Cálculo de Predicados

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
Fundamentos de Informática 1
Cálculo de Predicados
Dr. Gonzalo Hernández Oliva
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
1
Cálculo de Predicados:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Motivación
Introducción
Definiciones Básicas
Cuantificadores y Validez
Derivaciones
Equivalencias Lógicas Básicas
Lógica de Ecuaciones - Operadores
Lógica de Funciones
Bibliografía
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
2
Cálculo Predicados:
1) Motivación
Metodología de la Programación:
Especificar y luego implementar
Usuario
?
?
Programador
USM FI-1 GHO
Qué hace el
Programa ???
Cómo lo hace el
Programa ???
Especificación
Precisa
Ejemplos
Cálculo de Predicados
3
Cálculo Predicados:
2) Introducción
ƒ El cálculo de predicados es una
generalización del cálculo proposicional.
ƒ Los predicados se utilizan para describir:
9 Propiedades
9 Relaciones
existentes entre individuos u objetos.
ƒ Ejemplo: Todos los alumnos de la USM son
inteligentes responsables.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
4
Cálculo Predicados:
3) Definiciones Básicas
ƒ Un argumento que incluye predicados está
formado por:
9 Universo o dominio
9 Predicados
9 Términos (sustantivos)
9 Cuantificadores
9 Proposiciones y conectivos
ƒ Los cuantificadores indican la frecuencia con
la cual es verdadera una cierta propiedad en
el Universo.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
5
Cálculo Predicados:
3) Definiciones Básicas
ƒ La estructura de argumentos que incluyen
predicados, en su forma más simple es:
Cuantificador
+
Individuos
+
Predicados (Proposiciones, Conectivos)
ƒ Veamos algunos ejemplos:
9 La suma de 2 y 7 es 9
9 Todos los hijos de una misma madre y padre son
hermanos
9 Nadie es perfecto
9 Toda persona tiene algún hobby
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
6
Cálculo Predicados:
3) Definiciones Básicas
ƒ Una relación o predicado se puede expresar a
través de una fórmula atómica. Ejemplos:
Æ Juana es la madre de María
Æ madre(Juana,María) ⇒ ∼madre(María, Juana)
Æ alumno(Juanin,FI-1), hincha(x, U. de Chile)
ƒ Se puede expresar la relación binaria de
diferentes individuos de un conjunto a través de
una tabla o asignación de predicado, en la cual
la fila es el primer individuo.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
7
Cálculo Predicados:
3) Definiciones Básicas
ƒ Ejemplo: Predicado madre(x,y)
Universo
madre(x,y) Juana María Pablo Pedro
USM FI-1 GHO
Juana
F
V
V
F
María
F
F
F
V
Pablo
F
F
F
F
Pedro
F
F
F
F
Cálculo de Predicados
8
Cálculo Predicados:
3) Definiciones Básicas
ƒ El Universo (U) de Discurso o Dominio es la
colección de individuos o elementos que se
está considerando.
ƒ Sea A una expresión (proposición), sea x
una variable (individuos del U) y sea t un
término o individuo específico. Sustituir en A
las apariciones de x por t se denota por: StxA
ƒ Veamos algunos ejemplos.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
9
Cálculo Predicados:
3) Definiciones Básicas
ƒ
Si a, b y c son individuos, calcule:
a) Sax (P(a,y) ⇒ Q(x,y)) , Sax (P(x,y) ⇒ Q(x,y))
b) Sby (P(x,a) ∨ Q(x,y) ⇒ R(x,y,z))
c) Sbx Sxy (P(x,b) ∨ Q(x,y) ∧ R(x))
d) Sax Sxy Syz [(P(a,x,y) ∨ Q(x,y,z)) ⇒
(R(x,y,z) ∧ T(x,y,z))]
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
10
Cálculo Predicados:
4) Cuantificadores y Validez
ƒ Sea A una expresión y x una variable. Si A
es verdadero para todos los valores de un
dominio o universo, denotaremos: ∀xA(x)
ƒ ∀ es el cuantificador universal y diremos que
x es una variable ligada al cuantificador.
ƒ Veamos algunos ejemplos:
9 Todo el mundo tiene suerte de vez en cuando
9 Todo el mundo se ha equivocado alguna vez
9 A nadie le falta Dios
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
11
Cálculo Predicados:
4) Cuantificadores y Validez
ƒ Sea A una expresión y x una variable. Si A
es verdadero para al menos un valor de un
dominio o universo, denotaremos: ∃xA(x)
ƒ ∃ es el cuantificador existencial
ƒ Veamos algunos ejemplos:
9 A algunas personas les gusta la U. de Chile
9 No todas las personas comen pulpo
9 Hay alguien que conoce a todo el mundo
9 Todo el mundo conoce a alguien
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
12
Cálculo Predicados:
4) Cuantificadores y Validez
ƒ ∀xA(x) es una expresión verdadera si lo es
en todo x perteneciente al dominio o
universo (finito). Luego:
∀xA(x) ≡ A(x1) ∧ A(x2) ∧ ··· ∧ A(xn)
ƒ ∃xA(x) es una expresión verdadera si lo es
en algún x perteneciente al dominio o
universo (finito). Luego:
∃xA(x) ≡ A(x1) ∨ A(x2) ∨ ··· ∨ A(xn)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
13
Cálculo Predicados:
4) Cuantificadores y Validez
ƒ Luego podemos concluir que:
∼(∀xA(x)) ⇔ ∃x(∼A(x))
∼(∃xA(x)) ⇔ ∀x(∼A(x))
ƒ Para negar ∀xA(x) basta encontrar un
individuo que satisfaga ∼A(x)
ƒ Para negar ∃xA(x) todos los individuos
deben satisfacer ∼A(x)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
14
Cálculo Predicados:
4) Cuantificadores y Validez
ƒ
Veamos algunos ejercicios:
1) Negar:
Æ ∀xP(x) ∧ ∃xQ(x) ⇒ ∃x(P(x) ∧ Q(x))
Æ ∀x∃y[(P(x,y) ∧ Q(y,z)) ⇒ R(x)]
Æ ∀x∀y∃z[(P(x,y,z) ⇒ Q(x,y,z)) ∨ R(x,y)]
Æ Propiedad de límite de una sucesión
Æ Propiedad de continuidad de una función
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
15
Cálculo Predicados:
4) Cuantificadores y Validez
ƒ
Veamos algunos ejercicios:
2) Negar:
Propiedad de continuidad y diferenciabilidad
de una función
3) Son Válidas ?
Æ ∀x(P(x) ∨ Q(x)) ⇒ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
Æ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) ⇒ ∀x(P(x) ∨ Q(x)) (∧ ?)
Æ ∀x(P(x) ∧ Q(x)) ⇒ ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
16
Cálculo Predicados:
5) Derivaciones
ƒ Particularización Universal: ∀xA(x) ≡> StxA(x)
Ejemplo: Todos los seres humanos son
mortales. Sócrates es un ser humano.
Sócrates es mortal
ƒ Generalización Universal:
ƒ Ejemplos:
A ,∀x A
∀x P(x) , ∀x (P(x) ⇒ Q(x)) |- ∀x Q(x)
∀x ∀y P(x,y) |- ∀y ∀x P(x,y)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
17
Cálculo Predicados:
5) Teorema de la Deducción y la
Generalización Universal
ƒ TDU: Se supone A. Se demuestra B
empleando A. Se concluye A ⇒ B.
ƒ Ejemplo: Supongamos que S(x) es “x ha
estudiado” y T(x) es “x ha aprobado”. La
premisa es que todo el que haya estudiado
ha aprobado. Demostrar que los que no han
aprobado no han estudiado.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
18
Cálculo Predicados:
5) Derivaciones
ƒ Generalización Existencial: Stx A ≡> ∃xA
Ejemplo: Toda persona que ha ganado 100
millones es millonaria. Maria ha ganado 100
millones. Alguien es millonario
ƒ Particularización Existencial: ∃xA ≡> Stx A
para algún término t.
Ejemplo: Alguien ha ganado 100 millones.
Todo que haya ganado cien millones es
millonario. Existe alguien millonario
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
19
Cálculo Predicados:
5) Derivaciones
ƒ Unificación de Predicados: Diremos que 2
expresiones se unifican si existen
particularizaciones que hagan idénticas a
las expresiones en cuestión.
ƒ Por ejemplo, en una demostración si
Q(a,y,z) y Q(x,b,c) aparecen en líneas
distintas, se unifican y dan unificador (la
particularización que unifica)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
20
Cálculo Predicados:
6) Equivalencias Lógicas Básicas
ƒ Como en el cálculo proposicional las EL las
utilizamos para manipular expresiones lógicas,
mediante la sustitución.
9∀xA ≡ A
Si x no es libre en A
9∃xA ≡ A
Si x no es libre en A
9∀xA ≡ ∀t StxA
Si t no es libre en A
Si t no es libre en A
9∃xA ≡ ∃t StxA
9∀xA ≡ StxA ∧ ∀xA Para cualquier término t
9∃xA ≡ StxA ∨ ∃xA Para cualquier término t
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
21
Cálculo Predicados:
6) Equivalencias Lógicas Básicas
ƒ Más Equivalencias Lógicas:
9∀x(A ∨ B(x)) ≡ A ∨ ∀xB(x) Si x no libre en A
9∃x(A ∧ B(x)) ≡ A ∧ ∃xB(x) Si x no libre en A
9∀x(A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀xA(x) ∧ ∀xB(x)
9∃x(A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x)
9∀x∀yA(x,y) ≡ ∀y∀xA(x,y)
9∃x∃yA(x,y) ≡ ∃y∃xA(x,y)
9∼∃xA(x) ≡ ∀x∼A(x)
9∼∀xA(x) ≡ ∃x∼A(x)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
22
Cálculo Predicados:
7) Lógica de las Ecuaciones
ƒ Hasta el momento hemos visto álgebra de
proposiciones con el objeto de transformar
una expresión en otra equivalente que sea
más simple o útil, en base a operaciones o
reglas antes definidas. Este es el objetivo de
todo estudio algebraico.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
23
Cálculo Predicados:
7) Lógica de Ecuaciones-Operadores
ƒ Estudio Algebraico: Dado un universo de
elementos (proposiciones, números,
conjuntos, funciones, matrices, etc) y
operaciones definidas sobre ellos, estudiar
sus propiedades para determinar la
estructura (Álgebra de Boole, Grupo, Anillo,
Cuerpo) que se genera. Estas propiedades
son las siguientes:
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
24
Cálculo Predicados:
7) Lógica de Ecuaciones-Operadores
ƒ En un estudio algebraico de un operador
condideraremos las siguientes propiedades:
9 Igualdad
9 Conmutatividad
9 Asociatividad
9 Distributividad sobre otro operador
9 Elemento identidad
9 Elemento inverso
9 Elemento cero
ƒ Para ilustrar estas propiedades se estudiará
el Algebra de Boole.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
25
Cálculo Predicados:
7) Lógica de Ecuaciones-Operadores
ƒ
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
(X,+,⋅) es un Álgebra de Boole ssi:
⎥ X⎥ ≥ 2
Los operadores + y ⋅ son totales
Los operadores + y ⋅ son conmutativos
El operador + es distributivo c/r a ⋅
El operador ⋅ es distributivo c/r a +
Existe un elemento identidad 0 para +
Existe un elemento identidad 1 para ⋅
∀x∃y[(x+y=1)(x⋅y=0)] (Se denota y = xc)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
26
Cálculo Predicados:
7) Lógica de Ecuaciones-Operadores
ƒ
El Álgebra de Boole (X,+,⋅)
+
0
1
más sencilla es la binaria.
0
0
1
En este caso X = {0,1} y
1
1
1
⋅
0
0
1
0
0
1
0
1
se definen:
a) 0c = 1 y 1c = 0
b) Las operaciones + y ⋅ son:
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
27
Cálculo Predicados:
7) Lógica de Ecuaciones-Operadores
ƒ Para trabajar con elementos algebraicos
vamos a considerar:
ƒ Si A es cualquier expresión entonces R(n)rtA
es la expresión que se obtiene a partir de A
sustituyendo la n-ésima aparición de t por r.
Si t aparece en menos de n ocasiones en A
entonces R(n)rtA = A.
ƒ Algunos ejemplos:
R(1)rt(t = t) , R(2)rt(t = t) , R(2)rt(2t ≥ t -1)
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
28
Cálculo Predicados:
8) Lógica de Funciones
ƒ Una función f asocia a cada elemento x de un
dominio un único individuo denominado
imagen f(x) . Para funciones con n variables
n se denomina su aridad.
ƒ Es posible trabajar con funciones mediante
las siguientes operaciones:
9Composición
9Suma y Resta
9Multiplicación y División
ƒ Este es otro ejemplo de estudio algebraico.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
29
Cálculo Predicados:
9) Bibliografía
1) Matemáticas Discreta y Lógica, W. K.
Grassmann & J. P. Tremblay, Prentice Hall,
1998.
2) Discrete and Combinatorial Mathematics, R.
P. Grimaldi, 4th Edition, Addison & Wesley,
1998.
3) Apuntes Cálculo Proposicional y de
Predicados FI-1, G. Hernández, 2006.
USM FI-1 GHO
Cálculo de Predicados
30