Graficación de ecuaciones paramétricas

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LECCIÓN
CONDENSADA
8.1
Graficación de ecuaciones
paramétricas
En esta lección
●
●
Escribirás ecuaciones paramétricas para describir cómo se relaciona el
tiempo con las coordenadas x y y de una trayectoria
Graficarás un par de ecuaciones paramétricas y después escribirás unas
ecuaciones para una traslación de la gráfica
Supón que un bote zarpa de un muelle. Podrías usar las coordenadas x y y para
describir la ubicación del bote en cualquier punto de su recorrido. Sin embargo,
las coordenadas no indicarían cuándo el bote se encuentra en cada ubicación. En
ocasiones, dos variables no son suficientes para describir completamente una
situación de gráfica. Puedes usar las ecuaciones paramétricas para describir las
coordenadas x y y de un punto como funciones de una tercera variable, t, que se
llama el parámetro. Por ejemplo, podrías expresar las coordenadas x y y del bote
como funciones del tiempo.
En el Ejemplo A en tu libro, se utilizan ecuaciones paramétricas para describir
las trayectorias de dos buques petroleros. Entonces se usa una calculadora para
simular el movimiento. Lee este ejemplo con mucha atención. Para evaluar tu
comprehensión, escribe y grafica las ecuaciones paramétricas para un tercer
petrolero que se desplaza directamente hacia el norte desde Corpus Christi a
una velocidad de 20 millas por hora (x 0, y 20t). Después lee el análisis
de la velocidad que viene después del ejemplo.
Investigación: Simulación de movimiento
En esta investigación responderás preguntas sobre el movimiento de los petroleros
del Ejemplo A.
Introduce las ecuaciones y la ventana de graficación del Ejemplo A en tu
calculadora. Responde las preguntas de las partes a–d del Paso 1, rastreando
(con el comando trace) la trayectoria del petrolero apropiado, y escribiendo y
resolviendo las ecuaciones. Cuando hayas terminado, compara tus resultados
con los siguientes.
a. El petrolero más rápido tiene las ecuaciones paramétricas
x 22t y y 2. St. Petersburg está a 900 millas directamente al
este. Para hallar el tiempo que le lleva al petrolero cubrir una
distancia horizontal de 900 millas, resuelve 22t 900 o rastrea la
gráfica para hallar el valor de t cuando x 900. Obtienes
[0, 900, 100, 1, 3, 1]
t 40.9. Entonces, le lleva aproximadamente 40.9 horas al
0 t 50
petrolero más rápido llegar a St. Petersburg.
b. El petrolero más lento tiene las ecuaciones paramétricas x 18t y
y 1. De la parte a, sabes que el petrolero más rápido llega a su
destino en 40.9 horas. Para hallar la posición del petrolero más
lento en este momento, puedes sustituir t por 40.9 en x 18t,
o puedes rastrear la gráfica del petrolero más lento para hallar el
valor x cuando t 40.9. Obtienes x 736.2. Así que el petrolero
más lento está a 736.2 millas al este de Corpus Christi cuando el
petrolero más rápido llega a su destino.
[0, 900, 100, 1, 3, 1]
0 t 50
(continúa)
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Lección 8.1 • Graficación de ecuaciones paramétricas (continuación)
c. La distancia desde Corpus Christi del petrolero más rápido al tiempo t es
22t, y la distancia desde Corpus Christi del petrolero más lento es 18t.
Entonces, para encontrar el momento en que el petrolero más rápido
se ha adelantado 82 millas al petrolero más lento, puedes resolver
22t 18t 82. La solución es t 20.5, así que el petrolero más rápido
está a 82 millas delante del petrolero más lento a las 20.5 horas después de
que salen de Corpus Christi.
[0, 900, 100, 1, 3, 1]
0 t 50
[0, 900, 100, 1, 3, 1]
0 t 50
d. Para encontrar los momentos cuando los petroleros están separados por
una distancia menos de 60 millas, resuelve 22t 18t 60. La solución
es t 15. Entonces, los petroleros están separados por una distancia de
menos de 60 millas durante las primeras 15 horas del viaje.
[0, 900, 100, 1, 3, 1]
0 t 50
[0, 900, 100, 1, 3, 1]
0 t 50
Ahora, escribe y responde tu propia pregunta sobre los petroleros. He aquí una
posibilidad: Cuando el petrolero más lento está a la mitad de su destino, ¿a qué
distancia está el petrolero más rápido de St. Petersburg? Para responder, puedes
resolver 18t 450 y después sustituir la solución en x 22t. Esto te da la
distancia desde Corpus Christi del segundo petrolero. Para hallar su distancia
desde St. Petersburg, resta la respuesta de 900. Debes encontrar que el petrolero
más rápido está a 350 millas de St. Petersburg.
El uso de ecuaciones paramétricas para representar una trayectoria te permite ver
la naturaleza dinámica del movimiento y te permite ajustar la rapidez de la ruta
al cambiar el paso t. El parámetro, t, no tiene que ser el tiempo; puede ser un
número sin unidades. Éste es el caso del Ejemplo B en tu libro. En dicho ejemplo,
primero se grafican las ecuaciones paramétricas y después se les traslada. Lee ese
ejemplo con atención. Observa que al limitar los valores de t a 1 t 2, se
limitan los valores x que se grafican a 1 x 2 y los valores y a 1 y 4.
Aquí se presenta otro ejemplo.
(continúa)
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Lección 8.1 • Graficación de ecuaciones paramétricas (continuación)
EJEMPLO
Considera las ecuaciones paramétricas x t y y t para 3 t 2.
a. Grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
b. Escribe las ecuaciones para trasladar la gráfica 1 unidad a la izquierda y
2 unidades hacia abajo.
Solución
Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que corresponden a los valores t
en el intervalo 3 t 2.
a. Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando cada punto
con el anterior.
t
x
y
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
y
4
2
–4
–2
2
4
x
–2
b. Para trasladar la gráfica hacia la izquierda 1 unidad, cada coordinada x debe
disminuir en 1. Para trasladar la gráfica hacia abajo 2 unidades, cada
coordenada y debe disminuir en 2. Las nuevas ecuaciones son
xt1
y t 2
Puedes construir una gráfica en tu calculadora para verificar que tales
ecuaciones son correctas.
[4, 2, 1, 2, 3, 1]
3 t 2
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LECCIÓN
Ecuaciones paramétricas y
no paramétricas
CONDENSADA
8.2
En esta lección
●
●
Combinarás un par de ecuaciones paramétricas en una sola ecuación en x y y
Modelarás una trayectoria con ecuaciones paramétricas, considerando los
cambios horizontal y vertical de manera independiente
En esta lección eliminarás la variable t de un par de ecuaciones paramétricas, para
crear una sola ecuación en x y y.
Investigación: Paseo paramétrico
Lee los Pasos 1 y 2, y Procedure Note
de la investigación de tu libro. Asegúrate de que
entiendes lo que sucede: Se marca un segmento en
una cuadrícula coordenada. A medida que una
persona camina a lo largo del segmento, un sensor de
movimiento (del grabador X) registra cómo cambia la
coordenada x de la trayectoria de la persona, y otro
sensor (del grabador Y) registra cómo cambia
la coordenada y de la trayectoria de la persona.
Pasos 1 y 2
Usa esta muestra de datos para completar el resto
de la investigación por tu cuenta. Después compara
tus resultados con los siguientes.
La recta mediana-mediana para los datos
(t, x) es x̂ 0.18t 0.90.
Paso 3
Datos registrados
por el grabador X
Datos registrados
por el grabador Y
t
x
t
y
0.1
0.95
0.1
2.50
0.6
1.00
0.6
2.47
1.1
1.10
1.1
2.39
1.6
1.19
1.6
2.38
2.1
1.26
2.1
2.32
2.6
1.36
2.6
2.25
3.1
1.43
3.1
2.21
3.6
1.50
3.6
2.12
4.1
1.62
4.1
2.11
4.6
1.71
4.6
2.02
5.0
1.78
5.0
1.95
[0, 5, 1, 0, 2, 1]
Paso 4
La recta mediana-mediana para los datos (t, y) es ŷ 0.10t 2.52.
[0, 5, 1, 0, 3, 1]
Ahora, introduce los valores x en la lista L1 y los valores y en
la lista L2. A continuación se presenta una gráfica de los valores (x, y),
junto con las gráficas de las funciones paramétricas x 0.18t 0.90
y y 0.10t 2.52. Las funciones paramétricas parecen ajustarse a
los datos.
Paso 5
[0.8, 1.8, 0.1, 1.7, 2.7, 0.1]
0t5
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Lección 8.2 • Ecuaciones paramétricas y no paramétricas
Paso 6 Al resolver x 0.18t 0.90 para t, se obtiene
t 5.56x 5.00. Sustituyendo t por 5.56x 5.00 en
y 0.10t 2.52 da como resultado y 0.56x 3.02.
Paso 7 Esta gráfica muestra los datos (x, y) y la función
y 0.56x 3.02 del Paso 6.
Paso 8 Al eliminar el parámetro, se obtiene la misma gráfica, pero
se pierde la información sobre el tiempo, y no puedes limitar los
valores de t para que muestren sólo el segmento de recta realmente
recorrido.
[0.8, 1.8, 0.1, 1.7, 2.7, 0.1]
Lee el Ejemplo A en tu libro y síguelo usando papel y lápiz. Es importante darse
cuenta de que, aunque x y y son funciones de t, y no es función de x. A
continuación se presenta otro ejemplo.
EJEMPLO
Escribe las ecuaciones paramétricas siguientes como una sola ecuación en x y y.
Verifica tu resultado mostrando que su gráfica y la gráfica de las ecuaciones
paramétricas son las mismas.
x t2
yt2
Solución
Resuelve la segunda ecuación para t y obtendrás t y 2. Sustituye t por y 2
en la primera ecuación.
x (y 2)2
y 2 x
y x 2
Las gráficas confirman que la ecuación es correcta.
y x 2
x t 2, y t 2
[0, 9.4, 1, 6.2, 3.1, 1]
[0, 9.4, 1, 6.2, 3.1, 1]
3 t 3
Lee el Ejemplo B, en el que se usan ecuaciones paramétricas para modelar la
trayectoria de un globo de aire caliente. En el ejemplo, la ecuación para x
representa el cambio horizontal y la ecuación para y representa el cambio vertical.
La gráfica resultante representa la trayectoria del globo. Tanto la investigación
como el Ejemplo B ilustran que si consideras las direcciones horizontal y vertical
de manera independiente, te permite modelar una trayectoria con ecuaciones
paramétricas. Las ecuaciones paramétricas, entonces, pueden convertirse, si es
necesario, en una sola ecuación en x y y.
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LECCIÓN
Trigonometría del triángulo
rectángulo
CONDENSADA
8.3
En esta lección
●
●
●
Aprenderás sobre las razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo
Usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales
desconocidas de un triángulo rectángulo y como ayuda para modelar
el movimiento que forma un cierto ángulo con la horizontal
Usarás los inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos
desconocidas en un triángulo rectángulo
En la Lección 8.1, escribiste ecuaciones paramétricas para modelar las trayectorias de
dos barcos que se desplazaban hacia el este. Para escribir unas ecuaciones paramétricas
para un barco que se desplaza a un ángulo, necesitas usar razones trigonométricas para
separar el movimiento en sus componentes horizontal y vertical.
La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulos rectángulos con
las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que todos los triángulos que tienen
ángulos con las mismas medidas son semejantes, y por tanto las razones de sus lados
correspondientes son iguales. En los triángulos rectángulos, existen nombres especiales
para las razones.
Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo,
el seno (sin) de A es la razón entre la longitud del cateto
opuesto a A y la longitud de la hipotenusa.
cateto opuesto
a
sin A hipote
nusa c
Hipotenusa
B
c
a
A
El coseno (cos) de A es la razón entre la longitud del
cateto adyacente a A y la longitud de la hipotenusa.
cateto adyacente
b
c
cos A hipoten
usa
Este cateto es
opuesto a A.
b
Este cateto es
adyacente a A.
C
La tangente (tan) de A es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud del cateto adyacente.
cateto opuesto
a
tan A cateto adyacente b
Lee el Ejemplo A en tu libro, y después lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO
Encuentra la longitud desconocida, c.
B
c
25°
C
Solución
14
A
Conoces la longitud del lado adyacente al ángulo de 25° y deseas encontrar la
longitud de la hipotenusa. Por tanto, puedes usar la razón coseno.
14
cos 25° c
14
c
cos 25° 15.45
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Lección 8.3 • Trigonometría del triángulo rectángulo (continuación)
Investigación: Dos barcos
Lee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Observa que un rumbo
(bearing) es un ángulo medido en sentido de las manecillas del reloj desde el
norte. Completa los Pasos 1–6 de la investigación, y después compara tus
resultados con los siguientes.
Paso 1 Ambos barcos se desplazan con una velocidad de 23 mi/h, de modo que
las ecuaciones de distancia para ambos barcos son la misma, d 23t.
Paso 2 Para el Barco A, resuelve 23t 750. El Barco A llegará a la Ciudad de
Panamá en 32.6 horas. Para el Barco B, resuelve 23t 900. El Barco B llegará a
St. Petersburg en 39.1 horas.
Posición después
Este diagrama muestra la posición del Barco A después
N
de 1 h
de 1 hora. La hipotenusa representa la distancia que el barco ha
recorrido; x representa la distancia horizontal (la distancia al este
23 mi
y
de Corpus Christi) y y representa la distancia vertical (la distancia
Corpus 73°
17°
al norte de Corpus Christi). Para hallar x, usa el coseno:
x
Christi
E
x
cos 17° 2,
3 entonces x 23 cos 17° 22
Por tanto, el Barco A se encuentra a 22 millas al este de Corpus Christi después
de 1 hora, a 44 millas al este de Corpus Christi después de 2 horas, y así
sucesivamente. Para hallar y, usa el seno:
y
sin 17 23, entonces y 23 sin 17° 6.7
El Barco A se encuentra a 6.7 millas al norte de Corpus Christi después de 1 hora,
a 13.4 millas después de 2 horas, y así sucesivamente. El Barco B se desplaza
directamente hacia el este, de modo que se encuentra a 23 millas al este de Corpus
Christi después de 1 hora, a 46 millas al este después de 2 horas, y así sucesivamente.
Se encuentra a 0 millas al norte de Corpus Christi a lo largo de todo su recorrido.
Paso 3
Del Paso 3, sabemos que, cada hora, la distancia horizontal que recorre
el Barco A aumenta en 23 cos 17° millas, y que la distancia vertical aumenta en 23
sin 17° millas. (En el Paso 3, evaluamos estas expresiones para obtener 22 y 6.7, pero
aquí las mantenemos como valores exactos.) Así que las ecuaciones paramétricas
son x 23t cos 17° y y 23t sin 17°. Para el Barco B, la distancia horizontal
aumenta en 23 millas cada hora, mientras que la distancia vertical permanece en 0.
Por tanto, las ecuaciones paramétricas para el Barco B son x 23t y y 0.
Paso 4
Como en el Paso 3, podemos usar las razones trigonométricas.
y
N
sin 17° 75,
0 entonces y 750 sin 17° 219.3
x
,
cos 17° 750 entonces x 750 cos 17° 717.2
Corpus
Christi
Así pues, la Ciudad de Panamá está aproximadamente a
219.3 millas al norte y a 712.2 millas al este de Corpus Christi.
Paso 5
Ciudad de Panamá
750 mi
y
17°
x
E
Paso 6 Para el Barco A, resuelve 23t cos 17° 717.2 ó 23t sin 17° 219.3. El Barco
A llega a su destino en 32.6 horas. Para el Barco B, resuelve 23t 900. El Barco B
llega a su destino en 39.1 horas. Éstas son las respuestas que hallaste en el Paso 2.
El inverso de una función trigonométrica da la medida del ángulo que tiene una
razón dada. Por ejemplo, sin 30° 12, así que sin112 30°. En el Ejemplo B en
tu libro se usa el inverso de la función tangente. Lee el ejemplo con atención.
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LECCIÓN
Uso de la trigonometría para
establecer una ruta
CONDENSADA
8.4
En esta lección
●
●
●
Usarás las ecuaciones paramétricas para modelar el movimiento que se ve
afectado por corrientes de agua o de aire
Entenderás cómo un piloto puede ajustar su ruta para compensar los efectos
del viento
Usarás los vectores para representar cantidades con magnitud y dirección
En esta lección, explorarás situaciones en las que el movimiento se ve influido por
corrientes de aire o de agua.
Investigación: Movimiento en una corriente
Completa la investigación en tu libro, y después compara tus resultados con los
siguientes.
Paso 1
Tiempo (s)
Bote A
Bote B
Bote C
t
x
y
x
y
x
y
0
0
10
25
5
5
0
1
4
10
21
5
5
4
2
8
10
17
5
5
8
3
12
10
13
5
5
12
Paso 2
Bote A: x 4t, y 10; Bote B: x 25 4t, y 5; Bote C: x 5, y 4t
[0, 25, 1, 0, 15, 1]
0t3
El viento sopla en la misma dirección en que
se mueve el Bote A, de modo que el Bote A se desplaza
ahora hacia el este a una velocidad de 4 3 7 pies/s.
El viento sopla directamente contra el Bote B, por
tanto el Bote B se desplaza ahora hacia el oeste con
una velocidad de 4 3 1 pie/s. El viento sopla
perpendicularmente al Bote C. El Bote C continuará
moviéndose hacia el norte con una velocidad de 4 pies/s,
pero el viento hará que también se desplace hacia el este
a una velocidad de 3 pies/s. He aquí la tabla completa.
Paso 3
Tiempo (s)
Bote A
Bote B
Bote C
t
x
y
x
y
x
y
0
0
10
25
5
5
0
1
7
10
24
5
8
4
2
14
10
23
5
11
8
3
21
10
22
5
14
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Lección 8.4 • Uso de la trigonometría para establecer una ruta (continuación)
Paso 4 Bote A: x 7t, y 10; x 4t 3t; Bote B: x 25 1t, y 5;
x 25 4t 3t; Bote C: x 5 3t, y 4t
[0, 25, 1, 0, 15, 1]
0t3
Paso 5 El diagrama a la derecha representa la situación.
La distancia que recorre el Bote C es c. Usando el Teorema de
Pitágoras, 122 92 c 2, de modo que c 15 pies. El Bote C
recorre esta distancia en 3 segundos, así que su velocidad
es 5 pies/s.
y
Final
(4, 12)
c
Debido a que conoces los tres lados del triángulo,
puedes usar cualquier razón trigonométrica para hallar x.
Aquí usamos la tangente.
12 pies
Paso 6
(0, 0)
12
tan x 9
x
Inicio
(5, 0)
x
9 pies
12
x tan1 9 53°
El Bote C se desplaza a un ángulo de 53° por encima de la horizontal.
Paso 7 El Bote C recorre 5 pies a un ángulo de 53° cada segundo.
En el diagrama a la derecha, a y b representan las distancias horizontal
y vertical que recorre cada segundo, respectivamente.
Puedes escribir a y b en términos de coseno y seno.
a
cos 53° 5
a 5 cos 53°
5
b
53°
b
sin 53° 5
a
b 5 sin 53°
La coordenada inicial x del Bote C es 5, y su coordenada x aumenta
en 5 cos 53° pies/s. Entonces, x 5 5t cos 53°.
La coordenada inicial y del Bote C es 0, y su coordenada y aumenta en
5 sin 53° pies/s. Entonces, y 5t sin 53°.
Usa tu calculadora para verificar que la gráfica de x 5 5t cos 53°,
y 5t sin 53° es la misma que la gráfica de x 5 3t, y 4t.
El Ejemplo A en tu libro muestra cómo la velocidad del viento puede afectar la
trayectoria de un avión. Trabaja este ejemplo meticulosamente, y después lee el
análisis que sigue sobre el uso de una rosa de los vientos para hallar el rumbo del
avión. En el Ejemplo B se muestra cómo el piloto del Ejemplo A puede ajustar el
rumbo del avión para compensar la fuerza del viento. Intenta resolver el problema
por tu cuenta, antes de leer la solución. Después lee el resto de la lección.
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.5
Movimiento de proyectil
En esta lección
●
Usarás unas ecuaciones paramétricas para modelar los componentes
horizontal y vertical del movimiento de un proyectil
Recuerda que la altura de un objeto en caída libre puede modelarse mediante la
ecuación y 12gt 2 v0 s0, donde t es el tiempo, v0 es el componente vertical de
la velocidad inicial, y s0 es la altura inicial. En la Tierra, el valor de g es 9.8 m/s2, ó
32 pies/s2. Esta ecuación modela solamente el componente vertical del movimiento
del proyectil. En esta lección modelarás también el componente horizontal.
En el Ejemplo A en tu libro se modela el movimiento de una pelota que se cae
rodando de una mesa. Trabaja ese ejemplo con papel y lápiz. Asegúrate de que
entiendes cada paso.
En el Ejemplo A, el movimiento inicial es en dirección horizontal solamente. En
el Capítulo 7, exploraste el movimiento que se da solamente en dirección vertical.
Usando trigonometría, puedes modelar el movimiento que se inicia a un ángulo
con respecto a la horizontal. Lee el texto en el recuadro “Parametric Equations for
Projectile Motion” (ecuaciones paramétricas del movimiento de un proyectil) en
tu libro. Trabaja el Ejemplo B, que muestra cómo aplicar las ideas del recuadro.
Aquí hay otro ejemplo. Intenta resolver el problema, antes de mirar la solución.
EJEMPLO
Peter patea un balón a un ángulo de 55°, con una velocidad inicial de 75 pies/s. Si
su pie hace contacto con el balón a una altura de 3.5 pies por encima del nivel
del suelo, ¿qué distancia horizontal recorre el balón antes de pegar en el suelo?
Solución
Traza una figura y encuentra los componentes x y y de la velocidad inicial.
75 pies/s
y
x
cos 55° 7
sin 55° 75
5
x 75 cos 55°
y 75 sin 55°
y
55°
x
El movimiento horizontal se ve afectado solamente por la velocidad inicial y el
ángulo inicial, de modo que la distancia horizontal se modela por x 75t cos 55°.
El movimiento vertical se ve afectado por la fuerza de gravedad
y la altura inicial. Su ecuación es y 16t 2 75t sin 55° 3.5.
Para saber cuándo el balón toca el suelo, encuentra t cuando y es 0.
16t 2 75t sin 55° 3.5 0
75 sin 55° (75
sin
55°)2 4(16)(3.5)
t 2(16)
t 0.056 ó t 3.896
Unicamente la respuesta positiva tiene sentido en esta situación. El balón
toca el suelo aproximadamente 3.896 segundos después de ser pateado.
Para hallar la distancia que recorrió, sustituye este valor de t en la ecuación
de x: x 75(3.896) cos 55° 167.599. El balón se desplaza de manera
horizontal aproximadamente 167.599 pies, ó 56 yardas.
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Lección 8.5 • Movimiento de proyectil (continuación)
Investigación: Tiros libres de basquetbol
En esta investigación simularás unos tiros libres.
Completa los Pasos 1 y 2 en tu libro, usando la siguiente información:
Tu diagrama debe verse parecido al que se muestra aquí.
1.5 pies
y
Posición vertical
distancia del piso al borde de la canasta 10 pies
distancia (sobre el piso) de la línea de tiro libre hasta el
tablero 15 pies
diámetro de la canasta 1.5 pies
longitud del soporte 0.5 pies
10
0.5 pies
El tablero está a 15 pies de la línea de tiro libre.
La distancia desde la línea de tiro al borde frontal es
Paso 3
15
x
Posición horizontal
15 longitud del soporte diámetro de la canasta 15 0.5 1.5 13 pies
La distancia desde la línea de tiro libre al borde trasero es
15 longitud del soporte 15 0.5 14.5 pies
El borde está a 10 pies del piso, de modo que las coordenadas de los
bordes frontal y trasero son (13, 10) y (14.5, 10). Grafica estos puntos
como se muestra en esta gráfica.
He aquí algunos valores razonables para la altura y el ángulo
en que se suelta el balón y la velocidad inicial de un tiro libre.
Paso 4
Altura (pies)
y0
Ángulo
A
Velocidad inicial (pies/s)
v0
6
45°
28
5
57°
25
6.5
40°
22
[0, 18.8, 5, 0, 12.4, 5]
Pasos 5 y 6 Usa los datos del Paso 4 para escribir las ecuaciones paramétricas,
de la forma x v0t cos A y y 16t 2 v0t sin A y0. Usa las ecuaciones
para simular un tiro libre en tu calculadora. Aquí se presentan las gráficas
correspondientes a los datos anteriores. Experimenta con diferentes alturas,
ángulos, y valores de velocidad inicial.
x 28t cos 45°
y 16t 2 28t sin 45° 6
x 25t cos 57°
y 16t 2 25t sin 57° 5
x 22t cos 40°
y 16t 2 22t sin 40° 6.5
Tiro por encima
¡Gol!
Tiro por abajo
[0, 18.5, 5, 0, 12.4, 5]
0t2
[0, 18.5, 5, 0, 12.4, 5]
0t2
[0, 18.5, 5, 0, 12.4, 5]
0t2
Paso 7 Existen muchas combinaciones que funcionarán. Si aumentas A, debes
aumentar v0 también. Si aumentas y0, debes disminuir v0, A, ó ambas.
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.6
La Ley de los senos
En esta lección
●
Descubrirás y aplicarás la Ley de los senos, que describe una relación entre
los lados y los ángulos de un triángulo oblicuángulo
Has investigado las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos
rectángulos. Ahora investigarás las relaciones entre los lados y los ángulos de
los triángulos no rectángulos, o triángulos oblicuángulos (oblique).
Investigación: Triángulos oblicuángulos
Paso 1 Dibuja un triángulo acutángulo ABC. Rotula el lado opuesto a A
como a, el lado opuesto a B como b, y el lado opuesto a C como c.
. Rotula la altitud como h. A
Después, dibuja la altitud que va de A a BC
la derecha se muestra un ejemplo.
A
c
b
h
Del diagrama, puedes escribir las siguientes ecuaciones:
B
h
sin B c ó h c sin B
h
sin C b ó h b sin C
Como ambos c sin B y b sin C son iguales a h, también son iguales entre sí. Esto es,
Paso 2
C
a
c sin B b sin C
Dividiendo ambos lados de la ecuación anterior entre bc, se obtiene
sin B
sin C
b
c
y rotúlala como j. Usando
Ahora, dibuja la altitud que va desde B a AC
un método parecido al del Paso 2, debes encontrar que
sin A
sin C
a
c
Paso 3
(¡Asegúrate de que puedes derivar esta ecuación por tu cuenta!)
Pasos 4 y 5 Puedes combinar las proporciones de los Pasos 2 y 3 para escribir
una proporción extendida:
sin A
sin B
sin C
a
b
c
El triángulo que dibujaste en el Paso 1 es acutángulo. ¿Crees que la misma
proporción será válida para los triángulos obtusángulos?
Paso 6 Dibuja un triángulo obtusángulo ABC y mide cada ángulo y
lado. Aquí se presenta un ejemplo.
Encuentra
sin A sin B
, ,
a
b
y
sin C
c
para tu triángulo. Para el triángulo a la derecha:
A
3 cm
sin A sin 31°
sin B sin 23°
sin C sin 126°
0.13 0.13 0.13
a
4
b
3
c
6.3
Así pues, parece que
también.
sin A
a
sin B
b
sin C
c
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31°
C
6.3 cm
126° 23°
4 cm
B
es válido para triángulos obtusángulos
(continúa)
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Lección 8.6 • La Ley de los senos (continuación)
En el Ejemplo A en tu libro, se aplica lo que has aprendido en la investigación a
un problema real. Lee el ejemplo con atención. La relación que descubriste en la
investigación se llama la Ley de los senos. Se resume en el recuadro “Law of
Sines” (la Ley de los senos) en tu libro.
El Ejemplo B muestra cómo aplicar la Ley de los senos para encontrar la longitud
desconocida de un lado de un triángulo, cuando conoces las medidas de dos ángulos
y la longitud de un lado. Lee el ejemplo atentamente. Prueba tu entendimiento,
. (Sugerencia: Primero necesitarás encontrar la
encontrando la longitud del lado AC
es aproximadamente 15.4 cm.
medida de B.) Debes hallar que la longitud de AC
También puedes usar la Ley de los senos para encontrar la medida desconocida de un
ángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a
uno de los lados. Sin embargo, en este caso puedes encontrar más de una solución. Para
ayudarte a entender por qué puede haber más de una solución, observa el diagrama en
la página 471 de tu libro y lee el Ejemplo C. A continuación hay otro ejemplo.
EJEMPLO
es 8 cm, y la
En ABC, la medida de A es 30°, la longitud del lado AB
longitud del lado BC es 5 cm. Dibuja y rotula dos triángulos que se ajusten a
esta descripción. Para cada triángulo, encuentra las medidas de B y C y la
.
longitud del lado AC
Solución
A continuación se presentan las dos posibilidades.
B
8 cm
A
B
8 cm
5 cm
30°
A
C
b
30°
C
b
5 cm
Para hallar una medida posible de C, usa la Ley de los senos.
sin 30°
sin C
5
8
8 sin 30°
sin C 5
8 sin 30°
C sin1 5 53.1°
La medida de C es 53.1°, de modo que la medida de B es 180° (30° 53.1°),
, usa la Ley de los senos de nuevo.
ó 96.9°. Para hallar la longitud de AC
sin 30°
sin 96.9°
5
b
5 sin 96.9°
b
sin 30° 9.9 cm
es 9.9 cm.
La longitud de AC
La otra posible medida para C es el suplemento de 53.1°, ó 126.9°. Entonces,
la medida de B es 180° (30° 126.9°), ó 23.1°. Usa la Ley de los senos para
.
encontrar la longitud de AC
sin 30°
sin 23.1°
5
b
5 sin 23.1°
b
sin 30° 3.9 cm
es 3.9 cm.
La longitud de AC
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.7
La Ley de los cosenos
En esta lección
●
●
Usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un
triángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo
formado por éstos
Usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un
triángulo cuando conoces las longitudes de sus tres lados
Puedes usar la Ley de los senos para hallar las longitudes de los lados o las
medidas de los ángulos de un triángulo, si conoces las medidas de dos ángulos y
la longitud de un lado; o alternativamente si conoces las longitudes de dos lados y
la medida del ángulo opuesto a uno de tales lados.
En el Ejemplo A en tu libro, se dan las longitudes de dos lados y la medida del
ángulo comprendido entre los lados, y debes encontrar la longitud del tercer lado.
La Ley de los senos no se puede aplicar en esta situación. Trabaja la solución para
ver cómo encontrar la longitud desconocida.
Si utilizas el procedimiento del Ejemplo A en un caso general en donde se dan las
longitudes de dos lados, a y b, de un triángulo ABC y la medida del ángulo
comprendido entre ellos, C, obtienes la Ley de los cosenos:
c 2 a2 b 2 2ab cos C
donde c es opuesto a C. Observa que esto se parece al Teorema de Pitágoras con
un término extra, 2ab cos C. (De hecho, si C es un ángulo recto, entonces cos C
es 0, y la ecuación se convierte en el Teorema de Pitágoras.) Lee el texto del
recuadro “Law of Cosines” (la Ley de los cosenos) en la página 477 de tu libro y
estudia los diagramas después del recuadro.
Investigación: A la vuelta de la esquina
Lee la investigación en tu libro. Si tienes los materiales y algunas personas
que te ayuden, haz la investigación. Si no, puedes usar el diagrama que se
muestra aquí. Termina la investigación por tu cuenta, y luego compara tus
resultados con los presentados aquí.
Conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido, de
modo que puedes usar la Ley de los cosenos para hallar la longitud del
tercer lado.
c 2 a2 b 2 2ab cos C
Ley de los cosenos.
c 2 2.52 22 2(2.5)(2) cos 43°
Sustituye los valores conocidos.
c 2 6.25 4 10 cos 43°
Multiplica.
c 10.25
10 cos
43°
Resuelve para c.
c 1.71
Evalúa
A
2m
C
c
43°
2.5 m
B
La distancia entre las dos personas es aproximadamente 1.71 metros.
(continúa)
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Lección 8.7 • La Ley de los cosenos (continuación)
Para hallar las medidas desconocidas en el Ejemplo B, la Ley de los cosenos se
aplica dos veces. Intenta encontrar las medidas desconocidas por tu cuenta, y
luego lee la solución. Tanto en la investigación como en el Ejemplo B, se dan las
longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. También puedes usar la
Ley de los cosenos si conoces las longitudes de los tres lados. El ejemplo siguiente
te muestra cómo.
EJEMPLO
Encuentra la medida de los ángulos.
B
5.1 cm
3.5 cm
C
Solución
2.0 cm A
Empieza usando la Ley de los cosenos para hallar la medida de C.
c 2 a2 b 2 2ab cos C
Ley de los cosenos.
3.52 5.12 2.02 2(5.1)(2.0) cos C
12.25 30.01 20.4 cos C
Multiplica.
17.76 20.4 cos C
Resta 30.01 de ambos lados.
17.76
cos C 20.4
17.76
C cos1 20.4
Sustituye los valores conocidos.
Resuelve para cos C.
Toma el inverso del coseno en ambos lados.
C 29.5°
Evalúa.
Ahora, usa la Ley de los senos para encontrar la medida de B.
sin C
sin B
c
b
Ley de los senos.
sin 29.5
sin B
3.5
2.0
Sustituye los valores conocidos.
2.0 sin 29.5°
sin B 3.5
2.0 sin 29.5°
B sin1 3.5
B 16.3°
Resuelve para sin B.
Toma el inverso del seno en ambos lados.
Evalúa.
Para hallar la medida de A, usa el hecho de que la suma de las medidas de los
ángulos de un triángulo es 180°.
A 180° (29.5° 16.3°) 134.2°
Lee el resto de la lección en tu libro, que resume lo que has aprendido en esta
lección y en la anterior.
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