TEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOS
Definiciones:
1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera:
números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}
{xx2 -3x –2= 0}
{ Inglaterra, Francia, Dinamarca}
2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.
Notación: AB  x A xB
Ejemplo:
El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece
al conjunto D.
3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto,
excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.
Notación: U
Ejemplo:
A = {1,3,5}
B = {2,4,6,8}
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro
conjunto.
Notación:  = { x / x  x }
Ejemplo:
B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.
6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones
conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos
corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.
Ejemplo:
AB
U
B
A
7.-Conjuntos Finitos o Infinitos:
no factibles de contar.
Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o
Ejemplo:
M= {a,e,i,o,u}, M es finito.
N={1,3,5,7...}, N es infinito.
8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.
Gráficamente:
U
A
B
Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o
a B.
Notación: AB= {x/xA xB}
Gráficamente:
U
A
b
U
A
B
U
B
A
Ejemplo
A={3,4,5,8,9}
B={5,7,8,9,10}
AB={3,4,5,7,8,9,10}
2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos
son comunes a A y B.
Notación: A  B= {x / x  A  x  B}
Gráficamente:
A
U
A
U
)B
AA
)
AA
)
A
B
U
B
A
Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12}
B={5,6,9,11,13,14}
A  B={9, 11}
3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A
y que están en el universo.
Notación: Ac = {x / x U  x A}
Ac = U - A
Gráficamente:
Ac
U
A
Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac= {1,2,5,8,9,10}
4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son
aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Notación: A - B ={x / x A  x  B}
Gráficamente:
U
A
B
U
A
B
U
A
B
Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z}
D = {s, t, z, v, p, q}
C - D = {x, y, u}
LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO
1.- Asociatividad:
C C)
(AC = AC)
2.- Conmutatividad:

AB = BA
3.- Distributividad:
ACC)
AC) = (C)
7.-Complemento:
AcU
Ac = 
U’= , ’ = U
(Ac)c = A
8.- Ley de Morgan:
(AB)c = Acc
(Ac = Acc
A – B = Ac
OPERACIONES CON CONJUNTOS
En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se le asigna
un número x + y llamado suma de x e y, un número x - y llamado diferencia de x e y y un
número xy llamado producto de x e y. Estas asignaciones se llaman operaciones de adición,
sustracción y multiplicación de números. En este capítulo se van a definir las operaciones de
unión, intersección y diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar o a hacer
corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos A y B. En un capítulo posterior se vera
que estas operaciones entre conjuntos se comportan de manera un tanto semejante a la de
las anteriores operaciones con números.
UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a
B o a ambos. Se denota la unión de A y B por
AUB
que se lee «A unión B».
Ejemplo 1-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-1, A  B aparece rayado, o sea el área
de A y el área de B
A
B
A
B
A  B lo rayado
Fig. 2-1
Ejemplo 1-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces
S  T = {a, b, c, d, f, g}
Ejemplo 1-3: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los
números reales negativos. P  Q, unión de P y Q, consiste en todos los
números reales exceptuado el cero.
La unión A y B se puede definir también concisamente así:
A  B = {x | x  A o x  B}
Observación 2-1: Se sigue inmediatamente de la definición de la
unión
conjuntos que A  B y B  A son el mismo conjunto, esto es:
de dos
AB=BA
Observación 2-2: A y B son ambos subconjuntos de A  B es decir, que:
A  (A  B)
y
B  (A  B)
En algunos libros la unión de A y B se denota por A + B y se la llama suma conjuntista de A y
B o simplemente A más B
LA INTERSECCIÓN
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y
B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se
denota la intersección de A y B por
AB
que se lee «A intersección B».
Ejemplo 2-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-2 se ha rayado A  B, el área común a
ambos conjuntos A y B.
A
B
A  B lo rayado
Fig. 2-2
Ejemplo 2-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces
S  T = {b, d}
Ejemplo 2-3: Sea V = {2, 4, 6,. . .}, es decir, los múltiplos de 2; y sea W = {3, 6, 9, . . .},
o sean los múltiplos de 3. Entonces
V  W = {6, 12, 18,...}
La intersección de A y B también se puede definir concisamente así:
A  B = {x | x  A, x  B}
Aquí la coma tiene el significado de «y».
Observación 2-3: Se sigue inmediatamente de la definición de intersección de dos conjuntos
que
AB=BA
Observación 2-4: Cada uno de los conjuntos A y B contiene al A  B como subconjunto, es
decir,
(A  B)  A y (A  B)  B
Observación 2-5: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si A y B
son disjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío, o
sea A  B = .
En algunos libros, sobre todo de probabilidades, la intersección de A y B se denota por AB y se
llama producto conjuntista de A y B o simplemente A por B.
DIFERENCIA
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A. pero no
a B. Se denota la diferencia de A y B por
A-B
que se lee «A diferencia B» o simplemente «A menos B».
Ejemplo 3-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-3 se ha rayado A – B, el área no es parte
de B.
A
B
A – B lo rayado
Fig. 2-3
Ejemplo 3-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Se tiene:
S – T = {a, c}
Ejemplo 3-3: Sean R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números
racionales. Entonces R – Q es el conjunto de los números irracionales.
La diferencia de A y B se pueden también definir concisamente como
A – B = {x | x  A, x  B}
Observación 2-6: El conjunto A contiene al A – B como subconjunto, esto es:
(A - B)  A
Observación 2-7: Los conjuntos (A - B), A  B y (B - A) son mutuamente, esto es decir, la
intersección de dos cualesquiera es vacía.
La diferencia de A y B se denota a veces por A/B o bien por A  B.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es
decir, la diferencia del conjunto universal U y del A. se denota el complemento de A por
A'
Ejemplo 4-1: En el diagrama de Venn de la fig. 2-4 se ha rayado el complemento de A, o sea
el área exterior a A. Se supone que el conjunto universal U es el área del
rectángulo.
A
B
A' lo rayado
Fig. 2-4
Ejemplo 4-2: Siguiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado T = {a, b, c},
entonces
T = {d, e, f,….y, z}
Ejemplo 4-3: Sea E = {2, 4, 6,….}, o sea los números pares. Entonces E’ = {1, 3, 5,….}, que
son los impares. Aquí se supone que el conjunto universal es el de los números
naturales, 1, 2, 3,….
También se puede definir el complemento de A concisamente así:
o simplemente:
A' = {x|x  U, x  A}
A' = {x|x  A}
Lo que se establece en seguida resulta directamente de la definición del complemento de un
conjunto.
Observación 2-8: La unión de cualquier conjunto A y su complemento A’ es el conjunto
universal, o sea que
A  A' = U
Por otra parte, el conjunto A y su complemento A' son disjuntos, es decir.
A  A' = 
Observación 2-9: EL complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío , y
viceversa, o sea que:
U' =  y ' = U
Observación 2-10: El complemento del complemento de un conjunto A es el conjunto A
mismo. Más breve:
(A') = A
La siguiente observación muestra cómo la diferencia de dos conjuntos podría ser definida por
el complemento de un conjunto y la intersección de dos conjuntos. En efecto, se tiene la
siguiente relación fundamental:
Observación 2-11: La diferencia de A y B es igual a la intersección de A y el complemento de
B. o sea:
A - B = A  B'
La demostración de la Observación 2-11 se sigue inmediatamente de las definiciones:
A - B = [x|x  A, x  B} = {x [x A, x  B'} = A  B'
PROBLEMAS RESUELTOS
UNIÓN
1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar A unión B, o sea A  B:
A
B
B
(a)
B
A
A B
A
(b)
(c)
(d)
Solución:
La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a
ambos. Se rayan entonces las áreas de A y de B como sigue:
B
(a)
A
(b)
B
A
(c)
A B
(d)
A  B lo rayado
2. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}.
Hallar (a) A  B, (b) A  C (c) B  C, (d) B  B.
Solución:
Para formar la unión de A y B se reúnen todos los elementos de A con todos los elementos
de B. De modo que
De igual manera.
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B  C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}
B  B = {2, 4, 6, 8}
Nótese que B  B es precisamente B.
3. Sean A, B y C los conjuntos del Problema 2. Hallar
(1) (A  B)  C, (2) A  (B  C).
Solución:
(1) Se determina primero A  B = {1,2, 3, 4, 6, 8}. Entonces la unión de A U B y C es
(A  B)  C = {1, 2, 3, 4. 6, 8,5}
(2)
Se determina primero B  C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}. Entonces la unión de A y B  C es
A  (B  C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5}
Nótese que (A  B)  C = A  (B  C).
4. Sean el conjunto X = (Tomás, Ricardo, Enrique}, el conjunto
Y = {Tomás, Marcos,
Emilio} y Z = Marcos, Emilio, Eduardo}. Hallar (a) X  Y, (b) Y  Z, (c) X  Z.
Solución:
Para hallar X  Y se hace la lista de los nombres de X con los nombres de Y; así
A  Y = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio}
Del mismo modo
Y  Z = {Tomás, Marcos, Emilio, Eduardo}
X  Z = {Tomás, Ricardo, Enrique. Marcos, Emilio, Eduardo}
INTERSECCIÓN
5. En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar la intersección de A y B, esto es, de A 
B.
Solución:
La intersección de A y B consiste en el área que es común tanto a A como a B. Para
encontrar A  B, se raya primero A con trazos oblicuos hacia la derecha (////) y luego se
raya B con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\) como se ve en la figura:
B
B
(a)
A
A
A
(b)
(c)
B
(d)
Entonces A  B es el área que tiene los dos rayados. El resultado final, que es A  B, se
raya ahora con líneas horizontales, como sigue:
B A
(a)
(b)
B
A
(c)
A B
(d)
A  B lo rayado
Nótese que A  B es vacía en (c) en que A y B son disjuntos.
6. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A  B, (b) A  C, (c)
B  C, (d) B  B.
Solución:
Para formar la intersección de A y B se inscriben todos los elementos comunes a A y
B; así A  B = (2, 4}. De igual manera, A  C = {3, 4}, B  C = {4, 6} y B  B = {2,
4, 6, 8}. Nótese que B  B es efectivamente B.
7. Sean A, B y C los conjuntos del Problema 12. Hallar (a) (A  B)  C,
C).
(b) A  (B 
Solución:
(a) A  B = (2, 4). Así que la intersección de {2, 4} con C es (A  B)  C = {4}.
(b)
B  C = {4, 6}. La intersección de este conjunto con el A es {4}, esto es, A  (B 
C) = {4}.
Nótese que (A  B)  C = A  (B  C).
8. DIFERENCIA
9. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) (A - B),
A), (c) (B - C), (d) (B - A), (e) (B - B).
(b) (C -
Solución:
(a) El conjunto A - B consiste en los elementos de A que no están en B. Como A = {l, 2,
3, 4} y 2, 4  B, entonces A - B = {1, 3}.
(b)
Los únicos elementos de C que no están en A son 5 y 6; por tanto, C - A = {5, 6}.
(c)
B - C = {2, 8}.
(d)
B – A = {6, 8}.
(e)
B–B= 
10. En los diagramas de Venn del problema 1, rayar A menos B, o sea A – B.
Solución.
En cada caso el conjunto A – B consiste en los elementos de A que no están en B, es decir,
el área en A que no está en B.
B
(a)
A
A
(b)
(c)
A - B lo rayado
COMPLEMENTO
B
B
B
(d)
11. Sean U = {1, 2, 3,..., 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}. B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar
(a) A', (b) B', (c) (A  C) ', (d) (A  B) ', (e) (A')v, (f) (B - C)'.
Solución:
(a) El conjunto A' consiste en los elementos que están en U pero no en A. Por tanto, A' =
{5. 6, 7, 8,}.
(b)
El conjunto de los elementos de U que no están en B es B'= {1,3, 5, 7, 9}
(c)
(A  C) = {3, 4} y entonces (A  C)' = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9).
(d)
(A  B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces (A  B)' = {5, 7, 9}.
(e)
A' = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (A')' = {1,2, 3, 4}, es decir, (A')' = A.
(f)
(B - C') = {2, 8} y entonces (B – C)' = {1. 3, 4, 5, 6, 7, 9}.
12. En el diagrama de Venn siguiente, rayar (a) B', (b) (A  B)', (c) (B – A)', (d) A'  B'
A
B
Solución:
(a) Como B', complemento de B, consta de los elementos que no están en B, se raya el
área exterior a B.
A
B
B' lo rayado
(b)
Primero se raya el área A  B: luego, (A  B)' es el área exterior a (A  B).
A U B lo rayado
(c)
(A  B)' lo rayado
Primero se raya B - A; y así (B - A)' es el área exterior a B – A
A
B
B - A lo rayado
(B - A)' lo rayado
(d) Primero se raya A', el área exterior a A, con trazos oblicuos inclinados a la derecha
(////) y se raya B' con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\), entonces A’  B’
resulta ser el área con doble rayado.
A' y B' con doble rayado
A'  B' lo rayado
Nótese que el área de (A U B)' es la misma que la de A'  B'.
13. Demostrar el Teorema de De Morgan: (A  B)' = A'  B'.
Solución:
Sea x  (A  B)'; así, pues, x no pertenece a A  B. Por tanto, x  A y x  B, es decir, x 
A' y x  B y, por la definición de intersección, x pertenece a A'  B'. Se ha demostrado que
x  (A  B)' implica x  (A'  B'), es decir, que
(A  B)'  (A'  B')
Sea ahora y  A’  B'; entonces y pertenece a A' e y pertenece a B'. Así que y  A e y  B
y, por tanto. y  A  B. o sea que y  (A  B)'. Queda demostrado que y , (A'  B')
implica y  (A  B)’, es decir, que
(A'  B')  (A  B)'.
Por consiguiente, por la Definición
1-1, (A'  B') = (A  B)'.
PROBLEMAS DIVERSOS
14. Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar (a) A  B, (b) B  A,
(c) B', (d) B – A, (e) A'  B, (f) A  B', (g) A'  B', (h) B' - A', (i) (A  B'), (j) (A 
B').
Solución:
(a) La unión de A y B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A  B
= {a, b, d, e}.
(b)
(c)
La intersección de A y B consta de los elementos que son comunes a A y B, es decir,
A  B = {b, d}.
El complemento de B consta de las letras que están en U pero no en B; así que B' =
{a, c}.
(d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, esto es, B A = {e}.
(e) A' = {c, e} y B= {b, d, e}; así que A'  B = {e}
(f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A  B' = {a, b, c, d}.
(g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A'  B' = {c}.
(h) B' - A' = {a}.
(i) Según (b), A  B = (b, d}; luego (A  B)' = {a,c,e}.
(j) Según (a), A  B = {a, b, d, e}; luego (A  B) ‘ = {c}.
15. En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) A  (B  C), (2) (A  B)  (A  C), (3) A
 (B  C), (4) (A  B)  (A  C).
A
B
C
Solución:
(1) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha y rayar B  C con trazos inclinados a
la izquierda; entonces A  (B  C) es el área con doble rayado.
A y B  C aparecen rayados
A  (B  C) lo rayado
(2) Primero rayar A  B con trazos inclinados a la derecha y A  C con trazos inclinados a
la izquierda; entonces (A  B)  (A  C) resulta ser el área total rayada como se
muestra enseguida.
A  B y A  C lo rayado
(A  B)  (A  B) lo rayado
Nótese que A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
(3) Primero se raya, A con trazos inclinados a la derecha y se raya B  C con trazos
inclinados a la izquierda: así resulta ser A  (B  C) el área total rayada.
A y B  C lo rayado
(1)
A  (B  C) lo rayado
Primero se raya A  B con trazos inclinados a la derecha y se raya A  C con
trazos inclinados a la izquierda; (A  B)  (A  C) es el área con doble rayado.
A  B y A  C lo rayado
(A  B)  (A  C) lo rayado.
Nótese que A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
16. Demostrar: B- A es un subconjunto de A’.
Solución:
Sea x perteneciente a B- A. Entonces x  B y x  A: por tanto, x es elemento de A’. Como
x  B - A implica x  A’. B - A es subconjunto de A’.
17. Demostrar:
B - A’ = B  A.
Solución:
B - A’ = {x | x  B, x  A’} = { x|x  B, x  A} =
B  A.
PROBLEMAS PROPUESTOS
18. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B =
{a, c, e, g} y C = {b, e ,f , g}.
Hallar:
(1) A  C (3) C – B
(5) A' – B (7) (A – C)'
(9) (A - B')'
(2) B  A (4) B'
(6) B'  C (8) C'  A (10) (A  A')'
19. Demostrar: Si A  B = , entonces A  B'.
20. En los diagramas de Venn que siguen, rayar (1) V  W, (2) W', (3) W - V (4) V'  W, (5)
V  W’, (6) V’ - W’.
V
W
V
W
(a)
(b)
21. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C
tengan las siguientes características:
(1) A  B, C  B, A  C = 
(3) A  C, A  C, B  C = 
(2) A  B, C  B, A  C  
(4) A  (B  C), B  C, C  B, A  C
22. Determinar:
(1) U  A(3) '
(2) A  A (4)   A
(5) A'  A
(6) U’
(7) U  A
(8) A'  A
(9) A  A
(10)   A.
23. Completar las siguientes afirmaciones insertando ,  o no (no comparables) entre cada
par de conjuntos. Aquí A y B son conjuntos arbitrarios.
(1) A....A - B (3) A'....B - A
(5) A'....A - B
(2) A....A  B; (4) A.... A  B
(6) A....B - A
24. La fórmula A - B = A  B' puede definir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas
operaciones de intersección y complemento. Encontrar una fórmula que defina la unión de
dos conjuntos, A  B, mediante estas dos operaciones de intersección y complemento.
25. Demostrar: A - B es un subconjunto de A  B.
26. Demostrar el Teorema 2-1: A  B implica A  B = A.
27. Demostrar: Si A  B =  , entonces B  A' = B.
28. Demostrar el Teorema 2-2: A  B implica A  B = B.
29. Demostrar: A' - B' = B - A.
30. Demostrar el Teorema 2-3: A  B implica B'  A'.
31. Demostrar: Si A  B = , entonces A  B' = B'.
32. Demostrar: (A  B)' = A'  B'.
33. Demostrar el Teorema 2-4: A  B implica A  (B - A) = B.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
31. (1) U
(2){a, c, e}
(3) {b, f} (5) {f}
(7) C = {b, e, f, g} (9) {b, d, f, g}
(4) {b, d, f} (6) {b, d, f, e, g} (8) {a, c, d}
(10) U
32. Demostración: Sea x  A. Como A y B son disjuntos, x B; luego x pertenece a B’. Queda
demostrado que x  A implica x  B’, es decir, que A  B’.
33. (a)
(1)
V  W lo rayado
V  W’ lo rayado
(3)
W – V lo rayado
(2)
V
(4)
W
W' lo rayado
(b)
W
V  W lo rayado
(2)
V
(6)
W
V'  W lo rayado
V' - W' lo rayado
(3)
V
(5)
V
W
W - V lo rayado
W
(1)
V
W
V  W' lo rayado
(4)
W' lo rayado
34.
V
(1)
V
(5)
(6)
V
W
V'  W lo rayado
W
V' - W' lo rayado
(3)
B
A
C
A
B
C
(2)
(4)
A
A
B
C
A
B
35. (1) A
36. (1) 
(2) A
(2) 
(3) U
(4) A
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(5) ne
(7) U
(8) U
(9) A
(10) 
(6) ne
37. A  B = (A'  B') '.
EJERCICIOS RESUELTOS
Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio F.M.
de la región, señaló que:
277 preferían Carolina
233 preferían Manquehue
405 preferían Tiempo
165 preferían Manquehue y Tiempo
120 preferían Manquehue y Carolina
190 preferían Carolina y Tiempo
105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas
Determine:
a) ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?
b) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?
c) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?
Solo C= 277-120+105-190+105-105
Solo M= 233-120+105-105-165+105
Solo C= 72 jóvenes
Solo M= 53 jóvenes
Solo C y M= 120-105= 15
Jóvenes
Solo M y T= 165-105= 60
jóvenes
Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes
Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes
Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóveses
a) Fueron encuestados 545 jóvenes
b) Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes
c) Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicios
1.- Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló
distintos tipos de mujeres:
lo siguiente respecto a sus gustos por
800 preferían las rubias;
950 preferían las morenas;
750 preferían las colorinas;
150 preferían las rubias y morenas;
300 preferían las morenas y colorinas
250 preferían las rubias y colorinas
200 Sólo morenas y colorinas
Determine el número de hombres que :
a) Preferían los tres tipos de mujeres encuestados.
b) No preferían estos tipos de mujeres.
2.- En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al
vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas,
existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al
juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino.
Determinar:
a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.
b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente
3.- En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de
Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes” de fin de semana:
95 prefieren ir al “Kamikaze”;
90 prefieren ir al “Playa”;
120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”;
30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa”
10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos”
40 prefieren ir al “Playa” solamente
60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente
Determine el número de estudiantes que prefieren:
a) Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos”
b) Ir a los tres lugares
c) No salir y quedarse estudiando el fin de semana