (n )
⎝ 2⎠
x(n ) = u (n )
Sol. Para el caso en cascada, se tiene
k
∞
⎛ 1⎞ ⎛1⎞
h1 (n ) ⊗ h2 (n ) = ∑ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟
2⎠ ⎝4⎠
k =0 ⎝
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝4⎠
n ∞
n−k
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝4⎠
n ∞
k
⎛ 1⎞ ⎛1⎞
⎜− ⎟ ⎜ ⎟
∑
2⎠ ⎝4⎠
k =0 ⎝
−k
∑ (− 2)
k
k =0
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46
23
Propiedades de la Convolución
n
n +1
n
⎛ 1 ⎞ ⎡1 − (− 2 ) ⎤
1⎛1⎞
n
=⎜ ⎟ ⎢
=
⎜ ⎟ 1 − (− 2 ) (− 2 )
⎥
(
)
−
−
4
1
2
3
4
⎝ ⎠ ⎣
⎝ ⎠
⎦
[
n
]
[
]
1⎛1⎞
n
h(n ) = h1 (n ) ⊗ h2 (n ) = ⎜ ⎟ 1 + 2(− 2 ) u (n )
3⎝ 4⎠
1 ∞ ⎛1⎞
y (n ) = x(n ) ⊗ h(n ) = ∑ ⎜ ⎟
3 k =0 ⎝ 4 ⎠
n
=
1 ∞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 k =0 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
−k
n−k
[1 + 2(− 2) ]
n−k
n
+
2 ∞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 k =0 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
−k
(− 2)n (− 2)− k
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47
Propiedades de la Convolución
1⎛1⎞
= ⎜ ⎟
3⎝ 4⎠
n ∞
1⎛1⎞
= ⎜ ⎟
3⎝ 4⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
∑
k =0 ⎝ 4 ⎠
n ∞
−k
n
∞
2⎛1⎞
⎛1⎞
n
+ ⎜ ⎟ (− 2 ) ∑ ⎜ ⎟
3⎝4⎠
k =0 ⎝ 4 ⎠
2⎛ 1⎞
4 + ⎜− ⎟
∑
3⎝ 2⎠
k =0
n ∞
k
n
[
]
(− 2)− k
∑ (− 2)
k
k =0
1 ⎛ 1 ⎞ ⎡1 − 4 n +1 ⎤ 2 ⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟ ⎢
+ ⎜− ⎟
3 ⎝ 4 ⎠ ⎣ − 3 ⎥⎦ 3 ⎝ 2 ⎠
n
−k
n
⎡1 − (− 2 )n +1 ⎤
⎢
⎥
3
⎣
⎦
n
[
2⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
n
n
= ⎜ − ⎟⎜ ⎟ 1 − 4(4 ) + ⎜ − ⎟ 1 + 2(− 2 )
9⎝ 2⎠
⎝ 9 ⎠⎝ 4 ⎠
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]
48
24
Propiedades de la Convolución
n
n
⎛ 1⎞ 2⎛ 1⎞
⎛2⎞
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
= ⎜ − ⎟⎜ ⎟ − 4⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + 2⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠⎝ 4 ⎠
⎝ 9⎠ 9⎝ 2⎠
⎝9⎠
⎡ 2 ⎛ 1 ⎞n 1 ⎛ 1 ⎞n 8 ⎤
y (n ) = ⎢ ⎜ − ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎥u (n )
⎣⎢ 9 ⎝ 2 ⎠ 9 ⎝ 4 ⎠ 9 ⎦⎥
Para el segundo caso se tiene que:
x(n ) ⊗ [h1 (n ) + h2 (n )] = x(n ) ⊗ h1 (n ) + x(n ) ⊗ h2 (n )
∞
⎛ 1⎞
x(n ) ⊗ h1 (n ) = ∑ ⎜ − ⎟
2⎠
k =0 ⎝
n−k
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49
Propiedades de la Convolución
⎛ 1⎞
= ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
n ∞
⎛ 1⎞
⎜− ⎟
∑
2⎠
k =0 ⎝
−k
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ∞
k
= ⎜ − ⎟∑ (− 2 ) = ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠ k =0
n
[
n
1⎛ 1⎞
n
x(n ) ⊗ h1 (n ) = ⎜ − ⎟ 1 + 2(− 2 )
3⎝ 2⎠
∞
⎛1⎞
x(n ) ⊗ h2 (n ) = ∑ ⎜ ⎟
k =0 ⎝ 4 ⎠
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝4⎠
n ∞
⎛1⎞
⎜ ⎟
∑
k =0 ⎝ 4 ⎠
−k
⎡1 − (− 2 )n +1 ⎤
⎢
⎥
3
⎣
⎦
]
n−k
⎛1⎞
⎛1⎞ ∞
k
= ⎜ ⎟∑ (4 ) = ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎝ 4 ⎠ k =0
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n
⎡1 − (4 )n +1 ⎤
⎢
⎥
⎣ −3 ⎦
50
25
Propiedades de la Convolución
n
[
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
n
x(n ) ⊗ h2 (n ) = ⎜ − ⎟⎜ ⎟ 1 − 4(4 )
⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠
]
Agrupando ambas soluciones
n
[
]
n
[
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
n
n
y (n ) = ⎜ ⎟⎜ − ⎟ 1 + 2(− 2 ) + ⎜ − ⎟⎜ ⎟ 1 − 4(4 )
⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠
⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠
n
]
n
1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
= ⎜ − ⎟ + + ⎜ − ⎟⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟
3 ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎡1 ⎛ 1 ⎞n 1 ⎛ 1 ⎞n
⎤
y (n ) = ⎢ ⎜ − ⎟ − ⎜ ⎟ + 2⎥u (n )
⎣⎢ 3 ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 4 ⎠
⎦⎥
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51
Tarea
4.3. Tarea
1. Considere las siguientes secuencias:
x1 (n ) = 3δ (n − 2 ) − 2δ (n + 1)
h1 (n ) = −δ (n + 2 ) + 4δ (n ) − 2δ (n − 1)
x2 (n ) = 5δ (n − 3) + 2δ (n + 1)
3
h2 (n ) = 3δ (n − 4 ) + δ (n − 2 ) − δ (n + 1)
2
Determine las siguientes secuencias obtenidas mediante una convolución por
los tres métodos (Gráfico, tabular y analítico)
y1 (n ) = x1 (n ) ⊗ h1 (n )
y3 (n ) = x1 (n ) ⊗ h2 (n )
y2 (n ) = x2 (n ) ⊗ h2 (n )
y4 (n ) = x2 (n ) ⊗ h1 (n )
2. Determine la expresión para la respuesta al impulso h(n) de cada uno de
los siguientes sistemas LTI que se muestran a continuación
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
52
26
Tarea
+
+
+
+
a)
+
+
+
+
b)
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
53
Tarea
3. Determine la respuesta al impulso completa del sistema LTI dende las
respuestas al impulso de los sistemas componentes son
h1 (n ) = 2δ (n − 2 ) − 3δ (n + 1)
h2 (n ) = δ (n − 1) + 2δ (n + 2)
h3 (n ) = 5δ (n − 5) + 7δ (n − 3) + 2δ (n − 1) − δ (n ) + 3δ (n + 1)
+
+
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
54
27
Tarea
4. Encuentre la respuesta al impulso
1
h1 (n ) = δ (n ) + δ (n − 1)
2
1
1
h2 (n ) = δ (n ) − δ (n − 1)
2
4
h3 (n ) = 2δ (n )
+
+
+
n
⎛1⎞
h4 (n ) = −2⎜ ⎟ u (n )
⎝2⎠
+
h(n) = ?
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
55
Tarea
5. Con los códigos hechos en la Lectura 2 de Reflexión, Corrimiento,
Multiplicación y Suma de dos secuencias discretas, ahora realice la
operación de la convolución tal como se muestra en la ecuación (12).
Compare el resultado con la función especial de Matlab® cov(.) para
comprobar los resultados obtenidos.
6. Aplique este nuevo código para el cálculo de la convolución y determine las gráficas correspondientes a los problemas del 3 al 8 de esta
lectura.
7. Determine la salida del sistema si: a) están en cascada y b) en paralelo.
n
⎛3⎞
x(n ) = ⎜ ⎟ u (n )
⎝2⎠
n
⎛ 1⎞
h1 (n ) = ⎜ − ⎟ u (n )
⎝ 2⎠
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n
⎛1⎞
h2 (n ) = ⎜ ⎟ u (n )
⎝ 3⎠
56
28