PRÁCTICA 3 U=x

PRÁCTICA 3
1.- Dada la función de utilidad U = x13 ⋅ x 23 , se pide:
a) Calcular la función de la familia de curvas de indiferencia correspondientes a
dicha función de utilidad
Para calcular la familia de curvas de indiferencia lo único que hay que hacer es despejar
x2 y permitir que la utilidad sea una constante que pueda variar. Es decir.
⁄
⁄
b) ¿Son las preferencias regulares (monótonas y convexas)? Demuestre su
respuesta.
Unas curvas de indiferencia se corresponden con preferencias regulares si las curvas de
indiferencia son decrecientes (monótonas) y convexas. Las curvas de indiferencia serán
decrecientes si el signo de la primera derivada es negativo.
⁄
0
Por tanto, las curvas de indiferencias son decrecientes. Las curvas de indiferencia serán
convexas si el signo de la segunda derivada es positivo.
⁄
0
Por tanto, las curvas de indiferencia son convexas como establecen las preferencias
regulares.
c) Haga el gráfico en una hoja de datos (p. ej. Excel) de las curvas de indiferencia
correspondientes a esta familia de curvas de indiferencia cuyos valores de
utilidad sean de 1, 10 y 15. Sitúe el eje x1 entre 0 y 100 y el eje x2 entre 0 y 4.
4
U=x13x23
3.5
3
2.5
X2
U=1
2
1.5
U=10
1
U=15
0.5
0
0
20
40
60
80
100
X1
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Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM)
Profesor: Julio del Corral Cuervo
PRÁCTICA 3
2.- Dada la función de utilidad U = x13 + x 23 , se pide:
a) Calcular la función de la familia de curvas de indiferencia correspondientes a
dicha función de utilidad.
Para calcular la familia de curvas de indiferencia lo único que hay que hacer es despejar
x2 y permitir que la utilidad sea una constante que pueda variar. Es decir.
⁄
b) ¿Son las preferencias regulares (monótonas y convexas)? Demuestre su
respuesta.
⁄
· · · 0 , , 0
Por tanto, las curvas de indiferencia son decrecientes en el tramo relevante donde las
cantidades consumidas de ambos son positivas. Por tanto las preferencias son
monótonas. Vemos que para x1=0 la curva de indiferencia tiene un óptimo.
⁄
· · · 0 ! " #$ %#&'# 1
· · Por tanto las curvas de indiferencia en el tramo relevante son cóncavas.
c) Haga el gráfico en una hoja de datos (p. ej. Excel) de las curvas de indiferencia
correspondientes a esta familia de curvas de indiferencia cuyos valores de
utilidad sean de 0,8; 1 y 1,2. Sitúe ambos ejes entre 0 y 1,2.
1.2
U=x13+x23
1
0.8
U=0,8
X2 0.6
U=1
0.4
U=1,2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X1
1
http://es.solvemymath.com/calculadoras/calculo/derivadas/index.php es una buena web para calcular
derivadas.
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PRÁCTICA 3
3.- Las preferencias de un consumidor están representadas por la siguiente función
de utilidad: U = 5 ⋅ x1 ⋅ x 22 , se pide:
a) Si la renta del consumidor es de 900 u.m., y los precios de los bienes son px1=10
y px2=5, calcule el equilibrio del consumidor.
U ( x1 , x 2 ) = 5 ⋅ x1 ⋅ x 22
m= 900 u.m.
px1=10 u.m
px2=5 u.m.
 UMg x1
p
= 1

p2
Combinación óptima ⇒ UMg x2

m = p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅ x 2
∂U
= 5 ⋅ x 22
∂x1

 UMg
5 ⋅ x 22
x

x1
=
= 2
→
∂U
UMg x2 5 ⋅ x1 ⋅ 2 ⋅ x 2 2 ⋅ x1
=
= 5 ⋅ x1 ⋅ 2 ⋅ x 2 

∂x 2
UMg x1 =
UMg x2
UMg x1
UMg x2
p1 x 2
10
;
=
→ x 2 = 4 ⋅ x1
p 2 2 ⋅ x1
5
=
x 2 = 4 ⋅ x1

 → 900 = 10 ⋅ x1 + 5 ⋅ (4 ⋅ x1 ); 900 = 30 x1 → x1 = 30
900 = 10 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 
x2 = 4 ⋅ x1 ; x2 = 4 ⋅ 30 → x2 = 120
200
180
160
140
120
X2 100
U0
80
m0
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
X1
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PRÁCTICA 3
4.- Las preferencias de un consumidor están representadas por la siguiente función
de utilidad U(x1, x2) = 2x1 + 2x2
a) Si los precios de los bienes son Px1=2 y Px2=1. ¿Qué cesta elegirá el
consumidor si su renta es m = 12?
Hay que resolver el siguiente programa de maximización:
Max U(x1,x2)= 2x1 + 2x2
s.a 12=2x1+x2
x1≥0
x2≥0
Esto es un problema de programación matemática. La resolución de este programa
conduce a que x1=0 y x2=12. De forma más intuitiva, las preferencias de este
consumidor denotan que estos dos bienes son sustitutivos perfectos. Por tanto, el
lugar donde se sitúa en la curva de indiferencia más alejada del origen que sea
factible corresponde a un punto donde sólo se consume el bien más barato y nada
del otro (dado que tiene la misma preferencia por ambos bienes). Como el precio de
la x1 es mayor que el de x2 el consumidor gastará toda su renta en x2. La cantidad de
x2 que consume sale de dividir la renta (12) por el precio de x2 (1).
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PRÁCTICA 3
14
12
10
X2
U0
8
U1
6
U2
4
m
2
0
0
5
10
15
X1
b) ¿Cómo cambiaría esta decisión si una promoción del bien x1 anunciara un
precio P′x1 = 0,75?
Hay que resolver el siguiente programa de maximización:
Max U(x1,x2)= 2x1 + 2x2
s.a 12=0,75x1+x2
x1≥0
x2≥0
La resolución de este programa conduce a que x1=16 e x2=0. Como ahora el bien
más barato es el x1, el consumidor gastará toda su renta en este bien.
20
18
16
14
12
U0
X2 10
U1
8
U2
6
m
4
2
0
0
5
10
15
X1
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PRÁCTICA 3
5.- Las preferencias de un consumidor están representadas por la siguiente función
de utilidad: U = ( x1 + 10) ⋅ x2 . Suponiendo que la renta de este consumidor es de 24
u.m. Si el precio del bien x1 es de 2 u.m., mientras que el precio del bien x2 es de 1
u.m. Diga cuál de estas tres alternativas será preferida por este consumidor:
a) Recibir un bono que le permita obtener 6 unidades del bien x1 de forma
gratuita.
b) Obtener un descuento de 1 u.m. en el precio del bien x1.
c) Obtener un aumento en la renta de 12 u.m.
Represente estas tres situaciones en gráfico de una hoja de datos (por ej. Excel).
Para saber cuál de las tres alternativas será la preferida por el consumidor hay que
conocer la utilidad máxima que puede alcanzar en cada una de las situaciones. Para ello
hay que conocer la cesta que va a consumir en cada una de las tres situaciones y ver cuál
es la utilidad que le reporta cada una de las cestas.
La restricción presupuestaria de la situación a tiene dos tramos. Dado que le regalan el
consumo de 6 ud. del bien x1, podrá elegir todas aquellas cestas en las que consuma 6 o
menos ud. del bien x1 y el máximo número de ud. que puede comprar del bien x2, es
decir, 24 ud. El segundo tramo parte del punto (6, 24) con una pendiente de -2, que es la
ratio entre los precios de los productos con signo negativo. Entonces, el problema al que
se enfrenta este consumidor en la situación a es la siguiente:
max ,! 10- · 24 0 3 ! 3 6
5
. /. 0
, 24- 2 · ,! 6- ! 6
Maximizando la utilidad en el segundo tramo se obtiene:
789: %!
2
45
<
6789; % 10 ! 1 < !
28
%! · ! %! · 7
Sin embargo este punto que cumple la condición de tangencia no pertenece a la recta
presupuestaria. La renta que tendría que gastarse en ese bien es de 28 u.m. Dado que el
consumidor sólo dispone de 24 u.m., será un acesta no asequible. La clave está en que
esa restricción, , 24- 2 · ,! 6- , sólo es válida para x1>6.
Para el primer tramo la pendiente de la curva de indiferencia es cero, dado que la
pendiente de la restricción presupuestaria es -2 la condición de tangencia no se verifica
para ningún punto relevante. Gráficamente vemos como la curva de indiferencia más
alejada del origen alcanzable por este individuo es la que toca en el punto (6,24). Por
tanto este será el punto donde va a situarse este consumidor en el apartado a. La utilidad
que consigue es de 384.
El problema al que se enfrenta este consumidor en el apartado b es el siguiente:
max ,! 10- · . /. ! 24
Maximizando la utilidad para este problema:
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PRÁCTICA 3
789: %!
1
<
75
6789; % 10 ! 1 < !
17
! 24
La utilidad que consigue ahora es de 289.
El problema al que se enfrenta este consumidor en el apartado c es el siguiente:
max ,! 10- · . /. 2 · ! 36
Maximizando la utilidad para este problema:
789: %!
2
<
45
6789; % 10 ! 1 < !
28
2 · ! 36
La utilidad que consigue ahora es de 392. Por tanto es la situación en la que obtiene una
mayor utilidad.
Gráficamente:
30
25
20
Ua
Ub
X2 15
Uc
ma
10
mb
mc
5
0
0
5
10
15
20
X1
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