SECCIONES CÓNICAS – LA CIRCUNFERENCIA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO: 10
TALLER Nº: 5
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE II
SECCIONES CÓNICAS – LA CIRCUNFERENCIA
RESEÑA HISTÓRICA
Apolonio de Perga o de Pergamo
Geómetra griego, fue el primero en estudiar las secciones cónicas, según
los fragmentos de obras llegados hasta nosotros, aplicó por primera vez
las palabras elipses, parábola e hipérbola. Apolonio explicó el movimiento
aparente de los planetas y de la velocidad variante de la luna. Propuso y
resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos
dados, conocido como El problema de Apolonio. El problema aparece en su
obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a
Pappus de Alejandría. Apolonio nació en Perga (hoy Murtina en Turquía),
no se sabe exactamente las fechas de su nacimiento y muerte, las cuales se calculan a partir
de datos biográficos, tampoco se sabe mucho de su vida. Probablemente estudió y enseñó
en Alejandría. Respecto a sus obras, muchas se han perdido. Propuso un método rápido de
cálculo en el cual se daba una aproximación del número pi (π).
 OBJETIVO GENERAL
Identificar y describir las secciones cónicas
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS



Graficar círculos con centro en el origen
Graficar círculos con centros en (h, k)
Establecer la forma normal y general de la ecuación de un círculo
 PALABRAS CLAVES
Cónicas, circunferencia, círculo, ecuación, trinomio.
 DESARROLLO TEÓRICO
Las cónicas: Se construyen al intersectar un cono con un plano, éstas se definen a
continuación.
Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un
punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
Ecuación analítica de la circunferencia:
Fígura 1
Fígura 2
En la figura 1 el centro de la circunferencia está en el origen. Dibujando una perpendicular
desde cualquier punto que no se encuentre sobre el eje se puede formar un triángulo
rectángulo.
Utilizando el teorema de Pitágoras, se puede escribir una ecuación que describa cada punto
P sobre la circunferencia con centro en el origen O(0,0) así: r2 = x2 + y2
En la figura 2 el centro de la circunferencia está en un punto (a, b) diferente del origen,
P(x,y) es cualquier punto sobre ésta y r es el radio. Se puede usar la fórmula de la distancia
para escribir una ecuación para la circunferencia conocida como la forma normal de la
ecuación de un círculo con radio r y centro diferente del origen.
r=
[(x – a)2 + (y – b)2] 1/2

r2 = (x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2 podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados y obtenemos
r2 = x2 – 2ax + a2+ y2–2by + b2  x2+ y2 – 2ax –2by + a2+ b2 – r2 =0
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos la forma general de la
ecuación de un círculo:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F son constantes
 EJERCICIOS RESUELTOS
1. A partir de la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0, determinar el centro, el radio de la
circunferencia y la forma normal de la ecuación.
SOLUCIÓN:
1. Tenemos que: D = 6  6 =– 2a  a =– 3
E = – 8 – 8 = – 2b  b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4)
Hallemos el radio: F = (– 3)2 + 42 – r2 
– 11 = (– 3)2 + 42 – r2  r = 6
La forma normal de la ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
2.
Escribir la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje “y” y tiene su centro
en (-5, 6)
SOLUCIÓN:
Como la circunferencia es tangente al eje y la distancia desde el centro a dicho eje equivale
al radio. Ya que el centro está 5 unidades a la izquierda del eje y, el radio es 5.
La ecuación de la circunferencia se puede hallar sustituyendo r por 5, -5 por a y 6 por b. La
ecuación es:
(x – (-5)) 2 + (y – 6) 2 = 52 
(x + 5) 2 + (y – 6) 2 = 25
3. Demuestre que la ecuación x² + y² + 6x - 2y + 6 = 0 corresponde a una circunferencia.
Determine el centro, radio y área del círculo que describe.
SOLUCIÓN:
La ecuación se puede escribir en forma estándar o normal completando el trinomio
cuadrado perfecto así:
Primero se reescribe la ecuación colocando juntos todos los términos semejantes luego
pasamos la constante al lado derecho de la ecuación
x² + 6x + y² - 2y = - 6
Después completamos dos trinomios cuadrados perfectos, uno para cada variable.
x² + 6x + 9 + y² - 2y + 1 = - 6 + 9 +1  (x + 3) ² + (y – 1) ² = 4  (x + 3) ² + (y – 1) ² = 2²
Correspondiente a una circunferencia de centro (-3 , 1) y radio 2.
El área es: A =  r² =  (2)² = 4 =12.6 unidades cuadradas aproximadamente.
 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Escribir la ecuación de cada circunferencia con el centro y radio indicados
a) Centro (0,0), radio 6
g) Centro (0,0), radio 7
b) Centro (2,0), radio 5
h) Centro (-3,0), radio 8
c) Centro (0,5), radio 2
i) Centro (0,-6), radio 4
d) Centro (3,4), radio 9
j) Centro (-5,2), radio 1
e) Centro (2, -6), radio 10
k) Centro (-6,-1), radio 7
f) Centro (1, 2), radio 7
l) Centro (-7,-2), radio 11
2. Grafique cada ecuación
a) x² + y² = 16
b) (x+4) ² + y² =25
c) (x+8) ² + (y+2) ² =9
d) y = -  (4-x²)
e) x² + y² = 5
f) x² + (y-3) ² = 4
g) (x-1) ² + y² = 5
h) (x-2) ² + (y+3) ² = 16
i) y =  (16 - x²)
3. Escriba cada ecuación en la forma normal o estándar y establezca el centro y el radio
a) x² + y² +8x +15 =0
b) x² + y² +6x – 4y + 9 = 0
c) x² + y² +6x -2y + 6 = 0
d) x² + y² + 4y =0
e) x² + y² +4x -6y -3 = 0
f) x² + y² - x + 3y -3/2 =0
4. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,3), (6,-5) y (0,7),
luego identifica el centro, el radio y el área.
5. Escribir las ecuaciones de una familia de cinco circunferencias concéntricas con centro
en (-2,6)
6. Escribir las ecuaciones de la familia de circunferencias en las cuales a = b y el radio es 8
(Haz que b sea cualquier número real) Describe esta familia de circunferencias.
7. Graficar y establecer el radio, el centro y la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro
está en los segmentos de recta determinados por los siguientes pares de puntos:
a) (5,4) y (9,8)
b) (4,9) y (7,12)
8. El círculo circunscribe un rectángulo de largo 517 cm y ancho 238 cm, Determinar el área
de la región sombreada. ¿Es posible determinar la ecuación de la circunferencia? Si, no
¿Por qué? En caso afirmativo determínela.
(Asumir una circunscripción perfecta
del rectángulo)
9. la distancia sobre el ecuador de un satélite en órbita geoestacionaria, se puede
determinar restando el radio de la tierra (6,400 Km) de la distancia r a la que se
encuentra el satélite del centro de la tierra.
La fórmula para la distancia es:
r=
3
G M t²
 4²
Donde:
G = constante universal (6.67 x 10^-11 newtons m² /Kg²),
M = masa de la tierra (5.98 x 10^24 Kg)
t = período de una órbita (86,400 segundos)
Hallar la distancia sobre el ecuador a la que se encuentra un satélite en órbita
geoestacionaria.
10.
De acuerdo con los datos del ejercicio anterior determinar la velocidad v en
metros/segundos de un satélite de comunicaciones en órbita circular geoestacionaria, si v
= (G M / r), donde r es igual a la distancia desde el centro de la tierra al satélite; G es
igual a la constante universal y M es la masa de la tierra
 PROBLEMAS ADICIONALES
1. Escribe el número 1 como una suma infinita de números positivos.
Sugerencia: haga un análisis geométrico sobre un cuadrado de la lado 1.
2. ¿Es posible aproximar la longitud de una circunferencia de radio r mediante polígonos
regulares?
¿Si se hace tender a infinito el número de lados de dichos polígonos regulares,
entonces se obtiene el valor exacto de la longitud de la circunferencia, es decir, 2πr?
3. Plantea un problema por el estilo de los dos anteriores.