1 Decaimiento radioactivo. E: El uranio se desintegra a una rapidez

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Decaimiento radioactivo.
E: El uranio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante.
Si M1 y M2 gramos están presentes en los instantes t1 y t2 , respectivamente, mostrar que la vida
media del uranio es
.t2 t1 /.ln 2/
tm D
:
ln M1 ln M2
D: H Si M.t/ es el número de gramos de uranio en el instante de tiempo t 0, entonces:
M.t1 / D M1 & M.t2 / D M2 :
Suponiendo que M0 es la cantidad inicial de uranio, el número M.t/ está dado por la solución
del PVI:
M 0 .t/ D kM.t/; con M.0/ D M0 y además M.t1 / D M1 & M.t2 / D M2 :
Resolvemos este problema.
Z
Z
M 0 .t/
M 0 .t/
Dk )
dt D k dt ) ln M.t/ D k t C C )
M .t/ D kM.t/ )
M.t/
M.t/
) M.t/ D e ktCC D e kt e C D e kt C ) M.t/ D C e kt :
0
Ahora:
M.0/ D M0 ) C e 0 D M0 ) C D M0 ) M.t/ D M0 e kt :
Además:
M.t1 / D M0 e kt1 D M1 & M.t2 / D M0 e kt2 D M2 )
M2
M0 e kt2
e kt2
D
D
D e kt2 kt1 D e k.t2 t1 / )
M1
M0 e kt1
e kt1
M2
ln M2 ln M1
) k.t2 t1 / D ln
) kD
:
M1
t2 t1
)
Si tm es la vida media del uranio, entonces se tiene que
1
1
1
M.tm / D M0 ) M0 e ktm D M0 ) e ktm D )
2
2
2 1
ln M2 ln M1
D ln 2; como k D
)
) k tm D ln
2
t2 t1
ln M2 ln M1
.t2 t1 / ln 2
.t2 t1 / ln 2
)
.tm / D ln 2 ) tm D
D
:
t2 t1
ln M2 ln M1
ln M1 ln M2
7. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010