MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Febrero – Primera Semana Material Auxiliar: Calculadora financiera 1. 23 de Enero de 2007 - 9,00 horas Duración: 2 horas Comparación y suma de capitales: Para comparar y sumar capitales se acuerda aplicar la ley de descuento comercial A(t;p)=1-d·(t-p). Resolver razonadamente las siguientes cuestiones: a1) Se sabe que los capitales (C;t+2) y (1,2C;t+5) son equivalentes para p=t. Obtener el tanto d que se ha aplicado en este caso (0,5 puntos). a2) Obtener la suma de dos capitales: (1,5C;t+1) y (C;t+5) en t+2, siendo p=t y d= 0,1. (1 punto). a3) Con los datos del apartado anterior, obtener el capital suma si se aplica la solución del vencimiento medio (hay que calcular la cuantía y el vencimiento) (0,5 puntos). Capitalización compuesta: Un capital de 10.000 euros, colocado en capitalización compuesta, se ha duplicado en 12 años. Obtener razonadamente: b1) El tipo de interés anual al que se ha colocado. (1 punto). b2) El rédito bimestral equivalente. (0,5 puntos). 2. Rentas: Un ente público saca a concurso una concesión administrativa por un plazo temporal de 20 años. El adjudicatario habrá de pagar un único capital en el momento inicial de la concesión. De los estudios realizados se estima que los ingresos netos que se van a obtener, serán de 1.000 euros mensuales, constantes y pospagables durante los 10 primeros años y de 1.200 euros también constantes y pospagables durante los 10 últimos. Una empresa desea conocer la cuantía máxima que habrá de ofertar por la citada concesión teniendo en cuenta que para la valoración financiera aplica un tanto efectivo anual del 9% que es el tanto de coste medio ponderado de la financiación de la empresa. Calcular razonadamente: a) b) 3. c) La cuantía máxima que debe ofertar (el valor actual de todos estos pagos). (1,5 puntos). Entre las propiedades para la valoración de rentas, explicar cuál de ellas es de aplicación en este caso y por qué. (0,5 puntos). La cuantía mensual que habría de producir la concesión durante el primer año en el caso de que los ingresos netos mensuales y pospagables hubieran sido crecientes anualmente al 3% en progresión geométrica (en vez de constantes por 1.000 y 1.200 euros) teniendo en cuenta el resultado obtenido en el apartado a). (1 punto). a) Operaciones bursátiles al contado. Explicar cómo se obtiene: (1,5 puntos) b) El importe a desembolsar por un inversor que compra N acciones cuyo precio es P. El importe que ingresará un inversor que vende N´ acciones cuyo precio es P´. Descuento financiero (2 puntos): La empresa X solicita un préstamo de 20.000 euros a devolver dentro de 6 meses. El banco lo concede materializándose mediante una letra financiera que se descuenta al 12% anual. A esta operación se aplica una comisión de apertura de crédito al 5‰ y un corretaje al 3‰. El timbre de la letra de cambio asciende a 67,31 euros. Determinar razonadamente: La cuantía que recibe la empresa en el momento inicial El tanto efectivo de coste, en capitalización compuesta, que resulta para la empresa. Soluciones Febrero 07 – Primera Semana 1. a.1) V0 C 1 d t 2 t V0 1, 2 C 1 d V0 V0 C 1 2d t 5 t C 1 2d 1, 2 C 1 5d 1, 2 C 1 5d d 0, 05 a.2) S 1 0,1 t 2 t S 2, 3125 C S 1, 5 C 1, 5 C 1 0,1 t 1 t C 1 0,1 t 5 t Capital suma : 2, 3125 C ; t 2 a.3) C 2, 5 C 1, 5 C 1 C 5 1, 5 C C 2, 6 Capital suma : 2, 5 C ; t 2. 12 b.1) 10.000 1 i b.2) i6 1 0,059463 V0 1.000 i12 1 0,09 2, 6 20.000 1 6 1 1 12 20.000 i 1 10.000 0,059463 0,009674 a) b) a120 0,007207 1 12 1 a120 1.200 0,007207 (1 0,09) 10 120.763,22 € 0,007207 Teoría c) 120.763,22 ) A (12 C;1,03)(12 20 0,09 20 1,03 0,09 1,09 12 C 0,086488 1,09 1,03 1 120.763,22 j12 3. 12 i12 856,21 € / mes 0,086488 a) Teoría b.1) L b.2) 18.572,69 1 i 20.000 C 1 0,12 1 2 6 12 0,005 20.000 0,003 i 67,31 18.572,69 € 0,159606 MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Febrero – Segunda Semana Material Auxiliar: Calculadora financiera 1. a) Capital financiero: Definición, componentes, representación gráfica, espacio financiero. (1,5 puntos) b) Desdoblamiento de capitales: Una persona ha de pagar 10.000 euros el 22 de abril y hoy, 6 de febrero, acuerda con el acreedor desdoblarlo en dos pagos, el primero de 4.000 euros el 8 de marzo. Sabiendo que se utiliza el año comercial, calcular razonadamente: 2. 6 de Febrero de 2007 - 16,00 horas Duración: 2 horas Cuantía y fecha del pago del segundo capital si se aplica el vencimiento medio (1 punto). Cuantía del segundo capital en el caso en que se acuerde pagarlo el 26 de junio de 2007 y se utiliza el descuento comercial al 9% anual. (1 punto). Rentas a) Explicar razonadamente cómo se obtiene el valor actual de una renta unitaria, temporal y pospagable. (1,5 puntos). b) Una persona va a comprar un automóvil y desea conocer el montante que podría obtener si, en vez de comprarlo, depositase todas las cantidades que habrá de desembolsar por todos los conceptos (precio y gastos) en una entidad financiera que le capitaliza aportaciones a un tanto nominal para frecuencia mensual (J12) del 4%. El precio del vehículo es de 30.000 euros y estima unos gastos mensuales promedio de 100 euros en concepto de gasolina, mantenimiento, etc. El plazo temporal que piensa mantener el coche es de 6 años y se calcula un valor residual de 8.000 euros. Obtener razonadamente el montante citado. (2 puntos). 3. a) Explicar cómo se obtiene el saldo de una cuenta corriente por el método directo y que inconvenientes tiene este método. (1 punto). b) En una subasta reciente de Letras del Tesoro se han producido los siguientes resultados: Fecha de liquidación (desembolso) Fecha de vencimiento Precio medio Tipo de interés medio Letras a 12 meses 22-sep-06 17-ago-07 96,873 ¿? Letras a 18 meses 22-sep-06 22-feb-08 94,999 ¿? Obtener razonadamente: (2 puntos) El tipo de interés medio que corresponde a estas letras a 12 y 18 meses En el caso de las letras a 12 meses, la rentabilidad efectiva que obtiene un inversor que ha de pagar una comisión de suscripción del 1,5‰ y una comisión de amortización de 2,5‰ del nominal de la letra. Soluciones Febrero 06 – Segunda Semana 1. a) Teoría b.1) 75 10.000 4.000 6.000 euros 4.000 30 6.000 t 2 t 2 105 días 10.000 Segundo capital : 6.000 euros ; 22 de mayo 75 b.2) 75 360 10.000 1 0, 09 C2 2. a) 4.000 1 0, 09 30 360 C2 1 0, 09 140 360 6.054, 40 euros Teoría b) VF i12 3. a) 30.000 (1 0,003333)72 + 100 0,04 12 s72 8.000 0,003333 38.244,51 0,003333 Teoría b.1) Letras a 12 meses: 968,73 1 i 329 1.000 360 i 0,03532 Letras a 18 meses: 949,99 1 i 518 360 1.000 i 0,036298 b.2) Rentabilidad efectiva en capitalización simple: 968,73 1,5 1 i 329 365 1.000 2,5 i 0,031182 euros MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I Facultad de Ciencias Económicas Convocatoria de Septiembre - Principal Material Auxiliar: Calculadora financiera 1. a) Leyes financieras estacionarias: Explicar razonadamente cual es la propiedad que caracteriza a estas leyes, su expresión matemática, la condición necesaria y suficiente de estacionariedad y la forma del tanto instantáneo. Poner algún ejemplo de ley financiera estacionaria. (1,5 puntos). b) Capitalización simple: Una persona ha colocado un capital de cuantía C euros durante 3 meses obteniendo un montante de 46.517,50 euros. Si el mismo capital se hubiera colocado durante 6 meses (en vez de tres) el montante habría sido de 47.035 euros. Calcular razonadamente: 1. 2. 2. 4 de Septiembre de 2007 - 9,00 horas Duración: 2 horas El tanto anual al que ha estado colocado y el rédito trimestral equivalente. (1,5 puntos). La cuantía C. (0,5 puntos). Rentas: Una persona desea complementar la pensión de jubilación que perciba del sistema de Seguridad Social efectuando aportaciones mensuales y pospagables a un Plan de Pensiones que suscribe con su entidad financiera. A la citada persona, que acaba de cumplir 35 años y se jubilará al cumplir 65, se le plantean dos posibilidades: 1) Efectuar aportaciones constantes de 200 euros mensuales. 2) Efectuar aportaciones crecientes anualmente en progresión geométrica a razón de un 2,5%, siendo las del primer año de cuantía 150 euros mensuales. Sabiendo que las aportaciones se capitalizan a un tanto efectivo anual del 4% durante los 15 primeros años y al 3% durante los 15 últimos, obtener razonadamente: a) b) c) 3. El montante que recibirá a la jubilación en el caso de elegir la opción 1). (1 punto). El montante que recibirá a la jubilación en el caso de elegir la opción 2). (1 punto). En el caso de la opción 1), si llegado a los 65 años, acuerda con la entidad financiera la sustitución del montante obtenido por una renta mensual, constante y prepagable durante 20 años (que corresponde a su esperanza de vida a esa edad) valorada a un tanto nominal J12=3%, obtener la cuantía mensual que podrá recibir. (1 punto). Operaciones financieras: a) Teoría: Concepto, elementos que la definen, principio fundamental que se debe cumplir y representación gráfica. (1,5 puntos). b) Práctica: Dos personas M y N realizan la siguiente operación financiera: M ha de entregar (1.000; 2.007); 5.000; 2.009) y (3.000; 2.011) N ha de entregar (4.000; 2.008) y (X; 2.012) Sabiendo que la operación se valora en capitalización compuesta a tanto i = 5%, con p = 2.012, obtener razonadamente: b1) La cuantía X que ha de entregar N en 2012. (1 punto). b2) Saldo financiero en 2.008 por los métodos retrospectivo y prospectivo. (0,5 puntos). b3) Saldo financiero en 2.010 por el método recurrente. (0,5 puntos). Nota: En esta operación, los saldos se hallan “por la derecha”, un instante después de haberse entregado el correspondiente capital. Soluciones - Septiembre 07 1. a) b) Teoría 46.517,5 47.035 2. a) C C 1 1 i 1 i i 4 0,045 C 1 46.000 2 M 200 S15·12 M (12 ) S(150 12;1,025)15 i12 1,041/12 1 0,003273 ·(1 0,03)15 200 S15·12 121.474,72 € i12 1,031/12 1 0,002466 b) ·(1 0,03)15 1,0415 0,04 1.800 12 (1 0,04)1/ 12 12 c) 121.474,72 a) Teoría a 1,02515 1,0315 1/ 12 (1 0,03) 20 12 a (12 ) S(150 12·1,02515 ;1,025)15 1,04 1,025 1 0,03 1.800 1,02515 3. 0,04 1 a 0,0025 0,03 ·(1 0,03)15 1,02515 125.091,53 € 1,03 1,025 672,01 € b1) b2) 1.000 (1 0,05)2012 2007 5.000 (1 0,05)2012 4.000 (1 0,05)2012 2008 X (1 0,05)2012 SR2008 1.000 (1 0,05)2008 2007 SP2008 5.352,38 (1 0,05) ( 2012 2008 ) 5.000 (1 0,05) b3) c SRe 2010 ( 2009 2008 ) 5.000 (1 0,05)(2010 2009 2012 X 4.000 (1 0,05)2008 3.000 (1 0,05) 2009) 3.000 (1 0,05)2012 5.352,38 € 2008 ( 2011 2008 ) 2.950 (1 0,05)2010 2008 2.950 € 2.950 € 1.997,63 2011