INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN
Carmen Badía, Hortènsia Fontanals, Merche Galisteo, José Mª Lecina, Mª Àngels Pons, Teresa
Preixens, Dídac Ramírez, F. Javier Sarrasí y Anna Mª Sucarrats
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL
División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales
Universidad de Barcelona
Introducción
1
1. OPERACIÓN FINANCIERA. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
Una operación financiera es un instrumento que permite realizar intercambios de capitales
financieros disponibles en diferentes momentos del tiempo. Mediante la operación financiera se
realiza un intercambio de disponibilidad dineraria entre los sujetos que participan en la operación.
Un ejemplo de operación financiera podría ser la realización de un depósito de 5.000 € en una
cuenta bancaria durante 6 meses, con el derecho de recibir el saldo acumulado al final de la
operación. Se puede apreciar en esta operación el intercambio de capitales, uno disponible en el
origen de la operación y otro a los seis meses, realizado entre el cliente que efectúa el depósito y
la entidad financiera.
En toda operación financiera existen tres elementos que la caracterizan:
• Elemento personal: ¿quién realiza la operación financiera?
• Elemento material o real: ¿qué se intercambia en la operación financiera?
• Elemento convencional o formal: ¿en qué contexto se realiza la operación financiera?
Elemento personal
En toda operación financiera intervienen dos sujetos: sujeto activo y sujeto pasivo. El sujeto activo
es el que dispone de liquidez y la cede para que otro la utilice durante un determinado plazo de
tiempo. El sujeto que recibe y utiliza la liquidez del sujeto activo recibe el nombre de sujeto pasivo.
En la operación de depósito descrita anteriormente, el sujeto activo es el cliente que efectúa el
depósito de 5.000 € y el sujeto pasivo es la entidad financiera.
Elemento material o real
En toda operación financiera se realiza un intercambio de capitales financieros1. Un capital
financiero se define mediante dos componentes:
• Cuantía (C): importe del capital financiero expresado en unidades monetarias (u.m.).
• Diferimiento (T): tiempo que debe transcurrir, desde el origen, para que la cuantía esté
disponible. Se expresa en años.
1
Rodríguez, A. 1994. Matemática de la financiación, p.16.
Introducción
2
El capital financiero se simboliza mediante el par ordenado
( C,T )
con C,T ∈ ℜ +
Elemento convencional o formal
Las operaciones financieras tienen como marco el mercado financiero, bien por estar regidas por
las leyes de equilibrio de este mercado, o bien por ser un punto de referencia para su análisis.
2. OPERACIONES FINANCIERAS DE FINANCIACIÓN Y DE INVERSIÓN
Según la función económica realizada por las operaciones financieras, éstas pueden clasificarse
en:
• Operaciones financieras de financiación.
• Operaciones financieras de inversión.
Operaciones financieras de financiación
En estas operaciones el sujeto activo proporciona al sujeto pasivo la liquidez dineraria temporal
que éste precisa para llevar a cabo su proyecto económico, que puede ser de consumo o de
inversión.
El sujeto activo no participa en el proyecto económico que lleva a cabo el sujeto pasivo,
únicamente se limita a prestarle un servicio financiero, que consiste en el suministro temporal de
liquidez. A cambio de este servicio el sujeto activo exige al sujeto pasivo la restitución de su
capacidad adquisitiva y el pago del precio por este servicio, que se denomina interés. El interés se
determina como consecuencia de las leyes de equilibrio que rigen el mercado financiero, donde
tienen lugar las operaciones de financiación.
Los intercambios de capitales entre los sujetos activo y pasivo de la operación financiera de
financiación reciben el nombre de:
• Prestaciones: Capital o conjunto de capitales financieros cedidos por el sujeto activo al pasivo.
• Contraprestaciones: Capital o conjunto de capitales financieros cedidos por el sujeto pasivo al
activo.
Introducción
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PRESTACIONES
Sujeto
activo
Sujeto
pasivo
CONTRAPRESTACIONES
Operaciones financieras de inversión
A diferencia de las operaciones financieras de financiación, en las de inversión el sujeto activo
participa activamente en el proyecto económico con el objetivo de conseguir una renta superior al
precio del dinero fijado en el mercado financiero. Esta renta recibe el nombre de renta del inversor
y mide la diferencia, el margen, que queda después de pagar las rentas de todos los factores que
intervienen en el proyecto económico, incluyendo la retribución al capital financiero. La renta del
inversor no se genera en el mercado financiero, puesto que es el resultado de una gestión
económica y puede llegar a ser negativa. Estas operaciones no están sometidas a las leyes de
equilibrio del mercado financiero aunque la referencia a las mismas es indispensable para poder
determinar la rentabilidad de la operación de inversión. En realidad, las operaciones financieras de
inversión buscan el desequilibrio ya que su objetivo es conseguir algo más que lo que aseguraría
el equilibrio del mercado financiero.
En la operación de inversión se diferencian:
• Inputs: Capital o conjunto de capitales financieros que el sujeto activo o inversor ha de aportar
al proyecto de inversión.
• Outputs: Capital o conjunto de capitales financieros que describen los cobros que genera el
proyecto de inversión al sujeto activo.
INPUTS
Inversor
Contrainversor
OUTPUTS
Introducción
4
3. OPERACIÓN FINANCIERA ELEMENTAL Y COMPLEJA
Desde un punto de vista formal y para poder realizar un estudio sistemático de las operaciones
financieras, éstas pueden clasificarse también según el número de capitales que constituyen la
prestación (input) y la contraprestación (output) en:
• Operaciones elementales
• Operaciones parcialmente complejas
• Operaciones totalmente complejas
Operaciones elementales
Son operaciones en las que tanto las prestaciones como las contraprestaciones están constituidas
por un único capital:
• Prestación: ( C,T )
• Contraprestación: ( C′,T ′ )
Ejemplo: descuento de un efecto comercial.
Operaciones parcialmente complejas
En estas operaciones la prestación está formada por un único capital y las contraprestaciones
están constituidas por un conjunto de capitales:
• Prestación: ( C,T )
• Contraprestaciones:
{( Cs′ ,Ts′ )}s=1,2,...,m
Ejemplo: préstamo de amortización progresiva por el que un prestatario recibe el importe del
préstamo en el origen de la operación y lo amortiza mediante un conjunto de pagos.
O bien, las prestaciones están constituidas por un conjunto de capitales financieros y la
contraprestación por un único capital:
• Prestaciones:
{( Cr ,Tr )}r =1,2,...,n
• Contraprestación: ( C′,T ′ )
Ejemplo: operación de constitución de un capital en la que un ahorrador realiza imposiciones en
una cuenta con la finalidad de poder disponer del saldo acumulado en un determinado momento.
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5
Operaciones totalmente complejas
Son operaciones en las que tanto prestaciones como contraprestaciones están constituidas por un
conjunto de capitales:
• Prestaciones:
{( Cr ,Tr )}r =1,2,...,n
• Contraprestaciones:
{( Cs′ ,Ts′ )}s=1,2,...,m
Ejemplo: cuenta corriente en la que el titular realiza un conjunto de imposiciones y de reintegros.
4. EQUIVALENCIA FINANCIERA
Tal como se ha dicho en el apartado 2. las operaciones financieras de financiación se realizan en
el mercado financiero y están sometidas a las leyes de equilibrio de dicho mercado. Se dice que
las prestaciones y las contraprestaciones de una operación de financiación deben ser
financieramente equivalentes.
Simbólicamente la equivalencia financiera entre dos capitales financieros se expresa:
( C,T ) ∼ ( C′,T ′)
Esta expresión indica que es posible realizar una operación financiera en que el sujeto activo ceda
una cuantía C en el diferimiento T y que el sujeto pasivo, como contraprestación, entregue la
cuantía C′ en el diferimiento T ′ .
Formalmente, la equivalencia financiera2 es una relación entre capitales financieros definida
mediante una ecuación entre sus componentes:
( C,T ) ∼ ( C′,T ′) ⇔ E ( C,C′,T,T ′) = 0
Dicha ecuación debe cumplir tres propiedades lógicas, reflexiva, simétrica y transitiva y dos
principios de naturaleza financiera, homogeneidad respecto a
liquidez (positividad del interés):
2
Rodríguez, A. 1994. Matemática de la financiación, pp.16-17.
cuantías y preferencia por la
Introducción
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• Reflexiva
( C,T ) ∼ ( C,T ) . Por tanto E ( C,C,T,T ) = 0
• Simétrica
Si ( C,T ) ∼ ( C′,T ′ ) ⇒ ( C′,T ′ ) ∼ ( C,T ) . Por tanto,
E ( C,C′,T,T ′ ) = 0 ⇒ E ( C′,C,T ′,T ) = 0
• Transitiva
Si
y
( C, T ) ∼ ( C′, T ′ ) 
 ⇒ ( C, T )
( C′, T ′ ) ∼ ( C′′, T ′′ )
∼
( C′′, T ′′ )
. Por tanto,
Si E ( C,C′,T,T ′ ) = 0 
 ⇒ E ( C,C′′,T,T ′′ ) = 0
y E ( C′,C′′,T ′,T ′′ ) = 0 
• Homogeneidad respecto a cuantías
Si ( C,T ) ∼ ( C′,T ′ ) ⇒ ( k ⋅ C,T ) ∼ ( k ⋅ C′,T ′ ) ∀k ∈ ℜ+ . Por tanto,
Si E ( C,C′,T,T ′ ) = 0 ⇒ E ( k ⋅ C,k ⋅ C′,T,T ′ ) = 0 ∀k ∈ ℜ+
En el mercado, este principio se verifica dentro de tramos de cuantías.
• Preferencia por la liquidez
Si ( C,T ) ∼ ( C′,T ′ ) ⇒ signo ∆C = signo ∆T ó
∆C
>0
∆T
siendo ∆C = C′ − C y ∆T = T ′ − T .
Según este principio, corresponde mayor (menor) cuantía al capital financiero de mayor (menor)
diferimiento. Es el principio fundamental que define la positividad del precio del dinero (del
interés).
Dada una relación de equivalencia financiera, cualquier capital financiero ( C,T ) tiene un único
capital equivalente en otro diferimiento3 T ′ .
Formalmente,
∀ ∼, ( C,T ) , T ′, ∃C′ / ( C′,T ′ ) ∼ ( C,T )
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7
5. FACTOR FINANCIERO
Según el principio de homogeneidad respecto a cuantías se cumple que,
Si E ( C,C′,T,T ′ ) = 0 ⇒ E ( k ⋅ C,k ⋅ C′,T,T ′ ) = 0 ∀k ∈ ℜ+
Si la anterior relación se cumple para ∀k ∈ ℜ+ , también se cumplirá para k =
1
C
con C ≠ 0 :
1
1

 C′

Si E ( C,C′,T,T ′ ) = 0 ⇒ E  ⋅ C, ⋅ C′,T,T ′  = E  1, ,T,T ′  = 0
C
C

 C

La última ecuación define implícitamente el cociente de cuantías
C′
como función de los
C
diferimientos T y T ′ :
C′
= f ( T,T ′ )
C
La función f ( T,T ′ ) recibe el nombre de factor financiero4 y es el equivalente de una unidad
monetaria de T en T ′ .
El factor financiero permite calcular la cuantía del capital financiero equivalente al capital ( C,T )
en T ′ :
C′ = C ⋅ f ( T,T ′ )
El factor financiero f(T,T ′) cumple las siguientes propiedades que se deducen de la definición de
capital financiero y de las propiedades de la equivalencia financiera:
• El factor financiero es siempre estrictamente positivo: f ( T,T ′ ) > 0
El factor financiero es, como se ha deducido anteriormente, el cociente entre las cuantías de dos
capitales equivalentes y, por tanto, dicho cociente será siempre positivo puesto que, por la propia
definición de capital financiero, las cuantías son siempre positivas.
3
4
Rodríguez, A. 1994. Matemática de la financiación, pp. 17-18.
Rodríguez, A. 1994. Matemática de la financiación, pp. 28-38.
Introducción
•
8
f ( T,T ′ ) ⋛1 ⇔ T ′ ⋛ T
Esta propiedad se basa en el principio de preferencia por la liquidez de la equivalencia financiera.
∆C = C′ − C = C ⋅ f ( T,T ′ ) − C = C ⋅  f ( T,T ′ ) − 1
ƒ
Si T ′ > T ( ∆T > 0 ) ⇒ ∆C > 0 ⇒  f ( T,T ′ ) − 1 > 0 ⇒ f ( T,T ′ ) > 1
Para T ′ > T (operación de capitalización), el equivalente de una u.m. de T en T ′ ha de
ser mayor a uno.
ƒ
Si T ′ < T ( ∆T < 0 ) ⇒ ∆C < 0 ⇒  f ( T,T ′ ) − 1 < 0 ⇒ f ( T,T ′ ) < 1
Para T ′ < T (operación de descuento), el equivalente de una u.m. de T en T ′ ha de ser
menor a uno puesto que se está retrocediendo en el tiempo.
ƒ
Si T ′ = T ( ∆T = 0 ) ⇒ ∆C = 0 ⇒  f ( T,T ′ ) − 1 = 0 ⇒ f ( T,T ′ ) = 1
Para T ′ = T , el equivalente de una u.m. de T en T ha de ser igual a uno puesto que el
tiempo no ha transcurrido.
1
f(T,T’)>1
T
T’
Operación de capitalización
T’>T
f(T,T’)<1
1
T’
T
Operación de descuento
T’<T
• El factor financiero f ( T,T ′ ) y el factor financiero f ( T ′,T ) toman valores recíprocos:
f ( T,T ′ ) =
1
⇔ f ( T,T ′ ) ⋅ f ( T ′,T ) = 1
f ( T ′,T )
Esta propiedad se basa en la propiedad simétrica de la equivalencia financiera.
Dados dos capitales equivalentes ( C,T ) ∼ ( C′,T ′ ) se cumple que f ( T,T ′ ) =
C′
. Por la propiedad
C
simétrica, también es cierta la equivalencia ( C′,T ′ ) ∼ ( C,T ) de la que se deduce que f ( T ′,T ) =
Por tanto, se cumplirá que f ( T,T ′ ) ⋅ f ( T ′,T ) =
C′ C
⋅
= 1.
C C′
C
.
C′
Introducción
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• El factor financiero es escindible: f ( T,T ′ ) ⋅ f ( T ′,T ′′ ) = f ( T,T ′′ )
Esta propiedad está basada en la propiedad transitiva de la equivalencia financiera e implica que,
desde un punto de vista teórico para hallar la cuantía equivalente de una u.m. de T en T ′′ , da lo
mismo hacerlo mediante un único paso que si se divide el plazo en dos.
f (T, T ′′)
f (T, T ′)
f (T ′, T ′′)
T
T’
T’’
De la equivalencia ( C,T ) ∼ ( C′,T ′ ) se deduce que f ( T,T ′ ) =
( C′,T ′) ∼ ( C′′,T ′′ )
se deduce que f ( T ′,T ′′ ) =
C′
. Igualmente, de la equivalencia
C
C′′
. Por la propiedad transitiva se cumplirá también
C′
que ( C,T ) ∼ ( C′′,T ′′ ) de donde se obtiene que f ( T,T ′′ ) =
C′′
. Este último factor financiero puede
C
expresarse del siguiente modo:
f ( T,T ′′ ) =
C′′ C′ C′′
=
⋅
= f ( T,T ′ ) ⋅ f ( T ′,T ′′ )
C
C C′
Esta propiedad recibe el nombre también de propiedad circular del factor financiero y se expresa:
f ( T,T ′ ) ⋅ f ( T ′,T ′′ ) ⋅ f ( T ′′,T ) = 1
′′
f ( T,T )
f ( T,T )
• El factor financiero f ( T,T ′ ) es una función creciente respecto a la segunda variable T ′ y
decreciente con respecto a la primera variable T.
Si se fija el diferimiento inicial T, la cuantía equivalente de una u.m. de T en T ′ será tanto mayor
cuanto mayor sea T ′ como consecuencia del principio de preferencia por la liquidez y, por tanto,
mayor será el factor financiero. Por el contrario si se fija el diferimiento final T ′ cuanto más
Introducción
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cercano a dicho diferimiento esté el inicial T (cuanto mayor sea T) menor será el factor financiero
implicado.
La propiedad transitiva de la equivalencia financiera permite afirmar que
Si
( C, T )
y
( C, T )
(
)


 ⇒ C1′ , T1′ ∼ C2′ , T2′
′
′
∼ C ,T 
2 2 
∼ C′ , T ′
(
1
1
(
)
) (
)
Si además se supone que T1′ < T2′ , por el principio de preferencia por la liquidez se cumplirá que
C1′ < C2′ . Por tanto,
C1′ C2′
<
⇒ f ( T,T1′ ) < f ( T,T2′ ) . Se deduce, por tanto, que cuanto mayor es la
C
C
segunda variable ( T ′ ) mayor es el factor financiero.
Igualmente, por la propiedad transitiva de la equivalencia financiera se puede afirmar que
Si
y
( C , T ) ∼ (C′, T ′)  ⇒ C , T ∼ C , T

( ) ( )
(C , T ) ∼ ( C′, T ′)
1
1
1
2
1
2
2
2
Si además se supone que T1 < T2 , por el principio de preferencia por la liquidez se cumplirá que
C1 < C2 . Por tanto,
C′ C′
>
⇒ f ( T1,T ′ ) > f ( T2 ,T ′ ) . Se deduce, por tanto, que cuanto mayor es la
C1 C2
primera variable ( T ) menor es el factor financiero.
En la práctica se utilizan factores financieros que son funciones continuas y con derivadas
parciales.
En este caso, se cumplirá que:
∂f ( T,T ′ )
∂T ′
>0
y
∂f ( T,T ′ )
∂T
<0
El factor financiero que cumple todas estas propiedades da lugar a una función exponencial de la
forma:
T′
f ( T,T ′ ) = e ∫T
ρ( τ ) dτ
Introducción
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donde ρ ( τ ) es la función precio de la operación de financiación en cada uno de los instantes
τ ∈ ( T,T ′ ) y recibe el nombre de ley financiera.
Si se supone que ρ ( τ ) = ρ (ley financiera estacionaria), entonces la expresión del factor financiero
es
T′
f ( T,T ′ ) = e ∫T
ρ( τ ) dτ
T′
ρ⋅( T′ − T )
ρ⋅ dτ
= e ∫T
=e
Haciendo A = eρ , se obtiene que
f ( T,T ′ ) = f ( t ) = A t
donde A es un parámetro cuyo valor es superior a la unidad.
Si en algún caso se utiliza un factor financiero no exponencial alguna de las propiedades
estudiadas no se cumple.
6. VALOR FINANCIERO
El valor financiero en T ′ , VT′ , de un conjunto finito de capitales financieros
suma
de
las
cuantías
( Cr′ ,T ′ )r =1,2,...n ∼ ( Cr ,Tr )r =1,2,...,n
del
conjunto
de
capitales
{( Cr ,Tr )}r =1,2,...,n
{( Cr′ ,T ′)}r =1,2,...,n
.
El valor financiero es:
n
n
r =1
r =1
VT′ = ∑ Cr′ =∑ Cr ⋅ f ( Tr ,T ′ )
C1
C2
C3
...
C’1
C’2
C’3
...
C’n
T1
T2
T3
...
T’
...
...
Cn
Tn
es la
siendo
Introducción
Si T ′ = 0 , el valor financiero recibe el nombre de valor actual y se simboliza por V0 :
n
V0 = ∑ Cr ⋅ f ( Tr ,0 )
r =1
{( Cr ,Tr )}r =1,2,...,n ∼ ( V0 ,0 )
y si T ′ = Tn el valor financiero recibe el nombre de valor final y se simboliza por Vf ó Sn :
n
Vf = Sn = ∑ Cr ⋅ f ( Tr ,Tn )
r =1
{( Cr ,Tr )}r =1,2,...,n ∼ ( Vf ,Tn )
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