Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD. FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO-NEWTONIANOS -τ tiene su origen en la existencia de un gradiente de velocidad en un fluido. Cuando mayor es el valor del gradiente de velocidad mayor será el módulo de τ. -Por lo tanto, existe una vinculación entre τ y el gradiente de velocidad. Newton propuso un modelo que supone que existe una relación lineal entre ambos. Y y t<0 x Y y t>0 pequeño Vx x Y y t>0 intermedio Vx x Y y Estado estacionario Vx x V 14 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular -Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y paralelas de área A separadas entre si por una pequeña distancia “Y”. Al tiempo t<0 el sistema está en reposo, para t=0 a la lámina inferior se le imprime un movimiento de dirección “x” con una velocidad constante Vx. -Las capas de fluido en contacto con la placa inferior adquieren un movimiento de dirección “x” y lo propagan a las capas superiores en la dirección “y”. Se transfiere cantidad de movimiento de dirección “x” en la dirección “y”. O sea que el τ que aparece puede interpretarse como un flujo de cantidad de movimiento de dirección “x” en la dirección “y”. -A mayores t el perfil de velocidad se va modificando hasta alcanzar el estado estacionario (no existen mas variaciones con el tiempo). -En estas condiciones la fuerza Fx necesaria para mover la placa inferior con velocidad constante Vx será, de acuerdo con el modelo de Newton: Tensor esfuerzo viscoso 0 − Vx Fx = −μ • Ay Y −0 Gradiente de velocidad -La constante de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido. -Esta ecuación es válida para flujo laminar y no todos los fluidos la cumplen. Aquellos que si la cumplen reciben el nombre de fluidos newtonianos. -Si la expresión anterior se aplica a un elemento de volumen de fluido de espesor dy y de área δA: lim ΔA → δA 0 −Vx dv ΔF x = τ yx = − μ lim Δy → dy = −μ x Y −0 dy ΔA y -La aparición de este esfuerzo de corte debido a la presencia de un gradiente de velocidad existe en cada plano del fluido y es el responsable de la deformación continua del fluido haciendo que el fluido fluya. 15 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular dv x 〈0 dy pues cuando “y” aumenta vx disminuye. Por lo tanto τyx deberá ser positivo y en el elemento de volumen de fluido las fuerzas generadas por los esfuerzos de corte τyx deberán tener signo opuesto al signo del área. -De acuerdo con el perfil de velocidades mostrado en la figura y Ay:+ Fx:dy Vx Ay:- Fx:+ x -Sobre la cara “y” negativa del elemento de volumen considerado existe una fuerza en “x” positiva pues el elemento de volumen inferior se mueve mas rápidamente y tiende a arrastrarlo. En cambio sobre la cara “y” positiva existe una fuerza en “x” negativa pues el elemento de volumen superior se mueve mas lentamente y tiende a frenar al elemento de volumen considerado. -Unidades de μ ⎡ ⎤ din ⎢ τ ⎥ 2 g ⋅ cm ⋅ s g [μ ] = ⎢ − yx dv ⎥ = cm cm = = = poise 2 2 ⋅ cm s x ⎢ ⎥ s ⋅ cm cm ⋅ s dy ⎥⎦ ⎢⎣ -El ejemplo de flujo analizado es el mas sencillo posible, solo existe gradiente de velocidad en una dirección. Para sistemas en los cuales existen gradientes en todas las direcciones posibles la expresión es mucho mas compleja: 16 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular τ = −2μ e + μ (∇ • v )I 2 3 Donde: ⎛ ∂v x ⎜ ∂x ⎜ ⎜ ⎛ ∂v 1 y ∂v x ⎞ ⎟ + e = ⎜ ⎜⎜ ⎜ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ⎜ ⎜ 1 ⎛⎜ ∂v z + ∂v x ⎞⎟ ⎜ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎝ 1 ⎛ ∂v y ∂v x ⎞ ⎜ ⎟ + ∂y ⎟⎠ 2 ⎜⎝ ∂x ∂v y ∂y 1 ⎛ ∂v z ∂v y ⎞ ⎜ ⎟ + ∂z ⎟⎠ 2 ⎜⎝ ∂y 1 ⎛ ∂v z ∂v x ⎞ ⎞⎟ + ⎟ ⎜ ∂z ⎠ ⎟ 2 ⎝ ∂x ⎟ 1 ⎛ ∂v y ∂v z ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + ∂y ⎟⎠ ⎟ 2 ⎜⎝ ∂z ⎟ ∂v z ⎟ ⎟ ∂z ⎠ -La expresión completa de τ se denomina ecuación de Stokes y contiene a la ley de Newton como un caso particular de un fluido con deformación y gradiente de velocidad en un única dirección. -Es importante recordar que la ecuación de Stokes es un modelo de comportamiento de fluido con deformación que supone que existe una relación lineal entre el esfuerzo de corte aplicado al fluido y el gradiente de velocidad que se produce en el mismo. -Existen fluidos cuyo comportamiento puede ser representado con bastante exactitud por el modelo de Stokes y se los denomina fluidos newtonianos. Son fluidos newtonianos (cumplen con el modelo) todos los gases, la mayoría de los líquidos simples y los metales fundidos. -Los fluidos que no cumplen la ley de Newton de la viscosidad se denominan no-newtonianos y su estudio es el objetivo de una ciencia llamada reología. -La expresión matemática que representa la relación que existe entre el gradiente de velocidad en un fluido y el tensor esfuerzo viscoso originado se denomina ecuación constitutiva de ese fluido. -En forma generalizada se escribe como: 17 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular τ yx = −η dv x dy con η como una viscosidad aparente. -Otros comportamientos reológicos distintos al newtoniano corresponden a:I) fluidos pseudoplásticos: η disminuye al aumentar el gradiente de velocidad. II) fluidos dilatantes: η aumenta al aumentar el gradiente de velocidad. III) plásticos de Bingham: es necesario superar un cierto valor “umbral” de esfuerzos de corte para que el sistema comience a fluir. τyx Plástico de Bingham Newtoniano Pseudoplástico Dilatante − ⎛⎜ ⎝ dv x ⎞ dy ⎟⎠ -Además puede ocurrir que la viscosidad aparente disminuya con el tiempo de aplicación del esfuerzo (fluidos tixotrópicos) o que aumente (fluidos reopécticos). TEORIA DE LA VISCOSIDAD EN GASES A BAJA PRESION -En el caso de caso de gases a baja presión es posible deducir una expresión matemática para calcular la viscosidad empleando la naturaleza molecular de la materia. 18 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular -Objetivo: encontrar una expresión matemática que permita calcular la viscosidad de un gas. -Suposiciones: se adopta un modelo que se basa en las siguientes suposiciones: -las moléculas son esferas rígidas de diámetro d y masa m, no interactúan entre si y poseen una concentración de n moléculas por unidad de volumen. -el gas se encuentra a baja presión. -Son válidos los resultados de la teoría cinética de gases: − 8kT u= valor medio de la velocidad molecular πm − Z = 14 n u frecuencia de choques por unidad de área 1 λ= recorrido libre medio 2 2πd n a = 2 λ distancia promedio a la cual se produjo la última colisión 3 -Es importante no confundir u con v . u es el valor medio de las velocidades individuales de las moléculas. v es el valor medio del vector velocidad del fluido en un elemento de volumen donde vale la hipótesis del continuo. En un fluido que no está fluyendo v = 0 , pero u ≠ 0 -Supongamos que el gas fluye paralelo al eje “x” con un gradiente de dv x y que las ecuaciones de la teoría cinética (válidas para una velocidad dy situación de equilibrio) siguen siendo válidas en esta situación de noequilibrio 19 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular y Perfil de velocidad vx(y) vx⏐y+a Molécula que llega a “y” después de chocar en (y-a). La velocidad de esta molécula es vx⏐y-a a vx⏐y λ a vx⏐y-a -El flujo de cantidad de movimiento de dirección “x” a través de un plano x de las “y” (τyx) se obtiene sumando la cantidad de movimiento “x” moléculas que cruzan el plano en la dirección “y” positiva y restando la cantidad de movimiento “x” de las que cruzan en la dirección “y” negativa. τ yx = Zmv x y − a − Zmv x y + a -En esta ecuación se ha supuesto que todas las moléculas tienen la velocidad correspondiente al plano en el que realizaron la última colisión. Fijado un plano “y” la última colisión en promedio ocurrió a una distancia “+a” por encima de este plano y a una distancia “-a” por debajo del mismo. -Suponiendo vx lineal para distancias correspondientes a varios λ: dv 2 dv v x y−a = v −a x =v − λ x x y x y 3 dy dy 20 Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular dv 2 dv v x y+a = v +a x =v + λ x x y x y 3 dy dy Reemplazando: ⎛ τ yx = Zm⎜ v x ⎝ τ yx 2 dv 2 dv ⎞ 4 dv − λ x −v − λ x ⎟ = − Zm λ x x y 3 dy ⎠ y 3 dy 3 dy − 4 dv − dv x 1 1 = − 4num λ = − 3 n u mλ x dy 3 dy 8 kT τ yx = − 1 3 nm πm ⎛ dv x ⎞ ⎟=− ⎜ 2 ⎜ dy ⎟ 2πd n ⎝ ⎠ 1 2 3 3π 2 mkT ⎛⎜ dv x ⎞⎟ ⎜ dy ⎟ d2 ⎝ ⎠ Comparando con la ley de Newton: ⎛ dv x ⎝ dy τ yx = − μ ⎜⎜ ⎞ ⎟⎟ ⎠ se concluye que: μ= 2 3 mkT d2 3π 2 -Para estimar μ es necesario conocer el diámetro de colisión de las moléculas. -La ecuación predice que μ es independiente de p lo cual resulta correcto hasta aproximadamente 10 atm. La dependencia predicha con la temperatura es menos satisfactoria. Para mejorarla es necesario utilizar un modelo que tenga en cuenta las interacciones entre las moléculas. 21