LÓGICA DE ENUNCIADOS. Archivo

UNIDAD DIDÁCTICA 1
LÓGICA
DE
ENUNCIADOS
Profesor: Sergi Pascual Tur
Asignatura: Filosofía y Ciudadanía 1 Bach.
1
ÍNDICE
0.- Introducción.
1.- El lenguaje natural.
2.- El lenguaje artificial.
2.1.- El lenguaje formal.
3.- La lógica.
3.1.- Formalización de enunciados.
3.2.- Enunciados y clases de enunciados.
3.3.- Variables de enunciados.
3.4.- Conectores: Negador, Conjuntor, Disyuntor, Implicador, Coimplicador.
4.- Actividades de formalización.
5.- Tablas de verdad.
5.1.- Conceptos teóricos.
5.2.- Actividades.
6.- La deducción.
6 a.- Las reglas básicas y actividades realizadas.
6 b.- Actividades de deducción.
7.- Actividades de formalización.
8.- Reglas derivadas y ejercicios resueltos.
9.- Bibliografía aconsejable.
2
0.- INTRODUCCIÓN.
http://www.youtube.com/watch?v=0Y5g49moRrE
Un poco de historia:
La lógica tradicional se basaba en el silogismo como razonamiento basado en el juicio categórico
aristotélico. La noción central del sistema lógico de Aristóteles es el silogismo (o deducción). Un
silogismo es, según la definición de Aristóteles, «un discurso (logos) en el cual, establecidas ciertas
cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa diferente».Un ejemplo clásico de
silogismo es el siguiente:
1. Todos los hombres son mortales.
2. Todos los griegos son hombres.
3. Por lo tanto, todos los griegos son mortales.
En este ejemplo, tras establecer las premisas (1) y (2), la conclusión (3) se sigue por necesidad. La
noción de silogismo es similar a la noción moderna de argumento deductivamente válido, pero hay
diferencias.
Definición:
La Lógica es una ciencia formal y que por tanto, no tiene contenido, sino que simplemente estudia las
formas válidas de inferencia.
Hoy día la lógica utiliza como unidad básica la proposición y las reglas de inferencia en la
argumentación discursiva.
La programación lógica:
La programación lógica consiste en la aplicación del corpus de conocimiento sobre lógica para el diseño
de lenguajes de programación; no debe confundirse con la disciplina de la lógica computacional.
La programación lógica comprende dos paradigmas de programación: la programación declarativa y la
programación funcional. La programación declarativa gira en torno al concepto de predicado, o relación
entre elementos. La programación funcional se basa en el concepto de función (que no es más que una
evolución de los predicados), de corte más matemático.
1.- LENGUAJE NATURAL.
El ser humano ha tenido la capacidad simbólica de tener una forma propia
de comunicación: el lenguaje verbal articulado, mediante el cual elabora
su propia experiencia y la transmite a los demás.
Este lenguaje, recibe el nombre de lenguaje natural. Es el lenguaje que el
ser humano utiliza en la vida cotidiana y se concreta en las distintas
lenguas propias de las diferentes comunidades lingüísticas.
3
2.- LENGUAJE ARTIFICIAL.
A pesar de la importancia que tiene el lenguaje natural, indispensable en la comunicación ordinaria,
tanto por las dificultades que presenta el lenguaje de cada día, como por la exigencia de formas de
comunicación más operativas y adecuadas a campos específicos o a necesidades determinadas, han
surgido los llamados lenguajes artificiales.
Dentro de los lenguajes artificiales nos interesan especialmente los lenguajes científicos, que se
caracterizan sobretodo por ser precisos y operativos. Se utilizan en campos determinados: las
matemáticas, la física, la química, la informática, la lógica…Si nos damos cuenta, este lenguaje se
utiliza en ámbitos de trabajo en que se requieren instrucciones precisas o fórmulas.
Este tipo de lenguajes se inician a partir del Renacimiento y sobretodo se multiplica en el siglo XIX.
Esto ha sido un elemento fundamental para el desarrollo de la ciencia y las tecnologías modernas.
2.1.- Lenguaje formal.
Dentro de los lenguajes artificiales, un tipo especial lo constituyen los lenguajes formales que tanto la
lógica como la matemática utilizan como herramienta fundamental.
Todo lenguaje formal consta de un conjunto de signos y reglas que lo caracterizan: tabla de símbolos,
reglas de formación y reglas de transformación.
3.- LA LÓGICA
3.1.- Formalización de enunciados
Formalizar consiste en traducir las expresiones del lenguaje ordinario a un lenguaje formal o simbólico.
Se sustituyen los enunciados del lenguaje ordinario por variables de enunciado y los nexos o partículas
que enlazan los enunciados del lenguaje ordinario por símbolos lógicos.
3.2.- Enunciados y clases de enunciados
La palabra enunciado se la considera normalmente como sinónima de oración, proposición y, a veces, de
sentencia.
Conviene señalar que no serán enunciados las interrogaciones y las exclamaciones por el simple hecho
de no poder considerarse verdaderas o falsas.
Son enunciados
No son enunciados
- La catedral de Valencia es bonita.
- ¿Cómo estás?
- Riola es una población de la comunidad - ¡Hola chaval!
Valenciana.
Los enunciados se dividen en atómicos o moleculares. Un enunciado atómico o simple es aquel que no
lleva ningún nexo o conector. Son enunciados atómicos.
- El Júcar es un río.
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- Valencia está entre Alicante y Castellón.
- El España ganó el último mundial.
Un enunciado molecular está compuesto por varios enunciados atómicos, por tanto, tiene
necesariamente que llevar conectores. Son enunciados moleculares:
- Si luce el sol, iremos a nadar.
- Los animales sufren y los humanos son animales racionales.
3.3.- Variables de enunciado
Son letras que sustituyen a un enunciado atómico. Normalmente se utilizan p, q, r, s…También pueden
utilizarse otras letras minúsculas exceptuando x, y, z…que se reservan para variables de predicados.
Ejemplos:
Sócrates es un gran filósofo p
Las violetas son blancas q
El carbón es negro
r
La miel es dulce
s
3.4.- Conectores
Son los símbolos que representan las partículas que, exceptuando al negador, unen los enunciados
atómicos dando lugar así a enunciados compuestos. Estos signos suelen denominarse conectores,
conectivas o juntores. Tales conectores son: negador, conjuntor, disyuntor, implicador y coimplicador.
Negador ┐
Este símbolo representa la partícula “no” del lenguaje ordinario o cualquier otra que encierra la idea de
negación, tal como “ni”, “no es vierto que”, “no es el caso de”, “es falso que”. No hay que olvidar que
en español, la negación se expresa también mediante prefijos: “impreciso” “inmortal”…
Para representar la negación utilizaremos el signo ┐. Lo colocaremos delante de la variable del
enunciado.
Hace calor p
No hace calor ┐
Es cierto que Sebastián necesita trabajar q
No es cierto que Sebastián necesita trabajar ┐q
Javier es una persona correcta r
Javier es una persona incorrecta ┐r
Raul está felizmente casado s
Raül está infelizmente casado ┐s
5
Definición del Negador ┐
Si un enunciado es verdadero su negación es falsa, y si un enunciado es falso su negación es verdadera.
Veamos como se expresan los valores de verdad:
p
V
F
┐p
F
V
Conjuntor ^
Este signo representa la partícula “y” del lenguaje ordinario o cualquer otra que encierre la idea de
conjunción, tal como “aunque”, “pero”, “sin embargo”, etc.
Para representar la conjunción nos serviremos del signo “^”.
Javi toca la trompa y Raul es fontanero. p ^ q
p
q
Sócrates y Platón son filósofos. p ^ q
Sócrates es un filósofo p
Platón es un filósofo q
Javi sabe mucho de música pero poco de política. p ^ q
Javi sabe mucho de música p
Javi sabe poco de política q
Raul y Cristina se han casado p ^ q
Raul se ha casado p
Cristina se ha casado q
En Valencia y en la China se cultiva mucho arroz. p ^ q
En Valencia se cultiva arroz p
En la China se cultiva arroz q
Ni estudio ni quiero estudiar ┐p ^ ┐q
Definición del ^
Una conjunción es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderos, y falsa en todos los demás
casos. Veamos los valores de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
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Disyuntor
Es el signo que representa la partícula “o” del lenguaje ordinario. Esta partícula tiene un sentido
inclusivo y otro es el sentido exclusivo.
Disyunción inclusiva v
Para representar la disyunción inclusiva utilizaremos el signo “v”. La idea que expresa la disyunción
inclusiva de dos enunciados es que la verdad de uno de los dos componentes de la disyunción no excluye la
verdad simultánea del otro.
___q____________
_______
Necesito un empleado alto o con barba p v q
p
Como vemos en el caso anterior, cabe la posibilidad que el empleado sea alto y con barba.
___q___
_______
Pepe es médico o científico p v q
p
En este caso, tampoco se excluye la posibilidad de que Pepe sea médico y científico a la vez.
Definición del v
Una disyunción inclusiva es falsa cuando sus dos componentes son falsos y verdadera en todos los
demás casos. De aquí que los valores de verdad de la disyunción sean:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pvq
V
V
V
F
Disyunción exclusiva w
Para representar la disyunción exclusiva, utilizaremos el signo “w”. Aquello que representa la
disyunción exclusiva de dos enunciados es que la verdad de uno excluye la verdad del otro enunciado.
Ejemplos:
___q____
________
Sergio es cristiano o musulmán
p
pwq
7
En el ejemplo anterior, queda clara la exclusión. Sergio sólo puede pertenecer a una de las dos
religiones, pero no a ambas a la vez.
_________
__
Nuria tiene 13 años o 12
pwq
En este ejemplo, está claro que Nuria no puede tener 13 años y 12. Si tiene 13 no tendrá 12 y viceversa.
Definición del w
Una disyunción exclusiva es verdadera cuando uno de sus dos componentes es verdadero y el otro falso,
y falsa en todos los demás casos.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pwq
F
V
V
F
Aunque haya quedado clara la distinción entre el disyuntor inclusivo e exclusivo, en el desarrollo de esta
unidad solamente utilizaremos la disyunción inclusiva. Esto lo haremos puesto que en el lenguaje formal
podemos prescindir de la disyunción exclusiva, sirviéndonos de todos los restantes conectores.
Implicador →
Es el signo que representa las partículas “sí....entonces” del lenguaje ordinario o cualesquiera que que
encierren la idea de condición, tales como “sólo sí...entonces” “cuando...entonces”. etc.
Para representar la implicación utilizaremos el signo →
Hay que tener en cuenta que en la implicación tenemos el antecedente y el consecuente. La partícula
“si” introduce el antecedente, mientras que la partícula “entonces” introduce el consecuente. Un
enunciado tal como “si me toca la lotería me haré rico”, “tocarme la lotería” (p) es el antecedente y es
una condición suficiente, aunque no es necesaria, para que se dé el enunciado “hacerme rico” (q), que se
convierte en el consecuente. El consecuente (q) puede darse sin que ocurra el antecedente. Yo puedo
hacerme rico sin que me haya tocado la lotería; por ejemplo, mediante la donación de cualquier
filántropo o mediante una herencia. Formalmente, el enunciado quedaría así:
p→q
Hay un caso, que conviene subrayar, es cuando la partícula “si” se le antepone “sólo si”. Esto modifica
el sentido de la implicación, porque “sólo si” introduce no el antecedente sino el “consecuente” y
“entonces” introduce el antecedente. En el enunciado “Solo si me toca la lotería me haré rico”, “tocarme
la lotería” (p) es una condición necesaria, aunque no suficiente para que se dé “hacerme rico” (q); es
decir, si yo llego a hacerme rico alguna vez sera porque necesariamente me habrá tocado la lotería. Su
formalización quedaría de la siguiente manera:
q→p
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Como podemos observar, la partícula “sólo” al anteponerla a “si” invierte el sentido de la implicación.
Ejemplos:
- De haber tomado las medidas necesarias, no hubiéramos tenido este accidente.
p → ┐q
- Quien a hierro mata, a hierro muere p → q
- Si los enanitos crecen, entonces el circo tendrá que cerrar. p → q
Definición del →
Una implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y verdadera en
todos los demás casos. Veamos los valores de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→ q
V
F
V
V
En el primer caso no se plantea ningún problema porque en una implicación lo que se pretende es que de
la verdad del antecedente se siga la del consecuente (primer caso), de tal manera que si se sigue la
falsedad del consecuente (segundo caso), la implicación es falsa. En cambio, los dos últimos casos
plantean siempre algún problema intuitivo. En el tercer caso, hay que tener en cuenta que el antecedente
es siempre una condición suficiente para el consecuente, por tanto, aunque el antecedente sea falso, el
consecuente puede ser verdadero y con ello la implicación sería verdadera. En el último caso, el mismo
valor de verdad que posee el antecedente se da para el consecuente, y por ello la implicación es
verdadera.
Coimplicador ↔
Es el signo que representa la partícula “si y sólo si” del lenguaje ordinario o cualquier otra que encierra
una condición bicondicional: “equivale a”, “cuando y solamente cuando”, etc
Para representar la coimplicación utilizaremos el signo ↔. El signo este significa que un enunciado es
condición necesaria y suficiente para otro. Volviendo al ejemplo anterior: “si y solo si me toca la lotería
me haré rico”, podemos considerar que quedaría estructurado de la siguiente manera:
(p → q) ^ (q→p)
O también:
p↔q
Conviene destacar que “si...entonces” y “sólo si...entonces” son distintos de “si y sólo si”
9
Ejemplos:
- Un triángulo es rectángulo si y sólo si tiene 180 grados.
p↔q
- Cuando hablo digo verdades si y sólo si no digo mentiras.
p ↔ ┐q
- En el mundo habrá paz cuando y sólo cuando no haya guerra.
p ↔ ┐q
- El que haya progreso equivale a que no haya incultura.
p ↔ ┐q
Definición del ↔
Una coimplicación es verdadera si y sólo si, ambos miembros tienen el mismo valor de verdad y falsa en
caso contrario. Veamos los valores de verdad.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
Uso de conectores
Hasta ahora, hemos utilizado los conectores para unir enunciados atómicos. Sin embargo, podría darse el
caso de que los conectores enlazaran dos enunciados moleculares o un enunciado molecular junto con
un atómico. En este caso, hay que saber que enunciados se enlazan. Veamos los siguientes ejemplos:
Si la pintura es buena y el pintor responsable, la casa quedarà bien pintada.
p^q
Si Sebastián encuentra trabajo y Sergio tiene ganas, entonces harán un viaje y se lo pasarán muy bien.
p^q→r^s
Muchas veces, es conveniente utilizar los paréntesis para así poner de manifiesto cuál o cuáles son los
conectores que, en la formalización de los distintos enunciados, dominan sobre los otros, evitando así
cualquier posible ambigüedad o incorrección. Veamos algunas indicaciones:
10
A.) Cuando el ┐se aplique a una proposición atómica no hace falta paréntesis. En caso contrario, si va
delante de una proposición molecular si que llevarà paréntesis. Si ponemos ┐p^q→r, el negador se
aplica sobre p. Si ponemos ┐(p V q) → r , el negador afecta a toda la expresión del paréntesis.
B.) Cuando haya dos o más símbolos ^en una misma expresión, no se requiere paréntesis. Podemos
poner: p ^ q ^ r ^ s
C.) Ocurre lo mismo que en B, con el disyuntor v p v q v r v s
D.) La existencia en una misma expresión de símbolos ^ y v requiere paréntesis. Es incorrecto, por
tanto:
p^qvr
pvq^rvs
En su lugar, debería escribirse así:
p ^ (q v r)
ó
(p ^ q) v r
(p v q) ^ ( r v s) ó [(p v q )^ r] v s......también.....(p v q v r) ^ s....
E.) Cuando existan en una misma expresión, dos o más símbolos → y ↔requiere la utilización de
paréntesis. Son incorrectas, por tanto:
p→q→r
p↔q↔r
En su lugar, debería escribirse:
p→(q→r) ó (p→q)→r
p↔(q↔r) ó (p↔q)↔r
F.) Los símbolos → y ↔ priorizarán sobre los signos ^ y v. Por tanto, cuando prevalezca alguno de los
dos primeros, pueden omitirse algunos paréntesis.
Estas expresiones.............................las podemos escribir
(p ^ q)→r
p^q→r
(p ^ q)→ (r ^ s)
p ^ q→ r ^ s
Sin embargo, es aconsejable utilizar paréntesis para salir de dudas.
4.- ACTIVIDADES DE FORMALIZACIÓN.
En las siguientes actividades se trata de traducir del lenguaje ordinario al lenguaje de la lógica formal.
No hay ninguna regla que nos indique como tenemos que formular, eso sí, hay que tener en cuenta los
conectores, las letras proposicionales y utilizar un poco la imaginación.
1) Los animales, las plantas y las personas somos seres animales
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2) El hombre es un animal racional, entonces debería comportarse correctamente con su medio
ambiente.
3) Un triángulo es rectángulo si sus tres ángulos miden 180 grados.
4) Si estudiamos filosofía, aprenderemos. Si todo esto ocurre nos divertiremos reflexionando.
5) Si seguimos las explicaciones de clase, suspenderemos. Si suspendemos, entonces aburriremos la
filosofía.
6) Si el hombre es libre, entonces no está determinado por las fuerzas de la naturaleza.
A continuación, hacemos una formalización más compleja como modelo para las actividades que
siguen:
Si Hume rechaza la causalidad y pone en entredicho la existencia del mundo exterior, entonces, si de
alguna manera no recobrara dicho mundo, habría que incluirle entre los escépticos.
p^q→(┐r→s)
Lo haremos de la siguiente manera:
Hume rechaza la causalidad.........p
Pone en entredicho la existencia....q
Recobrara dicho mundo............r
Habría que incluirle entre.......s
7) O la televisión modifica las programaciones y las nuevas tecnologías se racionalizan o se producirá
un anestesiamiento de nuestro espíritu crítico.
8) Raquel es inteligente o guapa.
9) No es verdad que Arturo y Marta hayan estudiado para el examen.
10) Si no consigo aprobar, entonces lo pasaré mal y me dejaré los estudios.
11) Si los alumnos trabajan, necesariamente tendrán que aprobar.
12) Si no me haces caso, entonces me entristeceré.
13) Si la filosofía es tomada en serio por las autoridades políticas, conseguiremos personas reflexivas.
Si todo esto ocurre, dejaremos de mirar en la oscuridad y pasaremos a mirar en la luz solar.
14) Si los pensadores callaran, los políticos trabajarían en el circo y los religiosos asistirían a conciertos
Heavys.
15) Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría
que me internaran en un psiquiátrico.
16) Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido.
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17) Si los filósofos callasen, la nieve quemaría y los círculos serían cuadrados. Si los círculos fueran
cuadrados, entonces los matemáticos se dedicarían a cazar brujas y las abejas a fabricar acero. Ni los
matemáticos se dedican a cazar brujas, ni las abejas a fabricar acero. Por tanto, los filósofos no callarían.
5.- TABLAS DE VERDAD.
5 a.- Conceptos teóricos.
El método de tablas de verdad es un procedimiento mecánico que, a través de un número de pasos, nos
permite decidir si una fórmula es tautología, contradicción o contingencia. Veamos los pasos que
tendremos que seguir:
1.- Columnas. Habrá tantas columnas como variables enunciativas. Por ejemplo:
(p v ┐q) → ┐r
p
q
r
2.- A continuación, añadiremos una nueva columna por cada variable distinta que aparezca
p
q
r
┐r
┐q
3.- Finalmente se añaden tantas columnas cuantos sean los conectores materialmente presentes en la
fórmula:
p
q
r
┐q
┐r
P v ┐q (pv┐q)→┐r
2.- Número de filas y distribución: Para saber el número de filas se utilizará la fórmula 2n. n Serán el
número de variables enunciativas distintas. En este caso, como existen 3 variables enunciativas se
elevará 2 a 3 y el resultado será 8. Con lo cual, en la primera columna empezaremos con 4 verdaderas y
4 falsas. A continuación, 2V y 2F y finalmente 1V y 1F. Como vemos, vamos dividiendo entre dos.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
┐q
F
F
V
V
F
F
V
V
┐r
F
V
F
V
F
V
F
V
P v ┐q (pv┐q)→┐r
Como vemos, la columna 4 y 5 son la negación de la 2 y 3.
13
3.- Fórmulas
A continuación, consiste en analizar conector por conector. En la última columna, se realizará la
evaluación del conector principal, pudiendo ocurrir varias cosas:
a) Que la columna final resulte todo valores de verdad V. TAUTOLOGÍA
b) Que la columna final conste sólo de valores de verdad F. CONTRADICCIÓN.
c) Que la columna final conste de valores de verdad V y de verdad F. CONTINGENCIA
Veamos el resultado:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
┐q
F
F
V
V
F
F
V
V
┐r
F
V
F
V
F
V
F
V
P v ┐q
V
V
V
V
F
F
V
V
(pv┐q)→┐r
F
V
F
V
V
V
F
V
↑
CONTINGENCIA
Como en la columna final hay signos V y F, entonces la fórmula (p v ┐q) → ┐r es una
CONTINGENCIA.
5 b.- Actividades
Basándote en los contenidos explicados, realiza las siguientes tablas de verdad:
a) (p → q)→(┐q → ┐p)
b) (p v q)↔(r ^ s)
c) [p→(q^r)]→[(t→t) ^ ((┐sv┐q)→(┐pv┐s))]
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Atención, en este caso, al existir muchas variables enunciativas, el procedimiento será más lento y laborioso. Atención: tienes
5 letras distintas, no te olvides de elevar 5 al número de letras proposicionales. A continuación, es recomendable ir
desglosando por bloques y darnos cuenta de que predomina el conector →
6.- LA DEDUCCIÓN.
6 a.- Las reglas básicas y actividades realizadas.
En este apartado, vamos a estudiar la manera como llegaremos a una conclusión partiendo de unas
premisas. Para ello, necesitaremos saber las reglas básicas de deduccción.
Antes de ver las reglas básicas de deducción, conviene detenerse para las partes de que consta un
ejercicio de deducción
─1 p ^ t → r ^ s
─2 q → t
─3 q ^ w
├p→s
Los apartados 1, 2, 3 los llamaremos premisas. No olvidaremos poner el ─ para diferenciar entre las
premisas dadas y las conclusiones sacadas.
La conclusión, la escribiremos en la parte derecha de la línea correspondiente al último supuesto inicial.
La conclusión la designaremos mediante el símbolo “├” denominado deductor.
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A continuación nos pondremos a trabajar. Se trata de utilizar las premisas y las reglas deductivas para
llegar a la conclusión.
Antes de empezar con el estudio de las reglas deductivas, conviene saber que se nos puede pedir llegar a
una deducción sin disponer de supuestos iniciales. En este caso, debemos introducir cuantos supuestos
subsidiarios sean necesarios para obtener la conclusión, teniendo presente que deben ser cancelados
correctamente. Por ejemplo, se nos podría pedir construir una deducción de:
├ p → ( q → r v s)
Sin embargo, empezaremos con deducciones sencillas y poco a poco iremos ascendiendo en
complejidad.
Reglas básicas
Las reglas básicas son de dos tipos: reglas de introducción y reglas de eliminación de conectores. Los
conectores principales son los siguientes: “→” “┐” “^” “v”. Como existen estos 4 conectores y dos
reglas por conector, entonces tendremos un total de 8 reglas deductivas.
Modus Ponens
A→B
A____
B
Esta regla permite eliminar el implicador, y nos dice que si en una línea de una derivación contamos con
una implicación A→B y en la otra línea tenemos el antecedente, A, de dicha implicación , entonces
podemos deducir el consecuente B.
1) ─1 p → q
─2 q → r
─3 p
├r
4 q MP 1,3
5 r MP 2,4
2) ─1 p ^ q
─2 r→s
─3 p ^ s
├s
4 r MP 1,3
5 s MP 2,4
16
3) ─1 p v q → r
─2 r → s ^ t
4r
MP 1,3
5 s ^ t MP 2,4
4)
─1 ┐p→┐s ^ t
─2 ┐p
├t
3 ┐s ^ t MP 1,2
Teorema de la deducción TD
┌A
│
└B
A→B
EJERCICIOS REALIZADOS
Mediante esta regla se introduce el Implicador. Viene a decir lo siguiente: Si en una línea introducimos
A y llegamos a la conclusión B, entonces podemos escribir A→B en la nueva línea.
1)
-1p→ q
-2q→ r
├p→r
┌3 p
│4 q MP1,3
│ 5 r MP 2,4
└6 p→r TD 3,5
2)
─1 p → q
─2 q → r ^ t
─3 r ^ t → s
─4 s → t ├ p→t
┌5 p
│6 q MP 1, 5
│7 r ^ t MP2, 6
│8 s MP 3,7
└9 t MP 4, 8
10 p→ t TD 5-9
17
3)
─ 1 p→ q ^ s
─2q^s→rvt
─ 3 r v t → (w→ s)
├ p→ (w→ s)
┌4 p
│5 q ^ s
│6 r v t
└7 w → s
8. p→ (w → s)
4) ─ 1 ┐p → ( q → r v s)
├ q →( ┐p → r v s)
┌2q
│┌3 ┐p
││4 q→ r v s MP 1, 3
│└5 r v s MP 2, 4
└ 6 ┐p→r v s
7 q→ (┐p→ r v s)
5)
─ 1 p → (q→(r→s))
├ q→(r→(p→s))
┌─2 q
│┌3 r
││┌4 p
│││5 q→(r→s)
MP 1,4
│││6 r→s
MP5,2
││└7 s
MP 6,3
│└8 p→s
TD 4-7
└─9 r→(p→s)
TD 3-8
10 q→(r→(p→s))TD 2-9
Simplificación
A^B
A
A^ B
B
Mediante esta regla podemos eliminar el conjuntor. Si en una línea tenemos una conjunción de
enunciados, podemos concluir cualquiera de los términos.
18
EJERCICIOS REALIZADOS
1)
─1 p→q
─2 q→r
─3 p^s
├r
4 p Simp 3
5 q MP 1,4
6 r MP 2,5
2)
─ 1 p→ q^r
─ 2 r→ s^t
├p→t
┌3 p
│4 q^r MP 1,3
│5 r
Simp 4
│6 s^t MP 1,3
└7 t
Simp 6
8 p → t TD 3-7
3)
─1 p^q→ (p→r)
─2 (p^q) ^ r
3 p^q
4 p→r
5p
6r
├r
Simp 2
MP 1,3
Simp 3
MP 4,5
4)
─1 ┐┐p → ┐┐q
─2 ┐┐p ^ s
├ ┐┐q
3 ┐┐p Simp 2
4 ┐┐q MP 1,3
Producto (Prod)
A
B
───
A^B
19
En esta línea se introduce el conjuntor. Nos viene a decir que si en una línea de una derivación tenemos
un enunciado, A, y en otra línea tenemos un enunciado B, entonces podemos escribir la conjunción A ^
B
EJERCICIOS REALIZADOS
1)
─1 p → q ^ r
─2 q ^ r → s
─3 s → u
─4 p
├ u
5 q ^ r MP 1,4
6 s MP 2,5
7 u MP 3,6
2)
─1 p→ q ^ r
─2 p
─3 p → s ^ ┐s
├ q ^ ┐s
4 q ^ r MP 1, 2
5 s ^ ┐s MP 3, 2
6 q Simp 4
7 ┐s Simp 5
8 q ^ ┐s Prod 6,7
3)
─1 (p→┐q)→(┐s→┐t)
─2 ┐s
─3 p→┐q
├ ┐t ^ ┐s
4┐s→┐t MP 1,3
5 ┐t
MP 4,2
6 ┐t ^ ┐s Prod 2,5
Reglas básicas de disyunción. Adición
A
─── Ad1
AvB
B
──── Ad2
AvB
Esta regla permite introducir el disyuntor, y nos dice que si en una línea de una derivación tenemos un
enunciado A, en la siguiente podemos añadir el disyuntor, en este caso A v B.
20
EJERCICIOS REALIZADOS
1)
─ 1 r v t → ┐q
─2r
├ ┐q v s
3 r v t Ad 2
4 ┐q
MP 1, 3
5 ┐q v s MP Ad 4
2)
─1r→s
─2p^r
├svt
3 r Simp 2
4 s MP 1, 3
5 s v t Ad 4
3)
─1 p ^ q → r ^ s
─2 p
─3 q
├p^q→svt
─4 p ^ q
┌5p^q
│ 6 r ^ s MP 1,5
│ 7 s Simp 6
└ 8 s v t Ad 7
9 p^q → s v t TD 5-8
Prueba por casos (Cas)
AvB
┌A
│
└C
┌B
│
└C
────
C
21
EJERCICIOS REALIZADOS
1)
─1 p v q
─2 p → s
─3 q → s
┌4 p
└5 s MP 2,4
┌6 q
└7 s MP 3,6
8 s Casos 1, 4-5, 6-7
2)
─1 p v q
─2 p → r
─3 q → s ├ r v s
┌4 p
│5 r MP 2,4
└6 r v s Ad 5
┌7 q
│8 r MP 2, 7
└9 r v s Ad 8
10 r v s Casos 1, 4-6, 7-9
3)
─1 p → q v r
2p
3q→s
─ 4 r → t ├ (s v t) v r
5 q v r MP 1,2
┌6 q
│7 s MP 3,6
└8 s v t Ad 7
┌9 r
│10 t MP 4,9
└11 s v t Ad 10
12 (s v t) P. Casos 5, 6-8, 9-11
13 (s v t) v r Ad 12
Otro modo de hacerlo:
4)
─1 p → q v r
2p
3q→s
─ 4 r → t ├ (s v t) v r
22
5 q v r MP 1, 2
┌6 q
│7 s MP 3,6
│8 s v t Ad 7
└9 (s v t) v r Ad 8
┌10 r
│11 t MP 4,10
│12 s v t Ad 11
└13 (s v t) v r Ad 12
14 (s v t) v r P Casos 5, 6-9, 10-13
Doble Negador (DN)
┐┐A

A
EJERCICIOS REALIZADOS
1)
─1 p → ┐┐q
─2 p
3 ┐┐q MP 1,2
4 q DN 3
2) ─1 p v q
─2 p →┐┐ r
─3 q → ┐┐s ├ r v s
┌4 p
│5 ┐┐r MP 2,4
│6 r DN 5
└7 r v s Ad 6
┌7 q
│8┐┐ r MP 2, 7
│9 r DN 8
└10 r v s Ad 9
10 r v s Casos 1, 4-7, 7-10
23
3)
─ 1 p→ q^r
─ 2 r→ s^┐┐t
├p→t
┌3 p
│4 q^r MP 1,3
│5 r
Simp 4
│6 s^┐┐t MP 1,3
│7┐┐ t
Simp 6
└6 t DN 7
8 p → t TD 3-7
Reducción al Absurdo (R. Abs)
┌A
│
│
└B ^ ┐B
──────
┐A
EJERCICIOS REALIZADOS
1)
─1 p→ q
─2 ┐q
├ ┐p
┌3 p
│4 q MP 1, 3
└5 q ^ ┐q
6 ┐p R Abs. 3-5
2)
1p→s
2s→t
3 ┐t
├ ┐p
┌4 p
│5 s MP 1, 4
│6 t MP 2, 5
└7 t ^ ┐t Prod 3,6
8 ┐p R Abs 4-7
24
3)
1 p → ┐q ^ r
2r→q
├p→s
┌─ 3 p
│ ┌4 ┐s
│ │5 ┐q^r MP 1,3
│ │6 r Simp 7
│ │7 q MP 2, 6
│ │8 ┐q Simp 5
│ └9 q ^┐q Prod 7,8
└─ 10 s R Abs 4-9
11 p → s TD 4-10
4)
1 p → ┐(q ^r)
├ q ^r→ ┐p
┌─2 q ^r
│┌3 p
││4 ┐(q ^r)
│└5 q ^r ^ ┐(q ^r)
└─6 ┐p Abs 3-5
7 q ^r→ ┐p TD 2-6
5)
─1 p v s → ┐(q ^r)
─2 t → u v r
─3 u → p
─4 r → s
─5 ┐(q^r)→┐t
├ ┐t
┌── 6 t
│
7 u v r MP 2,6
│ ┌8 u
│ │9p MP3,8
│ └10 p v s
│ ┌11 r
│ │12 s MP 4,11
│ └13 p v s
│
14 p v s Casos 7, 8-10, 11-13
│
15 ┐(q ^r) MP 1,14
│
16 ┐t MP 5, 15
└───17 t ^┐t Prod 6,16
18 ┐t R Abs 6-17
25
RECORDEMOS LAS REGLAS BÁSICAS DE DEDUCCIÓN:
MODUS PONENS (MP)
A→B
A____
B
TEOREMA
DE
DEDUCCIÓN (TD)
LA SIMPLIFICACIÓN
(Simp ó EC)
A^B
A
┌A
│
└B
A→B
PRUEBA
Casos)
POR
CASOS
(P. REDUCCIÓN
ABSURDO (R. Abs)
AL DOBLE
(DN)
AvB
┌A
│
└C
┌B
│
└C
────
C
┌A
│
│
└B ^ ┐B
──────
┐A
ADICIÓN (Ad)
PRODUCTO (Prod ó IC)
A
B
───
A ^B
A
─── Ad1
AvB
B
──── Ad2
AvB
A^ B
B
NEGADOR
┐┐A

A
6 b.- Actividades de deducción.
1. p ^ q
2. p → r
3. s
1. q ^ r→ s v t
2. ┐ s v t
├ (r v s) v t
1.p → q
2.q → r v s
3. r → t
4.s → t
├ ┐q^r
1. t → p v q
2. p → m ^ s
3. q → ┐ m
4.s v ┐m → ┐ (p v q)
1.p → m v t
2. m → r
3.t → r ^ s
4.q → t ^ r
├pvq→r
-1 p → q
-2 ¬ q
1. ¬ t → r
-1 p → (q ∨ r)
3. ¬ r
-2 q → r
├ t
├p→t
├ ┐t
êp
-3 r → s
├ p→s
26
1. p ∨ q
1 p → (q ∨ r)
1. (p → q)
2. p → s
2p∨q
2. (r → s)
3. q → r
├q∨r
2. (s ∧ q) → t
├r∨s
├ (p ∧ r) → t
1. (p ^ q) v r
2. p ^ q → s
3. 3. r → t
1. p ^ q
2. p → s
├ (s v t) v r
1. p → q
2. r → s
3. (s ∧ q) → t
├ (p ∧ r) → t
1. p v q
2. p → r
3. q → s
1. p → q
2. q → s
├ (r v s) v t
├ (s v t) v r
├ p → (s v t)
7.- ACTIVIDADES DE FORMALIZACIÓN.
a) Las ranas no son príncipes encantados.
b) No es verdad que Sergio ha escrito este libro y si es verdad que las fiestas de Nuestra Señora de la
Salud de Algemesí han recibido el premio de Patrimonio de la Humanidad.
c) Si las fiestas de la Mare de Déu son patrimonio de la humanidad, los habitantes de algemesí estarán
contentos.
d) En este mundo se vivirá bien si los humanos no somos animales autodestructores
27
e) Si los humanos solo pensamos en tecnologías, dejaremos de leer, si dejamos de leer dejaremos de
saber hablar y si esto sucede cambiará el concepto de humanidad.
f) Si la filosofía no existiera, los hombres dejarian de pensar y si esto sucediera convendría plantearnos
la definición de ser humano.
g) Si el hombre es un animal social deberá luchar para no perder esa virtud. Si por contra, es un animal
egoista, deberá luchar para dejar de serlo.
h) El hombre es libre porque no está determinado. Sin embargo, está condicionado por su medio
ambiente.
i) Platón, Kant y Nietzsche han sido unos grandes pensadores. Esto es así porque sus teorías filosóficas
han pasado a la historia.
j) La materia no muere, la materia se transforma. Si esto es así, entonces no tengo motivos para tenerle
miedo a la muerte.
k) Si los hombres actuáramos con buena voluntad, dejaríamos de ser imperfectos. Solamente caben dos
posibilidades de que ésto ocurra: o somos dioses o estamos soñando.
l) Si los humanos utilizamos la tecnología como único medio educativo se perderá la cultura popular.
28
8.- REGLAS DERIVADAS.
MODUS TOLLENS
A→B
¬B
-------------¬ A)[MT]
REGLA DEL DILEMA
TOLLENDO
PONENS
SILOGISMO
HIPOTÉTICO
A∨B
¬B
--------A [TP]
A→B
B→C
---------A→C
LEYES DE MORGAN
A∨B
A→R
B→S
--------R∨S
1. ¬ (P ∧ Q) ≡ (¬ P ∨ ¬ Q)
DEFINICIÓN DE LA
IMPLICACIÓN EN UNA
CONECTIVA
1. A → B
-------------¬ (A ∧ ¬ B)
2. ¬ (P ∨ Q) ≡ (¬ P ∧ ¬ Q)
3. (P ∧ Q) ≡ ¬ (¬ P ∨ ¬ Q)
4. (P ∨ Q) ≡ ¬ (¬ P ∧ ¬ Q)
DEFINICIÓN
IMPLICACIÓN
DISYUNTIVA
DE
EN
LA COMMUTACIÓN
UNA CONJUNCIÓN
DE
A∧B
------B∧A
A→ B
----------¬A∨B
LA COMMUTACIÓN
DISYUNCIÓN
DE
LA
A∨B
-------B∨A
Ejercicios resueltos con reglas derivadas.
-1 s ∨ ¬ r
-2 t → ¬ s
-3 t
|--- ¬ r
4 ¬ s [MP 2,3]
5 ¬ r [TP 1,4]
Aplicación del Modus Tollendo Ponens
29
-------------------------------------1 (r ∧ s) ∨ p
-2 q → ¬ p
-3 t → ¬ p
-4 q ∨ t
|--- s ∧ r
5 ¬ p [Dil 4,2,3] Aplicación de la Regla del Dilema
6 (r ∧ s) [TP 1,5] Aplicación del Tollendo Ponens
7 (s ∧ r) [CC 6] Aplicación de la Conmutativa conjunción
----------------------------------------1 p ∨ t
-2 ¬ t
-3 p → (q ∧ s)
4 p [TP 1,2]
|--- s ∧ q
Aplicación del Modus Tollendo Ponens
5 (q ∧ s) [MP 3,4]
6 (s ∧ q) [CC 5]
Aplicación de la conmutativa de la conjunción.
-----------------------------------------1 ¬ (p ∨ ¬ r)
-2 q ∨ p
-3 r → s
-4 (q ∧ s) → (t ∧ s)
|--- s ∧ t
5 ¬ p ∧ ¬ ¬ r [DM 1] Aplicación de De Morgan.
6 r [DN 5]
7 ¬ p [EC 5]
8 q [TP 2,7] Aplicación de Tollendo Ponens
9 s [MP 3,6]
30
10 (q ∧ s) [IC 8,9]
11 t ∧ s [MP 4,10]
12 s ∧ t [CC 11] Aplicación de la Conmutativa de la conjunción.
-1 ¬ q ∨ s
-2 ¬ s
-3 ¬ (r ∧ s) → q
|--- r
4 ¬ q [TP 1,2]
5 r ∧ s [MT 3,4]
6 r [EC 5]
9.- BIBLIOGRAFÍA ACONSEJABLE.
- Amador Antón, Pascual Casañ, Lógica matemática, Nau Llibres.
10.- RECURSOS INTERNET.
TABLAS DE VERDAD:
http://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438
http://www.youtube.com/watch?v=JBl2b8GMQeI
http://www.youtube.com/watch?v=-QZcJ3dG19I&feature=fvwrel
FORMALIZACIÓN:
http://www.youtube.com/watch?v=QLXIY3-U5hA
31
32