Interpolación polinómica

Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Complementos de Matemáticas, ITT Telemática
Tema 2. Interpolación polinómica
Rafael Bravo de la Parra
Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá
Rafael Bravo de la Parra
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
Rafael Bravo de la Parra
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
Aproximación de funciones
Aproximar una función f consiste en reemplazarla por otra f̃ parecida
y que tenga una forma más simple.
Este proceso requiere especificar en qué consiste el parecido y cuál es
la clase de funciones más simples entre las que se busca f̃ .
Interpolación polinómica
En este tema utilizaremos el tipo de aproximación denominado
interpolación y la clase de funciones simples que utilizaremos serán
los polinomios.
Rafael Bravo de la Parra
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
Aplicaciones
En el Tema 1 hemos hablado de métodos interpolatorios: el método de Newton
o el de la secante se basan en la interpolación lineal.
En el Tema 3 utilizaremos la interpolación polinómica para obtener fórmulas
de integración numérica.
Funciones conocidas solo para algunos valores.
CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA
AÑO
1594
1769
1787
1797
1833
1846
1857
1877
1887
1900
1910
1920
No HABITANTES
8.206.791
9.159.999
10.268.150
10.541.221
12.286.941
12.162.872
15.464.340
16.622.175
17.549.608
18.616.630
19.990.669
21.388.551
AÑO
1930
1940
1950
1960
1970
1981
1991
2001
2006
2007
2008
2009
No HABITANTES
23.677.095
26.014.278
28.117.873
30.582.936
33.956.047
37.742.561
39.433.942
40.499.791
44.708.964
45.200.737
46.063.511
46.745.807
¿Cómo estimar la población en instantes distintos de los de la tabla?
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA
Datos conocidos desde 1900
Millones de Habitantes
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+1900)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
60
70
80
90
100
110
Interpolación lineal entre cada dos datos
Millones de Habitantes
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+1900)
10
20
30
40
50
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100
110
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
Resultados fundamentales
Polinomio de grado n: pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0)
Teorema
Si pn es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces pn (x) = 0 tiene al menos una raíz
(posiblemente compleja).
Teorema
Sea pn es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces existen constantes x1 , x2 , . . . , xk ,
posiblemente complejas, y enteros positivos m1 , m2 , . . . , mk , tales que
m1 + m2 + . . . + mk = n verificando:
pn (x) = an (x − x1 )m1 (x − x2 )m2 · · · (x − xk )mk .
Teorema
Sean pn y qn dos polinomios de grado menor o igual que n. Si existen x1 , x2 , . . . , xk ,
con k > n, números distintos tales que pn (xi ) = qn (xi ), i = 1, . . . , k, entonces
pn (x) = qn (x) para todo x.
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Introducción Propiedades de los polinomios
Evaluación de polinomios
pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
Se necesitan menos operaciones para evaluarlo en un punto x0 si se escribe:
pn (x) = a0 + x(a1 + x(· · · (an−2 + x(an−1 + xan )) · · · ))
Algoritmo de Horner para evaluar pn (x0 )
bn−1 = an
bk = ak+1 + x0 bk+1
(k = n − 1, n − 2, . . . , 0, −1)
Entonces: pn (x0 ) = b−1
Además si llamamos
qn−1 (x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0
se tiene que
pn (x) = (x − x0 )qn−1 (x) + b−1
y, por tanto,
p0n (x0 ) = qn−1 (x0 )
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Problema de interpolación de Taylor
Problema de interpolación de Taylor
Dados un entero n no negativo, un punto x0 ∈ R y los valores f (x0 ), f 0 (x0 ),...,
f (n) (x0 ) de una función y sus n primeras derivadas en x0 , encontrar un polinomio
P(x) de grado ≤ n tal que
P(x0 ) = f (x0 ), P0 (x0 ) = f 0 (x0 ), ..., P(n) (x0 ) = f (n) (x0 ).
Teorema
El problema de interpolación de Taylor tiene solución única, que se denomina
polinomio de Taylor de grado ≤ n de la función f en el punto x0 :
P(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + f 00 (x0 )
(x − x0 )2
(x − x0 )n
+ ... + f (n) (x0 )
2!
n!
Teorema
Para n > 1 sea f (x) una función n veces derivable en x0 . El polinomio de Taylor
P(x) verifica que:
f (x) − P(x)
l«ım
=0
x−→x0 (x − x0 )n
con la notación o pequeña de Landau f (x) − P(x) = o((x − x0 )n ) para x → x0 .
Además, P(x) es el único polinomio de grado ≤ n con esta propiedad.
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Problema de interpolación de Taylor
Error del polinomio interpolador de Taylor
Teorema
Sean x y x0 dos números reales distintos y f (x) una función con n derivadas
continuas en un intervalo conteniendo a x y x0 , en el que también existe f (n+1) .
Entonces existe un punto ξ entre x y x0 tal que:
f (x) − P(x) = f (n+1) (ξ)
(x − x0 )(n+1)
(n + 1)!
Corolario
Además de las hipótesis del teorema supongamos que para cada t entre x y x0 se
verifica que |f (n+1) (t)| ≤ Kn+1 constante, entonces:
|f (x) − P(x)| ≤
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|x − x0 |(n+1) Kn+1
.
(n + 1)!
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Problema de interpolación de Lagrange
Problema de interpolación de Lagrange
Dados un entero n no negativo, n + 1 puntos x0 , . . . , xn ∈ R distintos dos a dos y los
correspondientes valores f (x0 ),..., f (xn ) de una función, encontrar un polinomio P(x)
de grado ≤ n tal que
P(x0 ) = f (x0 ), P(x1 ) = f (x1 ), ..., P(xn ) = f (xn ).
Teorema
El problema de interpolación de Lagrange tiene solución única, que se denomina
polinomio interpolador de Lagrange de grado ≤ n de la función f en los puntos
x0 , . . . , xn .
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Polinomio interpolador de Lagrange
x
f (x)
1
40.499791
50
6
44.708964
7
45.20073699
8
46.06351099
9
46.74580699
Millones de habitantes
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+2000)
-1
1
2
3
4
Rafael Bravo de la Parra
5
6
7
8
9
Interpolación polinómica
10
11
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Polinomio interpolador de Lagrange
x
f (x)
1
40.499791
50
6
44.708964
7
45.20073699
8
46.06351099
9
46.74580699
Millones de habitantes
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+2000)
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
P(x) = −0,01584350508 x4 + 0,3833919843 x3 − 3,191897163 x2 + 10,80272723 x + 32,52141243
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Polinomio interpolador de Lagrange
n + 1 puntos x0 , . . . , xn ∈ R, distintos dos a dos, y los valores f (x0 ),..., f (xn )
P(x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + an xn
Coeficientes Indeterminados

a0 + a1 x0 + · · · + an−1 x0n−1 + an x0n = f (x0 )




a0 + a1 x1 + · · · + an−1 x1n−1 + an x1n = f (x1 )
..
..



.
.

a0 + a1 xn + · · · + an−1 xnn−1 + an xnn = f (xn )
Forma de Lagrange
Polinomios base de Lagrange, Lj (x), j = 0, . . . , n
Lj (x) =
n
Y
(x − x0 ) · . . . · (x − xj−1 ) · (x − xj+1 ) · . . . · (x − xn )
x − xi
=
(xj − x0 ) · . . . · (xj − xj−1 ) · (xj − xj+1 ) · . . . · (xj − xn )
x
j − xi
i=0
i6=j
Expresión explícita del polinomio interpolador
P(x) = f (x0 )L0 (x) + f (x1 )L1 (x) + · · · + f (xn )Ln (x) =
n
X
j=0
f (xj )
n
Y
x − xi
x
j − xi
i=0
i6=j
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Ejemplo
x
sen(x)
0
0
1
0.841570
2
0.909297
sen (0,5) = 0,479426
Interpolando en 0 y 1 se obtiene
x−1
x−0
+ 0,841570
.
0−1
1−0
Interpolando en 0, 1 y 2 se obtiene
p1 (x) = 0
p2 (x) = 0
(x − 1) (x − 2)
(x − 0) (x − 2)
(x − 0) (x − 1)
+ 0,841570
+ 0,909297
(0 − 1) (0 − 2)
(1 − 0) (1 − 2)
(2 − 0) (2 − 1)
p1 (x)
p2 (x)
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x = 0,5
0.420736
0.517441
Interpolación polinómica
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Ejemplo
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
sen(x)
p2(x)
0.2
p1(x)
0.1
0
0
punto
0.5
Rafael Bravo de la Parra
1
1.5
Interpolación polinómica
2
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Fórmula del error
Teorema
Sea f ∈ C n [a, b] y tal que f (n+1) existe en (a, b). Sean x0 ,x1 , . . ., xn puntos distintos
de [a, b] y sea P el polinomio interpolador de Lagrange de la función f en dichos
puntos. Entonces, para cada x ∈ [a, b] existe un ξx con
m«ın (x0 , . . . , xn , x) < ξx < m«ax (x0 , . . . , xn , x) tal que
f (x) − P(x) =
(x − x0 ) . . . (x − xn ) (n+1)
f
(ξx ).
(n + 1)!
Corolario
En las hipótesis del teorema, si f (n+1) (x) ≤ Kn+1 para todo x ∈ [a, b] entonces
|f (x) − P(x)| ≤
|x − x0 | . . . |x − xn |Kn+1
.
(n + 1)!
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Ejemplo
x
sen(x)
0
0
1
0.841570
2
0.909297
sen (π/4) = 0,707107
Interpolando en 0 y 1 se obtiene p1 (x) = 0,841570 x.
Interpolando en 0 y 2 se obtiene q1 (x) = 0,454648 x.
Interpolando en 0, 1 y 2 se obtiene
p2 (x) = 1,22849 x − 0,386921 x2 .
p1 (x)
q1 (x)
p2 (x)
Valor en x = π/4
0,660520
0,357356
0,725748
Error
0,046587
0,349751
0,018641
Rafael Bravo de la Parra
Estimación del error
0,084273
0,476973
0,034119
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
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Error en la interpolación lineal
Interpolación Lineal
Sea f ∈ C 2 ([a, b]) y llamemos h = b − a.
Si conocemos una cota M2 de |f 00 (x)| en [a, b] entonces el error
cometido al usar interpolación lineal con x0 = a y x1 = b se puede
acotar:
|(x − x0 )(x − x1 )|
M2 .
|f (x) − p1 (x)| ≤
2
y calculando el máximo el máximo de |(x − x0 )(x − x1 )| en [a, b] se
reduce a
|f (x) − p1 (x)| ≤
h2
M2 para todo x ∈ [a, b]
8
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Forma de Newton. Construcción por recurrencia
Entero n ≥ 1, n + 1 puntos x0 , . . . , xn ∈ R distintos y una función f definida en ellos.
P(x)
=
pn−1 (x) + qn (x)
=
pn−1 (x) + cn (x − x0 ) · . . . · (x − xn−1 )
=
pn−2 (x) + qn−1 (x) + cn (x − x0 ) · . . . · (x − xn−1 )
=
pn−2 (x) + cn−1 (x − x0 ) · . . . · (x − xn−2 )
+cn (x − x0 ) · . . . · (x − xn−1 )
=
···
P(x) =
c0
+c1 (x − x0 )
+c2 (x − x0 )(x − x1 )
···
+cn (x − x0 ) · . . . · (x − xn−1 )
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Diferencias divididas de una función.
Entero n ≥ 1, n + 1 puntos x0 , . . . , xn ∈ R distintos y una función f definida en ellos.
Definición
Se denomina diferencia dividida de la función f en los puntos x0 , . . . , xn al
coeficiente de xn en el desarrollo en potencias de x del correspondiente polinomio
interpolador de Lagrange.
Esta diferencia dividida se representa mediante f [x0 , . . . , xn ].
El entero n se llama orden de la diferencia dividida.
El valor de una diferencia dividida es independiente del orden en que se
escriban sus argumentos. Para cualquier permutación σ:
f [x0 , x1 , . . . , xn ] = f [xσ(0) , xσ(1) , . . . , xσ(n) ].
Los coeficientes ci que aparecen en la forma de Newton del polinomio
interpolador son diferencias divididas de la función:
P(x) =
f [x0 ]
+f [x0 , x1 ] (x − x0 )
+f [x0 , x1 , x2 ] (x − x0 )(x − x1 )
···
+f [x0 , x1 , . . . , xn ] (x − x0 ) · . . . · (x − xn−1 )
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0 , . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida
entonces
f [x1 , . . . , xn ] − f [x0 , . . . , xn−1 ]
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
xn − x0
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0 , . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida
entonces
f [x1 , . . . , xn ] − f [x0 , . . . , xn−1 ]
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
xn − x0
x0
f [x0 ] = f (x0 )
p0 (x) = f [x0 ]
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Interpolación polinómica
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Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0 , . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida
entonces
f [x1 , . . . , xn ] − f [x0 , . . . , xn−1 ]
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
xn − x0
x0
f [x0 ] = f (x0 )
x1
f [x1 ] = f (x1 )
f [x0 , x1 ] =
f [x1 ] − f [x0 ]
x1 − x0
p1 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 )
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0 , . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida
entonces
f [x1 , . . . , xn ] − f [x0 , . . . , xn−1 ]
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
xn − x0
x0
f [x0 ] = f (x0 )
x1
f [x1 ] = f (x1 )
f [x0 , x1 ] =
x2
f [x2 ] = f (x2 )
f [x1 , x2 ] =
f [x1 ] − f [x0 ]
x1 − x0
f [x2 ] − f [x1 ]
x2 − x1
f [x0 , x1 , x2 ] =
f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ]
x2 − x0
p2 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0 , . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida
entonces
f [x1 , . . . , xn ] − f [x0 , . . . , xn−1 ]
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
xn − x0
x0
x1
x2
f [x0 ] = f (x0 )
f [x1 ] = f (x1 )
f [x2 ] = f (x2 )
f [x0 , x1 ]
f [x1 , x2 ]
f [x0 , x1 , x2 ]
x3
f [x3 ] = f (x3 )
f [x2 , x3 ]
f [x1 , x2 , x3 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 ] =
f [x1 , x2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ]
x3 − x0
p3 (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
+ f [x0 , x1 , x2 , x3 ](x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Ejemplo, Censo español siglo XXI.
Datos
Año
Hab. (106 )
1
40,499791
6
44,708964
7
45,200737
8
46,063511
9
46,745807
Tabla de diferencias
1
6
7
8
9
40,499791
44,708964
45,200737
46,063511
46,745807
0,8418346
0,491773
0,862774
0,682296
-0,0583436
0,1855005
-0,090239
0,034834871
-0,091913167
-0,015843505
Polinomio de grado 4, forma de Newton
p3 (x) = 40,499791 + 0,8418346(x − 1)−0,0583436(x − 1)(x − 6)
+ 0,034834871(x − 1)(x − 6)(x − 7)−0,015843505(x − 1)(x − 6)(x − 7)(x − 8).
Rafael Bravo de la Parra
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Convergencia de los polinomios de interpolación
f función definida en el intervalo [a, b].
Consideramos una sucesión de puntos de interpolación en [a, b] cada vez más densa:
(0)
(0)
Elegimos x0 ∈ [a, b], interpolamos y obtenemos p0 (x) = f (x0 ).
(1)
(1)
(2)
(2)
(n)
(n)
Elegimos x0 , x1 ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p1 (x).
(2)
Elegimos x0 , x1 , x2 ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p2 (x).
···
(n)
Elegimos x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos pn (x).
¿Se cumple que l«ım pn (x) = f (x) para x ∈ [a, b]?
n→∞
Aumentar el grado de los polinomios de interpolación no siempre es aconsejable.
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Ejemplo de Runge
f (x) =
1
en el intervalo [−5, 5]
1 + x2
Para cada n = 1, 2, . . . se interpola en n + 1 abcisas equiespaciadas en [−5, 5]:
(n)
xi = −5 + 10i/n, i = 0, 1, . . . , n y se obtiene el polinomio interpolador pn (x).
Se tiene que l«ım |pn (x) − f (x)| = ∞ para |x| > 3,63.
n→∞
2
Función de Runge
p5(x)
p10(x)
1.5
1
0.5
0
−0.5
−5
0
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5
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Convergencia de los polinomios interpolantes
Teorema (Faber)
Para cualquier sucesión de nodos en las condiciones definidas anteriormente, existe
una función continua f tal que
l«ım
m«ax kpn (x) − f (x)k = ∞.
n→∞
x∈[a,b]
Teorema (Marcinkiewicz)
Para cada f ∈ C([a, b]), existe una disposición de nodos de interpolación en [a, b],
como la definida anteriormente, para la que los polinomios de interpolación pn (x)
verifican que
l«ım
n→∞
m«ax kpn (x) − f (x)k
= 0.
x∈[a,b]
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Interpolación de Hermite
Problema de interpolación de Hermite
Dados una función f , k veces derivable en el intervalo [a, b],
n + 1 puntos distintos x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b] y
n + 1 números naturales m0 , m1 , . . . , mn , con mi ≤ k para i = 0, . . . , n,
encontrar un polinomio pN (x) de grado menor o igual que
N = m0 + m1 + . . . + mn + n tal que
f (xi ) = pN (xi ), f 0 (xi ) = p0N (xi ), . . . , f (mi ) (xi ) = pN i (xi ) para i = 0, . . . , n.
(m )
En este caso se dice que pN (x) interpola a f (x) en
m0 +1
m1 +1
mn +1
z }| {
z }| { z }| {
x0 , . . . , x0 , x1 , . . . , x1 , . . . , xn , . . . , xn
Teorema
El problema de interpolación de Hermite tiene una solución y ésta es única
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Interpolación de Hermite: casos particulares
En el caso n = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomio de Taylor de grado
m0 .
En el caso m0 = m1 = · · · = mn = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomio
interpolador de Lagrange.
El caso m0 = m1 = · · · = mn = 1 se denomina polinomio de Hermite
estricto.
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Interpolación de Hermite: Fórmula del error
Teorema
Sean x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b] n + 1 puntos distintos, m0 , m1 , . . . , mn n + 1 números
naturales, y f ∈ C N ([a, b]) y tal que existe f (N+1) en (a, b) con
N = m0 + m1 + . . . + mn + n. Si pN (x) es el polinomio interpolador de Hermite
asociado entonces para cada x ∈ [a, b] existe un punto ξx tal que
m«ın(x0 , . . . , xn , x) < ξx < m«ax(x0 , . . . , xn , x) verificando
f (x) − pN (x) =
(x − x0 )m0 +1 . . . (x − xn )mn +1 (N+1)
f
(ξx ).
(N + 1)!
Corolario
En las hipótesis del teorema, si f (N+1) (x) ≤ KN+1 para todo x ∈ [a, b] entonces
|f (x) − PN (x)| ≤
|x − x0 |m0 +1 . . . |x − xn |mn +1 KN+1
.
(N + 1)!
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Interpolación de Hermite: Diferencias Divididas con Nodos Repetidos
m0 +1
m1 +1
mn +1
z }| { z }| {
z }| {
x0 , . . . , x0 , x1 , . . . , x1 , . . . , xn , . . . , xn
Supongamos que xi < xi+1 para i = 0, . . . , n − 1 y renombremos la sucesión anterior
como zi con i = 0, . . . , N donde N = n + m0 + m1 + . . . + mn
Teorema
En las condiciones anteriores el polinomio interpolador de Hermite se puede
escribir como:
pN (x) = f [z0 ] +
N
X
f [z0 , z1 , . . . , zk ](x − z0 )(x − z1 ) · · · (x − zk−1 )
k=1
donde:
f [zi , . . . , zj ] =
 (j−i)

f
(zi )


,

 (j − i)!
zj = zi
(⇔ zl = zi , i ≤ l ≤ j)


f [zi+1 , . . . , zj ] − f [zi , . . . , zj−1 ]


,

zj − zi
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zj 6= zi
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Herm
Ejemplo
f (x) = cos x, [0, 1], x0 = 0, x1 = 1, m0 = 2 y m1 = 1
z0 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 1 y z4 = 1
p4 (x) = f [z0 ] + f [z0 , z1 ](x − z0 ) + f [z0 , z1 , z2 ](x − z0 )(x − z1 ) + f [z0 , z1 , z2 , z3 ](x − z0 )(x − z1 )(x − z2 )
+ f [z0 , z1 , z2 , z3 , z4 ](x − z0 )(x − z1 )(x − z2 )(x − z3 )
0
1
0
1
0
1
1
0,5403
1
0,5403
0
0
−0,4597
−0,84147
−0,5
−0,4597
−0,38177
0.0403
0,0779
0,037622
p4 (x) = 1 − 0,5 x2 + 0,0403 x3 + 0,037622 x3 (x − 1)
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Interpolación lineal segmentaria
Definición
Dado [a, b] y una partición ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Denotamos con
L(x) a una función que verifica: L(x) ∈ C([a, b]) y, para cada [xi−1 , xi ],
i = 1, . . . , n, L(x) restringida a [xi−1 , xi ] coincide con un polinomio de grado
menor o igual que 1.
L(x) interpola a los datos (xi , yi ) (i = 0, . . . , n) si verifica
L(xi ) = yi
(i = 0, . . . , n)
Millones de Habitantes
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+1900)
10
20
30
40
50
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60
70
80
90
100
110
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Interpolación lineal segmentaria
Evaluación
Localizar el intervalo tal que x ∈ [xi , xi+1 ]. (Algoritmo de localización)
yi+1 − yi
L(x) = yi + (x − xi )
, xi ≤ x ≤ xi+1 , i = 0, . . . n − 1.
xi+1 − xi
Error
Si yi = f (xi ) con f ∈ C2 [a, b]:
|L(x) − f (x)| ≤
1 2
h m«ax f 00 (x) = O(h2 )
8 x∈[x0 ,xn ]
donde h es la distancia máxima entre dos nodos adyacentes
Derivada
yi+1 − yi
L0 (x) =
, xi < x < xi+1 , i = 0, 1, . . . n − 1.
xi+1 − xi
0
0
|L (x) − f (x)| = O(h), x 6= xi , x0 < x < xn .
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Función de Runge f (x) =
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
1
1+x2
L(x) interpolante lineal segmentaria determinado en n + 1 nodos equidistantes
0.9
f(x)
L10(x)
0.8
L4(x)
0.7
Nodos L10
n
50
100
200
400
800
1600
3200
6400
Nodos L4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−5
10
, j = 0, 1, . . . , n
n
kf − Lk∞
9.33e-03
2.46e-03
6.22e-04
1.50e-04
3.75e-05
9.37e-06
2.34e-06
5.86e-07
xj = −5 + j
1
0
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5
Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Interpolación de Lagrange vs segmentaria
Coste de evaluación en un punto
Lagrange: se incrementa con el número de datos.
Segmentaria: no crece con el número de nodos.
Convergencia uniforme
Lagrange: no está garantizado.
Segmentaria: si
Derivabilidad
Lagrange: Indefinidamente derivable.
Segmentaria: Sólo continua.
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Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Índice
1
Aproximación de funciones
Introducción
Propiedades de los polinomios
2
Interpolación polinómica
Polinomio de Taylor
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
Convergencia de los polinomios de interpolación
Interpolación de Hermite
3
Interpolación Segmentaria
Interpolación lineal segmentaria
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
Definición
Dado [a, b] y una partición ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Denotamos con
C(x) a una función que verifica: C(x) ∈ C 1 ([a, b]) y, para cada [xi−1 , xi ],
i = 1, . . . , n, C(x) restringida a [xi−1 , xi ] coincide con un polinomio de grado
menor o igual que 3.
C(x) interpola a la función f (x) si verifica
C(xi ) = f (xi )
y
C0 (xi ) = f 0 (xi )
(i = 0, . . . , n)
La fórmula del error para interpolación de Hermite:
|C(x) − f (x)| ≤
h4
384
m«ax |f (4) (x)|,
x∈[x0 ,xn ]
x0 < x < xn
|C(x) − f (x)| = O(h4 ),
x0 < x < xn .
|C0 (x) − f 0 (x)| = O(h3 ),
x0 < x < xn .
|C00 (x) − f 00 (x)| = O(h2 ),
x0 < x < xn x 6= xi .
|C000 (x) − f 000 (x)| = O(h),
x0 < x < xn x =
6 xi .
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Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a
Ejemplo
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
x
f (x) = sen(x)
f 0 (x) = cos(x)
(
C(x) =
0
0
1
1
0.841470
0.540302
2
0.909297
-0.416146
x − 0,1585x2 − 0,1426x2 (x − 1)
0,8414 + 0,5403(x − 1) − 0,4724(x − 1)2 − 0,0115(x − 1)2 (x − 2)
El error que se comete es menor que 1/384.
Por ejemplo sen (π/4) = 0,707107 y C(π/4) = 0,706491
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Interpolación polinómica
si x ∈ [0, 1]
si x ∈ [1, 2]