MA2006 - Tarea No 4 Técnicas de Conteo

MA2006 - Tarea No 4
Técnicas de Conteo
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
11 de enero de 2011
1. Aproximadamente 50 millones de nombres de
dominio web.com fueron registrados (p. ej.,
yahoo.com).
a) ¿Cuántos nombres de dominio compuestos de exactamente dos letras pueden ser
formados? ¿Cuántos nombres de dominio
de dos letras existen si como caracteres se
permiten dı́gitos y números? [Nota; Una
longitud de carácter de tres o más ahora es
obligatoria.]
Solución
El número total de letras descartando ñ,
ch y ll es 26. Como la selección de la
primera no condiciona la segunda aplica
la regla del producto. En el primer caso:
N = (26) · (26) = 676. En el segundo caso
si añadimos a las letras los dı́gitos del 0
al 9 tendremos en total 36 opciones para
selección, por tanto N2 = (36)·(36) = 1, 296
b) ¿Cuántos nombres de dominio existen
compuestos de tres letras en secuencia?
¿Cuántos de esta longitud existen si se permiten letras o dı́gitos? [Nota: En la actualidad todos están utilizados.]
Solución
La palabra secuencia motivó dos interpretaciones: 1) cuando se piensa que la segunda
letra debe ser la siguiente de la primera y la
tercera la siguiente de la segunda. 2) cuando se piensa que secuencia indica que van
uno despues de otro.
En la primera interpretación la elección de
la primera determina la segunda y la tercera. Por tanto, la única libertad posible es
elegir la primera que no puede ser z ni y
(pues no tienen dos caracteres siguientes).
Por tanto, N = (24) · (1) · (1) = 24.
En la segunda interpretación, tenemos tres
elecciones independientes cada una con 26
alternativas: N = (26) · (26) · (26) = 17, 576.
Si ahora aceptamos dı́gitos, en la primera
interpretación nos darı́a iniciar con letra o
iniciar con dı́gito. Por tanto, N = 24 + 8 =
32 posibles cadenas de tres caracteres en
secuencia. Mientras que para la segunda
interpretación tendremos 36 posibilidades
independientes para las tres selecciones:
N = 46, 656.
c) Responda las preguntas hechas en b) para
secuencias de cuatro caracteres.
Solución
Tomemos sólo la interpretación de secuencia como cadena de caracteres. Si sólo usamos letras N = (26) · (26) · (26) · (26) =
456, 976. Si ahora también considermos los
dı́gitos del 0 al 9: N = (36)·(36)·(36)·(36) =
1, 679, 616.
d ) Si 97,786 de las secuencias de cuatro caracteres utilizando letras o dı́gitos aún no
habı́an sido reclamadas. Si se elige un nombre de cuatro caracteres al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que ya tenga dueño?
Solución
Dado que el total de cadenas de cuatro
caracteres es 1, 679, 616 y las que las que
no han sido reclamadas suman 97, 786. Por
tanto, las que sı́ han sido reclamadas son
1, 679, 616 − 97, 786 = 1, 581, 830. Si suponemos que toda cadena de 4 caracteres es
igualmente probable, entonces la probabili-
dad de elegir una con dueño es:
p=
numero con dueño
1, 581, 830
=
= .94178
total de cadenas
1, 679, 616
d ) Si se seleccionan 6 botellas al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que el resultado sea dos
botellas de cada variedad?
Solución
Si suponemos que las selecciones son igualmente probables entonces la probabilidad
buscada es la división de el número de posibles selecciones de dos de cada tipo entre
el total de selecciones de 6 vinos, usando el
inciso anterior:
a) Si desea servir 3 botellas de zinfandel y el
orden de servicio es importante, ¿cuántas
formas existen de hacerlo?
Solución
Nuestro problema es elegir 3 de las 8 donde
el orden es importante. Ası́ lo indicado es
usar la fórmula de las permutaciones y no
la de combinaciones:
8!
= 336
(8 − 3)!
p=
Ası́, 336 es el número total de formas de
seleccionar 3 de los 8 vinos Z disponibles
donde el orden importa.
C30,6 =
30
6
83, 160
= .1400530504
593, 775
e) Si se eligen 6 botellas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que todas ellas sean de la
misma variedad.
Solución
Primeramente veamos cuántas selecciones
son posibles de la misma marca (X). Para ello debemos considerar los casos en los
cuales son tpo Z, tipo M y tipo C:
b) Si 6 botellas de vino tienen que ser seleccionadas al azar de las 30 para servirse.
¿cuántas formas existen de hacerlo?
Solución
Como no se hace referencia al orden, suponemos que no importa. Ası́ el problema
debe trabajar con combinaciones:
N = C8,2 ·C10,2 ·C12,2 = 28·45·66 = 83, 160
es el número total de formas de seleccionar
dos vinos de cada tipo dentro de las posibilidades de la cava.
2. Un amigo mı́o va a ofrecer una fiesta. Sus existencias actuales de vino incluyen 8 botellas de
zinfandel (Z), 10 de merlot (M) y 12 de cabernet
(C), todos de diferentes fábricas vinı́colas.
N = P8,3 =
total de selecciones de cada tipo usaremos
la formula de las combinaciones:
Los 6 de Z:
Xz = C8,6 =
8
6
= 28
= 593, 775
Los 6 de M:
es el número total de formas de seleccionar
6 botellas de vino de las 30 disponibles.
XM = C10,6 =
10
6
12
6
= 210
Los 6 de C:
c) Si se seleccionan al azar 6 botellas, ¿cuántas
formas existen de obtener dos botellas de
cada variedad?
Solución
Nuestro proceso se compone de 3 selecciones: 2 botellas de Z, 2 de M y 2 de C. Como
son procesos independientes aplica la regla
del producto. Nuevamente asumimos que el
orden de las dos botellas de vino de cada tipo no importa y por tanto, para calcular el
XC = C12,6 =
= 924
Por tanto, el número total de selecciones de
un mismo tipo de vino será:
X = XZ + XM + XC = 1, 162
Si suponemos que las selecciones son igualmente probables entonces la probabilidad
2
buscada es la división de el número de posibles selecciones deseada (X) entre el total
de selecciones de 6 vinos:
1, 162
p=
= 0.00195697
593, 775
3.
Reproductor de CDs: Onkyo, Pioneer,
Sony, Technics
Altavoces: Boston, Infinity, Polk
Casetera: Onkyo, Sony, Teac, Technics
Un tablero de distribución en la tienda permite
al cliente conectar cualquier selección de componentes (compuesta de uno de cada tipo). Use las
reglas de producto para responder las siguientes
preguntas.
a) Beethoven escribió 9 sinfonı́as y Mozart 27
conciertos para piano. Si el locutor de una
estación de radio de una universidad desea
tocar primero una sinfonı́a de Beethoven y
luego un concierto de Mozart, ¿de cuántas
maneras puede hacerlo?
Solución
Como las selecciones son independientes,
esta es una aplicación del principio del producto: n1 · n2 = 9 · 27 = 243 será el número
total de maneras de escoger primero una
sinfonı́a de Beethoven seguido de un concierto de piano de Mozart.
a) ¿De cuántas maneras puede ser seleccionado un componente de cada tipo?
Solución
Siendo las selecciones diferentes, esta es una
aplicación de la regla del producto. Digamos que n1 = 5 es el total de opciones para
receptor, n2 = 4 es el total de opciones para reproductor de CD, n3 = 3 es el total de
opciones para bocinas, n4 = 4 es el total de
opciones para casetera:
b) El gerente de la estación decide que en cada
noche sucesiva (7 dı́as a la semana), se tocará una sinfonı́a de Beethoven, seguida por
un concierto para piano de Mozart, seguido
por un cuarteto de cuerdas de Schubert (de
los cuales existen 15). ¿Durante aproximadamente cuántos años se podrı́a continuar
con esta polı́tica antes de que exactamente
el mismo programa se repitiera?
Solución
Nuevamente, este problema es una aplicación del principio del producto: n = n1 ·
n2 · n3 = 9 · 27 · 15 = 3, 645 es el número total de programas posibles con el orden
deseado. Como serı́a uno por noche, el programa de la noche 3645 + 1 tendrı́a que ser
uno repetido. Por tanto, sin considerar años
bisiestos, esta politica de programación no
repetida podrı́a llevar 9.9890 años.
N = n1 · n2 · n3 · n4 = (5)(4)(3)(4) = 240
es el número total de configuraciones de
marca para un equipo de 4 componentes.
b) ¿De cuántas maneras pueden ser seleccionados los componentes si tanto el receptor
como el reproductor de discos compactos
tienen que ser Sony?
Solución
Si tanto el recepetor como el reproductor de CDs están fijos (Sony) las únicas
elecciones serán las bocinas y la casetera. Nuevamente aplicaremos la regla del
producto. Sin embargo, hay dos interepretaciones del problema. En la primera, los
otros componentes no deben ser Sony en
cuyo caso el número total de selecciones
será N1 = n3 · (n4 − 1) = (3)(3) = 9. Y en
la segunda interpretación, no eliminamos la
posibilidad de que la casetera también sea
Sony, en cuyo caso el número total de selecciones será N2 = n3 · (n4 ) = (3)(4) = 12.
4. Una tienda de equipos de sonido está ofreciendo un precio especial en un juego completo de
componentes (receptor, reproductor de discos
compactos, altavoces, casetera). Al comprador
se le ofrece una opción de fabricante por cada
componente.
c) ¿De cuántas maneras pueden ser seleccionados los componentes si ninguno tiene que
ser Sony?
Solución
Receptor: Kenwood, Onkyo, Pioneer,
Sony, Sherwood
3
Basta eliminar la posibilidad de que sea
Sony cada elección y apliciar de nuevo la
regla del producto:
equipo de beisbol el orden (posiciones) de
los jugadores son importantes. Por tanto,
debe usarse la fórmula de permutaciones:
Nc = (n1 − 1) · (n2 − 1) · (n3 ) · (n4 − 1) = 108
P15,9 =
será el número total de configuraciones de
equipo si no está incluida la marca Sony.
es el número total de alineaciones posibles.
d ) ¿De cuántas maneras se puede hacer una
selección si por lo menos se tiene que incluir
un componente marca Sony?
Solución
Note que este es un ejemplo de conteo por
complemento. El complemento a al menos
una componente Sony es ninguna componente es de la marca Sony. Por tanto, el
número total de configuraciones de equipos
con al menos una componente marca Sony
mas el número total de equipos sin ninguna
componente marca Sony debe dar 240 (ver
inciso a)). Usando el inciso c) tenemos que
el número total de configuraciones de equipos con al menos una componente Sony es
240 − 108 = 132.
b) ¿Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial y un orden
al bat de los 9 inicialistas?
Solución
En este caso primero se selecciona una alineación y para tal alineación se crea un orden al bat. Esto es una aplicación de la regla
del producto. Aquı́ habrá que usar que dados 9 jugadores, el número de ordenamientos posibles es 9!:
N = (P15,9 ) · (9!) ≈ 6.59 × 1014
es el total de alternativas.
c) Suponga que 5 de los 15 jugadores son zurdos. ¿Cuántas formas existen de seleccionar
3 jardineros zurdos y tener las otras 6 posiciones ocupadas por jugadores derechos?
Solución
El proceso de selección en este caso consta
de dos fases: seleccionar primero 3 zurdos y
después 6 derechos. Aquı́ aplicaremos la regla del producto. Si no importa la posición
de los jugadores utilizaremos combinaciones:
e) Si alguien mueve los interruptores en el
tablero de distribución completamente al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema seleccionado contenga por lo menos un
componente Sony? ¿Exactamente un componente Sony?
Solución
Si suponemos que las configurciones de
marca son igualmente probables, habrá que
dividir el número total de configuraciones
que tiene al menos una componente marca Sony (108) entre el el número total de
configuraciones:
p=
15!
= 1, 816, 214, 400
(15 − 9)!
N = C5,3 · C15−5,9−3 = 10 · 210 = 2, 100
6. Poco tiempo después de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados por una cierta compañı́a presentaron grietas debajo del chasis principal. Suponga que una ciudad particular
utiliza 25 de estos autobuses y que en 8 de ellos
aparecieron grietas.
108
= 0.45
240
5. De nuevo considere el equipo de ligas menores
que tiene 15 jugadores en su plantel.
a) ¿Cuántas maneras existen de seleccionar
una muestra de 5 autobuses de entre los 25
para una inspección completa?
Solución
Como en este ejemplo la palabra muestra
a) ¿Cuántas formas existen de seleccionar 9 jugadores para la alineación inicial?
Solución
En el caso de la alineación inicial de un
4
indica que el orden de aparición no es importante. Aplicamos por tanto la fórmula
de combinaciones:
lado, el número de muestras con 5 autobuses con grietas es
N = C25,5 = 53, 130
Ası́ el total de muestras de 5 con al menos
4 autobuses con grietas es
será el número total de posibles muestras
de 5 tomadas de entre los 25 autobuses.
Ng≥4 = Ng=4 + Ng=5 = 1, 190 + 56 = 1, 246
Ng=5 = C8,5 = 56
Por tanto, si suponemos que toda muestra
es igualmente probable, la probabilidad de
elegir una muestra de 5 con al menos 4 autobuses con grietas es:
Ng≥4
1, 246
Pg≥5 =
=
= 0.0234
N
53, 130
b) ¿De cuántas maneras puede una muestra
de 5 autobuses contener exactamente 4 con
grietas visibles?
Solución
Imaginamos que el proceso consiste en primero seleccionar 4 autobuses con grietas y
el restante lo elegimos sin grieta y aplicamos la regla del producto:
7. Una empresa de producción emplea 20 trabajadores en el turno de dı́a, l5 en el turno de tarde
y 10 en el turno de medianoche. Un consultor
de control de calidad va a seleccionar 6 de estos
trabajadores para entrevistas a fondo. Suponga
que la selección se hace de tal modo que cualquier grupo particular de 6 trabajadores tiene la
misma oportunidad de ser seleccionado al igual
que cualquier otro grupo (sacando 6 papelitos de
entre 45 sin reemplazarlos).
Ng=4 = C8,4 · C17,1 = 70 · 17 = 1, 190
será el número de posibles selecciones de
una muestra de 5 con exactamente 4 autobuses con grietas.
c) Si se elige una muestra de 5 autobuses al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 5 tengan grietas visibles?
Solución
Suponiendo que toda muestra es igualmente probable, entonces utilizando los incisos
anteriores:
pg=4 =
a) ¿Cuántas selecciones resultarán en que los
6 trabajadores seleccionados provengan del
turno de dı́a?
Solución
En este caso habrá que elegir 6 trabajadores
de los 20 del turno de dı́a:
N = C20,6 = 38, 760
1, 190
= 0.02239
53, 130
será el número total de posibles selecciones
donde los 6 trabajadores están en el turno
de dı́a.
es la probabilidad de que sea elegida una
muestra de 5 que contenga exactamente 4
autobuses con grietas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6
trabajadores seleccionados sean del mismo
turno?
Solución
Note que el conjunto de todas las muestras
donde los 6 trabajadores están en el mismo turno es la unión de los conjuntos de
muestras donde los trabajadores están en
la mañana, o en la tarde o en medianoche
y
Nt=dia = C20,6 = 38, 760
Nt=tarde = C25,6 = 5, 005
Nt=noche = C10,6 = 210
d ) Si los autobuses se seleccionan como en el
inciso c), ¿cuál es la probabilidad de que
por lo menos 4 de los seleccionados tengan
grietas visibles?
Solución
Note que el conjunto de las muestras con
al menos 4 autobuses con grietas es igual a
la unión de el conjunto de las muestras con
exactamente 4 autobuses con grietas grietas y el conjunto de las muestras con exactamente 5 autobuses con grietas. Por otro
5
ası́:
Nmismo turno = Nt=dia + Nt=tarde + Nt=noche
= 48, 770
q = 1 − p = 0.2885
MT = C45,6 = 8, 145, 060
8. Un departamento académico compuesto de cinco
profesores limitó su opción para jefe de departamento a el candidato A o el candidato B. Cada
miembro votó entonces con un papelito por uno
de los candidatos. Suponga que en realidad existen tres votos para A y dos para B. Si los papelitos se cuentan al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que A permanezca delante de B durante todo
el conteo de votos (p. ej. ¿ocurre este evento si
el orden seleccionado es AABAB pero no si es
ABBAA)?
Por tanto y suponiendo que las muestras de
sean igualmente probables, la probabilidad
de que en una muestra de 6 los 6 trabajadores estén en el mismo turno es:
Nmismo turno
48, 770
=
= 0.00599
MT
8, 145, 060
c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estarán representados entre los trabajadores seleccionados?
Solución
Este es una buena aplicación de cálculo de
probabilidad por complemento. Si A es el
evento por lo menos dos turnos están representados en la muestra de 6, entonces A0 es
el evento en el cual sólo un turno está representado en la muestra. Por tanto,
9. Un experimentador está estudiando los efectos
de la temperatura, la presión y el tipo de catalizador en la producción de cierta reacción quı́mica. Tres diferentes temperaturas, cuatro presiones distintas y cinco catalizadores diferentes se
están considerando.
a) Si cualquier experimento particular implica
utilizar una temperatura, una presión y un
catalizador, ¿cuántos experimentos son posibles?
Solución
Esta es una aplicación de la regla del producto: para la selección de la temperatura
tenemos nt = 3 posibilidades, para la selección de la presión tenemos np = 4 posibilidades y para la selección del catalizador
tenemos nc = 5 posibilidades:
P (A) = 1 − P (A0 ) = 1 − 0.00599 = 0.994
d ) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no estará representado en la muestra de trabajadores?
Solución
Este inciso es difı́cil. Note que el evento es
el opuesto a que los tres turnos estén representados. Hay 10 formas de que estén representados los tres: [1, 1, 4], [1, 2, 3], [1, 3, 2],
[4, 1, 1], [1, 4, 1], [2, 2, 2], [2, 3, 1], [3, 1, 2],
[3, 2, 1], y [2, 1, 3] donde [i, j, k] representa
que i son del turno de mañana, j son del
turno de tarde y k son del turno de media
noche. Representemos a este conjunto por
A. La probabilidad de que una muestra de
seis cumpla [i, j, k] es
p[i,j,k] =
x∈A
es la probabilidad de los tres turnos estén
representados en una muestra de 6. Por lo
tanto, la probabilidad de que al menos un
turno no esté representado es
será el número total de muestras de 6 donde
los 6 trabajadores están en el mismo turno.
Por otro lado, el número total del muestras
de 6 tomadas entre los 45 trabajadores es:
p=
Haciendo esto para todos los elementos de
A:
X
p=
px = 0.7114741943
N = nt · np · nc = (3)(4)(5) = 60
es el número total de configuraciones de
temperatura, presión y catalizador.
b) ¿Cuántos experimentos existen que impliquen el uso de la temperatura más baja y
dos presiones bajas?
Solución
C20,i · C15,j · C10,k
MT
6
Eliminado 2 posibilidades de eligir la temperatura y elimiando 2 posibilidades de elegir presión:
Primeramente calculemos el número total
de muestras de 3 focos entre los 15 posibles:
N = C15,3 = 455
M = (nt − 2) · (np − 2) · nc = 1 · 2 · 5 = 10
Ahora determinemos el número de muestras
de tres focos tomadas en el conjunto de los
focos de 75 watts:
es el número total de configuraciones para
el experimento al elegir 1 temparatura y las
dos presiones bajas.
M = C6,3 = 20
c) Suponga que se tienen que realizar cinco experimentos diferentes el primer dı́a de experimentación. Si los cinco se eligen al azar de
entre todas las posibilidades, de modo que
cualquier grupo de cinco tenga la misma
probabilidad de selección, ¿cuál es la probabilidad de que se utilice un catalizador
diferente en cada experimento?
Solución
Este problema es difı́cil y una manera de
resolverlo es con probabilidad condicional:
Primero determinemos la probabilidad de
que A1 : el primer experimento tenga el catalizador 1 y A2 : que el segundo experimento tenga el catalizador 2, .. , y A5 : el quinto
experimento tenga el catalizador 5: (digamos que B = A5 ∩ A4 ∩ A3 ∩ A2 ∩ A1 )
Por tanto, si las muestras de tres focos se
consideran igualmente probables, la probabilidad de que en una muestra de 3 focos
tomados de los 15, los 3 focos sean de 75
watts es:
p=
M
= 0.0439
N
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados sean de los mismos watts?
Solución
El evento (Am ) la muestra de 3 focos tiene focos de los mismos watts es la unión de
los eventos ME (Aw=40 ) la muestra de 3 focos tiene sólo focos de 40 watts, (Aw=60 ) la
muestra de tres focos tiene sólo focos de 60
watts y (Aw=75 ) la muestra de 3 focos tiene
sólo focos de 75 watts. De manera análoga
al inciso anterior
P (B) = P (A5 |A4 ∩ A3 ∩ A2 ∩ A1 )·
P (A4 |A3 ∩ A2 ∩ A1 )·
P (A3 |A2 ∩ A1 )·
P (A2 |A1 ) · P (A1 )
12 12 12 12 12
= 56
· 57 · 58 · 59 · 60
= 0.0003796750790
P (Aw=40 ) =
C4,3
C15,3
C5,3
C15,3
=
3
455
10
455
= 0.00879
=
= 0.02197
P (Aw=60 ) =
P (Aw=75 ) = 0.0439 (inciso (a))
Como tenemos 5! = 120 maneras de escoger
los catalizadores entonces
Ası́
p = 5! · 0.0003796750790 = .004556100948
P (Am ) = P (Aw=40 )+P (Aw=60 )+P (Aw=75 ) = 0.07466
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un foco de cada tipo?
Solución
Primero contemos cuántas muestras hay
con un foco de cada tipo. Tales muestras se
pueden construir eligiendo primero un foco
de 40 watts; luego un foco de 60 watts; y por
último 1 de 75 watts. Siendo independientes tales elecciones entre sı́ podemos aplicar
la regla del producto:
será la probabilidad de que al seleccionar 5
configuraciones de las 60 posibles los 5 catalizadores estén representados.
10. Una caja en un almacén contiene cuatro focos de
40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W. Suponga
que se eligen al azar tres focos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean de 75
W?
Solución
Nd = C4,1 · C5,1 · C6,1 = (4)(5)(6) = 120
7
Por tanto, suponiendo que cada selección de
muestra de tres focos es igualmente probable, la probablidad de que en una muestra
de 3 focos exista uno de cada watt es:
r=
de i focos es
Ni = C9,i−1 · C6,1
Ası́ el total de muestras desde la longitud 1
hasta la longitud 10 es:
Nd
120
=
= 0.2637
N
455
N=
d ) Suponga ahora que los focos tienen que ser
seleccionados uno por uno hasta encontrar
uno de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad de
que sea necesario examinar por lo menos
seis focos?
Solución
Debemos pensar primeramente en el total
de formas en las que sólo el último debe ser
de 75 watts. Las muestras ordenadas de i
fotos podrı́an ser desde 1 foco hasta a lo
más 10 focos, pues sólo hay 9 focos que no
son de 75 watts. Las cadenas estarán consituidas de i − 1 focos que no son de 75 watts
y el foco i de 75 watts. El total de muestras
10
X
Ni = 6 + 54 + · · · + 6 = 3072
i=1
Ahora las que deseamos contar son las que
tienen logitud 6 ó más.
Ni≥6 =
10
X
Ni = 756 + 504 + · · · + 6 = 1536
i=6
Por tanto, suponiendo que las muestras
sean igualmente probables, la probabilidad
de examinar al menos 6 focos donde sólo el
último es de 75 watts es:
p=
8
Ni≥6
1536
=
= 0.5
N
3072