GENERACION DE CORRIENTES ALTERNAS SENOIDALES

RESONANCIA EN REDES
RESONANCIA EN REDES A REGIMEN SENOIDAL
4.1
Resonancia por variación de la frecuencia
Agrupamiento en serie
En este tipo de agrupamiento los elementos se conectan uno a continuación del otro de
forma tal que por los mismos pasa la misma corriente de acuerdo a la figura 4.1
UR
UL
L
R
+
I
U
C
UC
Figura 4.1 Agrupamiento de impedancias en serie
La impedancia de un circuito serie está dada por la siguiente expresión:
Z  R  j 2 f L  j
1
2 f C
En esta se observa que manteniendo constantes R, L y C, a medida que la frecuencia
aumenta, la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye, lo cual nos lleva a que
partiendo de un circuito con características capacitivas, al aumentar la frecuencia pasa a tener
características inductivas.
Cuando las partes reactivas toman el mismo valor, se compensan y el circuito presenta las
características de una resistencia para la fuente que lo alimenta.
Por ejemplo si tenemos un circuito alimentado por una fuente a la que le podemos variar la
frecuencia, vamos a tener un valor de la misma en que se cumple que XL = XC, o sea que:
0 L 
1
2  f0 L 
0 C
1
2  f0 C
Siendo ω0 la frecuencia para la cual se igualan las reactancias y que llamaremos de
resonancia, y cuyo valor será:
0 
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1
L.C
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RESONANCIA EN REDES
El diagrama fasorial en esta situación es el de la figura 4.2, siendo I0, la corriente para el
estado de resonancia.
j XL. I0

- j XC. I0
I0
R I0 = U
Figura 4.2 Diagrama fasorial para frecuencia de resonancia
En la figura 4.3 vemos lo aquí analizado, siendo el valor de la resistencia mayor al de las
reactancias cuando el circuito se hace “resonante”.
En este caso siendo la corriente única, las caídas de tensión en las reactancias serán
menores que en la resistencia, por lo tanto no aparecerán tensiones mayores que los de la fuente,
o sea:
UR = R. I = UFUENTE
UL = j X L I
UC = - j X C I
UL + UC = 0
En la figura 4.4 se observan las tensiones sobre los elementos componentes de circuito.
R, XL,Xc, Z
Valor de la Im pedancia en función de la frecuencia
Z
R
XL
(XL - XC)
XC
ω0
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.3 Valor de las impedancia en función de la frecuencia
para R › XL y XC en resonancia
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RESONANCIA EN REDES
Tensiones [V] - Corriente [A]
Variación de la tension y corriente en los elem entos con la
frecuencia
UFuente
UC
UL
UR
I0
I
ω0
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.4 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,
para R › XL y XC en resonancia
De las curvas de la figura 4.3 y 4.4 se puede obtener las siguientes conclusiones:



La reactancia inductiva toma un valor cero para una frecuencia igual a cero y luego
va aumentando hasta un valor infinito para el mismo valor de la frecuencia.
La tensión en dicha reactancia inductiva, va aumentando desde cero, llegando a un
valor máximo para la frecuencia de resonancia (Máxima corriente) y luego
comienza a disminuir, tendiendo al valor de la fuente que alimenta el circuito, para
una frecuencia de valor infinito (La reactancia inductiva se comporta como un
circuito abierto, con lo cual no circula corriente, y como reactancia capacitiva se
comporta como un cortocircuito, con lo cual la tensión de la fuente aparece en
bornes de la bobina).
La reactancia capacitiva, toma un valor igual a infinito para una frecuencia igual a
cero, con lo cual se comporta como un circuito abierto y la tensión que aparece en
sus bornes es la de la fuente mencionada. A medida que aumenta la frecuencia,
disminuye la tensión sobre el capacitor y tiende a cero cuando la frecuencia tiende
a infinito, ya que el capacitor se estaría comportando como un cortocircuito.
Si analizamos la variación de la corriente en el circuito, observamos:




Para un valor de la frecuencia igual a cero, la reactancia capacitiva toma un valor
infinito, por lo cual no circulará corriente.
A medida que aumenta la frecuencia, va aumentando la corriente hasta llegar a un
valor máximo, que se produce con la frecuencia de resonancia (Lo único que limita
la corriente es la parte resistiva ya que las reactivas se compensan)
A partir de esta frecuencia la impedancia del circuito vuelve a aumentar con lo cual
la corriente tiende a disminuir y se haría cero con frecuencia de valor infinito
(Circuito abierto en la bobina).
El ángulo de desfasaje entre la tensión y la corriente, pasa de ser ohnmicocapacitivo, va disminuyendo su valor, haciéndose cero en resonancia y luego el
circuito se hace de características ohnmico-inductivas, tal cual se observa en la
figura 4.5.
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RESONANCIA EN REDES
Angulo [º]
Angulo en función de la frecuencia
50
30
Circuito ohnmicoinductivo
Circuito ohnmico
puro
10
-10
Circuito ohnmicocapacitivo
-30
-50
ω0
Frecuencia w [r/s]
Figura 4.5 Variación del ángulo “φ” en función de la frecuencia
R, XL, Xc, Z
En la figura 4.6, se analiza el caso en que la resistencia es menor que las reactancias
cuando el circuito es resonante, y en la figura 4.7 las tensiones que aparecen sobre los elementos.
Valor de la im pedancia en función de la frecuencia
XL
Z
(XL - XC)
R
XC
ω0
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.6 Valor de las impedancia en función de la frecuencia
para R ‹ XL y XC en resonancia
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RESONANCIA EN REDES
Tensión [V] - Corriente [A]
Variación de la tensión y la corriente en llos elem entos con la
frecuencia
UC
UL
I
UFuente
I0
UR
ω0
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.7 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,
para R ‹ XL y XC en resonancia
En este caso aparecen sobretensiones sobre los elementos reactivos, pudiendo ser mayor
en la reactancia inductiva o capacitiva de acuerdo al valor que tome la frecuencia, con respecto a
la de resonancia, tal como puede observarse en la figura 4.7.
Factor de mérito
Se define como factor de mérito, factor de sobretensión o factor de calidad, a la relación de
la tensión que aparece sobre la reactancia inductiva y capacitiva a frecuencia de resonancia y la
tensión aplicada.
Q0 
UL U C ω 0  L  I ω 0  L
I
1





U
U
R I
R
ω0  C R I ω0  C R
También lo podemos definir como la relación entre la energía máxima acumulada con la
energía que se disipa en la resistencia por ciclo de oscilación:
2
2
Energía máxima almacenada en la bobina: XL. I = ω .L. I
2
Energía máxima almacenada en el capacitor: XC. I = 
Energía disipada en la resistencia en un período: R. I
I2
C
2
Luego el factor de mérito para resonancia nos queda:
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RESONANCIA EN REDES
Q0 
ω 0  L  I2
R  I2

ω0  L
I2
1


R
ω 0  C  R  I2 ω 0  C  R
Energía en el circuito
La energía puesta en juego en un circuito serie en resonancia, está dada por:
En la resistencia es:
Siendo
WR  R  I02 . t
I0 
donde I0 es el valor de la corriente en resonancia.
U
R
WR 
En la reactancia inductiva:
WL 
L  i 02
2
En la reactancia capacitiva:
WC 
2
C  uC
2
U2
t
R
U es la tensión de la fuente
Si la corriente tiene la forma:
i 0  I0Max sen ω 0 t
u C0   UC0Max cos ω 0 t
u C0Max
I
  0Max cos ω 0 t 
ω0  C
I 0Max
C
L
C
cos ω 0 t
Luego la energía puesta en juego en las reactancias va a ser:
2
WL  W C 
WL  WC 
2
2
L  i 02 C  u C
L  I0Max
 sen 2 ω 0 t



2
2
2
 L


 C
cos 2 ω 0 t
2C
2
C  I0Max


2
2
2
2
L  I0Max
 sen 2 ω 0 t L  I0Max

L  I0Max
C  UC0Max

cos 2 ω 0 t 

 Constante
2
2
2
2
sen 2 ω 0 t  cos 2 ω 0 t  1
O sea que la suma de las energías de los campos magnético y eléctrico es constante y no
varía con el tiempo.
Toda la energía que pasa de la fuente al circuito se disipa en forma de calor en la
resistencia.
La mayor potencia disipada, se produce cuando el circuito está en resonancia, y su valor
va a estar dado por:
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RESONANCIA EN REDES
PR  R  I02
Por otro lado si queremos saber a que frecuencia se produce una disipación de potencia
igual a la mitad, la corriente que tendrá que circular deberá ser = 0,707 I0
Esto nos lleva a que el valor de la impedancia total, debe ser
2
1 

R 2  ω L 
  2R
ωC 

La solución de esta ecuación nos lleva a:
2
1  
R
1
R 
 
 
2L
2L
LC


2
2 
R
1
R 
 
 
2L
2L
LC


La separación entre estas dos frecuencias se denomina “ancho de banda”, según se
observa en la figura 4.8.
B = ω2 – ω 1
Corriente [A]
Corriente en función de la frecuencia
I0
0,707 I0
B =Ancho de banda
ω1
ω0
ω2
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.8 Variación de la corriente con la frecuencia
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RESONANCIA EN REDES
Agrupamiento en paralelo
En este tipo de conexión todos los elementos reciben la misma tensión según se observa
en la figura 4.9.
I
+
G
U
IR
- j BL
j BC
IL
IC
Figura 4.9 Impedancias conectadas en paralelo
En forma análoga al estudio de un circuito serie, en paralelo tenemos:
Y  G  j 2 f C  j
1
2 f L
0 
Las partes reactivas se igualan para una frecuencia
1
L.C
El diagrama fasorial para el estado de resonancia es el de la figura 4.10.

U
G. U = I = IR
j BC. U = IC
- j BL. U = IL
Figura 4.10 Fasorial para el estado de resonancia
Por lo tanto se puede realizar el mismo análisis que para el circuito serie, trabajando con
las admitancias, tal cual se observa en las figuras 4.11.
Si calculamos el valor de la impedancia del circuito, como la inversa de la admitancia, el
gráfico, en función de la frecuencia es el de la figura 4.12
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RESONANCIA EN REDES
G, BL,Bc, Y
Valor de la adm itancia en función de la frecuencia
Y
G
BC
(BC – BL)
BL
ω0
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.11 Valor de la admitancia en función de la frecuencia
Z
Im pedancia del circuito en función de la frecuencia
ω0
Frecuencia w [1/s]
Figura 4.12 Valor de la impedancia del circuito en función de la frecuencia
Del análisis de las curvas observamos:


La admitancia para una frecuencia tendiendo a cero, toma un valor tendiendo a
infinito (Impedancia cero), ya que la inductancia se comporta como un
cortocircuito, con lo cual la corriente en la fuente, tendería a infinito.
En resonancia, la corriente toma su valor mínimo ya que al compensarse las
partes reactivas, el valor de la admitancia es mínimo (La corriente en la fuente es
la corriente en la resistencia, ya que las corrientes que estén circulando por las
partes reactivas, son de igual valor pero de distinto sentido)
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78
RESONANCIA EN REDES

Para frecuencias mayores a la de resonancia, la admitancia vuelve aumentar,
debido a la parte capacitiva, tendiendo a infinito para una frecuencia tendiendo a
dicho valor, con lo que la corriente en la fuente tendería a infinito.
Agrupamiento en paralelo real
El circuito de la figura 4.13 representa el caso real de una bobina con pérdidas en paralelo
con un capacitor.
I
+
j XL
U
- j XC
R
IC
IRL
Figura 4.13 Bobina con pérdidas en paralelo con un capacitor
La admitancia del circuito está dada por la siguiente expresión:
Y
R jωL
1
 jω C 
 jω C
R  j ωL
R 2  ωL 2
Descomponiendo en parte real e imaginaria nos queda:
Y
R
R  ωL 
2
2
j
ωL
R  ωL 2
2
 jω C
Para la condición de resonancia, la parte imaginaria se debe hacer cero, o sea:


ω0 L
0
j

ω
C
0
 R 2  ω L 2

0


ω0 L
R  ω 0 L 2
2
 ω0 C
R 2  ω 0 L 2 
ω0 
L
C
pasando terminos
ω 0 L 2  L  R 2
C
1 R2
1
C


1 R 2
LC L2
L
LC
De aquí se desprende que el circuito no resuena para cualquier condición de
funcionamiento, sino que se debe verificar:
R2
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C
1
L

R
L
C
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