unidad 4: grafiquemos relaciones y funciones

GRAFIQUEMOS RELACIONES Y FUNCIONES.
Plano cartesiano.
¿Recuerdas la recta numérica? Esa recta resulta ser el eje X del plano cartesiano (eje horizontal).
El eje vertical es el eje de las y. Ambos ejes se cortan perpendicularmente y en CERO. Así se
forma el plano cartesiano, que es el siguiente:
5
4
Cuadrante II
Cuadrante I
3
Eje X
2
Origen (0, 0)
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
Cuadrante III
Cuadrante IV
-3
-4
-5
Podemos observar las características siguientes:
1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen
2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen
3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen
4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen
5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X)
6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)
Eje y
5
 Ubicación de un par ordenado en el plano cartesiano.
Un par ordenado representa un punto en el plano cartesiano. Por ejemplo, el par ordenado (-2,
5) tiene a –2 como coordenada en X, mientras que su coordenada en y es 5. Para ubicar tal
punto, trazamos una línea que pase por –2 en X y otra que pase por 5 en y. Donde se cortan es
el punto.
Ejemplos. Ubicar en el plano los puntos siguientes: (2, 5),
(-3, 4), (-2, -3), (5, -2), X = 3
y
y = -4.
 Solución.
(2, 5)
5
(-3, 4)
4
3
X=3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
(5, -2)
y = -4
-3
(-2, -3)
-4
-5
 Actividad 1. Encuentra las incógnitas en los pares ordenados siguientes:
1. (m, 5) = (7, k)
_________ _________
3. (q + 2, d) = (7, -5)
2. (n + 1, p) = (10, -3)
_________ _________
_________ _________
4. (q - 5, b) = (-5, 7)
_________ _________
5. (5 - q, 5) = (7, 2 - a)
_________
_________
6. (2m + 1, 4m - 5) = (11 – 2b, 2b - 3)
_________
_________
 Actividad 2. Ubica en el plano cartesiano los puntos siguientes:
1. (1, 4)
2. (-2, 3)
3. (-4, -2) 4. (4, -3) 5. y = 4 6. x = -3
 discusión 1
. 1. Marquen 4 puntos que estén a 3 unidades del punto (1, 2) y
graficarlos. (Una unidad es la distancia entre un entero y el siguiente; por ejemplo, entre 5 y 6
hay una unidad). 2. Encuentren la distancia entre los puntos (1, 1) y (5, 4) (Ayuda: aplicarán
Pitágoras)
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
3. Producto cartesiano.
3.1 Definición. Si
A y B son 2 conjuntos, el producto cartesiano
AXB es el conjunto de pares ordenados formado al combinar todos
los elementos de A con todos los de B, en ese orden.
En notación de conjunto: AXB = { (X, y)
⁄ XAyy B}
Se concluye que AXB es diferente de BXA. Además, A es el conjunto de partida, y B es el
conjunto de llegada.
Ejemplo. A = {2, 5, 6, 8} y B = {3, 5, 7}
Con estos conjuntos encontrar AXB y BXA
 Solución.
 AXB = { (2, 3), (2, 5), (2, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7) }
 BXA = { (3, 2), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (7, 2), (7, 5), (7, 6), (7, 8), }
 Actividad 3. Con los conjuntos A = {2, 3, 5 }
B=
{ 3, 5, 7 }
y C=
{ 4, 6, 7, 8 }
calcula:
1. AXB = _____________________________________________________________________________________________
2. BXA = _____________________________________________________________________________________________
3. AXC = _____________________________________________________________________________________________
4. CXA = _____________________________________________________________________________________________
5. BXC = _____________________________________________________________________________________________
6. CXB = _____________________________________________________________________________________________
 discusión 2
. Se tiene un conjunto con 20 elementos y otro con 30. ¿Cuántos
pares ordenados resultarán del producto cartesiano entre ambos? ________
3.2 Representación de productos A X B en el plano cartesiano, donde
A y B sean subconjuntos de ℜ o iguales a ℜ.
Graficar AXB es ubicar en el plano cartesiano todos los puntos (pares ordenados) que resulten
del producto cartesiano AXB.
Ejemplo. Si A = {2, 3, 5 }
y B = {5, 7}, grafiquemos AXB.
AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7) }
 Actividad 4. Si A = {2, 3, 5, 7, 9, 10 }
y B = {5, 6, 7, 8}, grafica AXB y BXA.
4. Relaciones.
4.1 Definición.
Para los conjuntos A y B, una relación (R) de A en B, es cualquier
subconjunto de AXB.
Para el caso de A = {2, 3, 5 } y B = {5, 7}, se tiene que AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7),
(5, 5), (5, 7) } Tres relaciones de A en B son las siguientes:
R1 = { (2, 5), (2, 7), (3, 5) }
R1 = { (3, 5), (3, 7) }
R1 = { (5, 5) }
4.2 Conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango
(recorrido) de una relación y su gráfico.
 Conjunto de partida.
Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un
producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de partida es A.
 Conjunto de llegada. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un
producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de llegada es B.
 Dominio. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de una relación
 Rango o recorrido.
Es el conjunto que contiene las segundas componentes de una
relación
Ejemplo. Sea AXB = { (2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12) }. Si la relación R
de A en B es el conjunto formado por los pares ordenados en los que la segunda componente es
el doble de la primera, calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
 Solución.
▬ El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano: { 2, 3, 5 }
▬ El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano:
{ 3, 4, 5, 6, 10, 12 }
La relación R de A en B que buscamos estará formada por los pares ordenados en los que la
segunda componente es el doble de la primera: { (2, 4), (3, 6), (5, 10) } De esta relación
saldrán el dominio y el rango.
▬ El dominio son las primeras componentes de la relación: { 2, 3, 5 }
▬ El rango son las segundas componentes de la relación: { 4, 6, 10 }
Ejemplo. Sea P = {2, 3, 5 }
y Q = {5, 7, 9, 11} Si la relación R es:
R = { (X, y) / X P y y  Q, con y = 2X + 1 }
Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
 Solución.
▬ Conjunto de partida: { 2, 3, 5 }
▬ Conjunto de llegada: { 5, 7, 9, 11 }
En palabras, la relación está formada así: por los pares ordenados con su primera componente
(X) sacada de P y la segunda (y) sacada de Q; siendo la segunda el doble de la primera más
UNO.
Formemos el producto cartesiano PXQ, y seleccionemos los pares ordenados que cumplan con
la condición de la relación.
PXQ = { (2, 5), (2, 7), (2, 9), (2, 11), (3, 5), (3, 7), (3, 9), (3, 11), (5, 5), (5, 7), (5, 9), (5, 11) }
Por lo tanto: R = { (2, 5), (3, 7), (5, 11) }
▬ El dominio es: { 2, 3, 5 }
▬ El rango es: { 5, 7, 11 }
.........................................................................................................................
.....
NOTA: debemos leer cuidadosamente la relación, pues nos puede conducir a errores. La
relación anterior es: R = { (X, y) / X P y y  Q, con y = 2X + 1 } Es una relación de P
en Q.
Cambiémosla por: R = { (X, y) / X Q y y  P, con y = 2X + 1 } Esta es una relación de
Q en P.
Para este caso el producto cartesiano sería
QXP =
5),}
{ (5, 2),(5, 3), (5, 5), (7, 2),(7, 3), (7 5), (9, 2),(9, 3), (9, 5), (11, 2), (11, 3), (11,
Para este producto cartesiano, la relación es el conjunto vacío: no hay un par
ordenado cuya segunda componente sea el doble más UNO que la primera. Por lo
tanto no habría dominio y rango.
.........................................................................................................................
.....
Ejemplo. Sea Q = {2, 4, 6, 8} Si la relación es: R = { (X, y) / X  QXQ con X + y
= 12 }
Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.
 Solución.
▬ El conjunto de partida y el de llegada es el mismo: Q = {2, 4, 6, 8}
La relación nos dice que sus pares ordenados pertenecen al producto cartesiano QXQ, que
también puede expresarse como Q2
QXQ = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (8, 2),
(8, 4),
(8, 6), (8, 8) }
También la relación nos dice que la suma de las coordenadas del par ordenado es igual a 12. Por
lo tanto: R = { (4, 8), (6, 6), (8, 4) }
▬ El dominio es: { 4, 6, 8 }
▬ El rango es: { 4, 6, 8 } El dominio es igual al rango.
Ejemplo. Sea
2X + y = 12 }
Q = {2, 4, 5, 6} Si la relación es: R =
{ (X, y) / X  N
y y

Q
/
Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y
rango.
 Solución.
Los pares ordenados de la relación son (X, y) y X (la primera componente) pertenece a los
naturales. Las segundas componentes pertenecen a Q (Es una relación de N en Q) Por lo tanto:
▬ El conjunto de partida es N
▬ El conjunto de llegada es Q
Para calcular dominio y rango necesitamos NXQ, que es un conjunto infinito. No es posible
expresarlo por extensión, así que haremos los cálculos por inspección.
Sabemos que 2X + y = 12. y puede tomar los 4 valores de Q: 2, 4, 5 y 6. X puede tomar
cualquier valor natural, pero nos interesan aquellos que reproduzcan los 4 de y. Por lo tanto
despejemos X y sustituyamos los valores de y.
2X + y = 12  X = (12 – y) /2
Valor de y
X = (12 – y)/2
De aquí obtenemos los pares ordenados que satisfacen la relación. Por
lo tanto:
2
5
R = { (5, 2), (4, 4), (3, 6) }
4
4
El par ordenado (7/2, 5) no pertenece al producto cartesiano NXQ,
por tal razón no pertenece a la relación.
5
7/2
7/2 no es un número natural.
6
3
De la relación resulta que: ▬ El dominio = { 3, 4, 5 } ▬ El rango = { 2, 4, 6 }
 Actividad 6.
En cada caso encontrar el conjunto de partida, conjunto de llegada,
dominio y rango de la relación y su gráfico.
1. AXB = { (2, 4), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 10), (4, 8), (4, 13), (5, 10), (5, 16), (6, 12), (6, 18) }. Y
la relación es R = { (X, y)  AXB / y = 3X + 1 }
Conjunto de partida ________________________
Conjunto de llegada ________________________
Dominio ________________________
Rango ________________________
2. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12}
R = { (X, y) / X  M y y  Q, con y = 3X – 3 }
Conjunto de partida ________________________
Dominio ________________________
3. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12}
Rango ________________________
R = { (X, y) / X Q y y  M, con y = X – 4 }
Conjunto de partida ________________________
Dominio ______________________
4. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 }
R = { (X, y) / X Q y y  M, con y + X = 10 }
Dominio ________________________
R = { (X, y) / X  M y y  Q, con y + X = 10 }
Dominio ________________________
Conjunto de llegada ________________________
Rango _______________________
R = { (X, y) / X Q y y  M, con 2y – X = 8 }
Conjunto de partida ________________________
Dominio ________________________
Conjunto de llegada ________________________
Rango ________________________
Conjunto de partida ________________________
6. Q = {2, 4, 5 } y M = {5, 6, 7, 8 }
Conjunto de llegada ________________________
Rango _______________________
Conjunto de partida ________________________
5. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 }
Conjunto de llegada ________________________
Conjunto de llegada ________________________
Rango _______________________
Soluciones.
Actividad 1.
1. k = 5 2. n = 9 p = –3 3. q = 5 d = –5 4. q = 0 b = 7 5. q = –2 a = –5 6. m = 2 b
=3
discusión 1.
1. Le sumamos y restamos 4 a una coordenada sin alterar la otra. Los puntos son: (1, 6), (1, -2),
5, 2(), (-3, 2) 2. Se forma un triángulo rectángulo de lados 3 y 4, siendo la distancia la
hipotenusa: 5 unidades.
Actividad 3.
1. AXB = (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 3 ), (5, 5), (5, 7)
2. BXA = (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5)
3. AXC = (2, 4), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)
4. CXA = (4, 2), (4, 3), (4, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5), (8, 2), (8, 3), (8, 5)
5. BXC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (7, 4 ), (7, 6), (7, 7), (7, 8)
6. CXB = (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (7, 3), (7, 5), (7, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)
discusión 2. 600
Actividad 6.
1. Conjunto de partida { (2, 3, 4, 5, 6 } Conjunto de llegada { 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 18 }.
R = { (2, 7), (3, 10), (4, 13), (5, 16) }
2. Conjunto de partida {2, 3, 5 }
Dominio { (2, 3, 4, 5 } Rango {7, 10, 13, 16 }
Conjunto de llegada {5, 6, 9, 12}
R = { (3, 6), (5, 12) } Dominio {3, 5 } Rango {6, 12}
3. Conjunto de partida {5, 6, 9, 12}
Conjunto de llegada {2, 3, 5 }
Dominio {6, 9 }
Rango {2, 5 }
4. Conjunto de partida {5, 6, 7, 8 }
Dominio {5, 7, 8 }
Conjunto de llegada {2, 3, 5 }
Rango {2, 3, 5 }
5. Conjunto de partida M = {2, 3, 5 }
Conjunto de llegada Q = {5, 6, 7, 8 }
Dominio M = {2, 3, 5 }
Rango {5, 7, 8 }
6. Conjunto de partida Q = {2, 4, 5 }
Conjunto de llegada M = {5, 6, 7, 8 }
Dominio 2, 4
Rango 5, 6