Criterios de convergencia

Método de los Elementos Finitos
para Análisis Estructural
Criterios de convergencia
Concepto de convergencia en el MEF
Q
Q
Q
Al refinar la malla (elementos más pequeños), la solución tiende
hacia la solución exacta.
X No se conoce, en general, la solución exacta.
Se imponen condiciones (criterios) a las funciones de
interpolación N para garantizar la convergencia.
Los criterios de convergencia no permiten conocer el error, sólo
garantizar la tendencia hacia una solución mejor.
Real
Num. elementos
4
1
8
16
32
Criterios 1 y 2
1. Al imponer unos desplazamientos de sólido rígido se deben
obtener tensiones nulas.
δR
εR = B δ R
σ = D εR = D B δ R = 0
2. Al aplicarle las deformaciones adecuadas,
el elemento debe representar estados de tensión constante.
σ = D B δCte = Cte
El elemento debe representar cualquier estado
de tensión constante, incluso de tensión nula.
2
Criterios 1 y 2 (cont.)
Representar cualquier valor constante de σ
σ = D ε = Cte
Representar cualquier valor constante de ε
ε = B δe = ∂ (n ) N δe = Cte
n: orden de derivación del operador ∂ = orden de derivación de u en U.
Las N deben ser capaces de representar cualquier valor
constante de su derivada n-sima en todo el elemento.
Se requieren polinomios completos de orden n como mínimo
n=1
3
N=a x + b
n=2
N=a x2 + b x + c
Criterio 3
Q
Las deformaciones unitarias en las fronteras deben ser finitas.
X Las deformaciones en las fronteras deber ser continuas.
X
Puede haber discontinuidad en las ε y las σ.
A
B
A
u
u
B
u
X
ε=du/dx
X
ε=du/dx
X
4
u
NO
X
SI
Criterio 3 (cont.)
σ
Energía almacenada en la estructura
ε
U =
1
2
∫
σT ε dv =
1
2
∑∫ σ
T
e
V
ε dv + U cont
ve
Deformación unitaria en el contorno infinita
U cont =
1
2
∫
σT ∞ dv = indeterminado
v =0
Si la deformación unitaria en el contorno es finita
U cont =
1
2
∫
σT εcont dv = 0
v =0
Se requiere ε finita en el contorno
del elemento
5
Criterio 3 (cont.)
ε debe ser finita en el contorno
εcont = Bcont δe = ∂ (n ) Ncont δe = finita
Las funciones N deben tener su derivada n-sima finita en
todo el contorno.
Las funciones N deben tener su derivada n-1 continua en
todo el contorno.
Se requieren polinomios continuos Cn-1 en el contorno
6
Resumen de los 3 criterios
Q
Q
Criterios 1 y 2:
X Representar cualquier campo de σ= Cte en el elemento.
X N deben permitir cualquier valor Cte de su derivada n-sima.
X Polinomios de orden n.
X Elementos completos.
Criterio 3
X σ y ε finitas en el contorno (discontinuas).
X u continuas en el contorno.
X N deben tener:
)
)
X
7
derivada n finita en los contornos
derivada n-1 continua en los contornos
Elementos compatibles
Criterios para elasticidad
Q
Q
Q
m = 2 orden de la ecuación diferencial
n = 1 orden de derivación de u en deformación unitaria (n=m/2)
Polinomios de orden 1. Continuidad en contornos C0
u
1
3
2
du
ε=
dx
u
U1
N=a x + b
U2
U3
X
U =
σ=Εε
X
8
∫
E ε2
dx
2
d 2u
q
=−
2
dx
EA
Criterios para flexión de vigas y placas
Q
Q
Q
Ecuación diferencial m=4. Derivada de v en ε n=2
Polinomios de orden 2. Continuidad en contornos C1
Vigas: basta con parábolas para la deformada v.
)
Se usan cúbicas.
v
1
d 2v
ε = −y 2
dx
F
3
2
v
θ2
θ1
V1
U =
V3
V2
X
9
∫
M2
dx
2EI
d 4v
q
=
dx 4
EI
Ejemplo
Q
Q
Q
Voladizo rectangular L=150 mm
H=50 mm. Espesor 10 mm.
Carga distribuida de 50 kN en el
extremo.
Estudio con diversos elementos y
densidades de mallado.
10
Convergencia en la deformación vertical
Desplazamiento vertical
2,8
2,6
Trian. 3 nudos
Cuad. 4 nudos
Cuad. 4 nudos corr.
Trian 6 nudos
Cuad. 8 nudos
2,4
2,2
2
0
50
100
Número de nudos
11
150
Convergencia en la tensión
Tensión de V. Mises (x=50, y=50)
1250
1200
Trian. 3 nudos
1150
Cuad. 4 nudos
Cuad. 4 nudos corr.
Trian 6 nudos
1100
Cuad. 8 nudos
1050
1000
0
500
1000
Número de nudos
12
1500