parte 2 - Dirección General de Cultura y Educación
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PARTE 2. SELECCIÓN DE CONTENIDOS PARA EL SEGUNDO CUATRIMESTRE DE 2009. Además de los contenidos y conocimientos matemáticos, el Diseño Curricular propone instalar un tipo de trabajo matemático particular. En él se afirma: “Los alumnos deben aprender a explorar y resolver problemas cuya resolución no resulta evidente de entrada, deben argumentar acerca de su validez, deben ser capaces de comprender y aplicar las propiedades que forman parte de una cierta construcción teórica, deben poner en juego técnicas que les permitan operar, deben memorizar resultados que forman parte de un sentido básico de lo numérico... Es evidente que este conjunto de capacidades no será adquirido como producto de una única modalidad que se instale en la clase. En algunos momentos los alumnos buscarán soluciones originales para abordar problemas nuevos para ellos; en otros, aplicarán resultados ya adquiridos para familiarizarse con los mismos y adquirir destreza en su utilización; en otros, reflexionarán sobre lo hecho lo cual dará lugar al planteo de cuestiones nuevas que sólo tienen sentido una vez realizada una cierta tarea; en otros, analizarán estrategias de los pares para tomar posición respecto de su pertinencia... En función del tipo de conocimiento que se quiera tratar: su complejidad relativa, su papel en la trama de relaciones matemáticas, su accesibilidad para los alumnos, etc., los docentes han de elegir las formas de intervención que juzguen más adecuadas. Es así como el docente planteará problemas complejos y ayudará a los niños a sostener la búsqueda de soluciones, coordinará la interacción entre ellos proponiendo nuevas preguntas a partir de los debates que se sostienen, producirá formulaciones de las ideas que circularon en un momento de trabajo, promoverá prácticas para provocar el dominio de las herramientas que se ponen en juego, explicará cuestiones nuevas, necesarias para avanzar con el desarrollo de su proyecto didáctico”. 1 Sabemos que no se trata de una forma de trabajo que pueda desarrollarse de un día para el otro, sino que lleva tiempo. Sin embargo, también sabemos que es posible que nunca se instale en las aulas si no se plantea como propósito de la enseñanza. 1 Diseño Curricular para la Escuela Primaria. Segundo Ciclo. Tomo 2. Pág. 545 http://abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/documentosdescarga/diseni ocurricularparaeducacionprimaria2ciclo.pdf 1 CONTENIDOS 1º AÑO NÚMEROS NATURALES 2 Explorar diferentes contextos y funciones de los números en el uso social - Reconocer en diferentes situaciones dónde hay números, para qué se usan, qué tamaños de números se presentan en algunos contextos, las marcas gráficas que los acompañan en cada caso (comas en los precios, rayitas en los números telefónicos, guiones en las fechas, etc.). - Usar distintos portadores de información numérica (monedas, cintas métricas, envases de alimentos, almanaques, boletos de colectivo, DNI, páginas de libros, guías telefónicas, etc.) como fuente de consulta para resolver problemas. Resolver situaciones de conteo de colecciones de objetos - Resolver problemas que impliquen el conteo de pequeñas y de grandes colecciones de objetos, permitiendo a los niños perfeccionar sus estrategias de conteo y extender sus conocimientos de la serie numérica. Por ejemplo, agrupar elementos para contar más rápido, retomar la serie numérica oral cada vez que sea necesario, pedir información sobre escritura y nombres de números “redondos”, etc. - Producir e interpretar registros escritos de la cantidad de objetos que han contado. Leer, escribir y ordenar números hasta aproximadamente 100 ó 150 - Resolver problemas que exijan leer, escribir y ordenar números, averiguar anteriores y siguientes, usar escalas o series. Por ejemplo: completar álbumes de figuritas, hacer o completar grillas con números, consultar información en rectas numéricas, juegos de adivinación, comparar listas de precios, consultar reglas, llenar boletas de depósito y cheques con letras y números, etc. Explorar las regularidades en la serie oral y escrita en números de diversa cantidad de cifras - Establecer relaciones entre la serie numérica oral y escrita a partir de contar elementos y etiquetar colecciones, leer y registrar fechas y direcciones, intercambiar ideas acerca de cómo se llamarán o escribirán números de diversa cantidad de cifras. Por ejemplo, los dieces, los veinti, los treinti, tienen dos cifras, los cienes tienen tres, los millones tienen muchos; dos mil ocho empieza con dos y termina con ocho”, etc. - Establecer relaciones entre números escritos elaborando criterios de comparación: cantidad de cifras, orden entre ellas, etc. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Resolver problemas de suma y resta que involucran los sentidos más sencillos de estas operaciones: unir, agregar, ganar, avanzar, quitar, perder, retroceder, por medio de diversos procedimientos –dibujos, marcas, números y cálculos‐ Se podrán presentar problemas como los siguientes: - En un salón hay 12 varones y 14 nenas, ¿cuántos alumnos hay? - Estoy en el casillero 23 y tengo que retroceder 5, ¿a qué casillero debo ir? Si bien inicialmente los niños podrán resolver estos problemas sin reconocer cálculos, progresivamente el docente propiciará la evolución de los diferentes modos de resolver y 2 El docente podrá encontrar situaciones de enseñanza de la numeración en: Dirección Provincial de Educación Primaria (2007). “Propuestas de Matemática para los inicios de primer grado”. Disponible en www.abc.gov.ar 2 representar hacia el uso de estrategias de cálculo, promoviendo la escritura de los cálculos realizados utilizando los signos +, ‐ e =. Construir y utilizar estrategias de cálculo mental para resolver sumas y restas 3 - Construir un repertorio de cálculos 4 que incluya: - sumas de dígitos (3+ 4, 5+ 7), - sumas y restas de uno a cualquier número (9‐1, 18+1, 1+29, 45‐1), - sumas de números iguales de una cifra (2+2, 4+4, 6+6), - sumas y restas que dan 10 (3+7, 14‐4), - sumas de múltiplos de 10 de dos cifras más números de una cifra (20+6, 60+9) - sumas y restas de cualquier número de una o dos cifras más 10 (5+10, 54‐10, 54+10) - Usar los resultados numéricos conocidos para resolver otros cálculos (Por ejemplo, para resolver el cálculo 9+8, podrán calcular 10+ 8‐1 ó 9+ 9 ‐ 1 u 8 + 8 + 1). - Usar descomposiciones de números de dos cifras para resolver cálculos de suma y resta (Por ejemplo, para resolver 17+29, podrán realizar la descomposición 10+7+10+10+9, sumar los “dieces” 30+7+9 e ir agregando los dígitos 37+ 9=46) GEOMETRÍA 5 Explorar, reconocer y usar características de figuras para distinguir unas de otras - Identificar en una colección variada de figuras una que ha sido seleccionada, mediante preguntas y respuestas en las que los niños tengan oportunidad de explicitar algunas de sus características: lados iguales o diferentes, lados rectos o curvos, cantidad de lados y vértices, etc., sin necesidad de identificar los nombres de cada una de ellas. Explorar, reconocer y usar características de los cuerpos geométricos para distinguir unos de otros - Identificar en una colección variada de cuerpos (cubos, prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas del mismo color y material) uno que ha sido seleccionado, mediante preguntas y respuestas en las que los niños tengan oportunidad de explicitar algunas de sus características: cantidad de caras y aristas, distinta forma de caras, regulares e irregulares, con caras planas y curvas. 3 Para ampliar información sobre la enseñanza de este contenido: DGCyE, Dirección Provincial de Educación Primaria (2008). “La enseñanza del cálculo en primer año”. Disponible en www.abc.gov.ar 4 Con repertorio nos referimos a que estos cálculos les resulten lo suficientemente familiares como para que no tengan que resolverlos cada vez que se les presenten. Si cada vez que un niño tiene que resolver 7 + 3 apela al conteo, entonces ese cálculo no forma parte de su repertorio. 5 Para ampliar información sobre la enseñanza de este contenido: DGCyE, Dirección de Educación General Básica (2001). “Orientaciones didácticas para la enseñanza de la geometría en EGB. Disponible en www.abc.gov.ar 3 CONTENIDOS 2° AÑO NÚMEROS NATURALES Leer, escribir y ordenar números hasta aproximadamente 1000 ó 1500 - Resolver problemas que exijan leer, escribir y ordenar números, utilizando información sobre la escritura y lectura de números redondos (cien, doscientos, trescientos, etc.) como fuente de consulta para reconstruir el nombre y escritura de otros números. Por ejemplo: completar grillas, rectas numéricas, juegos de adivinación, escalas, determinar anteriores y posteriores, ordenar de mayor a menor, etc. Explorar las regularidades en la serie oral y escrita en números de diversa cantidad de cifras - Establecer relaciones entre la serie numérica oral y escrita a partir del intercambio de ideas acerca de cómo se llamarán o escribirán números de igual o distinta cantidad de cifras, utilizando información sobre números de todos los tamaños (a partir de relaciones como por ejemplo, “los cienes tienen tres, los miles tienen cuatro, los millones tienen muchos”; “dos mil ocho empieza con dos y termina con ocho”, etc.) para que sean usados como fuente de consulta permanente en problemas variados. Resolver problemas que involucran el análisis del valor de la cifra según la posición que ocupa (en términos de “unos”, “dieces” y “cienes”) - “Armar y desarmar” números en “unos”, “dieces” y “cienes” estableciendo relaciones entre el valor posicional y la multiplicación por la unidad seguida de ceros. Por ejemplo: Si tengo 3 monedas de $1, 3 billetes de $10 y 12 de $100, ¿cuánto dinero tengo? ¿Cuál es la menor cantidad de billetes de $100, de $10 y monedas de $1 que se precisan en un juego para formar $758? - Anotar el 66 en el visor de la calculadora. Con una suma lograr que aparezca el 666, luego el 766, el 866. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Resolver problemas de suma y resta que involucran distintos sentidos de estas operaciones: unir, agregar, ganar, avanzar, quitar, perder, retroceder, por medio de diversos procedimientos y reconociendo los cálculos que permiten resolverlos Si bien es probable que en un principio algunos niños pongan en juego procedimientos de resolución más ligados al conteo, se espera que reconozcan los cálculos de suma y resta como herramientas adecuadas para este tipo de problemas. Explorar problemas de suma y resta que involucran otros significados más complejos de estas operaciones, por medio de diversos procedimientos Se podrán presentar problemas como los siguientes: - Juana está leyendo un libro de 46 páginas, ya leyó 25, ¿cuántas páginas tiene que leer para terminar el libro? - Entre José y Pablo tienen 32 bolitas. Si 19 son de Pablo, ¿cuántas son de José? - Martina llevó caramelos a la escuela, convidó 8 a sus amigas y trajo a su casa 14 caramelos, ¿cuántos había llevado?; A Juan le regalaron 7 autitos para su cumpleaños, ahora tiene 23, ¿cuántos tenía antes del cumple? - Pablo tenía 26 bolitas antes de empezar el partido y 33 al terminar, ¿cuántas ganó?; Carlitos tenía 26 bolitas antes de empezar el partido y 15 al terminar, ¿cuántas perdió? Construir y utilizar estrategias de cálculo mental para resolver sumas y restas - 4 - - - Ampliar el repertorio de cálculos de suma y resta que los niños ya tienen disponible, incluyendo: - sumas de números iguales y de múltiplos de 10 entre sí (15+15, 40+40), - sumas y restas que dan 100 (30+70, 125‐25) - sumas y restas de múltiplos de 10 y de 100 (40+60, 100‐40, 100+400, 500‐300). - sumas y restas de múltiplos de 5 (25+15) - sumas de múltiplos de 10 y de 100 más otro número (50+8, 500+8, 700+54) - sumas y restas de 10 y 100 a cualquier número de una, dos o tres cifras (456+10, 456+100, 780‐10, 780‐100) Usar los resultados numéricos conocidos para resolver otros cálculos. Por ejemplo, para resolver el cálculo 90+80, los alumnos podrán calcular 100+80‐10 ó 90+90‐10 u 80+80+10. Usar descomposiciones de números de dos y tres cifras para resolver cálculos de suma y resta. Por ejemplo, para resolver 170+230 realizar 100+100+100+70+30. Analizar diferentes algoritmos de suma y resta y utilizarlos progresivamente en la resolución de problemas cuando los números lo requieran - Interpretar y usar escrituras diversas como las siguientes: 50 + 4 ---- 40 + 14 30 + 5 ---- -30 + - 5 10 + 9 = 19 4 14 40 14 54 -35 19 54 -35 19 Comparar problemas de suma y de multiplicación y analizar diferentes cálculos para un mismo problema - Reconocer que un mismo problema puede ser resuelto con cálculos distintos. Por ejemplo: ¿Cuántos chocolates hay en 5 paquetes si en cada uno hay 7? Elegí el o los cálculos que te sirven para resolverlo: 7+7+7+7+7 7+5 5x7 5+7 Inventá un problema que se pueda resolver con el cálculo 5x7 y otro con 5+7 Resolver problemas de reparto y partición, por medio de diversos procedimientos –dibujos, marcas, números y cálculos Se podrán presentar problemas como los siguientes: - El quiosquero quiere regalar 10 chicles a 4 chicos del barrio. ¿Cuántos chicles le dará a cada uno? - Juana puso 24 conejos en 4 jaulas. Si en cada jaula puso la misma cantidad, ¿cuántos conejos puso en cada una? - Juana puso 24 conejos en jaulas. Si puso 4 en cada jaula, ¿cuántas jaulas usó? - Problemas en los que sobran elementos y no se pueden partir (por ejemplo, globos o lápices) - Problemas en los que sí se puede seguir repartiendo el resto (por ejemplo, chocolates o sogas) y otros en los que no sobran elementos: José repartió 9 chocolates, en partes iguales, entre 4 amigos, ¿cuánto recibió cada uno? ; La maestra repartió 10 lápices de colores, en partes iguales, entre tres chicos, ¿sobraron lápices? Construir progresivamente estrategias de cálculo mental para resolver multiplicaciones - Reconocer sumas reiteradas que permiten resolver los problemas de multiplicación. Por ejemplo pensar el 14 x 4 como 10 + 10 + 10 + 10 + 4 + 4 + 4 + 4 - Resolver situaciones en las que se registren algunos resultados y se vuelva sobre ellos para resolver nuevos problemas. Por ejemplo, construir tablas colectivamente (también para 5, 6, 7, 8, 9 y 10): 5 pares 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zapatos 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 triciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ruedas 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 sillas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 patas 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 GEOMETRÍA 6 Reproducir figuras que contienen cuadrados, rectángulos y triángulos como medio para analizar algunas características - Copiar figuras (cuadrados, rectángulos ‐con o sin diagonales‐ y triángulos rectángulos o isósceles ‐sin hacer mención del nombre de estos triángulos‐). Por ejemplo: Copiar el siguiente dibujo en hoja cuadriculada: Explorar, reconocer y usar características de los cuerpos geométricos para distinguir unos de otros - Agrupar cuerpos según sus características con la finalidad de explicitar los criterios que utilizaron para agruparlos. 6 Para ampliar información sobre la enseñanza de este contenido: DGCyE, Dirección de Educación General Básica (2001). “Orientaciones didácticas para la enseñanza de la geometría en EGB. Disponible en www.abc.gov.ar 6 CONTENIDOS 3° AÑO NÚMEROS NATURALES Leer, escribir y ordenar números hasta aproximadamente 10.000 ó 15.000 - Resolver problemas que exijan leer, escribir y ordenar números, averiguar anteriores y siguientes de un número, usar escalas o producir series, utilizando información sobre la escritura y lectura de números redondos (mil, dos mil, tres mil, etc.) como fuente de consulta para reconstruir el nombre y escritura de otros números. Por ejemplo: completar grillas, rectas numéricas, juegos de adivinación, escalas, determinar anteriores y posteriores, ordenar de mayor a menor, etc. Explorar las regularidades en la serie oral y escrita en números de diversa cantidad de cifras - Establecer relaciones entre la serie numérica oral y escrita a partir del intercambio de ideas acerca de cómo se llamarán o escribirán números de igual o distinta cantidad de cifras, utilizando información sobre números de todos los tamaños (100, 1.000, 10.000, 100.000. 1.000.000, etc.) para que sean usados como fuente de consulta permanente en problemas variados. Resolver problemas que involucran el análisis del valor de la cifra según la posición que ocupa (en términos de “unos”, “dieces”, “cienes” y “miles”) - “Armar y desarmar” números en “unos”, “dieces” y “cienes” estableciendo relaciones entre el valor posicional y la multiplicación por la unidad seguida de ceros. Por ejemplo: - Si tengo 3 monedas de $1, 3 billetes de $10 y 12 de $100 ¿cuánto dinero tengo? - ¿Cuál es la menor cantidad de billetes de $1.000, de $100, de $10 y monedas de $1 que se precisan en un juego para formar $7.958? - Anotar el 7.345 en la calculadora. ¿Qué resta hacer para que pase a 7.305? ¿Y a 7.005? OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Resolver problemas de suma y resta que involucran distintos sentidos de estas operaciones: unir, agregar, ganar, avanzar, quitar, perder, retroceder, reconociendo y utilizando los cálculos que permiten resolverlos - Reconocer las operaciones de suma y resta como herramientas de resolución de este tipo de problemas. Explorar problemas de suma y resta que involucran otros significados más complejos de estas operaciones, por medio de diversos procedimientos Se podrán presentar problemas como los siguientes: - Carlos ganó 38 bolitas en una semana y perdió 29 en otra, ¿cuántas bolitas ganó o perdió en total? - Sofía gastó $89 el sábado. El fin de semana gastó $177. ¿Cuánto dinero gastó el domingo? - Ramón debía $198 a Carmela. Le devolvió $115, ¿cuánto le falta pagar para no deber más dinero? - Julia le debe $73 a José pero José le debe $68 a Julia, ¿quién tiene que pagar a quién para saldar las deudas?, ¿cuánto? 7 Construir y utilizar estrategias de cálculo mental para resolver sumas y restas - Ampliar el repertorio de cálculos de suma y resta que los niños ya tienen disponible, incluyendo: - sumas de de múltiplos de 10 y 100 iguales entre sí (250+250, 1500+1500, 800+800) - sumas y restas que dan 1000 (300+700, 1820‐820) - sumas y restas de múltiplos de 1000 (3000+4000, 9000‐2000) - sumas y restas de múltiplos de 1000 a cualquier número (3456+1000, 34+2000, 6543‐ 3000) - restas que den múltiplos de 1000 (9756‐756) - sumas de “miles”, “cienes” y “dieces” de distinta cantidad de cifras (4000+600+20, 3200+200+30+6) - Usar los resultados numéricos conocidos para resolver otros cálculos. Por ejemplo, para resolver el cálculo 900+800, podrán calcular 1000+800‐100 ó 900+900‐100 u 800+800+100. - Usar descomposiciones de números de dos, tres y cuatro cifras para resolver cálculos de suma y resta. Por ejemplo, para resolver 1700+2900, podrán realizar la descomposición 1000+700+1000+1000+900, sumar los “miles” 3000+700+900 e ir agregando los “cienes” 3700+900=4600. Usar algoritmos de suma y resta en la resolución de problemas cuando los números lo requieran - Utilizar los algoritmos de suma y resta en los problemas en los que sea pertinente hacerlo. Será necesario continuar promoviendo el trabajo de análisis, iniciado el año anterior, sobre las diversas maneras de escribir y “decir” los pasos intermedios 7 . Por ejemplo, para 378+345: 100 10 378 +3 4 5 723 11 378 +345 723 Resolver problemas que involucran diferentes sentidos de la multiplicación ‐series proporcionales y organizaciones rectangulares‐, reconociendo y utilizando los cálculos que permiten resolverlos - Reconocer la multiplicación como herramienta de resolución de problemas como los siguientes: - ¿Cuántas hojas hay en 6 resmas de 500 hojas cada una? - Completá la tabla: mazos 1 2 4 8 10 cartas 40 - Este es el piso de una cocina “tapado” por sus muebles, ¿cuántas baldosas tiene la cocina?: 7 Se busca que los niños entiendan qué están haciendo en cada paso de los algoritmos que usan. 8 Resolver problemas de repartos y particiones equitativas, organizaciones rectangulares, series proporcionales, por medio de diversos procedimientos y reconociendo, posteriormente, la división como la operación que resuelve este tipo de problemas Se podrán presentar problemas como los siguientes: - En la escuela están acomodando 375 sillas para un acto. Hay lugar para 15 filas, ¿cuántas sillas hay que poner en cada fila? - La bibliotecaria gastó $162 para comprar 9 libros iguales, ¿cuál era el precio de cada libro? - La bibliotecaria compró libros a $18 cada uno. Gastó $162, ¿cuántos libros compró? Si bien inicialmente los niños podrán usar multiplicaciones, sumas y restas para resolver estos problemas, se apunta a que progresivamente reconozcan la división como herramienta de solución. Construir un repertorio de cálculos mentales de multiplicación y división por la unidad seguida de ceros, analizando regularidades y relaciones con el sistema de numeración - Construir un repertorio de cálculos que incluya: - multiplicación por 10, por 100 y por 1000 - división de números redondos por 10, por 100 y por 1000 (2500 : 10; 2500 : 100; 4000 : 1000) - multiplicación de números redondos por un dígito (250 x 3; 500 x 6; 3000 x 3) - división de números redondos por un dígito (3000 : 2; 1500 : 3). - Analizar las relaciones entre estos cálculos y las características del sistema de numeración decimal posicional, explicando “por qué” se agregan ceros. Resolver cálculos mentales de multiplicación y división, a partir del uso de resultados conocidos y de diferentes descomposiciones - Usar resultados conocidos para resolver otros cálculos de multiplicación. Por ejemplo, pueden utilizar 6 x 8 = 48, para saber cuánto es 48 : 6 ó 48 : 8; o utilizar 5 x 8 = 40 para saber cuánto es 8 x 5; 50 x 8 ó 40 : 8. - Comunicar las estrategias utilizadas y comparar la variedad de cálculos posibles. - Establecer relaciones con los conocimientos elaborados sobre el sistema de numeración y las operaciones para resolver cálculos. Por ejemplo para 880 : 4, calcular 800 : 4 + 80 : 4 o bien 88: 4 x 10, ó 880:2:2, considerando 4 = 2 x 2. Analizar y usar diferentes algoritmos de la multiplicación por una cifra 8 - Elaborar y analizar algoritmos de multiplicación mediante escrituras que representan diferentes relaciones establecidas a través de cálculos mentales. Por ejemplo: 135 X4 400 (de 4 x 100) +120 (de 4 x 30) 20 (de 4 x 5) 540 - 135 x4 20 (5x4) +120 (30 x4) 400 (100 x4) 540 135 x4 140 (4 x35) +400 (4 x 100) 540 12 135 x4 540 Comparar las escrituras de productos intermedios y analizar si obtienen los mismos resultados con las diferentes estrategias. Explorar y usar diferentes algoritmos de división por una cifra 9 8 Para ampliar información sobre la enseñanza de estrategias de cálculo en la multiplicación: DGCyE, Dirección de Educación General Básica (2001). “Orientaciones didácticas para la enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos de la EGB (pp. 17‐25). Disponible en www.abc.gov.ar 9 - Explorar algoritmos de división por una cifra mediante escrituras que representan diferentes relaciones establecidas a través de cálculos mentales. Por ejemplo: 689 5 -500 100x5 100 ------- 5 x 100 = 500 --- quedan 189 189 -150 30x5 30 --------5 x 30 = 150 --- quedan 39 39 -35 7 x 5 7 --------5 x 7 = 35 --- quedan 4 4 137 O bien: 689 5 -500 100 + 30 + 7 189 137 -150 39 -35 4 O bien: 689 5 -500 137 189 -150 39 -35 4 GEOMETRÍA 10 Construir figuras que contienen cuadrados, rectángulos y triángulos como medio para analizar algunas características - Copiar figuras que contienen cuadrados, rectángulos y triángulos o combinaciones de estas figuras. El modelo se podrá presentar en hoja lisa o cuadriculada y la copia se realizará en hoja lisa o cuadriculada, usando regla graduada y escuadra. Por ejemplo: Copiá en una hoja lisa el siguiente dibujo, usando la escuadra: - Construir cuadrados o rectángulos en hojas cuadriculadas o lisas usando regla y escuadra a partir de la medida de sus lados. Elaborar mensajes escritos (sin dibujos) que describan una figura dada para que otro grupo pueda reproducir dicha figura en hoja lisa a partir del mensaje recibido. Establecer relaciones entre cuerpos y figuras geométricas - Analizar las figuras necesarias para cubrir las caras de un cuerpo geométrico y la disposición de las mismas. - Identificar el cuerpo al que corresponden ciertos desarrollos planos y posteriormente, comprobar si la anticipación fue correcta armando el cuerpo. MEDIDA 9 Para ampliar información sobre la enseñanza de estrategias de cálculo en la multiplicación: DGCyE, Dirección de Educación General Básica (2001). “Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB (pp. 20‐26). Disponible en www.abc.gov.ar 10 Para ampliar información sobre la enseñanza de este contenido: DGCyE, Dirección de Educación General Básica (2001). “Orientaciones didácticas para la enseñanza de la geometría en EGB. Disponible en www.abc.gov.ar 10 Resolver problemas que implican la medición de longitudes usando el metro, el centímetro y el milímetro como unidades de medida - Comparar o determinar longitudes usando diferentes tipos de reglas y cintas métricas. - Interpretar medidas dadas poniendo en juego la equivalencia entre metros, centímetros y milímetros. Por ejemplo: - ¿200 cm serán 2 metros o 20 metros? - ¿cuál es el más alto de estos chicos: Luis que mide 1 m y 25 cm o Carlos que mide 120 cm? Explorar distintas unidades de medida e instrumentos de uso social para la medición de longitudes, capacidades y pesos - Reconocer diferentes unidades de medida e instrumentos de uso social. Por ejemplo, a partir de trabajar con envases de alimentos, productos de limpieza, remedios, podrán identificar en qué casos se usan gramos, litros, kilogramos, kilómetros. Resolver problemas de comparación o suma de medidas. Por ejemplo: Malena compró 1 kg de azúcar y 750 gramos de pan. ¿La bolsa pesa más o menos que 2 kg? Laura mide 1 metro y 64 cm y Zulema mide 180 cm, ¿cuántos cm le lleva? 11 CONTENIDOS 4° AÑO NÚMEROS NATURALES Resolver problemas que implican usar, leer, escribir y comparar números hasta el orden de los millones Por ejemplo: - En un taller tienen 13.500 tornillos. Si fabrican 500 por semana, ¿cuántos tendrán en cada una de las próximas cuatro semanas? Resolver problemas que exijan componer y descomponer números en forma aditiva y multiplicativa analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros Por ejemplo - En un juego hay billetes de 1000, de 100, de 10 y de 1. ¿Cuántos de cada uno se precisan para pagar 4.444; 44.404 y 44.004? - ¿Se podrá pagar justo $ 238 usando sólo billetes de $ 10? - Analicen cómo y por qué se “agregan” o “quitan” ceros. - 23 x 10 = 340 : 10 = 234 x 1.000 = OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Resolver problemas que involucran distintos sentidos de la suma y la resta, identificando cuáles son los posibles cálculos que los resuelven Por ejemplo - En una escuela se realizó una campaña de donación de libros para mejorar la biblioteca. Se donaron 347 libros, y ahora la biblioteca cuenta con 958 ejemplares. ¿Cuántos libros tenía la biblioteca antes de la colecta? - Julieta colecciona monedas. Para su cumpleaños, su abuelo le regaló 15 y su hermano le regaló otras 6. Como tenía algunas repetidas, Julieta le regaló 20 a una amiga que también colecciona monedas. ¿Cómo cambió la colección de monedas de Julieta? ¿Le quedaron más monedas o menos monedas que antes de su cumpleaños? ¿Cuántas más o cuántas menos? - Juana nació en 1983. ¿Cuántos años cumplirá en 2020? - La suma entre dos números es 12.536. Uno de ellos es 3.185, ¿cuál es el otro? Resolver problemas que involucran utilizar varias sumas y restas, muchos datos, distintas maneras de presentar la información, reconociendo y registrando los distintos cálculos necesarios para su resolución Por ejemplo: - Eugenia tiene ahorrados $1.800. Quiere comprar varios artículos en un mismo negocio: un reproductor de DVD que cuesta $450, una TV que cuesta $880 y un equipo de música que cuesta $530. Por pagar en efectivo le hacen un descuento de $125. ¿Le alcanza con lo que tiene ahorrado? ¿Le sobra? ¿Le falta? ¿Cuánto? Resolver cálculos mentales y estimativos de suma y resta, utilizando descomposiciones de los números y cálculos conocidos Por ejemplo: - sumas del mismo número, con múltiplos de 10 de tres y cuatro cifras (250+250, 1500+1500, 800+800) - sumas y restas que dan 1000 (300+700, 1820‐820) - sumas y restas de múltiplos de 1000 de cuatro cifras (3000+4000, 9000‐2000) 12 - sumas y restas de múltiplos de 1000 de cuatro cifras a cualquier número (3456+1000, 34+2000, 6543‐3000) restas que den múltiplos de 1000 de cuatro cifras (9756‐756) sumas de “miles”, “cienes” y “dieces” de distinta cantidad de cifras (4000+600+20, 3200+200+30+6) Resolver problemas que involucran tratar con series proporcionales y con organizaciones rectangulares, utilizando la multiplicación y la división Por ejemplo - Si un cajón tiene 25 botellas, ¿cuántas botellas habrá en 10 cajones? - Si en 12 cajas hay 48 alfajores, ¿cuántos alfajores hay en cada caja? - Se van a hornear galletitas en una fuente que contiene 8 filas de 7 galletitas cada una. ¿Cuántas galletitas entran en esa fuente? Resolver problemas que exigen usar la división para situaciones de repartos y particiones Por ejemplo - Reparto: En una bombonería se preparan cajas de bombones todas con la misma cantidad. Ayer se prepararon 45 bombones y se acomodaron en 5 cajas. ¿Cuántos bombones se pusieron en cada caja? - Partición: En una bombonería se preparan cajas de bombones todas con la misma cantidad. Ayer se prepararon 45 bombones y pusieron 5 en cada caja. ¿Cuántas cajas se armaron? Resolver problemas que implican analizar, comparar y utilizar cálculos algorítmicos de multiplicación y división por una y por dos cifras Por ejemplo: Consideremos las siguientes cuentas 135 X25 2500 (de 25 x 100) + 750 (de 25 x 30) 125 (de 25 x 5) 3375 1 12 135 135 135 x25 x 25 x25 1350 (135 x10) 675 (5 x 135) 675 (5 x 135) +1350 (135 x10) + 2700 (20 x 135)+ 270 - (2 x 135) 125 (25x5) 3375 3375 3375 ¿Qué cálculos se hicieron para obtener 1350 en la segunda cuenta? ¿Por qué 1350 está dos veces en la segunda cuenta y no aparece en las otras? ¿Qué cálculo se hizo para obtener 125? ¿Dónde está el 2700 de la tercera cuenta en la última? ¿Y en la segunda? NUMEROS RACIONALES Resolver problemas en los que se presentan fracciones de uso frecuente: ½, ¼, ¾, 1 y ½ y 2 y ¼ asociadas a litros y kilos Por ejemplo: - Juan compró un ¼ kilo de café y ½ kilo de azúcar, ¿cuánto pesa la bolsa? - El café se vende en paquetes de 1/4, ¿cuántos paquetes hay que comprar para tener un kilo? - Con dos botellas de 2 y 1/4 litros, ¿se llena un bidón de 5 litros? Resolver problemas de reparto en los cuales el resultado puede expresarse usando fracciones 13 Por ejemplo: - ¿cómo repartir 3 pizzas entre 4 amigos, en partes iguales y que no sobre nada?, o bien, ¿cómo repartir 17 chocolates en partes iguales entre 8 amigos sin que sobre nada? - Cada niño comió un cuarto de chocolate. Si eran 4 niños, ¿cuántos chocolates había? Resolver problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones Por ejemplo - Decidir cuántas tiras chicas completan la tira grande: - ¿Qué parte de esta figura está sombreada? - ¿Es cierto que en ambos dibujos está sombreado un cuarto? Establecer relaciones entre fracciones: mitad, doble, tercera parte, etc., a partir de su vinculación con el entero Por ejemplo: Determinar cuántos paquetes de ¼ se necesitan para obtener 2 kilos y medio, o bien, determinar cuántos décimos son necesarios para obtener 3/5, etc. EXPRESIONES DECIMALES Y FRACCIONES DECIMALES Explorar el uso social de las expresiones decimales en los contextos del dinero y la medida Por ejemplo: - Si tengo $20 y quiero comprar productos de $0,75; $3,05 y $2,10 ¿cuánto me darán de vuelto? - ¿Cuántas monedas de 25 centavos se precisan para tener $3,50? Comparar cantidades expresadas con decimales en contextos de dinero y medida Por ejemplo: Juan mide 1,05 m. y Carlos mide 1,50 m, ¿quién es más alto? Establecer relaciones entre décimos, centésimos y milésimos en expresiones decimales con 1/10, 1/100 y 1/1000, apelando al dinero y a las medidas de longitud, peso y capacidad. Por ejemplo: Reconocer que la moneda de diez centavos es $0,10, que con 10 de esas monedas se arma el peso, que cada moneda de esas monedas es 1/10 del peso. Lo mismo podrían tratar, por ejemplo, con otras medidas: 1 cm es la centésima parte del metro, es decir, 1 cm = 0,01 m = 1/100 m. O bien, con milímetros o mililitros. PROPORCIONALIDAD Propiedades de la proporcionalidad. Resolver problemas de proporcionalidad directa que involucran números naturales, utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias 3 paquetes traen 24 galletitas. ¿Cuántas galletitas traerán 6 paquetes? ¿Y 9 paquetes? Completá la siguiente tabla que relaciona la cantidad de galletitas y los paquetes Paquetes Cantidad de galletitas 5 40 3 24 8 …. 14 GEOMETRÍA Y ESPACIO DIFERENTES FIGURAS GEOMÉTRICAS Resolver problemas que permiten identificar algunas características de diferentes figuras para poder distinguir unas de otras Por ejemplo: - Describir figuras para identificarlas - Elaborar instrucciones para poder dibujarlas - Copiar figuras con regla y escuadra en papel cuadriculado - Copiar figuras con regla y escuadra en papel liso CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Resolver problemas que implican identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro y al círculo como el conjunto de puntos que están a igual o menor distancia de un centro Por ejemplo: - Marcar 10 puntos que se encuentren a 5 cm del punto A, y otros 10 puntos que se encuentren a menos de 5 cm del punto A. - Marcar todos los puntos que se encuentren a 3 cm o menos del punto A. - Encontrar al menos un punto que se encuentre a 5 cm de A y, a su vez, a 7 cm de B, en un dibujo en el cual se encuentran A y B separados a una distancia de 10 cm. Construir triángulos a partir de las medidas de sus lados. - Construir un triángulo de lados 5cm, 6cm y 7cm. - Construir un triángulo de lados 10cm, 3cm y 3cm. - Considerando los dos pedidos anteriores y las figuras obtenidas, ¿es siempre posible construir triángulos? ¿cualquier medida es apropiada? ¿qué condiciones deben cuidarse? Explicar cómo llegaste a esas respuestas. Construir figuras que requieren la consideración de la idea y de la medida de ángulos, usando el transportador entre otros instrumentos Por ejemplo: - Copiar los siguientes dibujos: Resolver problemas que permiten comparar, medir y clasificar ángulos - ¿Cuál de estos dos ángulos es mayor? - ¿Cuántas veces “entra” el ángulo A en los ángulos B, C y D? (presentando los dibujos de A de 30º, B, C y D de 60º, 90º y 120º respectivamente sin indicar sus medidas). 15 MEDIDA Resolver problemas que implican la determinación y comparación de longitudes usando el metro, el centímetro y el milímetro como unidades de medida Por ejemplo: Hay dos tiras de madera, una mide 126 centímetros y la otra mide 1 metro con 20 centímetros. ¿Cuál es más larga?; La línea de micros 712 tiene un recorrido de 38 km., ¿recorre más o menos que 50.000 metros?” Resolver problemas que exigen determinar y comparar pesos y capacidades, usando diferentes unidades de medida (litro, kilogramo y gramo) y usar expresiones decimales y fracciones para expresar longitudes, capacidades y pesos Por ejemplo: - En un vaso, ¿entrará más o menos que medio litro de agua? - En un balde entran 5 kilos de cemento, ¿cuántos baldes de 500 gramos se pueden llenar? - Para hacer 4 pizzas se usa 1 litro de agua, ¿será cierto que para cada pizza se necesitan 250 mililitros de agua? - En una jarra entra 1,5 litro, en otra jarra entran 1400 mililitros, ¿en cuál entra más agua? - Si en 2 km hay 2000 metros, ¿cuántos metros habrá en 4 km? ¿Y en 8 km? (usando relaciones de dobles, mitades, cuádruples, etc.) MEDIDAS DE TIEMPO Usar relojes y calendarios para ubicar diferentes acontecimientos, ubicarse en el tiempo y medir duraciones. Resolver problemas que exigen usar equivalencia entre horas y minutos y usar expresiones fraccionarias como ½ hora, ¼ de hora, ¾ de hora, etc. Por ejemplo - Un partido de fútbol empieza a las 15 hs. Dura dos tiempos de 45 minutos con un entretiempo de 15 minutos. ¿A qué hora es esperable que termine? - En la Escuela de Camilo tienen dos recreos de ¼ de hora a la mañana. ¿Cuánto tiempo de recreo tienen? 16 CONTENIDOS 5° AÑO NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES • Resolver problemas que implican usar, leer, escribir y comparar números hasta el orden de los diez mil millones. Por ejemplo: - Si así se escribe cuatro mil millones 4.000.000.000, ¿qué números serán estos: 4.444.444.444; 8.000.000.000; 3.999.000.000; 4.004.000.000? - Usar escalas ascendentes y descendentes: En un taller tienen 350.000 tornillos. Si se compran 2.500 por semana ¿Cuántas tendrán en cada una de las próximas semanas? • Resolver problemas que exijan componer y descomponer números en forma aditiva y multiplicativa analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros. Por ejemplo: - En un juego hay tarjetas con diferentes puntajes: 100.00, 10.000, 1.000, 100, 10 y 1 ¿cómo harían para formar estos puntajes con la menor cantidad de tarjetas 134.003; 987.989 y 1.111.075? - ¿Con cuáles de estos cálculos se obtiene el número 756.987? - 75x10.000 + 6x1.000 + 9x100 + 8x10 + 7 - 7x100.000 + 56x1.000 + 7x1 + 8x10 +100x9 - 7x100.00 + 5x100.000 + 6987 - ¿Qué cálculo harías para transformar el 3.333.333 en 3.000.303? ¿Y en 4.444.444? Anotalo y luego verificalo con la calculadora. - ¿Cuántas cajas de 100 tizas se pueden llenar con 35.456 tizas? ¿Sobran tizas? ¿Cuántas? ¿Y si en cada caja hubiera 1.000? ¿Cuántas tizas sobrarían? • Resolver problemas que involucran significados más complejos de la suma y la resta, y que puedan ser resueltos mediante diferentes recursos de cálculo (por ejemplo: cálculos mentales, aproximados, algorítmicos, con calculadora, etc.) Por ejemplo: Pedro jugó dos partidos de figuritas. En el primer partido perdió 24 figuritas. En el segundo no recuerda qué ocurrió, pero sabe que al terminar ambas partidas, en total había ganado 10 figuritas. ¿Qué pasó en la segunda vuelta? ¿Ganó o perdió? ¿Cuántas figuritas? • Resolver cálculos mentales y estimativos de suma y resta utilizando descomposiciones de los números, cálculos conocidos y propiedades para anticipar resultados de otros cálculos sin resolverlos Por ejemplo: 9 ¿Cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado que 134 + 226? 100 + 200 + 34 + 26 130 + 4 + 220 + 6 13 + 4 + 22 + 6 100 + 30 + 4 + 200 + 20 + 6 9 Usando que 134 + 226 = 460, determiná los resultados de los siguientes cálculos: 144 + 226 = 1134 + 226 = 1340 + 2260 = 17 • Resolver problemas de multiplicación y división que impliquen diferentes sentidos y que puedan ser resueltos mediante diferentes recursos de cálculo (por ejemplo: cálculos mentales, aproximados, algorítmicos, con calculadora, etc.) Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa Por ejemplo: Completá la siguiente tabla 12 Cantidad de cajas Cantidad de botellas 66 72 10 1 5 720 Resolver problemas de organizaciones rectangulares Por ejemplo: En un patio hay 11 filas de 8 baldosas cada una. Si se agregan 5 filas completas más, ¿cuántas baldosas tendrá en total el patio después de la reforma? Resolver problemas de reparto y partición Por ejemplo: - Reparto: En una panadería se preparan paquetes de galletitas que contienen todos la misma cantidad. Cada día preparan 150 galletitas. Si se preparan 15 paquetes por día, ¿cuántas galletitas contiene cada paquete? - Partición: En una panadería se preparan paquetes de galletitas que contienen todos la misma cantidad. Cada día se preparan 150 galletitas. Si se colocan 15 galletitas en cada paquete, ¿cuántos paquetes producen por día? Resolver problemas que implican determinar la cantidad que resulta de combinar y permutar elementos por medio de diversas estrategias y cálculos Por ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utilizando el 3, el 4 y el 5, sin repetir ninguno? Resolver problemas que implican analizar el resto de una división Por ejemplo: Una empresa de turismo está organizando un viaje para un grupo de 383 personas. Para trasladarlas al aeropuerto van a utilizar micros. Cada micro tiene una capacidad para 30 personas. ¿Cuántos micros deberán utilizar para trasladar a todos los turistas, si en cada micro viaja la mayor cantidad posible de personas? Resolver problemas que implican reconocer y usar el cociente y el resto de la división en situaciones de iteración Por ejemplo: María tiene ahorrados $140 para sus vacaciones. Si gasta $12 por día, ¿para cuántos días le alcanza? ¿Cuánto le sobra? ¿Cuánto dinero más debería tener si quiere que le alcance para otro día? Resolver problemas que implican analizar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto Por ejemplo: - Gabriela compró 77 caramelos para repartir entre sus compañeros de 5°. Si les dio 3 a cada uno y le sobraron 2, ¿cuántos son los compañeros de Gabriela? - Mateo hizo la cuenta 134 : 4 en la calculadora, y le dio 33,5. ¿Cómo podrías usar la calculadora para encontrar el resto de esta división? Resolver cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones que implican poner en juego propiedades de las operaciones y del sistema de numeración 18 Por ejemplo: - Resolvé mentalmente: 12 x 10 12 x 20 12 x 30 12 x 40 70 x 100 70 x 200 70 x 300 70 x 400 - Sabiendo que 8 x 25 = 200, calculá sin hacer la cuenta: 16 x 25 80 x 25 24 x 25 9 x 25 6 x 25 - Para hacer la cuenta 2.128 : 14, un chico primero hizo 2.128 : 2 y al resultado lo dividió por 7. ¿Obtendrá así el resultado correcto? - ¿Será cierto que para dividir 912 : 6 se puede hacer 912 : 3 + 912 : 3? ¿Será cierto que se puede hacer 900 : 6 + 12 : 6? Resolver problemas realizando cálculos estimativos de multiplicación y división para anticipar, resolver y controlar resultados Por ejemplo: - Marcá con una cruz entre qué números, aproximadamente, va a estar el resultado de cada cálculo, sin resolverlos Menos de 1.000 Entre 1000 y 10.000 Más de 10.000 599 x 6 799 x 20 263 x 110 2.490 :12 - Decidir cuántas cifras tiene el cociente de estas divisiones antes de hacerlas 2445 : 15 y 38237: 12. Resolver problemas que impliquen el uso de múltiplos y divisores. Por ejemplo: - Tres personas corren alrededor de un lago. Una tarda 4 minutos en dar la vuelta, otra tarda 6 minutos y la tercera, 3 minutos. Si comienzan las tres a la misma hora, ¿cuántos minutos pasan hasta que se vuelven a encontrar por primera vez? Si corren durante una hora, ¿cuántas veces coinciden? - Se han comprado 40 chupetines y 24 caramelos. Se quieren repartir en bolsitas de tal manera que en cada una haya la misma cantidad de cada tipo de golosina, y que dicha cantidad sea la mayor posible. ¿Cuántas bolsitas se van a armar? - Escribí todas las multiplicaciones que den 48. Usando esas multiplicaciones, escribí todos los divisores • Resolver problemas de proporcionalidad directa en los cuales se conocen un par de números que se relacionan y hay que determinar otros. Uso de tablas que representen relaciones de proporcionalidad directa. Por ejemplo: - - Completá la siguiente tabla y explicá qué tuviste en cuenta para hacerlo: Cantidad de cajas 13 10 1 5 Cantidad de libros 36 39 360 En un supermercado, 10 litros de pintura cuestan $24. En otro supermercado, 15 litros de esa pintura cuestan $34. ¿En cuál de los dos conviene comprar si se necesitan 60 litros de pintura? 19 Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas Por ejemplo: - Determiná si la siguiente tabla corresponde o no a una proporcionalidad: Edad (en meses) 3 6 12 18 Cantidad de dientes 0 2 8 14 Números Racionales Fracciones • Resolver problemas que promuevan relaciones entre la división entre números naturales y las fracciones y problemas de medición que provoquen la necesidad de fraccionar la unidad Por ejemplo: - Se reparten 7 chocolates entre 5 chicos en partes iguales y no sobra nada. ¿Cuánto le tocó a cada uno? - ¿Cuál es la medida de la tira chica si se usa la tira grande como unidad de medida? • Resolver problemas que impliquen reconstruir una unidad a partir de conocer una parte de ella. es 2/5 de un entero, ¿cómo será el entero? Por ejemplo: Si este segmento • Resolver problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo puedan expresarse usando fracciones. Por ejemplo: ¿Cuál será la medida de la tira grande, si se usa como unidad una tira chica que es la mitad de la que ya se usó? • Resolver problemas en los que se requiere ubicar fracciones en la recta numérica a partir de diferentes informaciones Por ejemplo: - ubicar el 1/8 en la siguiente recta: 0 ½ 1 - Ubicar la fracción 7/5 en la siguiente recta: 0 1/10 Expresiones Decimales • Resolver problemas que exijan analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales. Por ejemplo: - ¿Cuáles de las siguientes escrituras representa tres metros con 45 centímetros: 3 + 45/100; 3 + 45/10; 3,45; 3 + 4 /10 + 5/100? - Encontrá tres fracciones que representen 4,3 - ¿Cuáles de estas expresiones son equivalentes a 25,4? - 254/10 25/10 + 4/10 25 + 4/10 2540/100 - Encontrá una cuenta, usando la calculadora, cuyo resultado sea 3,2, sin oprimir la tecla de la coma. 20 • Resolver problemas que permitan analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales para favorecer la comprensión del significado de décimos, centésimos y milésimos. Por ejemplo: - ¿Cómo se puede armar el número 0,235 usando muchas veces 0,1 0,01 y 0,001? - ¿Cuánto hay que restarle a 3,45 para obtener 3,05? • Resolver problemas que exijan ordenar expresiones decimales y fraccionarias. Uso de la recta numérica. Por ejemplo: Ubicar en la siguiente recta el número 0,7 0 2/10 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES • Resolver problemas que demanden realizar sumas y restas entre fracciones utilizando diferentes recursos de cálculo. Por ejemplo: ¿Cómo harían para encontrar el resultado de la suma de 1/5 + 3/10? • Resolver problemas que demanden realizar sumas y restas entre expresiones decimales utilizando diferentes recursos de cálculo. Por ejemplo: Para comprar un producto se ofrece un precio contado de $155,75 o un anticipo de $25,50 y 4 cuotas de $40,25. ¿Cuánto ahorro si pago al contado? • Resolver problemas que exijan multiplicar y dividir números decimales por la unidad seguida de ceros, estableciendo relaciones con el valor posicional de las cifras decimales. Por ejemplo: ¿Cuál de los siguientes cálculos permite averiguar cuánto dinero representan 10 monedas de 10 centavos? 10 × 0,01 10 × 0,10 10 × 10 GEOMETRÍA • Resolver problemas que propongan construir triángulos a partir de las medidas de sus lados y sus ángulos para identificar sus propiedades. Por ejemplo: Construcción de triángulos con regla, compás y transportador, a partir de diferentes informaciones: dados tres lados; dados un lado y dos ángulos adyacentes; dados dos lados y el ángulo comprendido. • Construir cuadrados, rectángulos y rombos como medio para profundizar el estudio de algunas de sus propiedades Por ejemplo: - Construir un cuadrado en hoja lisa usando escuadra y regla graduada. - Construir un cuadrado en hoja lisa usando escuadra, regla no graduada y compás. MEDIDA • Resolver problemas que requieran la utilización de equivalencias entre las unidades del Sistema Métrico Legal para la longitud (metro, centímetro, kilómetro y milímetro); para la capacidad (litros, hectolitros y mililitros) y para el peso (kilogramo, gramo y miligramo). Por ejemplo: - Completar las siguientes tablas: Litros Mililitros 3 3000 6 9 2000 2500 21 Otros ejemplos: Si en una botella hay un litro de agua, ¿cuántos goteros de 10 ml se podrían llenar? ¿Y de 1dl? ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? 1 ml = 0,001 litro; 1ml = 0,01 litro; 1 ml = 1/100 litro; 1 ml = 1/1000 litro. Una bolsa pesa 2370 mg y otra pesa 2,3 kilogramos, ¿cuál es más pesada? 22 CONTENIDOS 6° AÑO NÚMEROS NATURALES • Resolver problemas que implican usar, leer, escribir y comparar números sin límite. Por ejemplo: - ¿Cuál de los siguientes números es el treinta y tres millones trescientos mil treinta y tres? o 33.300.033 ‐ 33.330.303 ‐ 33.303.033 ‐ 333.333.033. - Si así se escribe cuatro mil millones (4.000.000.000), ¿qué números serán éstos: 4.444.444.444; 400.000.000.000? • Resolver problemas que exijan componer y descomponer números en forma aditiva y multiplicativa analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros. Por ejemplo: - ¿Con cuáles de estos cálculos se obtiene el número 756.987? - 756x1000 + 9 x 100 + 8 x 10 + 7 - 7x 100.000 + 56 x 1000 + 7 x 1+ 8 x 10 + 100 x 9 - ¿Es verdad que 34 resmas de 1000 hojas alcanzan para darle 100 a cada alumno/a de una escuela de 340 alumnos/as? Intentá resolverlo sin hacer cuentas. - Completá la tabla sin hacer las cuentas de dividir: dividendo divisor cociente resto 4400 100 100 4 44 OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES • Resolver problemas de suma, resta, multiplicación y división que involucren diferentes sentidos y puedan ser resueltos mediante diferentes recurso de cálculo (Por ejemplo, cálculos mentales, aproximado, algorítmicos, con calculadora, etc.) Resolver variedad de problemas y cálculos de suma y resta Por ejemplo: - Usando que 5134 + 6226 = 11360, determiná los resultados de los siguientes cálculos: 5144 + 6226 = 7134 + 6226 = 51340 + 62260 = - Determiná si las siguientes igualdades son V o F, sin hacer las cuentas. Justificá tu respuesta: 440 + 600 = 600 + 440 500 – 150 = 150 – 500 378 + 20 + 12 = 390 + 20 527 – 15 = 527 – 10 – 5 699 – 10 – 1 = 699 – (10 – 1) Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa y organizaciones rectangulares Por ejemplo: - En un negocio se venden hamburguesas en cajas de 30 unidades. Completá la tabla 23 Cantidad de cajas 30 31 32 35 Cantidad de hamburguesas - 120 180 Un patio tiene 10 filas de 9 baldosas cada una. Si se duplica el largo y el ancho, ¿se duplicará la cantidad de baldosas? Resolver problemas que implican reconocer y usar el cociente y el resto de la división en situaciones de iteración Por ejemplo: Sebastián tiene $730 en el cajero. Si saca $60 por día, ¿para cuántos días le alcanza? ¿Cuánto le sobra? ¿Cuánto debería tener guardado para que le alcance para un día más? Resolver cálculos mentales que implican poner en juego y explicitar las propiedades de los números y las operaciones Por ejemplo: - Resolvé de tres modos diferentes: 48 x 30 29 x 40 55 x 400 - Sabiendo que 45 x 22 = 990, calculá sin hacer la cuenta: 15 x 22 450 x 22 90 x 220 46 x 22 49 x 22 - Para resolver el cálculo 1.320 : 12, dos chicos pensaron así: 1.320 : 12 = 1.200 : 12 + 120 : 12 1.320 : 12 = 1.320 : 10 + 1.320 : 2 ¿Son correctas estas formas de resolver? Resolver problemas que involucran cálculos estimativos de multiplicación y división para anticipar, resolver y controlar los resultados Por ejemplo: Marcá con una cruz entre qué números, aproximadamente, va a estar el resultado de cada cálculo, sin resolverlos 599 x 60 799 x 200 2630 : 110 2.490 :12 Menos de 1.000 Entre 1000 y 10.000 Más de 10.000 • Resolver problemas que implican el uso de múltiplos y divisores, y múltiplos y divisores comunes entre varios números Por ejemplo: - Para un cumpleaños se van a armar bolsitas con golosinas. Si ponen 5 golosinas en cada bolsita, no sobra ninguna. Si ponen 4 en cada bolsita, tampoco sobra ninguna. ¿Cuántas golosinas se han comprado en total, si se sabe que fueron más de 50 pero menos de 100? ¿Hay una única posibilidad? - Sabiendo que 12 x 15 = 180 proponé seis divisores de 180. - Sabiendo que 12 x 21 = 252. Usá esta información para establecer, sin hacer la cuenta, si 252 será múltiplo de cada uno de los siguientes números:12, 21,3, 4, 6, 5, 7, 9, 42, 36, 84, 10, 17. Resolver problemas que implican el uso de múltiplos y divisores para realizar descomposiciones multiplicativas, encontrar resultados de multiplicaciones, cocientes y restos, y decidir la validez de ciertas afirmaciones 24 Por ejemplo: Sabiendo que 1680 : 48 = 30, sin hacer la cuenta, marcá en cuáles de las siguientes divisiones podés estar seguro que el resto va a ser 0. Justificá. 1680 : 30 1680 : 24 1680 : 60 1680 : 18 1680 : 17 Resolver problemas que implican el uso de criterios de divisibilidad para establecer relaciones numéricas y anticipar resultados Por ejemplo: - Sin hacer la cuenta de dividir, establecé si los siguientes números son divisibles por 6: 7.523 – 366 – 444 – 1.989 – 1.998 - ¿Será cierto que si un número es divisible por 4 y por 2, también es divisible por 8? Y si un número es divisible por 2 y por 5, ¿será divisible por 10? - Sin hacer la cuenta de dividir, y usando los criterios de divisibilidad, encontrá el resto de las siguientes divisiones: 36.366 : 3 9.858 : 5 334 : 4 255 : 2 NÚMEROS RACIONALES Fracciones • Establecer relaciones entre fracciones y el cociente entre números naturales Por ejemplo: Se reparten 7 chocolates entre 5 chicos, en partes iguales y no sobra nada. ¿Cuánto le tocó a cada uno? • Resolver problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones Por ejemplo: Usando éste segmento como unidad indiquen la medida de éstos segmentos: • Resolver problemas que involucren la relación de orden entre fracciones. Resolver problemas que demandan comparar fracciones y encontrar fracciones entre números dados. Por ejemplo: - Encontrar una fracción entre 1/4 y 1/5. - Decidir qué número está representado con la letra A en la siguiente recta numérica: 25 11/3 A 5 - Comparar 12/5 y 13/7 Expresiones decimales • Resolver problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales Por ejemplo: ¿Cuántas tarjetas de 1/10, de 1/100 y de 1/1000 se necesitan para formar el número 0,352? ¿Y para formar el 2,95? • Explorar equivalencias entre expresiones fraccionarias y decimales, considerando la posibilidad de buscar fracciones a partir de cualquier expresión decimal y los problemas que surgen al buscar expresiones decimales para algunas fracciones Por ejemplo: - Encontrar las expresiones decimales de 4/5, 3/8 y 4/25. - Analizar cuáles de estas fracciones pueden expresarse con centésimos 3/20, 5/8 y 6/15. - ¿Es verdad que la fracción 3/8 puede expresarse con milésimos pero no con centésimos? - ¿Cuáles de estas expresiones son equivalentes a 4,25? 425/100 4 y 25/10 4 y 25/100 42/10 y 5/100 850/200 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES • Resolver problemas que demandan realizar sumas y restas entre fracciones utilizando diferentes recursos de cálculo. Por ejemplo: - ¿Cómo harían para encontrar el resultado de la suma de 1/7 + 3/14? - ¿Cómo harían para encontrar el resultado de la suma de 3/8 + 5/7? - ¿Cómo harían para encontrar el resultado de la suma de 2 + ¾ + 5/12 + 4/3? • Problemas que impliquen la multiplicación entre una fracción y un entero y la multiplicación entre fracciones, en el contexto de la proporcionalidad. Por ejemplo: Completar la siguiente tabla de proporcionalidad directa: Cantidad de mezcla (en baldes) 1 ¼ 2 ¾ Cantidad de agua (en litros) ½ • Resolver problemas de división entre una fracción y un entero - Se quiere repartir ¾ kilos de helado entre 5 personas, en partes iguales. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Resolver cálculos mentales que impliquen buscar la mitad, la tercera parte, la cuarta parte, etc. de cualquier fracción • Resolver problemas que demandan analizar la multiplicación y división de números decimales por la unidad seguida de ceros y establecer relaciones con el valor posicional de las cifras decimales. Por ejemplo: - Decidir el resultado de cada cálculo: 0,10 × 10 ; 0,01 × 10 ; 0,01 × 100 - Si se ingresa en la calculadora el número 5,429 y se oprimen las teclas × 10, ¿qué número se verá en el visor?, ¿cuántas veces habrá que oprimir × 10 de manera de ver el número 542900? 26 • Resolver problemas de proporcionalidad directa en los que la constante es una fracción Por ejemplo: - Si con 2 litros de agua toman 5 chicos, y todos toman la misma cantidad, ¿cuánto toma cada chico? - En una escuela, 3 de cada 8 alumnos son varones. En otra escuela, 7 de cada 12 alumnos son varones. ¿Es cierto que en ambas escuelas la proporción de varones es la misma? ” Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas Por ejemplo: En una ciudad, los taxis cobran $1,20 por la bajada de bandera y $0,80 por cada km recorrido. ¿Cuánto pagará una persona que viaja 3 km? ¿Y 6 km? ¿Y 9 km? Resolver problemas que involucran el análisis de relaciones entre números racionales y porcentajes, que impliquen calcular y comparar porcentajes por medio de cálculos mentales, de las propiedades de la proporcionalidad y / o usando la calculadora Por ejemplo: - Un grupo de personas se va de campamento; el 25% son mujeres. Decidí si las siguientes afirmaciones relacionadas con esta situación son correctas: a) ¼ de los que van al campamento son mujeres. b) ¾ de los que van al campamento son varones. c) La cantidad de varones que van al campamento es el triple de la cantidad de mujeres - Un supermercado realiza descuentos del 15% sobre todas las compras de sus clientes. Completá la tabla: Monto de la compra 100 50 250 10 en $ Descuento en $ 15 45 6 - Sabiendo que el 10% de 600 es 60, calculá el 20%, el 50%, el 5% y el 25% de 600. GEOMETRÍA Elaborar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Construir triángulos a partir de las medidas de sus lados y sus ángulos para recordar sus propiedades Por ejemplo: Copiar el siguiente dibujo formado por dos triángulos iguales: Construir cuadrados, rectángulos y rombos para identificar propiedades relativas a sus lados y a sus ángulos Por ejemplo: - Construir con regla, escuadra y compás un rectángulo conociendo la base y la altura. - Construir con regla y compás un rombo sabiendo que el siguiente segmento es uno de sus lados: 27 Construir un cuadrado con regla, escuadra y compás conociendo la medida del lado. PERIMETRO Y ÁREA Utilizar fracciones para expresar la relación entre dos superficies Por ejemplo: En las dos figuras, que son iguales, se sombreó una parte. ¿Hay una de las dos partes sombreadas que es mayor? Utilizar la multiplicación de fracciones para calcular el área de una figura Por ejemplo: En un terreno rectangular se decide usar una parte para una cancha de fútbol. Del largo se destina 2/3 y del ancho ¼, ¿qué parte del terreno se destina a la cancha? 28
