Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas Ejemplo1 Calcular las

Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indenidamente. Hay tres tipos de asintotas:
• Asíntotas horizontales:
La recta y = k es una asíntota horizontal de la función si:
limx→−∞ = k o limx→+∞ = k .
Ejemplo1
Calcular las asíntotas horizontales de
f (x) =
2x2 +3
.
x2 −1
+3
+3
Como limx→−∞ 2x
= 2 y además limx→+∞ 2x
= 2.
x2 −1
x2 −1
2
2
Tenemos que en y = 2 hay una asíntota horizontal.
• Asíntotas verticales:
Consideremos los puntos k que no pertecen al dominio de la función (en
las funciones racionales).
Si tenemos que limx→k f (x) = ±∞, x = k será una asíntota vertical.
Ejemplo2
Consideramos la misma función que antes, es decir,f (x)
=
2x2 +3
.
x2 −1
Calcular las asíntotas verticales.
Veámos los puntos donde la función no está denida, es decir, su dominio
que será todo R, excepto los puntos que anulen al denominador.
1
Por tanto, tomamos el denominador y lo igualamos a cero:
x2 −1 = 0, de donde x = ±1, luego Dom(f ) = R−{−1, 1}, luego veámos
los límites de f(x), cuando x tiende a 1 y a -1.
+3
limx→−1 2x
= +∞.
x2 −1
2
Además,
+3
limx→1 2x
= +∞.
x2 −1
2
Luego, nos encontramos con dos asíntotas verticales, una en x = 1 y otra
en x = −1.
• Asíntotas oblicuas:
Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y=mx+n.
2
Si limx→+∞ (f (x) − y) = 0 o limx→−∞ (f (x) − y) = 0, y = mx + n será
asíntota oblicua.
Ahora bien, m y n toman las siguientes expresiones:
m = limx→∞ f (x)
x y n = limx→∞ (f (x) − mx).
Sólo se hallarán las asíntotas oblicuas cuando no haya
IMPORTANTE:
asíntotas horizontales.
Ejemplo3
Calcular las asíntotas oblicuas de
f (x) =
√
x2 + 2x.
Veámos que dicha función no tienen asíntotas horizontales:
√
√
-limx→−∞ x2 + 2x = +∞ y limx→+∞ x2 + 2x = +∞.
Por tanto puede tener asíntotas oblícuas.
•Por la derecha:
Calculamos m y n como sigue:
m = limx→+∞ f (x)
x = limx→+∞
√
x2 +2x
x
= limx→+∞ xx = 1
√
√
√
2
x2 +2x+x)
√
n = limx→+∞ (f (x)−mx) = limx→+∞ x2 + 2x−x = limx→+∞ ( x +2x−x)(
=
x2 +2x+x
x +2x−x
2x
= limx→+∞ 2x
= 1.
limx→+∞ √
x2 +2x+x
2
2
Además,
0
√
2
2 +2x+1)
√
limx→+∞ [ x2 + 2x−(x+1)] = limx→+∞ (x +2x)−(x
= limx→+∞ −1
2x =
x2 +2x+x+1
Luego f tiene una asíntota oblícua por la derecha, y = x + 1
• Por la izquierda:
3
Calculamos m y n como sigue:
m = limx→−∞ f (x)
x = limx→+∞
√
x2 −2x
−x
x
= limx→+∞ −x
= −1
√
√
n = limx→−∞ (f (x)−mx) = limx→−∞ x2 + 2x+x = limx→+∞ x2 − 2x−
x = limx→+∞ √x2−2x
= limx→+∞ −2x
2x = −1.
−2x+x
Además,
√
√
limx→−∞ [ x2 + 2x − (−x − 1)] = limx→−∞ [ x2 + 2x + (x + 1)] =
2
2 +2x+1)
1
√
limx→−∞ (x +2x)−(x
= limx→−∞ 2x
=0
2
x +2x−x−1
Luego f tiene una asíntota oblícua por la izquierda, y = −x − 1.
4