EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO

1
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C1. Determine el valor al que tenderá en régimen permanente la salida ante un escalón de amplitud 3 a la
entrada del sistema discreto dado por:
G( z) =
z − 0 .7
( z − 0.5) z
C2. a) Determinar la región del plano z donde pueden ubicarse un par de polos complejos conjugados, de
forma que la respuesta del sistema discreto cuya función de transferencia estuviera formada
únicamente por esos dos polos, ante secuencia escalón unitario presente las siguientes características:
SO≈20%, ts < 7 ciclos (es decir, si el sistema procediera de uno continuo muestreando a un periodo Tm,
el tiempo de subida que nos piden sería ts < 7Tm, en segundos).
b) Concretar un par de polos complejos conjugados, eligiendo un valor específico de tiempo de subida
por debajo del límite dado en el apartado (a). Comparar estos polos con los que resultarían de la
conversión directa de los polos en continuo correspondientes a dicha sobreoscilación y tiempo de
subida.
C3. ¿Qué es y para qué sirve un filtro anti-aliasing ? Dibuje el esquema de control por computador de un
sistema continuo en que se añade un filtro de este tipo.
C4. Explique la forma en que elegiría un periodo de muestreo adecuado para un sistema continuo que se
pretende discretizar, del cual se conoce su respuesta escalón unitario:
1.4
1.3
1.2
1.1
Una vez elegido el periodo de muestreo,
justifique si los polos del sistema continuo
están contenidos en la franja primaria del
plano s.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
C5. a) Obtener la transformada en Z de la secuencia correspondiente a la señal cuya transformada de
s
Laplace es (suponiendo muestreo a 1 segundo):
X ( s) =
2
( s + 1) ( s + 2)
b) Obtener los primeros términos de la secuencia correspondiente. Corroborar dichos términos
mediante división larga.
C6. a) Obtenga la secuencia de ponderación {gk} del sistema descrito mediante la siguiente ecuación en
(−1 < a < 1)
diferencias: y k − a y k −1 = x k
b) Si dos sistemas descritos mediante esta ecuación se conectan en serie ¿Cuál sería la secuencia de
ponderación del sistema resultante?
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
2
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C7. Para el sistema descrito por:
y k +1 = y k + u k −1
a) Determinar la respuesta ante un impulso a la entrada.
b) Para qué valores de una ganancia K, suponiendo que se calcula la entrada al sistema como
u k = K ( rk − yk ) , el sistema resultante es estable.
C8. Para el sistema descrito por: y k +1 = y k −1 + 0.5 u k −1
Para qué valores de una ganancia K, suponiendo que se calcula la entrada al sistema como
u k = K (rk − yk ) , el sistema resultante es estable.
C9. Al realizar una aproximación discreta de tipo Euler I de un controlador continuo C(s), con un periodo de
muestreo T1, resultan dos polos complejos conjugados inestables para C(z), situados en: z1,2 = 0.5 ± j.
a) Se desea rediscretizar el controlador (de nuevo mediante la aproximación de Euler I) con un nuevo
periodo de muestreo T2 = α T1 que garantice que el C(z) resultante en este caso sea estable. Determinar
el máximo valor de α necesario.
b) Si el segundo proceso de discretización se realiza mediante la aproximación de Tustin, explique, sin
realizar ninguna operación matemática, en qué condiciones sería estable el controlador resultante.
C10. Sea el controlador discreto C(z), cuyo denominador consta sólo de dos polos complejos conjugados
0.5±0.75j. Se sabe que este controlador ha sido obtenido de discretizar un controlador continuo C(s)
mediante una aproximación rectangular hacia atrás (Euler II) con un tiempo de muestreo T.
Se pide estudiar qué hubiera sucedido (respecto a la estabilidad del controlador discreto) si el tiempo de
muestreo hubiera sido 10 veces superior ó 10 veces inferior que el original. ¿Qué sucedería si el
controlador se hubiese implementado en tiempo continuo?
C11. Supuesto un sistema continuo con la siguiente configuración de polos y ceros: c1=-8, p1,2=-2±4j,
p3,4=-5±10j . Se pretende discretizarlo usando un periodo de muestreo Tm≈π/9. Representar en el Plano
s la configuración de polos y ceros del sistema.
a) Determinar, a partir de esa distribución gráfica de polos y ceros en el Plano s, si se estará
muestreando adecuadamente a este sistema.
b) ¿Qué otra combinación de polos y ceros continuos daría lugar a la misma configuración en el Plano
z?
C12. Se tiene un sistema continuo que ha sido identificado en frecuencia, resultado el diagrama de Bode
siguiente, en el que se muestran las aproximaciones asintóticas. Realice una elección del periodo de
muestreo suficiente para una discretización adecuada del sistema.
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
3
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C13. Considerando el mismo sistema continuo anterior, se desea ahora implementar un controlador
proporcional para que el sistema realimentado tenga un tiempo de subida aproximado t s ≈ 0.5s . Elija
un periodo de muestreo adecuado para esta nueva situación.
C14. Sea el sistema discreto G(z), cuya respuesta ante escalón unitario es la que aparece en la figura. En ella
se puede apreciar que el sistema se puede aproximar mediante una dinámica dominante de primer
orden (sin ceros), junto con un cierto retardo puro. Obtenga la expresión de G(z).
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
Periodo de muestreo (k)
C15. Para el sistema continuo: G ( s ) =
25
30
0.02 s + 1.2
s + 7 s 2 + 6.02 s + 1.2
3
Se ha diseñado un controlador PID mediante el método de Ziegler-Nichols en BA, resultando: Kp=5.77,
Ti=1.8, Td=0.45. Las respuestas ante escalón unitario del sistema continuo en BA sin compensar
y compensado en BC son:
Resp. escalón sistema continuo BC compensado
Resp. escalón sistema continuo BA sin compensar
1.4
1
0.9
1.2
0.8
1
0.7
0.6
0.8
0.5
0.6
0.4
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
16
18
20
22
24
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (s)
16
18
20
22
24
a) Discretizar dicho controlador. Elegir para ello un periodo de muestreo apropiado pero que no
suponga una carga computacional innecesariamente elevada.
b) Comparar el comportamiento del sistema controlado en continuo y en discreto mediante SIMULINK
(opcional).
c) Escribir el programa que implemente el controlador obtenido.
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
4
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C16. El comportamiento dinámico de un horno que usa combustible sólido puede describirse mediante la
siguiente función de transferencia discreta:
G( z) =
Y ( z ) K ( z − c)
=
U ( z ) z ( z − p)
, U ( z ) = Ζ[{u k }] , Y ( z ) = Ζ[{ y k }]
Donde {uk} es el incremento de combustible a la entrada del horno e {yk} es el incremento de la
temperatura de los gases de salida del horno. Sabiendo que la respuesta ante escalón es la que se
muestra en la figura.
a) Hallar los valores de los tres parámetros de la función de transferencia.
b) Calcular un controlador, mediante el método de Truxal, de forma que se consiga error en régimen
permanente acotado ante entrada en rampa, y de forma que todos los polos de la función de
transferencia en BC se encuentren en z=0.5.
c) Dibujar la respuesta escalón del sistema resultante en BC, comprarándola con la respuesta del sistema
sin controlar.
Respuesta ante escalón unitario
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Periodos de muestreo
C17. Sea el sistema en tiempo continuo:
G ( s) =
10
( s + 1) 2
Se pide diseñar directamente en discreto y escribir el código del controlador para implementarlo en una
computadora de un PID digital que cumpla: error en régimen permanente nulo frente a escalón y tiempo
de subida aproximado de 3 segundos. Para ello elija el periodo de muestreo adecuadamente y diseñe el
controlador mediante asignación de polos (ver solución).
C18. Sea el sistema continuo:
G ( s) =
2 + 0.2 s
s + 0.2 s + 1
2
Diseñe en continuo un controlador PID por cancelación de polos, para conseguir que en bucle cerrado el
sistema tenga un tiempo de subida de unos 3 segundos. Obtenga una aproximación discreta de este
controlador de la forma que considere más conveniente, para que pueda ser implementada en una
computadora.
5
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C19. Considérese el sistema:
G (s) =
e −5 s
1 + 10 s
a) Diseñar un controlador discreto por método directo, especificando los polos para conseguir un
tiempo de subida en torno a 10 segundos y una sobreoscilación de un 5%. Además se desea que el error
en régimen permanente ante entrada escalón sea nulo.
b) Realizar un nuevo diseño, pero intentando satisfacer además que el error en régimen permanente ante
entrada en rampa sea del 10%.
En ambos casos puede emplearse un periodo de muestreo de 2.5 segundos.
C20. Una empresa pretende realizar un estudio sobre un panel solar portado por un satélite. El estudio exige
que desde la Tierra se pueda controlar la posición del panel (por simplicidad, consideramos que sólo
se dispone de un grado de libertad, por ejemplo, el panel podrá girar sobre un eje cierto ángulo q). El
satélite dispone, por un lado, de un conjunto electromecánico que permite realizar los movimientos del
panel, y por otro ,de un conjunto de sensores que medirán el ángulo alcanzado, si bien, no dispone de
ningún controlador a bordo. Por lo tanto, las señales de control u viene dadas por el controlador
instalado en Tierra.
En la figura, se representan dos respuestas. Por un lado, la respuesta {qk} (ángulo del panel) obtenida
cuando se envía desde la Tierra una secuencia {uk} escalón unitario (respuesta en bucle abierto). Por
otro lado, se muestra la respuesta {qk} deseada ante referencia {rk} escalón unitario, cuando se utilice
un controlador. Se pide:
a) Diseñar el controlador discreto que dé la respuesta deseada (se puede usar el método de Truxal).
b) El pseudocódigo del programa que implemente la ley de control obtenida en un computador.
Nota: El periodo de muestreo es de 1s. Existe un retardo en las comunicaciones de 2 segundos como
puede apreciarse en las gráficas. Pueden considerarse respuestas de primer orden (identifiquen
suponiendo que las gráficas fueran respuestas de sistemas continuos).
1
Respuesta deseada (BC)
0.9
0.8
0.7
Respuesta BA
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tiempo en segundos
20
22
24
6
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C21. Dado el sistema discreto: G ( z ) =
K ( z − c)
, del cual se sabe que su diagrama de Bode es el de la
( z − p)2
figura:
40
ganancia (dB)
35
Bode asintótico
30
25
20
15
10
-2
10
-1
10
0
1
10
frecuencia (rad/s)
2
10
10
100
fase (grados)
0
-100
-200
-300
-400
-2
10
-1
10
0
1
10
frecuencia (rad/s)
2
10
10
a) Deducir los valores de los parámetros: K, c, p.
b) Deducir si se podría diseñar (y en caso afirmativo, diseñarlo) un controlador PI directamente en
discreto, de modo que el sistema en bucle cerrado cumpla las especificaciones siguientes: error en
régimen permanente frente a escalón nulo, polo dominante en z=0.7.
c) Diseñar un nuevo controlador mediante el método de Truxal, de forma que se cumplan las mismas
especificaciones del apartado anterior. Indicar qué problemas podrían aparecer al implementar este
controlador.
C22. Dado el sistema discreto cuya función de
45
transferencia tiene la forma:
40
K ( z − c)
G( z) =
z ( z − p)
escalón unitario mostrada en la figura. Para
evitar ambigüedades a la hora de medir en la
gráfica, se sabe que la secuencia de salida
comienza con los valores {yk} = {0, 1.0, 1.9,
2.98, 4.276, …}
Respuesta escalón
a) Identificar dicho sistema a partir de la respuesta
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
periodo de muestreo (k)
10
12
14
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
7
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
b) Diseñar un controlador, por el método de Truxal, de forma que se consiga que el sistema resultante
tenga una respuesta con una constante de tiempo dominante de cuatro veces el periodo de muestreo, y
con error en régimen permanente nulo ante entrada escalón.
c) Representar de forma aproximada la respuesta ante escalón unitario del sistema compensado. Utilice
para ello los 3 primeros valores de la secuencia de salida y el valor en régimen permanente. Justifique
la forma de dicha respuesta.
d) Justifique, utilizando un boceto del lugar de las raíces, si es posible diseñar un controlador PI que
satisfaga las especificaciones dadas.
C23. Sea el sistema discreto G(z), cuya respuesta ante escalón unitario aparece en la figura siguiente:
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Periodo de muestreo (k)
10
11
12
13
14
Suponiendo que G(z) es un sistema de primer orden y sabiendo que el tiempo de muestreo es T=10
segundos, se pide:
a) Identificar la función de transferencia G(z).
b) Diseñar un controlador C1(z) de tipo PI, directamente en discreto, de forma que la respuesta del
sistema en bucle cerrado tenga un error en régimen permanente nulo frente a escalón, que no
sobreoscile y que tenga un tiempo de subida del orden de 50 segundos.
c) Diseñar un controlador C2(z) mediante el método de Truxal que cumpla las mismas especificaciones
del apartado anterior.
d) Comparar cualitativamente los controladores C1(z) y C2(z) calculados en los apartados anteriores.
C24. Sea el sistema en tiempo continuo:
G(s) =
10
( s + 1) 2
Se pide diseñar directamente en discreto y escribir el código del controlador resultante para
implementarlo en una computadora de un PID digital que cumpla: error en régimen permanente nulo
frente a escalón y tiempo de subida aproximado de 3 segundos.
EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONTROL AUTOMÁTICO
8
BOLETIN V: SISTEMAS DISCRETOS (I)
C25. Sea el sistema:
G( z) =
K
( z − a )( z − b)
Donde los dos polos tienen módulo menor que la unidad. Suponiendo que este sistema procede de la
discretización de un sistema continuo, utilizando un periodo de muestreo T y un mantenedor de orden
cero, se pide:
a) Diseñar las constantes q0, q1, q2 del PID discreto correspondientes a su formulación incremental:
u k =u k −1 + q 0 e k + q1ek −1 + q 2 ek − 2
de forma que se cumplan las siguientes especificaciones:
-El sistema en BC tenga el menor orden posible, lo cual se consigue diseñando el controlador de
manera que se cancelen los polos estables del sistema.
-Error en régimen permanente frente a entrada en velocidad igual a 0.1.
b) Escribir la expresión de la función de transferencia obtenida en BC y calcular el máximo valor de T
para el cual se puede implementar el controlador. Asimismo, razonar si con este controlador se
podría anular el error en régimen permanente frente a rampa.