Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija

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SOCIALES / EXAMEN COMPLETO
Instrucciones:
a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.
c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.
d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos
necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
OPCIÓN A
Ejercicio 1
− 5 x + 3 y ≤ 2

Sea el siguiente sistema de inecuaciones  − x + 2 y ≥ 6
 2 x + 3 y ≤ 37

a) (2,25 puntos) Represente el conjunto solución y determine sus vértices.
b) (0,75 puntos) Halle el punto del recinto anterior en el cual la función
F ( x, y) = −2 x + 5 y alcanza su valor máximo.
Ejercicio 2
− ( x − 1) 2 + b si x ≤ 2
a) (2 puntos) Sea la función f ( x ) = 
2
 a ( x − 3) + 3 si x > 2
Halle a y b para que la función sea continua y derivable.
e 2 x +1
b) (1 punto) Halle la función derivada de g ( x) =
( x − 1) 2
Ejercicio 3
Parte 1
Blanca y Alfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos.
a) (1 punto) Determine el espacio muestral asociado al experimento.
b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no escriban la misma vocal.
Parte 2
La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley Normal con desviación
típica 7,5 m. En un estudio estadístico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido el
intervalo de confianza (21,06, 26,94) para la longitud media.
a) (0,5 puntos) Calcule la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra.
b) (1,5 puntos) Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho
intervalo.
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OPCIÓN B
Ejercicio 1
1 2
 4 3
Sean las matrices M = 
 y N = 

3 4
 2 1
a) (0,75 puntos) Calcule la matriz A = M · M t − 5M; (M t indica la traspuesta de M).
b) (2,25 puntos) Calcule la matriz B = M −1 y resuelva la ecuación N + X · M = M · B,
donde X es una matriz 2 × 2.
Ejercicio 2

( x + 1) 2
si x ≤ 0
 1
Sea la función f ( x ) = 
si 0 < x < 2
x

 x
si x ≥ 2
 4
a) (1 punto) Represéntela gráficamente.
b) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad.
c) (1 punto) Calcule sus extremos relativos y asíntotas horizontales y verticales.
Ejercicio 3
Parte 1
El 70 % de los alumnos de un Instituto son de Bachillerato y el resto de E.S.O. De
los alumnos de Bachillerato, el 60 % estudia más de 3 horas al día, y sólo el 30 % de
los de E.S.O., estudia más de 3 horas al día.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho Instituto, elegido al
azar, estudie más de 3 horas al día.
b) (1 punto) Sabiendo que un alumno de este instituto, elegido al azar, estudia más de
3 horas al día, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Bachillerato?
Ejercicio 3. Parte 2
De una población Normal, de media desconocida y varianza 81, se extrae una
muestra aleatoria que resulta tener media muestral de 112.
a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional, si
el tamaño de la muestra es 49.
b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra si se desea que el error
cometido, al estimar la media poblacional, sea inferior a 2, para un nivel de
confianza del 90 %?
Solución de los ejercicios de la Opción A:
Ejercicio 1
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a) Representando cada una de las rectas asociadas a las inecuaciones se obtiene la región
sombreada en la siguiente figura.
Los vértices son las soluciones de los sistemas determinados por cada dos rectas. Estos
vértices son:
− 5 x + 3 y = 2
P: 
⇒ P = (2, 4);
 − x + 2y = 6
− x + 2y = 6
R: 
⇒ R = (8, 7)
2 x + 3 y = 37
− 5 x + 3 y = 2
Q: 
⇒ Q = (5, 9)
 2 x + 3 y = 37
b) El máximo de la función F ( x, y) = −2 x + 5 y se encuentra en alguno de los vértices del
polígono de soluciones. Evaluando dicha función en esos vértices se obtiene:
En P, F(2, 4) = −4 + 20 = 16
En Q, F(5, 9) = −10 + 45 = 35
En R, F(8, 7) = −16 + 35 = 19
Por tanto, el máximo de F(x, y) vale 35 y se obtiene en el vértice Q = (5, 9).
Ejercicio 2
a) Como la función está definida mediante dos parábolas, el único punto que presenta
dificultades es x = 2, en donde pueden unirse o no (continuidad), y ser derivable o no.
• Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en
dicho punto x = 2.
Si x → 2−, f ( x ) = −( x − 1) 2 + b → −1 + b
Si x → 2+, f ( x ) = a ( x − 3) 2 + 3 → a + 3
Por tanto, la función será continua en x = 2 cuando −1 + b = a + 3.
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• Para que sea derivable deben coincidir las derivadas laterales en x = 2.
− 2( x − 1) si x < 2
Salvo en x = 2, f ´( x ) = 
 2a ( x − 3) si x > 2
Veamos qué pasa en x = 2.
Si x → 2−, f ´( x ) = −2( x − 1) → −2
Si x → 2+, f ´( x) = 2a( x − 3) → −2a ⇒ − 2 = −2a
 − 2a = −2
Por tanto, la función es derivable cuando 
⇒ a = 1; b = 5
− 1 + b = a + 3
− ( x − 1) 2 + 5 si x ≤ 2
La función continua y derivable es: f ( x ) = 
2
 ( x − 3) + 3 si x > 2
b) g ( x) =
e 2 x +1
2e 2 x+1 ( x − 1) 2 − e 2 x +1 2( x − 1)
⇒
g
´(
x
)
=
⇒ (simplificando)
( x − 1) 2
( x − 1) 4
⇒ g´( x ) =
2e 2 x+1 ( x − 1) − e 2 x +1 2 2( x − 2)e 2 x +1
=
( x − 1) 3
( x − 1) 3
Ejercicio 3 Parte 1
a) El espacio muestral es:
E = {(a, a), (a, e), (a, i), (a, o), (a, u), (e, a), (e, e), (e, i), (e, o), (e, u),
(i, a), (i, e), (i, i), (i, o), (i, u), (o, a), (o, e), (o, i), (o, o), (o, u),
(u, a), (u, e), (u, i), (u, o), (u, u)}
En todos los casos, para cada par de vocales, la primera de ellas es la que ha escrito Blanca y
la segunda la que ha escrito Alfredo.
b) Obviamente todos los sucesos elementales son equiprobables, por tanto,
P(no escribir la misma vocal) = 1 −
5 4
=
25 5
pues de los 25 sucesos elementales hay 5 en los que escriben la misma vocal.
Ejercicio 3 Parte 2
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a) El intervalo de confianza es simétrico respecto de la media. Por tanto, la media viene dada
21,06 + 26,94
por su punto medio: x =
= 24 m.
2
b) El intervalo de confianza, para las muestras de tamaño muestral n de media x , es:

σ
σ 
 x − Z α / 2
, x + Zα / 2

n
n 

siendo σ la desviación típica poblacional y Zα / 2 el valor correspondiente en la tabla normal
para una confianza de 1 − α.
Para x = 24, σ = 7,5 y n = 25 se tiene:

7,5
7,5 
7,5
 24 − Z α / 2
, 24 + Z α / 2
 = (21,06, 26,94) ⇒ Zα / 2
= 2,94 .
25
25 
25

⇒ Zα / 2 = 1,96 ⇒ el nivel de confianza es del 95%.
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