Numeros Naturales N Numeros Enteros Z Numeros Racionales Q

Numeros Naturales N
1.-Demostrar que si x, y ∈ N entonces x 6= y ⇒ s(x) 6= s(y)
2.-Demostrar que si x ∈ N entonces s(x) 6= x
3.-Demostrar que si x ∈ N y x 6= 1 entonces existe un único y tal que x = s(y)
4.-Demostrar que para todo x, y ∈ N se cumple x + y 6= x
Numeros Enteros Z
un número entero n se llama par si n = 2m para un cierto entero m, e impar si n + 1 es par.
Demostar lo siguiente
1.- Un entero no puede ser a la vez par e impar
2.- Todo entero positvo es par o impar, ¿se puede generailzar esto para todo entero?
3.- La suma o el producto de doas enteros pares es par
4.- Si n2 es par también lo es n
5.- Si a2 = 2b2 , siendo a,b enteros, entonces a y b son ambos pares.
Numeros Racionales Q
Demostar lo siguiente
1.- Si r ∈ Q y x ∈ R − Q, demuestre que r+x y rx son irracionales
2.- Demostrar que no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 12.
3.- ¿Existe algún número a tal que a2 es irracional pero que a4 sea racional?
√
√
4.- 2 + 3 es irracional
1
Inducción Matemática
Demostar lo siguiente
1.-Demostrar que si sen(x) 6= 0 y n es un número natural, entonces
cos(x) · cos(2x) · cos(4x) · · · cos(2n−1 x) =
2.- Demostrar que si x +
1
x
es un entero entonces xn +
1
xn
sen(2n x)
2n sen(x)
es también entero ∀n ∈ N
3.- Defina lo siguiente
a)a1 = a y an+1 = an · a. Demostrar por inducción que an+m = an · am y (an )m = anm
Números Reales R
Demostrar lo siguiente:
1.- Si S es un conjunto denso en un intervalo I, y si a y b son dos elementos de I con a < b,
entonces existe una infinidad de elementos de S entre a y b.
2.- El conjunto S de los números irracionales es denso en R.
3.- Sea A un conjunto de números reales que no es vacio, que esta acotado inferiormente. Si -A
es el conjunto de todos los números -x, en donde x ∈ A. Demuestre que ı́nf A = − sup(−A)
4.-Si a > 0, existe un número real positivo µ tal que µ2 = a
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