Lección 12: Suma y resta de fracciones

LECCIÓN
Lección 12: Suma
y resta de fracciones
Suma y resta de fracciones
con el mismo denominador
Para sumar o restar quebrados con el mismo denominador,
sumamos o restamos los numeradores y, si queremos,
simplificamos el resultado. Por ejemplo:
1 + 2 = 1+2 = 3
4 4
4
4
+
=
3 + 5 = 3+5 = 8
7 7
7
7
+
=
13 - 3 = 13 + 3 = 10 = 13 ¸ = 2
25 25
25
25
5
—
=
=
129
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
LECCIÓN 12
Suma y resta de fracciones con
distinto denominador
Si los quebrados que queremos sumar o restar tienen distinto
denominador, entonces tenemos distintas particiones de la
unidad y para hacer las operaciones necesitamos una partición
en común.
Por ejemplo, si queremos sumar un medio y un tercio tenemos
la unidad partida en mitades y en tercios. Para tener medios
necesitamos que la unidad esté partida en 2 o en un múltiplo
de 2. Para tener tercios necesitamos que la unidad esté
partida en 3 o en un múltiplo de 3. Para tener una partición
común tomamos un múltiplo común de 2 y 3, por ejemplo
6 que es el más chico: 6 = mcm {2, 3}. Luego encontramos
fracciones equivalentes a un medio y a un tercio con
denominador 6; decimos que 6 es el denominador común
o el común denominador. Y después sumamos.
Es decir: 1 = 1 ´ 3 = 3 y 1 = 1 ´ 2 = 2
2
6
2´3 6 3
Entonces la suma queda como sigue:
1 + 1 = 3 + 2 = 5
2 3 6 6 6
+
=
+
=
Si ahora queremos sumar dos quintos y dos tercios, como
3 y 5 son números primos, mcm {3, 5} = 3 ´ 5 = 15. Debemos
ahora expresar dos quintos y dos tercios con fracciones
equivalentes a ellas que tengan 15 como común denominador.
Es decir: 2 = 2 ´ 3 = 6 y 2 = 2 ´ 5 = 10
5
15 3
15
130
LECCIÓN
Entonces la suma queda como sigue:
2 + 2 = 6 + 10 = 1 1
5 3 15
15
15
+
=
+
=
=
Veamos otro ejemplo. Si queremos sumar tres cuartos y dos
sextos, como 4 = 2 ´ 2 y 6 = 2 ´ 3, mcm {4, 6} = 2 ´ 2 ´ 3 =
12, entonces el denominador común es 12 y la suma queda:
3 + 2 = 3 ´ 3 + 2 ´ 2 = 9 + 4 = 13 = 1 1
4 6
12 12
12
12
Si queremos restarle un octavo a cuatro novenos, encontramos
un común denominador de las dos fracciones que es mcm
{8, 9} = 72. Encontramos las fracciones equivalentes a las
que tenemos con denominador 72 y restamos:
4 - 1 = 4 ´ 8 - 1 ´ 9 = 32 - 9 = 23
9 8
72
72
72
Si queremos sumar más de dos fracciones, buscamos
el mínimo común múltiplo de todos los denominadores;
encontramos las fracciones equivalentes a las que tenemos
con ese denominador; sumamos y simplificamos el resultado.
Por ejemplo, si queremos sumar cinco octavos, dos tercios y
un cuarto, buscamos el mínimo común múltiplo de 3, 4 = 2
´ 2 y 8 = 2 ´ 2 ´ 2, que es mcm {3, 4, 8} = 3 ´ 2 ´ 2 ´ 2 =
24. Encontramos las fracciones equivalentes a cinco octavos,
dos tercios y un cuarto con denominador 24:
5 = 5 ´ 3 = 15 , = 2 = 2 ´ 8 = 16 y 1 = 1 ´ 6 = 6 ,
8
24
3
24
4
24
y sumamos:
5 + 2 + 1 = 5 ´ 3 + 2 ´ 8 = 1 ´ 6 = 15 + 16 = 6 = 37 = 1 13
8 3 4
24
24
24
24
24
131
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
LECCIÓN 12
Suma y resta de fracciones mixtas
Si sumamos fracciones mixtas podemos sumar primero
los enteros y luego las fracciones o convertir los enteros
en fracciones, sumar y simplificar el resultado.
Por ejemplo, si queremos sumar tres enteros un medio y
cinco enteros un tercio, se puede hacer de las dos maneras
siguientes:
a) Sumamos primero los enteros:
31 + 51 = 8 + 1 + 1 = 8 3 + 2 = 8 + 5 = 85
2
3
2
3
6 6
6
6
b) O bien, primero convertimos los enteros a fracciones
impropias:
3 1 = 3 ´ 2 + 1 = 6 + 1 = 7 y 5 1 = 5 ´ 3 + 1 = 15 + 1 = 16
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Y luego sumamos:
3 1 + 5 1 = 7 + 16 = 3 ´
2
3 2
3
+ 16 ´
= 21 + 32 = 53 = 8 5
6
6
6
6
Si restamos fracciones mixtas hay que ver si se pueden restar
por separado los enteros y las fracciones.
Si la fracción del sustraendo es menor que la del minuendo,
restamos enteros de enteros y fracciones de fracciones.
Por ejemplo, si queremos restar tres enteros un medio
menos un entero un t ercio, como 1 es menor que 3 y
un tercio, 1 = 3 , es menor que un medio, 1 = 2 , primero
3 6
2 6
restamos enteros de enteros y luego las fracciones. Al final
sumamos los resultados. La resta queda:
132
LECCIÓN
3 1 - 1 1 = 3 + 1 - 1+ 1 = (3 - 1) + 1 - 1 = 2 + 3 - 2 = 2 + 1 = 2 1
2
3
2
3
2 3
6 6
6
6
=
—
Si la fracción del sustraendo es mayor que la del minuendo,
tenemos que convertir una unidad del minuendo en fracciones
y después usar el procedimiento anterior. Por ejemplo,
si queremos restar dos enteros un tercio menos un entero
un medio, tenemos que un tercio es menor que un medio.
Convertimos uno de los dos enteros del minuendo en tercios
para tener una fracción mayor que la del sustraendo:
21 = 2 + 1 = 1 + 3 + 1 = 1 + 4 = 14
3
3
3
3
3
3
Y ahora restamos:
2 1 - 1 1 = 1 4 - 1 1 = 1 + 4 - 1+ 1 = (1 - 1) + 4 - 1 = 0 + 8 - 3 = 5
3
2
3
2
3
2
3 2
6 6
6
—
=
=
Sume las siguientes fracciones:
a) 2 + 5 + 1 =
7
14 2
b) 7 + 3 + 1 =
16
8 2
c) 7 3 + 6 1 =
4
2
8 + 34 + 6 =
10
100
100
f) 1 + 2 =
7
9
g) 23 2 + 11 1 + 2 3 =
8
4
8
e)
133
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
LECCIÓN 12
d) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
2 4 8
16
32
i) 2 + 3 + 13 =
5
7
35
j) 17 + 12 + 5 =
32
16 8
h) 3 + 3 + 4 =
4
16
64
k) 2 7 + 5 1 + 12 4 =
9
3
6
l) 1 + 6 + 6 =
4
8
5
Haga las siguientes restas de fracciones:
a) 6 - 2 =
9 4
b) 4 - 2 =
6 5
c) 1 1 - 7 =
2 8
d) 6 2 - 3 1 =
5
3
e) 5 - 3 =
7 5
f) 6 - 6 =
5 8
g) 3 2 - 1 1 =
3
6
h) 32 - 9 1 =
6
i) 3 - 1 =
4 8
j) 1 - 1 =
3 5
k) 2 4 - 1 3 =
5
4
l) 6 3 - 4 1 =
9
2
Según el diseño elegido para
embaldosar un patio se requieren
1 de losetas negras,
5
1 de losetas blancas
2
y el resto de losetas verdes.
134
LECCIÓN
a) ¿Qué parte de la superficie del patio quedará cubierta
con losetas verdes?
b) ¿De qué color habrá más losetas en el patio cuando
quede terminado?
c) El lunes se colocaron losetas en 2 de la superficie
9
1
del patio y el martes en
de la superficie; al concluir
4
el miércoles 3 del patio ya tenía losetas. ¿Qué
4
porción de la superficie cubrieron ese día?
d) ¿En cuál de los tres días pusieron más losetas?
¿En cuál pusieron menos?
Marta separa de su salario 3 para comida, 1 para transporte
5
10
y 1 para pago de servicios; lo que le queda es para ropa,
6
diversiones y gastos que puedan surgir.
a) ¿Qué parte de su salario separa Marta?
b) ¿Qué parte del salario de Marta es para ropa,
diversiones y gastos que puedan surgir?
135