2. MECANICA DE FRACTURA LINEAL ELASTICA

Mecánica de Fractura Lineal Elástica 2-1
2. MECANICA DE FRACTURA LINEAL ELASTICA
2.1 Criterio de Griffith
La piedra angular sobre la cual descansa la mecánica de fractura lineal
elástica (MFLE) (y en buena medida también la mecánica de fractura elasto –
plástica), es el llamado Criterio de Griffith. Este criterio nos dice que en un
cuerpo sometido a una condición arbitraria de carga, que se comporte de
manera totalmente elástica y que contenga una fisura, la propagación de
la fisura comenzará cuando la disminución de energía potencial elástica
que experimente el cuerpo por unidad de espesor y por unidad de
longitud de avance del vértice de la fisura, sea igual o mayor al
incremento de energía superficial por unidad de espesor y por unidad de
longitud de avance de la fisura que se producirá como consecuencia de la
creación de las nuevas superficies debidas a dicha propagación.
Para encontrar una expresión matemática de este criterio,
consideraremos el caso de una placa de material de espesor unitario y
dimensiones planares lo suficientemente grandes como para que puedan ser
consideradas infinitas, sometida a una tensión σ remota uniforme y
conteniendo una fisura pasante de longitud 2a, como se muestra
esquemáticamente en la Fig. 2.1.
Fig. 2.1 Fisura pasante en placa infinita sometida a una tensión
remota uniforme
Para calcular la disminución de energía potencial elástica en el cuerpo
como consecuencia de la extensión de la fisura, comencemos calculando el
trabajo necesario para producir un elemento de longitud dx de la fisura, como
se muestra en la Fig. 2.2.
2-2
Mecánica de Fractura Lineal Elástica
Si llamamos σyy a la tensión que actúa sobre la superficie del elemento dx
de la fisura en la dirección vertical, el trabajo para la producción del elemento
de fisura de altura y, será
Fig. 2.2 Fisura elíptica pasante
dU =
y
0
y
σ yy dx dy = dx σ yy dy
0
(2. 1)
Ahora bien, como asumimos comportamiento elástico del material, entre y
= 0 e y = y, la tensión σyy variará linealmente entre σyy = σ y σyy = 0 (este último
valor es nulo ya que asumimos que sobre el elemento de superficie no actúa
ninguna fuerza una vez alcanzada su posición de equilibrio) como se muestra
en la Fig. 2.3.
σyy
σ
Fig. 2. 3
y
Mecánica de Fractura Lineal Elástica 2-3
De manera que la integral en la (2.1) estará dada por el área del triángulo
de la Fig. 2.3, es decir
dU =
dxσ y
2
El trabajo necesario para producir toda la semifisura superior será
entonces
U=
a
−a
dU = σ
y dx σπ ab
=
−a
2
4
a
(2. 2)
y para la fisura completa resulta
2U =
σπ ab
2
A fin de eliminar b de esta expresión, tengamos en cuenta que es
posible demostrar que b = 2σa/E, donde E es el módulo de Young del material,
de manera que resulta
2U =
σ 2π a2
E
Ahora bien, como hemos asumido que el sistema es puramente
elástico, el trabajo realizado para lograr la extensión de la fisura es idéntico a la
disminución de energía potencial elástica en el cuerpo durante esta
propagación, de manera que la reducción de energía potencial elástica por
unidad de espesor y por unidad de longitud de fisura, resulta
d 2U
dU d (σ 2π a 2 / 2E ) σ 2π a
=
=
=
d (2a ) da
da
E
De acuerdo con el criterio de Griffith, la fisura comenzará su propagación
cuando esta disminución de energía sea igual al incremento de energía
requerido por la creación de las nuevas superficies de fisura, es decir cuando
se cumple
2-4
Mecánica de Fractura Lineal Elástica
d (4γ Supa )
d (2a )
=
d (2γ Sup a )
da
= 2γ Sup
donde γSup es la energía superficial por unidad de área de superficie o tensión
superficial del material considerado (en el medio en que se encuentre), y
4aγSup representa entonces la energía superficial total de la fisura.
La condición de propagación está dada entonces por
σ 2π a
E
= 2γ Sup
(2. 3)
Si bien la (2.3) describe adecuadamente la condición de propagación de
fisuras en materiales perfectamente frágiles, tales como el vidrio, cuando la
propagación de la fisura está acompañada de trabajo plástico durante el
avance del vértice, resulta necesario modificar la ecuación anterior para tener
en cuenta el sumidero de energía que este trabajo plástico representa. De
modo que se llama γPlást. al trabajo plástico realizado durante la propagación
del vértice de la fisura por unidad de área y por unidad de espesor, la (2.3) se
modifica como
σ 2π a
E
= 2(γ Sup + γ Plást )
(2. 4)
Es habitual en Mecánica de Fractura designar a la disminución de
energía potencial elástica por unidad de longitud de extensión de fisura y por
unidad de espesor como Fuerza Impulsora y denotarla con la letra G.
Asimismo, el trabajo necesario para propagar el vértice de la fisura por unidad
de longitud y por unidad de espesor, se suele denominar Resistencia a la
Propagación (o simplemente Resistencia) y denotarlo con la letra R. De manera
que haciendo la identificación
dU
=G
da
2(γ Sup + γ Plást ) = R
la condición de propagación resulta
Mecánica de Fractura Lineal Elástica 2-5
G=R
(2. 5)
Es necesario destacar que si bien la (2.5) tiene validez completamente
general, la (2.4) es estrictamente válida para el caso de un fisura pasante en
una placa de dimensiones planares suficientemente grandes como para ser
considerada infinita. De lo contrario, la expresión hallada para G = dU/da no
será en general válida. De todos modos, en cuerpos fisurados sometidos a una
tensión remota uniforme σ, se encuentra que la forma general de la fuerza
impulsora G, es siempre
a b
σ 2π a
G = Y ( , ,.....)
W W
E
2
(2. 6)
donde a es la longitud de fisura, y b, W, .... etc, longitudes características del
cuerpo (por ejemplo la longitud del ligamento no fisurado) e Y(a/W, b/W,....) una
función que depende exclusivamente de la geometría del cuerpo fisurado
incluyendo por supuesto la forma de la propia fisura.
2.2
Modos de solicitación. Criterio de Irwin de la Intensidad
de Tensiones. Tenacidad a la fractura.
Existen tres formas básicas en las que un cuerpo fisurado puede ser
solicitado para provocar un avance de la fisura. Estos modos son los indicados
en la Fig. 2.1 a continuación.
Fig. 2.4 Modos de solicitación de una fisura
De manera que el análisis de la placa fisurada hecho hasta aquí se
refiere al Modo I de solicitación.
2-6
Mecánica de Fractura Lineal Elástica
Irwin resolvió el problema del campo elástico de tensiones y de
deformaciones en el vértice de una fisura. La solución de Irwin es:
KI
3θ
θ
θ
+ ...)
Cos (1 − Sen Sen
1/ 2
(2π r )
2
2
2
KI
3θ
θ
θ
=
+ ...)
Cos (1 + Sen Sen
1/ 2
(2π r )
2
2
2
KI
θ
θ
3θ
=
+ ...
Cos Sen Cos
1/ 2
(2π r )
2
2
2
= 0 para estado plano de tensiones
σ xx =
σ yy
σ xy
(2. 7)
σ zz
σ zz = ν (σ xx + σ yy ) para estado plano de deformaciones
Las expresiones de los desplazamientos para el estado plano de
deformaciones son
K I r 1/ 2
θ
θ
( ) Cos (1 − 2ν + Sen 2 ) + ...
M 2π
2
2
K r
θ
θ
u y = I ( )1/ 2 Sen (2 − 2ν + Cos 2 ) + ...
M 2π
2
2
ux =
(2. 8)
donde M es el Módulo de Corte definido por M = E/2(1 + υ), siendo υ el Módulo
de Poisson del material.
El factor KI que aparece en todas las ecuaciones, es el denominado
Factor de Intensidad de Tensiones y su forma explícita depende la geometría
particular del cuerpo fisurado y de la configuración de las cargas aplicadas. En
particular, para el caso de fisura pasante en placa infinita, adopta la forma
Mecánica de Fractura Lineal Elástica 2-7
K I = σ (π a )1/ a
(2. 9)
Es importante destacar que las (2.7) y (2.8) son sólo válidas en un
entorno del vértice de la fisura, es decir cuando se cumple que r/a << 1, y por lo
tanto no describen el campo de tensiones remoto que es simplemente σyy = σ.
Fig. 2.5 Extensión de fisura elíptica
Es ilustrativo calcular ahora el trabajo necesario para producir un
incremento unitario de longitud de fisura y por unidad de espesor empleando
las tensiones y desplazamientos locales en el vértice en lugar de las tensiones
remotas como se ha hecho anteriormente. Para ello consideremos la situación
ilustrada en la Fig. 2.5 donde se muestra el vértice de la fisura antes y después
de una propagación ∆a.
El trabajo realizado por unidad de longitud de extensión de fisura y por
unidad de espesor, que es igual a la fuerza impulsora G, está entonces dado
por
2
G=
∆a
∆a
σ yy
r =x
θ =0
0
donde según las (2.7) y (2.8), es
σ yy
r =x
θ =0
=
KI
(2π x )1/ 2
uy
2
r = x ' =∆a − x
θ =π
dx
(2. 10)
2-8
Mecánica de Fractura Lineal Elástica
y
uy
r = x ' =∆a − x
θ =π
=
KI ∆a − x 1/ 2
2KI
∆a − x 1/ 2
(
) (2 − 2ν ) =
(1 + ν )(
) (2 − 2ν )
M
2π
E
2π
Introduciendo estas expresiones en (2.10), resulta
1
G=
∆a
∆a
0
KI
2KI
∆a − x 1/ 2
(1
)(
) (2 − 2ν ) dx =
+
ν
(2π x )1/ 2 E
2π
∆a
K I 2 (1 − ν 2 )
2 K I 2 (1 − ν 2 ) ∆a − x 1/ 2
(
) dx =
=
∆a
x
E
πE
0
(2. 11)
Teniendo en cuenta la (2.9), vemos que la (2.11) resulta idéntica al valor
2
ya obtenido para la fuerza impulsora G = dU/da = σ πa/E, excepto por el factor
1/(1 - ν)2. Esta pequeña discrepancia se debe a que en el análisis realizado en
base a las tensiones remotas, se ha considerado el caso de tensión plana,
mientras que la (2.11) fue obtenida para una situación de deformación plana.
De todos modos, la diferencia es pequeña dado que para la mayoría de los
materiales metálicos es 1/(1 - ν)2 ≅ 1. En cualquier caso sin embargo, podemos
escribir en general
E en tensión plana
KI 2
G=
donde E ' =
E'
E /(1 − ν 2 ) en deformación plana
(2. 12)
La (2.12) nos permite expresar ahora el Criterio de Griffith en términos
del factor de intensidad de tensiones KI diciendo que la fisura se propagará
cuando el factor de intensidad de tensiones en su vértice alcance un valor
crítico
K IC = GC E '
(2.13)
donde KIC es un parámetro que depende del material y GC constituye la fuerza
impulsora crítica también dependiente del material. De este modo, la condición
para la extensión de la fisura se alcanza cuando se cumple que
Mecánica de Fractura Lineal Elástica 2-9
K I = K IC
(2.14)
La (2.14) es muy útil porque no depende de la expresión particular que
adopte el factor de intensidad de tensiones, que en general tomará la forma
K I = Y (a / W , b / W , ...)σ (π a )1/ 2
(2.15)
siendo Y(a/W, b/W,....) como ya se ha visto, una función que depende
exclusivamente de la geometría del cuerpo fisurado incluyendo la forma de la
propia fisura.
2.3 Límite de validez de la MFLE. Corrección de Irwin por
plasticidad.
Las Ecs. (2.7) indican que las tensiones locales en las adyacencias del
vértice de una fisura se hacen infinitamente grandes cuando nos acercamos al
vértice de aquella. Esta singularidad en el campo de tensiones se debe al
hecho de haber considerado en la derivación de las (2.7) un material elástico
ideal. Ningún material real tolera tensiones por encima de un dado valor
produciéndose entonces la rotura o la deformación plástica del mismo. En
particular, si ignoramos por simplicidad el estado triaxial, podemos estimar que
el material en el vértice de la fisura entrará en fluencia cuando se cumpla
σ yy = σ Y
donde σY es la tensión de fluencia uniaxial del material.
De manera que en una primera aproximación, el perfil de las tensiones
σYY asumiendo un material elasto-plástico ideal, será el indicado en la Fig. 2.6
donde se ha indicado una zona plástica en el vértice de la fisura.
La extensión rP de la zona plástica surge inmediatamente si tenemos en
cuenta que debe cumplirse que
σ yy
de manera que resulta
r = x = rp
θ =0
=
KI
= σy
(2π rp )1/ 2
2-10
Mecánica de Fractura Lineal Elástica
Fig. 2.6 Zona plástica en vértice de fisura
rp =
1 KI
2π σ y
2
(2.16)
Si se tiene en cuenta la triaxialidad del estado de tensiones, es
necesario aplicar algún criterio apropiado de fluencia tal como el de Von Mises
o el de Tresca. En tal caso, es posible demostrar que resulta
1 KI
rp =
6π σ y
2
(2.17)
Dado que sobre las superficies laterales de la pieza las tensiones
normales son nulas, en el material adyacente al vértice de la fisura cercano a
las superficies tendremos siempre un estado plano de tensiones debido a la
influencia de estas superficies libres, mientras que en la región alejada de las
superficies existirá un estado triaxial, por lo que la zona plástica adoptará en
general una forma como la indicada esquemáticamente en la Fig. 2.7.
Fig. 2.7 Forma de la zona plástica en el vértice de fisura
Mecánica de Fractura Lineal Elástica 2-11
Dado que la existencia de la zona plástica en el vértice de la fisura pone
un límite a la validez de la hipótesis de comportamiento elástico ideal, los
resultados hasta aquí obtenidos exigen para su validez que se cumpla que el
tamaño de zona plástica rp sea pequeño comparado con las dimensiones
características del cuerpo fisurado en consideración. Esta condición de conoce
como de fluencia en pequeña escala, y se alcanza cuando se cumple
rp << B, W , a, W − a, ...
(2.18)
Fig. 2.8 Variación de la fractotenacidad en función del espesor
Experimentalmente se ha determinado que la fractotenacidad medida se
hace independiente del espesor cuando se cumple aproximadamente que
rp ≅
1
(B, W , a, W − a,...)
50
(2.19)
Se reserva en general la notación KIC al valor de fractotenacidad cuando
este se hace independiente del espesor, como se indica en la Fig. 2.8 para el
caso de un acero de SAE 4340, con σy = 1850 MPa. La independencia de KIC
del espesor nos indica que se ha alcanzado la condición de fluencia en
pequeña escala y el estado plano de deformaciones en el vértice de la fisura. Si
tenemos en cuenta la (2.17) y (2.19), surge inmediatamente que para asegurar
la condición de fluencia en pequeña escala (deformación plana) debe cumplirse
que
2-12
Mecánica de Fractura Lineal Elástica
B, W , a, W − a,... ≥ 2.5
K IC
2
σy
(2.20)
George Irwin demostró que una fisura real con una zona plástica
pequeña en su vértice, puede ser reemplazada por un fisura ficticia sin zona
plástica, pero de longitud igual a la longitud de la fisura real más el tamaño de
la zona plástica, de manera que
a * = a + rP
(2.21)
donde a* es la longitud de fisura corregida por plasticidad. De manera que el
factor de intensidad de tensiones corregido por plasticidad, resulta
K I = Y (a * / W , b / W , ...)σ (π a * )1/ 2
(2.22)
Dado que rp es a su vez una función de KI, teniendo en cuenta las (2.21)
y (2.22), surge que en esta última KI está dado en forma implícita. La (2..21)
expresa lo que se conoce como corrección de Irwin por plasticidad. Es sin
embargo importante destacar que esta corrección es válida únicamente
mientras se mantenga una condición de fluencia en pequeña escala.