CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS Primitivo Reyes Aguilar Noviembre 2008 Página 1 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN 2. CARTAS DE CONTROL DE SUMAS ACUMULADAS CuSuM 3. CARTAS DE CONTROL DE PROMEDIO MOVIL EXPONENCIALMENTE PONDERADO (EWMA) 4. CARTAS DE CONTROL DE MEDIA MOVIL 5. CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS 6. CARTAS DE PRECONTROL 7. CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN 8. CARTAS DE CONTROL DE DESGASTE 9. CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS SALIDA MÚLTIPLE 10. CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO 11. DISEÑO ECONÓMICO DE LAS CARTAS DE CONTROL 12. CEP PARA PROCESOS CORRELACIONADOS Página 2 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS 1. Introducción Las cartas de control de Shewart utilizan sólo información acerca del proceso con los últimos datos del subgrupo, e ignoran la información de la secuencia completa de puntos, esto hace que estas cartas de control sean insensibles a pequeños corrimientos de la media del proceso, de 1.5 o menos. Los límites preventivos y criterios múltiples de prueba de corridas o tendencias toman en cuenta otros puntos de la carta, sin embargo esto reduce la simplicidad de interpretación de la carta así como reducir el ARL en control lo cual es indeseable. Cuando se trata de identificar pequeñas variaciones o corridas en la media, se pueden utilizar como alternativa, las cartas de sumas acumuladas (cusum), y promedio móvil exponencialmente ponderado (EWMA). 2. CARTA DE CONTROL DE SUMAS ACUMULADAS - Cusum Para pequeños corrimientos menores a 1.5, la carta de Shewart es ineficiente, en esos casos la carta de sumas acumuladas de Page, que funciona con n >=1 es mejor, ya que incorpora toda la información anterior en el valor de la muestra al graficar la suma acumulada de las desviaciones con referencia a un valor objetivo 0. Si se colectan muestras de tamaño n >= 1 siendo x j el valor promedio de la muestra Página 3 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 j-ésima. La carta de sumas acumuladas se forma graficando para cada muestra i la cantidad siguiente que representa la suma acumulada hasta la muestra i, i Ci ( x j 0 ) j 1 Como esta carta es eficiente para n=1, es una buena alternativa para el control de procesos químicos y el C.E.P. automatizado. Si la media tiene un corrimiento hacia arriba, la carta mostrará una tendencia ascendente y viceversa. La carta Cusum no tiene límites de control, sin embargo tiene un mecanismo similar ya sea en forma tabular o por medio de una mascara en V, como la mostrada en el ejemplo de las páginas siguientes. Página 4 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 CUSUM EN FORMA TABULAR La carta tabular Cusum trabaja con derivaciones acumuladas de 0 sobre el objetivo con un estadístico C+ o debajo de este con un estadistico C-, también llamados Cusums de lado superior o inferior respectivamente. Se calculan como sigue: max0, ( Ci max0, xi (0 K ) Ci1 Ci 0 K ) xi Ci1 donde los valores iniciales para C+ y C- son cero. En las ecuaciones anteriores K es el valor de referencia y se selecciona como un valor intermedio entre la 0 objetivo y la 1 fuera de control en la que estamos interesados en detectar. Así, si el corrimiento se expresa en unidades de desviación estándar 1 = 0 + , entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento: K = / 2 = Valor absoluto de (1 - 0) / 2 Cuando cualquier estadístico C+ y C- excede el intervalo de decisión H, se considera al proceso fuera de control. Un valor razonable para H es cinco veces el valor de . Página 5 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Por ejemplo si 0 = 10, n=1, = 1, y asumiendo que se quiere detectar un corrimiento de 1 = 1, se tiene: 1 = 10 + 1 = 11 K = ½ = 1/2 H = 5 = 5 max0,9.5 x C Ci max0, xi 10.5 Ci1 Ci i i 1 Para el caso de i=1, con xi = 9.5 se tiene: C1 max0,9.45 10.5 0 0 C1 max0,9.5 9.45 0 0.05 Para el caso de i=2, con xi = 7.99 se tiene: C1 max0,7.99 10.5 0 0 C1 max0,9.5 7.99 0.05 1.56 Si N+ y N- indican los periodos en que las sumas no han sido cero, se obtiene la tabla de la página siguiente: De la tabla de Cusum Tabular se observa que en el periodo 29 su C 29+ fue de 5.28, lo que sugiere una situación fuera de control, usando el contador N + cuyo valor es 7, indica que el último punto en control fue el 29 – 7 = 22, de tal forma que el corrimiento ocurrió entre el periodo 22 y 23. También se puede obtener una presentación gráfica de esta carta, denominada Carta de Estatus de Cusum, graficando Ci+ y Ci- contra el número de muestra. Esto da una idea gráfica al operador del desempeño del proceso. Página 6 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 En forma similar a las cartas Cusum, se debe detener el proceso, identificar la causa asignable o especial, tomar acción correctiva e iniciar de nuevo la Cusum Tabular. Cuando el proceso se corre, la nueva media puede estimarse de: C i 0 K , si N Ci H C i 0 K , si Ci H N En el ejemplo, en el periodo 29 con C 29 = 5.28, la nueva media del proceso es, 10 0.5 5.28 11.25 7 Esto es importante saberlo, por si el proceso tiene alguna forma de ajuste. Cuando se utiliza un tamaño de subgrupo mayor a 1, en las fórmulas anteriores se debe remplazar a xi por xi y por la x = n , aunque se recomienda usar un tamaño de muestra 1 con frecuencia de muestreo mayor que para el equivalente de Shewart. La carta Cusum tabular también se puede utilizar para un solo lado con C+ o C-. Página 7 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V Un procedimiento alterno al uso del método tabular Cusum, es la mascarilla en V propuesta por Barnard (1959), esta mascarilla es aplicada a valores sucesivos del estadístico, i Ci y j yi Ci 1 j 1 donde yi = (xi - 0) / observación estandarizada. Una mascarilla en V se muestra a continuación: Ci O d P 2A 1A 1 2 3 4 5 ............................................. i El procedimiento consiste en colocar la mascarilla en V sobre la carta Cusum, con el punto O sobre el último valor de Ci y la línea OP paralela al eje horizontal. Si todos los puntos anteriores C1, C2,....,Cj se encuentran dentro de los dos brazos de la mascarilla, el proceso está en control, sin embargo si cualquier punto de las sumas acumuladas Página 8 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 se encuentra fuera de los brazos de la mascarilla, se considera al proceso fuera de control. En la práctica, la mascarilla en V se debe colocar a cada punto tan pronto como es graficado, los brazos de la mascarilla se asumen extendidos hasta el origen. La operación de la mascarilla en V está determinada por la distancia al vértice d y el ángulo . La Cusum Tabular es equivalente a la mascarilla en V si, k = A tan () y h = A d tan () = d.k Donde A es la distancia horizontal en la mascarilla en V, entre puntos sucesivos en términos de unidades de distancia de la escala vertical. Por ejemplo para la forma tabular con k = ½ y h = 5, seleccionando A =1 se tiene k = A tan () o ½ = (1) tan () = 26.57 de h = d.k o => => 5 = d (1/2) d =10 Estos son los parámetros de la mascarilla en V. Página 9 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Johnson y Leone han sugerido un método para diseñar una mascarilla en V, con las fórmulas siguientes (el método es utilizado por el paquete STATGRAPHICS): 2A tan1 y 2 1 d 2 ln Donde 2 es la máxima probabilidad de una falsa alarma cuando el proceso está en control y es la probabilidad de no detectar un corrimiento de magnitud . d ln( ) cuando es muy pequeño. Por ejemplo si = 0.05 y = 0.05 y = 1 que son los defaults del Statgraphics, se obtiene la mascara en V siguiente: 2 1 0.05 d 2 ln = 5.888 1 0.05 1 2 tan1 26.56 No se recomienda el uso de la mascarilla en V ya que tiene algunas desventajas como son: 1. Es un esquema de doble lado, no apta para control de un solo lado. Página 10 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 2. Es difícil determinar que tanto extender los brazos de la mascarilla en V, dificultando la interpretación del proceso. 3. Existe ambigüedad asociada con alfa y beta. 3. CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA) El desempeño de esta carta, es equivalente al de sumas acumuladas, con n=1. Su estadístico se define como sigue: zi xi (1 ) zi 1 donde 0<<=1 es una constante y su valor inicial es el valor objetivo del proceso, de tal forma que: z0 0 a veces igual a x Si las observaciones xi son variables aleatorias independientes con varianza 2 , entonces la varianza de zi es: 2i 1 (1 ) 2 zi2 Por tanto los límites de control de zi versus el número de muestra o tiempo i, son: Página 11 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 2i LSC 0 L 1 (1 ) 2 LC 0 2i LIC 0 L 1 (1 ) 2 Note que el término [1 – (1-)2i] se aproxima a la unidad conforme i se incrementa, esto significa que cuando la carta EWMA ha corrido durante varios periodos de tiempo, los límites de control se estabilizan en: LSC 0 L 2 LC 0 LSC 0 L 2 Como ejemplo utilizando los datos de la carta Cusum con = 0.10, L = 2.7, 0 y =1, se tiene la carta EWMA mostrada en la página siguiente. Para x1= 9.45, calculando z1 = 9.945; LSC = 10.27 y LIC = 9.73 con la fórmulas anteriores. Para x2= 7.99, calculando z2 = 9.7495; LSC = 10.36 y LIC = 9.64, conforme se incrementa i los límites se estabilizan en LSC = 10.62 LIC = 9.38. La carta EWMA tiene un ARL0 500 y una ARL1 14.3 equivalente a la Cusum con h=5 y k=1/2. Página 12 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Esta carta no reacciona a cambios grandes de la media tan rápido como la hace la carta de Shewart, este mismo comportamiento lo tienen tiene la carta Cususm. 4. CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL Utilizada como un intermedio entre la carta de Shewart y la EWMA para detectar pequeñas corridas de la media. Asumiendo que se define un rango de observaciones w en el tiempo i, su media móvil es: Mi xi xi 1 ..... xi w1 w Los límites de control son: LSC 0 3 w LC 0 LIC 0 3 w Por ejemplo usando los datos anteriores con w = 5. Graficando el estadístico Mi para periodos i 5. Mi xi xi 1 ....xi 4 5 Para periodos i<5 se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1, 2, 3, ...i. Página 13 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS Los límites de control son con 0 =10 y =1, se tiene: LSC = 10 + 3 (1.0) / 51/2 = 11.34 LSC = 10 - 3 (1.0) / 51/2 = 8.66 Ver ejemplo en STATISTICA en la página siguiente. Página 14 de 54 P. Reyes/ noviembre 2008 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 5. CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS CARTAS DE CONTROL DNOM Se pueden utilizar cartas de medias-rangos en situaciones las corridas de producción sean cortas, tomando las desviaciones respecto a la media de especificaciones en lugar del valor como tal. De esta forma si se tienen 2 piezas la A y la B, donde la dimensión nominal de la pieza A TA = 50mm, y la dimensión nominal de la pieza B es TB = 25mm, cuando se produce las piezas A o B se toman muestras y se evalúa la desviación respecto a su media. Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Pieza A A A A B B B B B B M1 50 49 48 49 24 25 27 25 24 26 M2 51 50 49 53 27 27 26 24 25 24 M3 52 51 52 51 26 24 23 23 25 25 D1 0 -1 -2 -1 -1 0 2 0 -1 1 D2 1 0 -1 3 2 2 1 -1 0 -1 D3 2 1 2 1 1 -1 -2 -2 0 0 Media R 1.00 2 0.00 2 -0.33 4 1.00 4 0.67 2 0.33 2 0.33 4 -1.00 2 -0.33 1 0.00 2 ver ejemplo en página siguiente. Se deben cumplir 3 premisas para estas cartas: 1. La desviación estándar debe ser la misma para todas las partes, sin esto no se cumple usar la carta de medias estandarizada. Las partes deben ser parecidas. 2. El procedimiento trabaja mejor cuando el tamaño de muestra es constante para todas las diferentes partes. Página 15 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 3. La media utilizada debe ser la media de las especificaciones, a excepción de cuando se tiene sólo un límite de especificación. CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS RANGOS ESTANDARIZADA Si la desviación estándar para las diferentes partes es diferente, se usan estas cartas. Sean R i , N i el rango medio y el valor nominal de x para un número de parte especifico. Para todas las muestras de este número de parte, graficar, RS R Ri Se toman de datos históricos o de especificaciones para el rango, o se puede estimar de con R i Sd 2 c sus límites de control son D3 y D4. 4 Y para la media, graficar, x S x Ti Ri La línea central para la carta x estandarizada es cero, y sus límites de control son LSC = A2 y LIC = -A2 . Página 16 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS Se utilizan cartas de control estandarizadas con límites de control LSC=+3 y LIC=-3. Los estadísticos a graficar son: Carta p Zi Carta np Zi Carta c Zi Carta u Zi pi p p (1 p ) / n np i n p n p (1 p ) ci c c ui u u/n CARTAS DE CONTROL p USANDO SUBMUESTRA VARIABLE1 Utilizadas cuando las características del producto no pueden ser medidas o los procesos de producción son muy lentos. Los productos similares se agrupan e inspeccionan como si fuesen el mismo producto. Se sugiere inspeccionar 100% por un periodo de 6 meses y establecer control y mejoras en el proceso a través de una carta p antes de establecer un plan de muestreo. 1 Soto Luis, Quality Control Director, Charles E. Gillman Company, Nogales, Arizona. Página 17 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 El procedimiento de muestreo consiste en tomar una pequeña submuestra diaria calculando el valor de p y graficando. El tamaño mínimo de la submuestra se determina de la tabla siguiente de acuerdo a la p-media después de la mejora. p-media 3.0% 2.0 1.5 1.0 0.8 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 n de submuestra 4 5 7 10 12 16 19 24 32 46 92 LSCp 28.6% 20.8 15.3 10.4 8.5 6.4 5.4 4.3 3.2 2.2 1.1 Cuando se identifican puntos fuera de control se regresa a la inspección 100% hasta corregir el problema. Si consideramos el caso donde p-media = 2%, n = 5 y LSC = 20.8%, al tomar la muestra y encontrar 2 defectivos indicará una situación fuera de control, asimismo si un día se encuentra 1 defectivo y al otro día otro defectivo, sugiere la sospecha de algo anormal que se debe investigar. CARTAS DE CONTROL PARA MEDIAS Y RANGOS MÓVILES2 2 Doty, A. Lenard, “Statistical Process Control”, ASQC Quality Press, USA, 1991, Chapter 5. Página 18 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Esta carta está diseñada para corridas cortas de producción para tamaños de muestra 5 o menos. Una media y rango móvil se calcula para cada tres o cuatro mediciones individuales. Se inicia con la primera medición y las siguientes 2 o 3, se continua con el siguiente grupo que inicia con la segunda y así sucesivamente. Ejemplo: (MA) (MR) Muestra Medición Media móvil Rango Móvil 1 1.055 - - 2 1.062 - - 3 1.054 - - 4 1.055 1.0565 0.008 5 1.060 1.0578 0.008 6 1.061 1.0575 0.007 7 1.065 1.0603 0.010 donde se aplican las fórmulas de la carta X-R para la media de medias y rango medio (con m-n+1 valores) y límites de control (para n = 4) con sus mismas reglas. CARTAS DE CONTROL QUE USAN LÍMITES DE ESPECIFICACIÓN El valor central y los límites de control se establecen a partir de las especificaciones, no es una carta sensible, pero es una alternativa a no tener nada para el control del proceso: = (LSE + LIE) / 2 = (LSE – LIE) / 6 Página 19 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 _ R d2 LSC = + 3 / n LIC = - 3 / n 6. CARTAS DE PRE – CONTROL También se denomina carta de objetivo, igual que la anterior, utiliza los límites de especificación para su establecimiento, situados a 3 es fácil de construir y usar, sin embargo igual que la anterior, no permite mejorar el proceso. La carta tiene tres áreas: ZONA ROJA Límite superior de especificaciones ZONA AMARILLA Esta zona comprende 1.5 o 7% ZONA VERDE Esta zona comprende 1.5 o 86% ZONA AMARILLA Esta zona comprende 1.5 o 7% ZONA ROJA Límite inferior de especificaciones En la carta de pre – control hay un 1/14 de que una parte caiga en la zona amarilla y de 1/196 de que caigan dos consecutivas en ésta zona, en este caso se considera que el proceso se salió de control. A continuación se muestran las reglas de uso de la carta: 1. Iniciar el proceso. Si el primer artículo sale de especificaciones, parar, corregir e iniciar de nuevo. Deberán caer en la zona verde. Página 20 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 2. Si un artículo cae en la zona amarilla, tomar un siguiente artículo. Si cae nuevamente en la zona amarilla parar y corregir el proceso, de otra forma continuar. 3. Si 25 artículos consecutivos caen en la zona verde, reducir frecuencia de chequeo. La carta tiene las siguientes desventajas: - No es una carta de control en el sentido de utilizar los patrones o reglas de sensibilizaciòn. - No proporciona información del proceso con la cual se pudiesen coordinar acciones de mejora en variabilidad. - Asume que el proceso es hábil y que es normal. 7. CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Las cartas de control modificadas se utilizan cuando la variabilidad es pequeña respecto a los límites de especificaciones, es decir el Cp es mucho mayor que 1. En este caso la media del proceso puede variar sobre un rango permitido sin afectar el desempeño del proceso. La carta de control modificada X esta diseñada para detectar sólo si la media verdadera del proceso , está localizada de tal forma que el proceso genere una fracción de productos no conformes mayor de algún valor especificado . Página 21 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Se permite que varíe entre I y S de tal forma que no se exceda la fracción defectiva . Se asume que el proceso está normalmente distribuido y que sea conocida y esté en control. LIEsp. |--- 6 ---| De la figura se observa que: Página 22 de 54 LSEsp. CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 I LIE S Z LSE Z / n LIC LSC Z n Donde: I LIE Z S LSE Z Donde Z es el punto superior 100(1-) de la distribución normal, si se especifica un error , los límites de control superior e inferior son: Página 23 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS LSC S LIC I P. Reyes/ noviembre 2008 Z Z LSE Z n n Z Z LIE Z n n Lo común es que Z =3. En las cartas modificadas, es una fracción no conforme que se acepta con una probabilidad (1-). Si la variabilidad del proceso cambia, éstas cartas no son apropiadas, de tal forma que se recomienda siempre usar en forma adicional una carta R o S, de donde incluso se estime la inicial. CARTAS DE CONTROL DE ACEPTACIÓN En este caso se toma en cuenta ambos errores tipo I y tipo II, ya sea de rechazar un proceso que opera en forma satisfactoria o de aceptarlo si opera en forma insatisfactoria. Los límites de control para este caso se basan en una n especificada y una fracción no conforme del proceso que nos gustaría rechazar con una probabilidad (1-), por tanto: LSC S LIC I Z Z LSE Z n n Z Z LIE Z n n Página 24 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Es posible también seleccionar un tamaño de muestra de tal forma que se obtengan los requerimientos para , , y . Igualando los límites de control superiores: Z Z LSC LSE Z = LSE Z n n Se obtiene Z Z n Z Z 2 Por ejemplo si delta = 0.01, alfa = 0.00135, gama = 0.05 y beta = 0.20, haciendo los cálculos se obtiene una n = 31.43 32. 3.00 0.84 n 2.33 1.645 2 Otro ejemplo que da Duncan es el siguiente:3 LSE =0.025 LSE-1.96 Amplitud de variación 0.10 __ Aceptable para X 0.10 LIE+1.96 3 Duncan A., Control de Calidad y Estadística Industrial, Alfaomega, México, 1989, pp. 527-530 Página 25 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS LIE P. Reyes/ noviembre 2008 =0.025 En la figura si suponemos que =0.025 y = 0.10, asumiendo un proceso normal, los límites para la carta de control de aceptación estarán en: LSC = LSE – 1.96 - 1.282/ n LIC = LIE + 1.96 + 1.282/ n Página 26 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 8. CARTA PARA CONTROLAR DESGASTE Cuando un desgaste natural ocurre, se presenta una tendencia natural en la carta de control, la distancia entre los límites de especificación debe ser mucho mayor que 6X, por lo que se puede usar el concepto de la carta de control modificada (X = R/d2). El ajuste inicial de la herramienta se inicia a 3x arriba del límite inferior de especificación, y el máximo que se le permite variar es hasta 3x abajo del límite superior de especificación. Esto minimiza los ajustes a realizar durante las corridas de producción. Se puede utilizar un valor diferente de Z = 3 si se requiere una mayor protección en la fracción defectuosa. Para este problema también se puede utilizar la carta de regresión. LSE _ X LSE-3x Amplitud dentro de la cual se espera encontrar las 6 _ X medias de las piezas Distribución de x _ X LIE+3x LIE CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTAS Página 27 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Como se puede observar, sólo se puede emplear ésta carta si la amplitud de los límites de especificación es suficiente mayor a 6x para alojar la carta de control. La pendiente b de la línea central y límites de control se pueden calcular por los métodos siguientes: 1. Dibujando una línea central que pase por los puntos graficados y estimando en forma gráfica la pendiente. 2. Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, donde si se tienen un total de m muestras con el número de muestra i = 1,2,3…..m la pendiente b es (los datos se pueden codificar para facilidad): b [12 iX i /(m(m 2 1))] [6 X i /(m(m 1))] 3. Utilizando un paquete de computadora que incluye el cálculo de mínimos cuadrados. Los valores sugeridos de inicio y paro del proceso son 1, , 2 donde: 1 LIE 3 x LIE 3R / d 2 2 LSE 3 x LSE 3R / d 2 El número de puntos que tienen que pasar para llegar de 1, , 2 es: M* = ( 1, - 2 ) / b Es importante considerar que antes de llevar una carta de medias para desgaste es indispensable asegurarse que la carta de rangos está en control estadístico. En caso de que la media en lugar de crecer, decrezca, las 1, , 2 se invierten: _ Los límites de control se encuentran a una distancia vertical A2 R de la línea central. Página 28 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Ejemplo: El diámetro exterior de una válvula tiene una especificación de 1.1555 0.0005”. Se han tomado 13 muestras de 5 piezas cada una sin ajustar la herramienta de corte, en intervalos de media hora. Los resultados son: Muestra i 1 2 3 4 5 6 7 8 _ X i 1.15530, 1.15540,1.15544, 1.15546, 1.15550, 1.15556, 1.15568, 1.15570, Ri 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020 9 10 11 12 13 _ X i 1.15576, 1.15578, 1.15580, 1.15586, 1.15590 Ri 0.00010, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020 Los resultados obtenidos son: R-medio=0.0001769; LSCR=0.000374, = 0.000076053; b = 0.0000492 1, , 2 son respectivamente 1.155228 y 1.155772 m* = 11.056, los límites de control están a _ A2 R = 0.5768(0.0001769)=0.000102. Es decir que tienen que pasar 11 puntos o 5.5 horas para reajustar el proceso LSE 2 Pendiente b LSC 1, LIE LIC Tiempo “t” o Página 29 de 54 número de muestra CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 9. CARTAS DE CONTROL DE GRUPO PARA PROCESOS DE SALIDA MULTIPLE Se utiliza para procesos con muchas fuentes de producción, por ejemplo diversos husillos que en principio producen piezas similares. El usar una carta de control para cada husillo por separado sería prohibitivo, sin embargo se tiene la alternativa de ésta carta de control siempre que la producción entre husillos no esté correlacionada. Para establecer una carta de este tipo, se toman n partes de cada salida, hasta completar 20 o 25 subgrupos, por ejemplo si se toman muestras de n = 4 de 6 husillos repetido en 20 subgrupos, se habrán tomado 20 x 6 = 120 medias y rangos de n = 4 observaciones. De _ éstos se calculan la media de medias X y el R , los límites de control se calculan como en una carta de medias-rangos convencional con n = 4, en este caso A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 2.282: _ _ LICX = X - A2 R LICR = D3 R _ LSCX = X + A2 R _ LSCR = D4 R Con los límites de control trazados, se grafica después sólo la mayor y la menor de las 6 lecturas promedio considerando todas las salidas o en este caso husillos de la máquina, si se encuentran en control, se asume que las demás están en control. Para el rango se grafica sólo el mayor de todos los rangos. Cada punto es identificado por el número de husillo o salida que lo produjo. El proceso se encuentra fuera de Página 30 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 control si se algún punto excede los límites de 3-sigma. No se pueden aplicar pruebas de rachas a estas cartas. Es útil observar que si una salida da el mayor o el menor valor varias en una fila, puede ser evidencia de que es diferente a los otros. Si el proceso tiene s salidas y si r es el número de veces consecutivas que se repite como el mayor o el menor, el ARL para este evento es: ARL0 s r 1 s 1 Para el caso de que s = 6 y r = 4, el ARL será de 259, es decir que si el proceso está en control, se esperará que una salida repita un valor extremo 4 veces en la carta una vez de cada 259 muestras. Si esto sucede con más frecuencia se debe sospechar que la salida es diferente a las demás. Algunos de los pares adecuados de (s,r) son (3,7), (4,6), (5-6,5), 7-10,4), todas las combinaciones dan ARLo adecuados. 10. CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO Hay situaciones donde es necesario el control de dos o más características al mismo tiempo, por ejemplo en un balero donde influyen el diámetro interior y el exterior para que funcione adecuadamente. Para eso es necesario un control multivariado como el propuesto por Hotelling4. Hotelling,H. (1947). “Multivariate Quality Control,”, Techniques of Statistical Analysis, Eisenhart, McGraw Hill, NY, USA, 1947. 4 Página 31 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Carta de control chi-cuadrada En el caso del control de medias el estadístico a graficar es un 2 con 2 grados de libertad: 02 __ __ __ n 2 __ 2 2 2 2 2 2 ( X ) ( X ) 2 ( X ) ( X 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 ) 2 2 2 2 1 2 12 El Límite Superior de Control LSC = 2.2 que es el punto superior para el área (1-). Si al menos una media se sale de control, la probabilidad de que el estadístico 2 salga de control se incrementa. Si 12 = 0, __ __ indicando que las medias muestrales X 1 , X 2 son independientes se tendrá una elipse con centro en (1, 2) y ejes paralelos a los ejes de __ __ __ __ X 1 , X 2 , esto implica que si si un par de muestras ( X 1 , X 2 ) dan un valor de 2 que caiga dentro de la elipse, indica que el punto está dentro de control, de esta forma se tiene una elipse de control. __ __ Si 12 0 las 2 características X 1 , X 2 son dependientes y la elipse de control estará inclinada, puede ser que un punto salga de control en __ esta elipse, sin embargo todavía esté en control a nivel de cartas X R individuales. Estas cartas se denominan cartas de control chi-cuadrada, las cuales tienen 2 desventajas: 1) la secuencia de los puntos graficados se pierde y 2) la dificultad de construir la elipse para más de 2 Página 32 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 características de calidad. Sin embargo una ventaja importante que tienen, es que con un solo número se pueden controlar varias (p) características de calidad en forma conjunta. Para evitar las dificultades anteriores, es usual graficar los valores de 02 correspondientes a cada muestra, en una carta de control, denominada carta de control chi-cuadrada, ésta preserva la secuencia de los datos de tal forma que se puedan investigar corridas y otros patrones no aleatorios. Además sólo requiere un solo número para controlar el proceso, muy útil cuando hay dos o más características de interés. Es posible extender los resultados anteriores a p características relacionadas, asumiendo que cumplen con las reglas de la distribución normal p-variada. Se calcula la media muestral de cada característica de una muestra de tamaño n, representándolas con el vector p x 1 de medias muestrales. El estadístico graficado en la carta de control chi-cuadrada para cada muestra es: _ _ 02 n( x )' 1 ( x ) . Donde ’ es el vector de las medias en control para cada característica de calidad y es la matriz de covarianza. El límite de control superior es: Página 33 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 LSC 2. p LSC = 2.2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Carta de control chi-cuadrada para p = 2 características de calidad La carta de control T2 Si en la ecuación anterior para Chi-cuadrada se reemplaza por X y 2 por S 2 tenemos el estadístico T2 . _ _ T 2 n( x X )' 1 ( x X ) Se utilizan 2 fases para el uso de esta carta; la fase 1 es para establecer control del proceso, probando con los primeros m subgrupos, aquí se establecen los límites de control para la fase 2, con los cuales se monitorea la producción. Página 34 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Los límites de control para la fase I son: LSC p(m 1)(n 1) F , p, mn m p 1 m n m p 1 LIC 0 y para la fase II: LSC p(m 1)(n 1) F , p , mn m p 1 m n m p 1 LIC 0 Es común usar el Límite Superior de Control LSC = 2.2 para ambas fases, si se usa m20 o 25 los límites de control coinciden para ambas fases. Se recomienda tomar siempre m mayor de 20 con más de 50 muestras. Ejemplo: Se desean controlar en forma conjunta las características de calidad resistencia a la tensión y el diámetro de una fibra textil. Se ha decidido usar una muestra de 10 fibras (n = 10), se toman 20 muestras preliminares, calculando lo siguiente: X 1 2 115.59 psi;X 2 0.0106" ;S 1 1.23psi;S 2 0.83" , S 12 0.79 2 2 Con estos valores se calcula el estadístico T2 y se va graficando en una carta de control. T2 __ __ __ 10 2 2 2 2 ( 0 . 83 )( X 115 . 59 ) 1 . 23 ( X 1 . 06 ) 2 ( 0 . 79 )( X 115 . 59 ) ( X 1 2 1 2 1.06) (1.23)(0.83) 0.79 Si se considera un error tipo I = 0.001, el límite superior de control LSC es: LSC 2(20 1)(10 1) 342 F0.001, 2, 20(10) 20 21 F0.001, 2,179 (1.91)(17.18) 13.72 (20)(10) 20 2 1 179 Página 35 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 13.72 T2 No muestra puntos fuera de control. Los límites para la fase II se calculan dando LSC = 15.16. Si se hubiese utilizado LSC = 2.2 = 13.816 que está cercano a los límites de control de las fases I y II. Nota: El LSC que calcula el Statgraphics no es correcto. Uno de los métodos para identificar que característica se encuentra fuera de control es llevar cartas X R adicionales con límites de control en Z / 2 p para reducir el número de falsas alarmas. Otro método es descomponer el estadístico T2 en componentes que reflejen la contribución de cada variable, T(i2) es el valor del estadístico para todas las variables excepto la (i-ésima), por tanto: di = (T2 - T(i2) ) Es un indicador de la contribución relativa de la variable i al estadístico, cuando se presenta una situación fuera de control, se Página 36 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 recomienda calcular di para i =1,2 y enfocarse al que tenga el valor mayor. El caso de n = 1 En industrias químicas y de proceso, es normal tener una sola muestra donde medir las diferentes características, el estadístico T2 se transforma en: T 2 ( x x )' S 1 ( x x ) Los límites para la fase II son: p(m 1)(n 1) F , p , m p m2 m p LIC 0 LSC Cuando se toman más de 100 muestras preliminares los límites preliminares son:: LSC p(m 1)(n 1) F , p , m p ; m p o LSC = 2.2 LIC 0 Cartas de control Cusum y EWMA multivariadas Las cartas tratadas anteriormente no son sensibles a variaciones pequeñas y moderadas en el vector de la media. Las cartas Cusum y EWMA tienen un mejor desempeño ante estas situaciones y pueden ser extendidas al caso multivariado. La carta MEWMA extensión de la EWMA se define como sigue: Z i xi (1 )Z i 1 con 0 1; Z 0 0 . La cantidad graficada en la carta de control es: Página 37 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Ti 2 Z i' Zi1 Z i Donde la matriz de covarianza es: Zi 2 1 (1 ) 2i análoga a la varianza de la EWMA univariada Monitoreo de la variabilidad del proceso Así como es importante monitorear el vector de media del proceso en el caso multivariado, también es importante monitorear la variabilidad del proceso. La variabilidad del proceso es resumida por la matriz de covarianza p x p . Los elementos de la diagonal principal de esta matriz son las varianzas de las variables individuales del proceso y los elementos fuera de la diagonal son las covarianzas. Se sugieren dos procedimientos: 1. Hacer una extensión de la carta S 2 el estadístico graficado en la carta de control para la muestra i, es: Wi pn pn (ln n) n ln( Ai / ) tr ( 1 Ai ) Donde Ai = (n-1)Si, con Si matriz de covarianza de la muestra i y tr es la traza de la matriz (suma de los elementos de la diagonal principal). Si Wi sale del límite de control LSC 2. p( p1) / 2 , está fuera de control. 2. Basándose en la varianza generalizada de la muestra S con parámetros de control: Página 38 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS 1 b1 (n 1) p b2 LC b1 LIC p (n i ) 1 (n 1) 2 p LSC P. Reyes/ noviembre 2008 i 1 p p ( n i ) ( n j 2 ) ( n j )] i 1 j 1 j 1 p (b1 3b21 / 2 ) en la práctica se estima con S / b1 (b1 3b 21 / 2 ) Ejemplo: Del ejemplo anterior, se construirá una carta de control para la varianza generalizada, en base a las 20 muestras preliminares, con n = 10, la matriz de covarianza es: 1.23 0.79 S 0.79 0.83 S 0.34968 b1 1 (9)(8) 0.8889 81 b2 1 (9)(8)(11)(10) (9)(8) 41.70 6531 S / b1 0.3968/ 0.8889 0.4464 LSC ( S / b1 )(b1 3b21 / 2 ) 0.4464[0.8889 3(0.4170) 1 / 2 ] 1.26 LIC ( S / b1 )(b1 3b21 / 2 ) 0.4464[0.8889 3(0.4170) 1 / 2 ] 0.47 0 Página 39 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Se calculan los valores de S i para cada muestra y se grafican, como se muestra en la figura de la página siguiente: LSC=1.26 0.5 Número de muestra Carta de control para la varianza generalizada de la muestra Como en casos anteriores, es conveniente llevar una carta de control univariada adicional para identificar variabilidades individuales. Página 40 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 11. DISEÑO ECONÓMICO DE CARTAS DE CONTROL La aplicación de una carta de control requiere que el ingeniero de calidad seleccione un tamaño de muestra, una frecuencia de inspección o intervalo entre muestras y los límites de control para la carta. A la selección de estos tres parámetros se le denomina diseño de la carta de control, lo cual se realiza normalmente de acuerdo a criterios estadísticos establecidos, sin embargo también tiene consecuencias económicas como costos de muestreo y prueba, costos asociados con la investigación de puntos fuera de control y de corrección de causas especiales y el costo de que los defectos lleguen al cliente. Características del proceso Se considera que las causas especiales o asignables se presentan en intervalos de tiempo que siguen la distribución de Poisson, implicando que el tiempo que un proceso permanece en control es una variable exponencial. Se asume también que el proceso no se autocorrige. Parámetros de costo Se consideran tres categorías de costos en el diseño económico de las cartas de control: - Costos de muestreo, inspección y prueba (fijos y variables por equipo de prueba, salarios, pruebas destructivas, etc.) - Costos asociados con la corrección de cualquier causa especial encontrada - Costos asociados con el la producción de partes no conformes (desperdicios, retrabajos, reemplazo o garantías). Página 41 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Los modelos económicos se formulan por lo general usando una función de costo total, la cual expresa la relación entre los parámetros de diseño de la carta de control y los tres tipos de costo anteriores. Si E(T) es la duración de un ciclo que incluye la producción, monitoreo por carta de control y ajuste cuando se detecta un punto fuera de control y E[C) el costo total esperado que se incurra durante un ciclo, entonces el costo esperado por unidad de tiempo es: E ( A) E (C ) E (T ) Algunos primeros intentos de diseños económicos de cartas de control de Shewhart por el ejemplo la propuesta de Weiler (1952) sugiere que __ para la carta X , el tamaño de muestra óptimo que minimiza la inspección total requerida para detectar un corrimiento específico desde un estado en control 0 0 es: n 12.0 n 11.1 n 6.65 n 4.4 2 2 2 2 para límites de control en 3.09 sigma para límites de control en 3.00 sigma para límites de control en 2.58 sigma para límites de control en 2.33 sigma Página 42 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Duncan en 1956 propuso un modelo de diseño económico para la __ carta X , asume que los parámetros: 0, y son conocidos y que se deben determinar n, k (dist. LC) y h (horas). Se asume también una distribución de Poisson de aparicón de causas asignables de ocurrencias por hora. Cuando la ocurre la causa especial, la probabilidad de detectarla es 1- (error II) y la probabilidad de una falsa alarma es . El ciclo consiste de 4 periodos: 1) el periodo en control (1 / ); 2) el periodo fuera de control h /(1 ) ; es el tiempo esperado de ocurrencia entre causas especiales 1 (1 h)e h (1 e h ) 3) el tiempo para tomar la muestra e interpretar los resultados; gn y 4) el tiempo para encontrar la causa especial es una constante D. Por tanto la duración del ciclo es: E (T ) 1 h gn D 1 La utilidad por hora de operación en el estado dentro de control es V0 y V1 para fuera de control. El costo de tomar una muestra de tamaño n es a1 a 2 n (costo fijo y variable). El número esperado de muestras tomadas durante un ciclo es la duración esperada del ciclo dividida por el intervalo entre muestra o E (T ) / h . El costo de hallar una causa Página 43 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 especial es a3 y el costo de investigarla es a3' , el número esperado de falsas alarmas durante un ciclo es: e h 1 e h Por tanto la utilidad neta esperada por ciclo es: E(C ) V0 a ' e h E(T ) h V1 ( gn D) a3 3 h (a1 a 2 n) 1 h 1 e 1 De esta forma la utilidad neta por hora esperada es (ver fórmulas anteriores): E ( A) E (C ) E (T ) Si a 4 V0 V1 el costo adicional asociado con producir fuera de control, la ecuación anterior queda como: E( A) V0 E( L) a1 a 2 n a 4 h /(1 ) gn D a3 a3' e h /(1 e h ) E( L) h 1 / h /(1 ) gn D E(L) es la pérdida esperada por hora incurrida por el proceso, maximizar la utilidad neta equivale a minimizar E(L) lo cual se hace por métodos numéricos. Página 44 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Ejemplo: Para un fabricante de botellas, el costo fijo de tomar una muestra es $1 y el costo variable $0.10 por botella, tomando un minuto (0.0167 h) para medir y anotar el espesor de pared de la botella. Normalmente cuando el proceso sale de control con corrimientos de 2, con una periodicidad de aprox. Uno por cada 20 h de operación, así la distribución de Posisson con = 0.05 es un buen modelo para el ARL en control. El tiempo necesario para investigar una anormalidad es de 1 h, el costo de eliminación de una causa especial es de $25 mientras que el costo de una falsa alarma es de $50. De acuerdo a registros, el costo de operar fuera de control es de $100 por hora. Datos: a1 $1;a2 $0.1; a3 $25; a3' $50; a4 $100; 0.05; 2.0, g 0.0167yD 1.0. La solución óptima se encontró en el renglón 5 de la tabla siguiente 8.38. Se usó un progrfama de computadora para calcular el ancho de límites de control k, y frecuecnia de muestreo h para varios valores de n, calculando el valor de la función de costo. Se observa de la tabla que el costo mínimo es $8.38 por hora y la carta X-R debe usar muestras de tamaño 5, los límites de control deben estar localizados en k o sea en 2.99 tomando las muestra en intervalos de h=0.76 h (45min.). El riesgo es de 0.0028 y la potencia de la prueba es (1 - ) es de 0.9308. Después de operar la carta, el fabricante se dio cuenta de que probablemente se estimó mal el costo de producir fuera de control a ser a 4 $150afecta a la frecuencia óptima de muestreo de 0.76 h (45 min.) antes a 0.62 h (37 min.) ahora. basándose en esto, el fabricante adoptó una frecuencia de 45 min. Otras variantes al problema también se muestran a continuación: Resumen 1. El tamaño de muestra óptimo depende mucho de la magnitud del corrimiento . Si se encuentra entre 1 – 2, n se encontrará entre 10 – 20. Para <=0.5 requiere tamaños de muestra n mayores a 40. Ver tabla 8.40 2. El costo de penalización por producir fuera de control a 4 afecta el intervalo entre muestras h de manera inversa. Ver tabla 8.38 y 8.39. Página 45 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 3. Los costos asociados con la búsqueda de causas especiales, afecta principalmente el ancho de los límites de control, mientras se incrementa el costo de investigación de causas fuera de control, queremos que las falsas alarmas sean mínimas. Ver tabla 8.41 4. La variación en costo de muestreo, afecta los tres parámetros de diseño. Ver tabla 8.42 y 8.43. 5. Cambios en el número medio de ocurrencias de la causa especial pro hora, afecta en principio el intervalo entre muestras. Ver tabla 8.44. 6. El diseño óptimo económico es relativamente insensible al estimado de los coeficientes de costo. Ver tablas 8.38 a 8.44. 7. Se debe tener cuidado con el diseño arbitrario de las cartas de control, Duncan ha encontrado grandes variaciones en costo al comparar contra el diseño arbitrario n = 5; k = 3; y h = 1, para varios conjuntos de parámetros. Realmente muy pocos han implantado modelos de diseño económicos para las cartas de control, primero porque los modelos son relativamente complejos y la forma de presentarlos en forma difícil de entender y usar; segundo porque es difícil estimar costos y otros parámetros del modelo. Un análisis de sensibilidad puede ayudar. Se sugiere aplicar estos métodos a los artículos costosos tipo “A” en el inventario. Página 46 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 12. CEP PARA DATOS DE PROCESOS CORRELACIONADOS En algunos procesos donde por cuestiones de inercia de cambio en parámetros como en los procesos químicos, cuando los intervalos entre muestreos son pequeños en relación a esas fuerzas, las observaciones del proceso estarán correlacionadas en el tiempo Wt Tanque con volumen V y flujos de entrada y de salida Xt Si se toman muestras en intervalos t, entoces observamos las xt: x t awt (1 a) x t 1 T V / f ;V volum en; f flujo a 1 e t / T . La autocorrelación entre valores sucesivos de xt (xt y xt-1 ) está dado por: 1 a e t / T Si t es mucho más grande que T, = 0, por ser las observaciones no correlacionadas. Página 47 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Ejemplo: Calcular para el caso de t/T<=1. 0.5, 0.25, 0.1. Cuando t/T<= 0.25 la autocorrelación puede incrementar las falsas alarmas de la carta de control. Por ejemplo para la viscocidad se tiene: Xi Viscocidad en tiempo t (Xt) * ** * * * Correlación positiva * ** * Viscocidad en tiempo t-1 (Xt-1) La función de autocorrelación para la serie de datos de serie de tiempo es: _ Cov( x t , x i k x) k , k 0,1,.... V ( xt ) Se considera que Cov es la covarianza de las observaciones que están separadas k periodos, asumiendo que las observaciones tienen una varianza constante dada por V(xt). Normalmente la función de autocorrelación de la muestra se estima con: Página 48 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS nk rk _ _ ( xt x)(xt k x) i 1 n (x t 1 _ t P. Reyes/ noviembre 2008 x) , k 0,1,....K 2 Como regla general, es necesario calcular valores de rk Para algunos valores de k, k<=n/4, se pueden calcular por software. Una gráfica que muestra rk, retrazo en k, puede mostrar la función de autocorrelación, si una barra excede los límites de control, se identifica que existe correlación. Página 49 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Esquemas adaptativos Un CEP con procedimiento adaptativo es aquel donde puede variar el intervalo de muestreo o el tamaño de muestra o ambos. En términos generales se divide en zonas, el área entre los límites de control como sigue: LIC w LC w LSC Si el estadístico muestral cae entre las w’s, se continua utilizando el método estándar de muestreo, de otra forma recorta el tiempo de muestro y/o se toman más muestras. Selección del valor meta óptimo para un proceso Si x es el valor observado de la característica de calidad ( peso o volumen) y T es el LIE (límite inferior de especificación) más un para llegar a la meta del proceso. Si el precio de venta del producto bueno es a y de un producto defectivo es r, y g es el costo en exceso de calidad por unidad de un artículo bueno (por ejemplo g es el costo por onza para el exceso de producto sobre 12 onzas mínimo especificado). Asumiendo normalidad, se tiene que el nivel óptimo de llenado es g : ar Ejemplo: El volumne nominla de un bote de refresco es de 12 fl. Oz. Su costo es de $0.01/fl oz., el precio de venta es de $0.20, los botes semillenos se venden en $0.10. Después de llevar cartas X-R, dio una R media de 0.15, por tanto: Página 50 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 __ R 0.15 0.0645 d 2 2.326 el volumen óptimo de llenado es: g (0.01)(0.0645) 0.0065 ar 0.20 0.10 Con este valor de absisa se encuentra el valor de la ordenada en: * 2.85 0.1838 Por tanto el llenado óptimo estará en 12 fl oz. + 0.1838 = 12.1838 fl. Oz. Notar que hay una correlación fuerte positiva con k =1 (r1 = 0.88), lo cual distorsiona la carta de Shewhart ya que incrementa la frecuencia de falsas alarmas. Un modelo que remueve la autocorrelación de los datos aplicando las cartas de control a los residuos es : xt xt .1 t Donde y con valor entre (-1,1) son constantes desconocidas y t es normalmente distribuido con media cero y desviación estándar . Al modelo se le denomina modelo auto regresivo de primer orden La observación xt de tal modelo tiene una media de / (1 - ) y desviación estándar de / (1 - 2)1/2 Página 51 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 Las observaciones que se encuentran separadas k periodos (xt - xt-k) tienen un coeficiente de correlación k la cual debe decaer en forma exponencial. ^ Suponiendo que es un estimado de , obtenido del análisis de la ^ muestra del proceso y x es un valor ajustado de xt entonces los residuos t son aproximadamente distribuidos normalmente con media cero y varianza constante, se pueden aplicar cartas de control a la secuencia de residuos con sus reglas: ^ et = x t - x Los parámetros del modelo autoregresivo pueden estimarse por mínimos cuadrados escogiendo las cosntantes que minimizen la suma de los errores t ; el modelo para la viscocidad es: ^ x t 13.04 0.847x t .1 En la fig. 8.28 se muestra una carta de control para los residuos, notar que no se muestran puntos fuera de control, en contraste con la gráfica de la figura 8.13, por tanto se puede concluir que el proceso está en control estadístico. Otro modelo llamado modelo de media móvil de primer orden donde la estructura correlativa se extiende sólo un periodo hacia atrás, es el que muestra dependencia respecto a los errores anteriores o sea: Página 52 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS P. Reyes/ noviembre 2008 xt t .1 t En este modelo la correlación entre (xt - xt-k) es 1 = - / (1 + 2) y es cero para otros valores de k retrasos. Se pueden combinar los modelos anteriores dando un modelo mezclado o sea: xt xt .1 t t 1 Es utilizado en la industria química y de procesos. Los modelos anteriores son estudiados por Box y Jenkins denominados ARIMA para procesos estacionarios. Uso de la carta EWMA con datos correlacionados Esta carta se puede utilizar bajo ciertas condiciones con datros correlacionados, aquí 1 es óptima para un proceso de un paso adelante. ^ x t 1 (t ) z t ; z t x t (1 ) z t 1 La secuencia de errores un paso adelante son: Página 53 de 54 CONTROL AVANZADO DE PROCESOS ^ et = xt - x t(t-1) P. Reyes/ noviembre 2008 independiente e idénticamente distribuido con media cero La carta EWMA de los residuos et o errores de predicción, debe estar acompañada de los datos de las observaciones originales, superponiendo los valores de predicción de la EWMA. En el caso de la viscocidad los mínimos errores de predicción cuadrados ocurren en = 0.825, se observa en la figura 8.18 que el proceso se encuentra en control. También se puede formar una carta EWMA con línea central móvil comparando el valor de x t 1 con los límites de control móviles: LSCt 1 z t 3 LICt 1 z t 3 En muchos casos será preferible una carta de control de residuos y una EWMA para combinar la información. Página 54 de 54