Conocemos las coordenadas xyz de A, B, C.

A, B, C son tres puntos en el espacio tridimensional (en cualquier posición).
Conocemos las coordenadas xyz de A, B, C.
Tenemos que hallar las coordenadas de D, para que sea un TRAPECIO ISÓSCELES
(planar, lógicamente).
C
D
Cosas que sabemos deberán cumplirse:
— Los lados no paralelos son iguales: BC = DA
— Las diagonales son iguales: AC = DB
B
Además, según el Teorema de Ptolomeo: “La diagonal es igual a la raíz cuadrada de la suma del
producto de los dos lados paralelos más el cuadrado de uno de los lados no paralelos”.
A
— O sea: AC = sqr(AB*DC + BC2)
Con todo lo anterior se pueden montar 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Las coordenadas de ABC, que conocemos, serán: (Ax, Ay, Az), (Bx, By, Bz) (Cx, Cy, Cz)
Las incógnitas, que son las coordenadas de D, las llamamos simplemente (X, Y, Z)
Para las dos primeras igualdades podemos usar el socorrido Teorema de Pitágoras (y ya eliminamos las raíces cuadradas de la igualdad):
BC = DA
(Bx - Cx)2 + (By - Cy)2 + (Bz - Cz)2 =
(X - Ax)2 + (Y - Ay)2 + (Z - Az)2
(Bx - Cx)2 + (By - Cy)2 + (Bz - Cz)2 = (X - Ax)2 + (Y - Ay)2 + (Z - Az)2
Todo lo que está a la izquierda lo conocemos. Lo llamamos “M”:
M = (X - Ax)2 + (Y - Ay)2 + (Z - Az)2
AC = DB
(Ax - Cx)2 + (Ay - Cy)2 + (Az - Cz)2 =
(X - Bx)2 + (Y - By)2 + (Z - Bz)2
(Ax - Cx)2 + (Ay - Cy)2 + (Az - Cz)2 = (X - Bx)2 + (Y - By)2 + (Z - Bz)2
Todo lo que está a la izquierda lo conocemos. Le llamamos “R”:
R = (X - Bx)2 + (Y - By)2 + (Z - Bz)2
AC = sqr(AB*DC + BC2)
(Ax - Cx) + (Ay - Cy) + (Az - Cz) =
(Ax - Bx) + (Ay - By) + (Az - Bz)
*
(X - Cx) + (Y - Cy) + (Z - Cz)
+
(Bx - Cx) + (By - Cy) + (Bz - Cz)
(Ax - Cx)2 + (Ay - Cy)2 + (Az - Cz)2 =
(Ax - Bx)2 + (Ay - By)2 + (Az - Bz)2 *
(X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2
+
(Bx - Cx)2 + (By - Cy)2 + (Bz - Cz)2
(X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2
+
2
2
2
2
R =
2
2
T
*
2
2
R - M = sqr[T] * sqr[ (X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2 ]
(R - M) / sqr[T] = sqr[ (X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2 ]
Todo lo que está a la izquierda lo conocemos. Le llamamos “S”:
S = sqr[ (X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2 ]
Si elevamos ambos lados al cuadrado, seguirá cumpliendose la igualdad:
S2 = (X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2
Llamamos H a S2
Así pues tenemos 3 ecuaciones donde conocemos todo excepto XYZ:
M=
R=
H=
(X - Ax)2 + (Y - Ay)2 + (Z - Az)2
(X - Bx)2 + (Y - By)2 + (Z - Bz)2
(X - Cx)2 + (Y - Cy)2 + (Z - Cz)2
Para la primera igualdad, si desarrollamos el interior de los paréntesis:
M=
X2 - 2*Ax*X + Ax2
+
Y2 - 2*Ay*Y + Ay2 + Z2 - 2*Az*Z + Az2
pasamos todo lo conocido a la izquierda:
M - Ax2 - Ay2- Az2 =
X2 - 2*Ax*X + Y2 - 2*Ay*Y + Z2 - 2*Az*Z
Sustituimos todo conocido por letras más sencillas y una notación más simple:
G=
X2 - aX + Y2 - bY + Z2 - cZ
G=
X2 + Y2 + Z2 - aX - bY - cZ
Hacemos lo mismos procesos con las otras dos ecuaciones:
R=
X2 - 2*Bx*X + Bx2 + Y2 - 2*By*Y + By2 + Z2 - 2*Bz*Z + Bz2
H=
X2 - 2*Cx*X + Cx2 + Y2 - 2*Cy*Y + Cy2 + Z2 - 2*Cz*Z + Cz2
y acabaríamos teniendo algo así:
G=
X2 + Y2 + Z2 - aX - bY - cZ
U=
X2 + Y2 + Z2 - dX - eY - fZ
V=
X2 + Y2 + Z2 - gX - hY - iZ
Donde conocemos todo lo que está en negro, pero desconocemos XYZ
Tres ecuaciones con 3 incógnitas.
Pero si me pongo a despejar primero la X y luego la Y para llevarlo a Z, acabo volviendo a generar un cristo…
¿O hay algún sistema, por matrices quizás, de solucionar ese tipo de ecuaciones?
2
2
2
M
2
2