El cuerpo negro según Einstein

La radiación encerrada en una cavidad está formada por un gas ideal de fotones con distintas frecuencias ν y energı́as E = hν que se encuentra en equilibrio
térmico con sus paredes (Einstein, 1905).
Einstein llegó a esta conclusión en 1905 tras conocer la ley de radiación de Planck,
formulada en 1900, en la que éste introdujo por primera vez su famosa constante.
Ambos utilizaron profusamente la idea de entropı́a introducida por Boltzmann en
1873. La hipótesis de Einstein no fué admitida hasta su comprobación experimental
por Millikan en el efecto fotoeléctrico, durante el periodo 1917-1919. Veamos cuál es
la fı́sica relacionada con éstas ideas.
El cuerpo negro según Einstein
El equilibrio radiación/materia se produce a través de la absorción y emisión de
fotones por los electrones oscilantes de las paredes de la cavidad, formadas por átomos en vibración. Dentro del sólido que forma la pared, se produce una distribución
contı́nua de frecuencias de vibración debida a la agitación térmica, y ésta es básicamente independiente del tipo de material. En el equilibrio, la energı́a absorbida por
unidad de tiempo en cada elemento de la superficie interna de la pared, coincide con
la emitida por ese mismo elemento. Para que se alcance el equilibrio, es necesario
que la radiación emitida por las paredes vuelva de nuevo hacia la cavidad.
Si admitimos la idea de Einstein enunciada al principio, esto nos lleva a admitir
que las energı́as de los osciladores que forman las paredes no pueden
ser cualesquiera, sino que deben estar espaciadas en saltos de valor
hν, donde ν es la frecuencia del oscilador. Esta hipótesis habı́a sido enunciada antes
por Planck en 1900.
En efecto, la absorción de un fotón de frecuencia ν implica su desaparición y el
aumento de la energı́a vibracional de los átomos que lo han absorbido. En realidad,
el fotón es generalmente absorbido por las vibraciones colectivas de muchos átomos,
que tienen lugar con distintas frecuencias. Recı́procamente, la emisión de un fotón
de frecuencia ν por los electrones de la pared implica la disminución de la energı́a
de vibración del conjunto de átomos que la forma, en una cantidad igual a hν.
Damos por supuesto que la frecuencia ν de la radiación coincide con la frecuencia
de vibración de los átomos, en ambos casos. Si nos fijamos en los osciladores que
vibran con una frecuencia determinada, resulta natural pensar que los valores que
pueden tener sus energı́as deben estar cuantificados como habı́a supuesto Planck.
Conviene hacer notar que, en electromagnetismo, la potencia radiada por un oscilador cargado (energı́a emitida por unidad de tiempo) es proporcional al cuadrado
de su aceleración, y que ésta es a su vez proporcional al cuadrado de su frecuencia.
Por tanto, es esperable que la potencia radiada por las paredes (número de fotones
por unidad de tiempo, multiplicado por hν), sea proporcional a la cuarta potencia
de la frecuencia ν con que sus átomos son excitados.
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La energı́a radiante
Siendo la radiación un gas ideal en equilibrio, su distribución de frecuencias es en
realidad la distribución de energı́as de los fotones. No hay distribución de velocidad,
ya que todos los fotones se mueven a la velocidad de la luz c.
La radiación tiene una densidad total de energı́a por unidad de volumen u que
se expresa en Jm−3 , y que depende únicamente de la temperatura absoluta T .
Esta densidad de energı́a es la suma de contribuciones distintas en cada intervalo
de frecuencia (ν, ν + dν). Para una frecuencia determinada, dentro de este intervalo,
−3
hablamos de densidad
R ∞ de energı́a por unidad de frecuencia du/dν (unidades Jm s),
de modo que u = 0 (du/dν)dν.
Admitida la hipótesis de Einstein, es evidente que du/dν = n(ν)hν, donde n(ν)
es el número de fotones (por unidad de volumen) que hay en el intervalo de frecuencia
(ν, ν+dν). El número total
R ∞de fotones por unidad de volumen en la cavidad (unidades
−3
m ) es por tanto: n = 0 n(ν)dν.
Al igual que la densidad de energı́a, n depende únicamente de la temperatura.
No debe sorprender que el número de fotones aumente sensiblemente al aumentar
la temperatura absoluta, ya que ésta es proporcional a la energı́a promedio de los
fotones, y por tanto a su frecuencia promedio. Consideremos que toda la energı́a se
distribuye en torno a ésta frecuencia, y tengamos en cuenta que la energı́a radiada es
proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia, según lo explicado anteriormente
para la radiación de los osciladores cargados. Esto significa, por tanto, que u debe
ser proporcional a T 4 . Se deja como ejercicio aplicar el mismo razonamiento para
demostrar que la densidad n de fotones es proporcional a T 3 .
Dado que todos los fotones se mueven con velocidad c, la energı́a de la radiación
fluye a través de la ventana abierta en la cavidad, con esta velocidad. El producto
R = u · c (unidades Jm−2 s−1 = W m−2 ), también llamado radiancia, es la potencia
radiada por el cuerpo negro a una temperatura determinada. Se habla también de
radiancia espectral R(ν) = d(u · c)/dν (W m−2 s).
Nótese que siendo la potencia en watios proporcional a la superficie de la ventana,
su valor por unidad de superficie es una función única de la temperatura, que no
depende del material de las paredes interiores. Es una caracterı́stica intrı́nseca de la
radiación en equilibrio, que refleja de manera esencial su estructura fotónica.
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La distribución de Planck
¿Cómo determinar la función du/dν? En general, la distribución de energı́a
cinética de las partı́culas de un gas ideal (en este caso, de fotones) en equilibrio a una
temperatura T puede calcularse a partir del segundo principio de la termodinámica,
teniendo en cuenta que en el equilibrio la entropı́a del gas debe ser máxima. Recı́procamente, a una distribución de energı́as (frecuencias) dada de los fotones del gas,
le corresponde una entropı́a bién determinada. Entropı́a y energı́a son magnitudes
independientes en un sistema fı́sico, pero en el equilibrio termodinámico, ambas se
relacionan entre sı́ a través de la expresión dS/dU = 1/T , que define justamente la
temperatura absoluta T .
El cálculo de la entropı́a del gas de fotones no es difı́cil, utilizando la fórmula de
Boltzmann S = k lnW , donde W representa el número total de estados cuánticos
que puede tener el gas en su conjunto, y k es la constante de Boltzmann , que se
mide en unidades de entropı́a (k =1.381×10−23 JK −1 ). Al hacerlo, se supone que
la energı́a de los fotones está muy por encima de la que corresponde a su estado
fundamental dentro de la cavidad.
Cuando, además de hacer la hipótesis de existencia de partı́culas de energı́a
hν, se supone también que éstas pueden coexistir con igual frecuencia, dirección, y
polarización (a derechas o a izquierdas) en un número tan elevado como se quiera
(carácter Bose-Einstein de los fotones), entonces la maximización de la entropı́a nos
conduce directamente a la expresión:
du
8πν 2
hν
= 3 hν/kT
dν
c e
−1
conocida como fórmula de Planck.
Einstein procedió inversamente en 1905, y se dió cuenta de que tomando ésta
distribución para la densidad espectral, tal como habı́a sido postulada por Planck
en 1900, la entropı́a de la radiación en equilibrio se comportaba de manera idéntica
a la entropı́a de un gas ideal de partı́culas. Concretamente, tomó como referencia
para este cálculo la variación de entropı́a de la radiación al cambiar el volumen de
la cavidad. Fué ası́ como inventó la idea del fotón de energı́a hν.
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Algunas leyes relacionadas
La ley de Planck es comprobable experimentalmente con gran precisión, mientras
se disponga de un aparato que sea sensible a la potencia transportada por la radiación
en distintos intervalos de frecuencia. Relaciona de manera precisa la temperatura de
los cuerpos con la intensidad y frecuencia de la radiación emitida por ellos. Depende
únicamente de las tres constantes universales : h (fotones), k (entropı́a) y c (velocidad
de la luz), y no de la naturaleza del cuerpo en cuestión.
Según la ley de Planck, a las temperaturas ordinarias la mayor parte de la radiación emitida por los cuerpos está en la región infrarroja, de manera que no es
visible. A temperaturas de varios miles de grados, los cuerpos empiezan a emitir luz
propia, y el color puede utilizarse como medida de su temperatura.
Integrando la ley de Planck se obtiene la dependencia precisa de la potencia
radiada con la temperatura, llamada ley de Stefan-Boltzmann :
R = u · c = σT 4
donde σ = π 2 k 4 /(60~3 c2 ) =5.67×10−8 W m−2 K −4 . Ya hemos adelantado anteriormente el origen fı́sico de la dependencia obtenida con la cuarta potencia de la
temperatura. Vemos ahora que la densidad de potencia en el equilibrio R (W m−2 )
sólo depende efectivamente de tres constantes universales, siendo el caso que la
constante de Planck aparece en el denominador. Si ésta tuviese un valor mitad del
verdadero, los cuerpos radiarı́an 8 veces más potencia en el equilibrio, a una temperatura T dada. Esto es debido a que habrı́a más fotones, más estados cuánticos
posibles en la radiación, más entropı́a, y por tanto mayor energı́a radiada, al llegar
éstos fotones a la superficie de la ventana.
Derivando du/dν para buscar la longitud de onda λmax en que se produce el
máximo, y teniendo en cuenta que λ = c/ν, se obtiene la llamada ley del desplazamiento de Wien:
b = λmax T
donde b vale 2.89×10−3 m · K. Esta ley ilustra el hecho cualitativo del desplazamiento hacia el azul (λ más corta) al aumentar la temperatura de los cuerpos.
No es adecuado en principio aplicar la ley de Planck cuando el volumen de la cavidad es menor o del orden que λmax 3 , porque entonces la mayorı́a de los fotones se
encuentran cerca de su estado fundamental.
La validez de la ley de Planck ha sido demostrada en un rango de temperaturas
muy amplio, que abarca desde la proximidad del cero absoluto hasta las correspondientes a las estrellas más calientes. El papel de las paredes lo juegan, a temperaturas
más elevadas, partı́culas cargadas, cuya presencia es necesaria para asegurar la realización del equilibrio termodinámico con su radiación. En 1965 Penzias y Wilson
descubrieron la radiación de fondo de microondas que llena el universo, cuya temperatura de 2.73K determinaron a partir de la ley de Planck.
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