Tangencias: espirales

TANGENCIAS: VOLUTAS
Es importante distinguir las Espirales de las Volutas. Los dos tipos de curva giran alrededor de un centro, alejándose
paulatinamente de él, o acercándose hacia él, si las observamos de fuera hacia dentro.
Pero LAS VOLUTAS ESTÁN FORMADAS POR ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS, TANGENTES ENTRE SÍ, CUYOS CENTROS, SI
SON MÁS DE DOS, FORMAN LOS VÉRTICES DE POLÍGONOS REGULARES: desde un triángulo equilátero hasta uno de
tantos lados como se deseen.
Estas circunferencias tienen, evidentemente, centros distintos (pues, si no, serían concéntricas y no tendrían puntos
de tangencia).
Las Volutas no suelen darse en la naturaleza. Las Galaxias son espirales o elípticas, las parejas de estrellas de neutrones
giran en espiral una alrededor de otra, y los planetas giran alrededor del Sol formando un recorrido elíptico.
Los óvalos y las volutas pertenecen al universo imaginario del hombre, que simplifica las formas, pues resultan más
fáciles de construir. CONSTRUYE UNA VOLUTA DE CUATRO CENTROS Y OTRA DE MÁS.
Imágenes de capiteles de diferentes
épocas que contienen volutas.
Construcción de una voluta de tres
y otra de dos centros.
Construye una voluta de cuatro o
cinco centros.
A
C
B
A
Q B
Volutas en el retablo del siglo XVI del monasterio de
Muskida en el Pirineo Navarro. Se observa que, en
el arte, la geometría es una guía para crear formas armónicas: las dos volutas de dos centros sirven de estructura para crear el ritmo de la talla.
ESPIRALES
Hemos visto en los dos cuadros de Klimt ejemplos de espirales combinadas con otros arcos o rectas enlazados. Vamos
a hacer un estudio más exhaustivo de la espiral, no ya por su empleo en el arte, sino por su formación en la naturaleza
gracias a las características que la relacionan con el movimiento y, sobre todo, el crecimiento de las formas tanto orgánicas como químicas.
Ejemplos de espirales producidas por interacción entre partículas atómicas, cristal líquido y patrones de magnetismo
Los Ejemplos inferiores tampoco pertenecen a elementos orgánicos; sino a formaciones creadas por elementos químicos.
Dos galaxias: la de la izquierda, la NGC1232, y la
de la derecha, la nuestra; en el centro: en la parte superior, un gráfico virtual de dos estrellas de neutrones que giran una alrededor de la otra; abajo vemos
la imagen de un temporal.
Las espirales crecen alrededor de un centro y se expanden de acuerdo con diferentes patrones: unas tienen un crecimiento aritmético y otras geométrico. Unas crecen en un plano y otras tienen tres dimensiones. Algunas, como la
del huracán o las partículas atómicas tienen un único brazo, pero otras tienen dos, tres, cuatro...
La característica principal de las espirales es que parten de un centro y se expanden progresivamente. Por lo tanto,
el punto que las genera varía su curvatura de forma constante y no se pueden trazar con compás (a veces se trazan
arcos, pero se trata de una simplificación).
El primero que definió geométricamente una espiral fue Arquímedes, por eso el tipo de curva que tiene estas características lleva
su nombre. La definió como un punto que se desplaza a una velocidad constante sobre una recta, mientras ésta gira alrededor
de uno de sus puntos con una velocidad angular también constante. Es decir, que el radio que genera el movimiento del punto
nunca es el mismo (aunque sí el ángulo de desplazamiento) y aumenta de manera aritmética.
Representamos un gráfico que nos sirve para comprender este concepto.
Observa que sólo podemos dibujar la curva a mano, nunca con compás, porque
el radio aumenta gradualmente de forma constante.
DIBUJA UNA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
DE 1/2 CM. Y DE 12 RADIOVECTORES.
CUYO PASO SEAN
12
UNIDADES
ESPIRALES LOGARÍTMICAS
Descartes, en 1638, descubrió otro tipo de espiral, que incluye las espirales llamadas LOGARÍTMICAS o EQUIANGULARES. Se llaman equiangulares porque pueden considerarse formadas por un ángulo que gira alrededor de un centro,
acercándose constantemente a él sin llegar ununca a alcanzarlo. Su amplitud disminuye (o aumenta, depende desde
qué extremo comience a observarse el movimieno) de acuerdo con una progresión geométrica, en lugar de aritmética
como la de Arquímedes. Por esta característica también se llaman logarítmicas.
Concha de Nautilo seccionada
para mostrar el crecimiento en
forma de espiral logarítmica
El lado del cuadrado mayor es la diagonal del de menor tamaño y
los ángulos giran 45°.
El lado menor del triángulo es el mismo que el mayor del siguiente
y los ángulos giran 30°
A
C
C
D
1
A
B
C'
B
Ejemplos de dos Espirales Áureas: son logarítmicas.
La curvatura ligeramente abombada revela que se han trazado los
arcos con compás para simplificar el proceso de construcción.
GNOMON Se trata de la figura que queda como remanente
cuando a una figura le suprimimos un fragmento
que es semejante a ella pero de menor tamaño, de
forma que el lado mayor de esta figura más pequeña mide lo mismo que el menor de la inicial.
En los dos gráficos, señalamos el Gnomon cubriéndolo de un
tono gris.
En el Rectángulo Áureo se ve cómo queda un espacio gris en
forma de cuadrado al suprimir el rectángulo semejante a él
pero menor en la progresión geométrica.
En el Triángulo Pentalfa se ve cómo queda un espacio gris
en forma de triángulo isósceles obtusángulo al suprimir el
triángulo semejante a él y menor en la progresión geométrica.
DIBUJA UNA ESPIRAL LOGARÍTMICA A PARTIR DE UN RECTÁNGULO ÁUREO CUYO LADO MENOR MIDE 6CM.
Bajo estas líneas se muestran dos ejemplos graficos. Si los observas con atención, descubrirás que, a pesar de las aparentes simlitudes, se trata de dos tipos de curva completamente distintos.
La primera es una curva fractal
que se extiende en forma espiral (los fractales tienen la característica de que sus partes son
casi iguales al conjunto –autosemejanza– por lo que los detalles que se repiten también
contienen espirales).
La de la derecha no es una espiral. Recorre la curva con el
dedo y descubre cuál es su estructura. Nuestra percepción
no es fiable por completo: recuérdalo a la hora de analizar
problemas.
ESPIRALES EN LA NATURALEZA ORGÁNICA
En la naturaleza orgánica se encuentran numerosas variedades de espiral. Encontramos ejemplos muy diferentes,
tanto de espirales de Arquímedes como Logarítmicas. Si observamos las espirales que emplean como elementos de
sujección los seres vivos (tanto plantas como animales), debemos advertir que su forma no es estática, por lo que el
análisis debe restringirse a una de las posiciones que pueden adoptar; por ejemplo, cuando están totalmente enrolladas.
En el caso de las espirales creadas por segregación calcárea o de otra meteria rígida, se puede dibujar de forma precisa
la evolución de la curva y determinar a qué tipo pertenece.
De la misma forma que hay muchas variedades de espirales logarítmicas, las de Arquímedes varían de aspecto de
acuerdo con la amplitud del ángulo de giro de la recta en movimiento y de la velocidad de alejamiento del centro
del punto que las genera.
En el gráfico de la derecha se ven los puntos que generan dos espirales de Arquímedes que comparten
el ángulo de giro de la recta generatriz pero no el
paso que realiza el punto en cada vuelta.
En el ejemplo de los Amonites, se observa que la naturaleza no crea las formas de una manera absolutamente rígida. Las espirales que forma la concha de
cada ejemplar no son iguales de un ejemplar a otro,
ni entre los de diferente género.
En general, las espirales orgánicas suelen verse dobles, pues los organismos tienen
espesor. En los ejemplos inferiores vemos dos tipos de espiral: la primera aumenta
poco en espesor y queda completamente enroscada, mientras la segunda se separa
dejando un hueco interior.
DIBUJA UNA DOBLE ESPIRAL IDEADA POR TI.
ESPIRALES Y HÉLICES
Cuando las espirales crecen en tres dimensiones, adquieren una posibilidad que no existe
en el crecimiento plano: pueden describir un giro que asciende pero no varía
el radio, de forma que nunca aumenta la amplitud del giro. Este tipo de
curvas tridimensionales no tienen, por lo tanto, la característica que
define a las ESPIRALES, según D’Arcy Thompson: su curvatura
debe disminuir según se aleja la línea del punto de origen.
Este tipo de curva (del que son un ejemplo los tornillos
de metal, la estructura del ADN y este fósil de un
esqueleto de una colonia de briozoos llamada
“Tornillo de Arquímedes”) tiene el nombre
de HÉLICE. Tanto la amplitud del radio
de giro, como el paso, se mantienen
invariables.
DIBUJA UNA HÉLICE DE
DIÁMETRO 6 CM. Y DE
PASO 8 CM.
Las radio-ondas cósmicas se producen
cuando los electrones con velocidad
próxima a la de la
luz, se ven obligados
a moverse de forma
helicoidal alrededor
de las líneas de un
campo magnético,
como en la derecha.
Sin embargo, en estos
ejemplos de conchas
de caracola se puede
observar el crecimiento
en tres dimensiones de
dos espirales.
Su crecimietno no es
idéntico, pero todas
aumentan el radio de la
curvatura y disminuyen
su amplitud al alejarse
del punto de origen.
Las escaleras de caracol son un ejemplo clásico de la construcción de hélices (por eso se llaman también helicoidales). La de
la ilustración, en perspectiva cónica, sólo puede existir en el dibujo, puesto que carece de eje o núcleo que fije los peldaños en
el centro.
Las espirales de las plantas trepadoras también son hélices, pues
mantienen más o menos la misma curvatura durante todo el recorrido de sus giros.
Por lo tanto, podemos distinguir entre las espirales de dos y las
de tres dimensiones.
Pero no debemos confundir las espirales de dos dimensiones
(como son la de Arquímedes o las Logarítmicas) con las volutas
(que son curvas mecánicas: pueden trazarse con compás).
También hay que diferenciar las espirales espaciales, que aumentan la amplitud de giro según se alejan del origen (hélices cónicas
o espirales tridimensionales) con las hélices, que la mantienen
constante.
EJERCICIOS
1.– Construye una voluta de cinco centros.
1
2.– Dibuja una espiral de Arquímedes de paso 12 unidades de 1/2 cm. y de 12 radiovectores.
Observa que,en los dos casos, es necesario dibujar la curva a mano
A
D
6 cm.
B
M
C
3.– Dibuja una espiral logarítmica a partir de un rectángulo áureo cuyo lado menor mide 6cm.
4.– Dibuja una doble espiral ideada por ti.
Se ha dulicado el rectángulo con 120% de ampliación. Resulta mucho más sencillo trazar una
espiral doble de Arquímedes, porque podemos encontrar muchos más puntos de referencia
7
9
8
10
11
12
1
6
5
4
3
2
5.– Dibuja, en Caballera, una hélice de diámetro 8 cm. y de paso 6 cm.
En la naturaleza, la turbulencia rompe el orden y las simetrías hasta transformarse en caos. Durante ese proceso, suelen formarse espirales,
como se puede observar en el dibujo de Leonardo de Vinci que estudia el comportamiento de remolinos de agua.
6.– Dibuja el alzado de una hélice cónica (espiral tridimensional) de diámetro inicial 6 cm, paso 8 cm.
En las ilustraciones vemos tres espirales cónicas tridimensionales. Una corresponde a un mecanismo ideado por Leonardo de Vinci. La segunda es la fotografía de la Fundación Solomon R. Guggenheim, en Nueva York. La tercera es una ilustración
de cómic de El Incal de Moebius, se trata de una construcción en un planeta imaginario.